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3反证法与放缩法_图文

三 反证法与放缩法 三 反 证 法 与 放 缩 法 学习目标 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练 学习目标 1.理解并掌握反证法、换元法与放缩法; 2.会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式. 课前自主学案 1.将所证的不等式的字母作适当的代换,以 达到简化证题过程的目的,这种方法称为 换元法 ________. 不成立 2.证明不等式时,首先假设要证的命题________, 公理 已知条件 以此为出发点 ,结合__________,应用_____、 _____、_____、_____等,进行正确的推理,得到 定义 定理 性质 和 ____________ 或 已证明的定理 、 _____ 、 ______________ 命题的条件 性质 ________________等矛盾的结论,以说明假设不 明显成立的事实 正确,从而证明原命题成立.我们把它称之为 反证法 ________. 3.在证明不等式时,通过把不等式的某些部分的 放大或缩小 值_____________,简化不等式,从而达到证明的 目的,我们把这种方法称为放缩法. 思考感悟 运用放缩法证明不等式的关键是什么? 提示:运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩 小)要适当.如果所要证明的不等式中含有分式, 那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小;反 之,如果把分母缩小,则相应分式的值就会放 大.有时也会把分子、分母同时放大,这时应该注 意不等式的变化情况,可以与相应的函数相联系, 以达到判断大小的目的,这些都是我们在证明中的 常用方法与技巧,也是放缩法中的主要形式. 课堂互动讲练 考点突破 反证法证明不等式 例1 设0<a<2,0<b<2,0<c<2,求证:(2-a)· c, (2-b)· a,(2-c)· b不可能同时大于1. 【思路点拨】 结论若是“都是”、“都不是”、 “至少”、“差不多”或“不等于”形式的命题,往 往考虑反证法,本题“不大于”的反面是“大于”, “至少有一个”的反面是“一个也没有”. 【证明】 假设(2-a)· c>1,(2-b)· a>1,(2-c)· b>1,则(2 -a)· (2-b)· (2-c)· c· a· b>1.① ∵0<a<2,0<b<2,0<c<2, 2-a+a 2 ∴(2-a)· a≤( ) =1. 2 同理:(2-b)· b≤1,(2-c)· c≤1. ∴(2-a)a· (2-b)· (2-c)· b· c≤1,这与①式矛盾.∴假设不 成立. 即:(2-a)· c,(2-b)· a,(2-c)· 不可能同时大于 1. b 【名师点评】 当题目结论为否定性命题时,常 采用反证法来证明,对结论的否定要全面不能遗 漏,最后的结论可以与已知的定义、定理、已知 条件、假设矛盾. 变式训练 1 已知 f(x)=x2+px+q, (1)求证:f(1)+f(3)-2f(2)=2; (2)求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 1 . 2 证明: (1)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q) -2(4+2p+q)=2. 1 (2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 . 2 则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2. 而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2) =(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2 从而导出了两个矛盾的结果. 1 ∴|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 . 2 换元法证明不等式 例2 已知a>0,b>0,c>0,且a2+b2=c2. 求证:当n≥3时,an+bn<cn. a2 【思路点拨】 条件中的 a +b =c 可化为( ) c b2 a b +( ) =1,满足这个关系的 , ,可以用三角代 c c c 2 2 2 换,变成三角函数式的证明. a b 【证明】 sinA= ,cosA= , c c 0<sinA<1,0<cosA<1, ∴sinnA+cosnA - - =sinn 2A· 2A+cosn 2A· 2A sin cos an bn 2 2 <sin A+cos A=1,即( ) +( ) <1. c c ∴an+bn<cn. 【名师点评】 如果两个非负数的和为 1,就可用 某个角的正、余弦表示这两个数,使两个变量变成 一个以角为变量的三角函数式,三角代换的规律 为: 2 2 ①x +y =1?设 x=cosθ,y=sinθ; ②若 a2+b2=r2(r>0),可设 a=rcosα,b=rsinα; ③若 r2≤a2+b2≤R2(R>r>0),可设 a=ccosα,b= csinα(r≤c≤R); ④对于 1-x ,可设 x=cosθ 或 x=sinθ. 2 变式训练 2 已知 a>0,b>0,且 a+b=1,求证: a+1+ b+1≤ 6. 证明:设 a=cos2θ,b=sin2θ, 则( a+1+ b+1)2 =1+cos2θ+2 ?sin2θ+1??cos2θ+1?+1+sin2θ 1 2 =3+2 sin 2θ+2≤6, 4 ∴ a+1+ b+1≤ 6. 放缩法证明不等式 例3 已知 a,b,c∈R,求证: a2+ab+b2 + b2+bc+c2≥a+b+c. 【思路点拨】 本题尝试用重要不等式证明,但 得不到要求证的不等式,要考虑用放缩法证明. 【证明】 2 ∵ a +ab+b = 2 2 2 b2 3 2 ?a+ ? + b , 2 4 b2 3 2 b +bc+c = ?c+ ? + b , 2 4 b2 b b 2 2 ∴ a +ab+b ≥ ?a+ ? =|a+ |≥a+ . 2 2 2 b2 3 2 2 2 b +bc+c = ?c+ ? + b 2 4 b2 b b ≥

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