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新课标A版数学理科详解答案1


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第一章 第一节 第二节 第三节 第二章 第一节 第二节 第三节 第四节 9 第三章 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 第九节 第四章 第一节 第二节 第三节 第四节 第五章 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第六章 第一节 第二节 第三节 第四节 第七章 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第八章 第一节

考点调查 360° 集合与常用逻辑用语 1 集合的概念与运算 1 命题及其关系、充分条件与必要条件 2 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 3 不等式 4 不等关系与不等式 4 一元二次不等式及其解法 6 基本不等式 8 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 函数与基本初等函数Ⅰ12 函数及其表示 12 函数的单调性与最值 14 函数的奇偶性与周期性 17 幂函数与二次函数 19 指数与指数函数 20 对数与对数函数 21 函数的图像 23 函数与方程 24 函数的应用 25 导数及其应用 26 变化率与导数、导数的计算 26 导数的应用(一)28 导数的应用(二)30 定积分与微积分基本定理 32 三角函数、三角恒等变换、解三角形 34 任意角、弧度制及任意角的三角函数 34 同角三角函数的基本关系与诱导公式 36 三角函数的图像与性质 37 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像及应用 39 简单的三角恒等变换 41 正弦定理和余弦定理 43 解三角形应用举例 45 平面向量、复数 47 平面向量的概念及线性运算 47 平面向量基本定理及坐标运算 48 平面向量的数量积及应用 49 复 数 51 数 列 52 数列的概念与简单表示法 52 等差数列及其前 n 项和 54 等比数列及其前 n 项和 56 数列求和 57 数列的综合应用 59 推理与证明、算法初步 61 合情推理与演绎推理 61

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第二节 直接证明与间接证明 63 第三节 数学归纳法 64 第四节 算法初步与算法案例 67 第九章 立体几何 68 第一节 空间几何体的结构、三视图和直观图 68 第二节 空间几何体的表面积和体积 69 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系 71 第四节 直线、平面平行的判定与性质 72 第五节 直线、平面垂直的判定与性质 74 第六节 空间向量及其运算 76 第七节 立体几何中的向量方法(Ⅰ)——证明平行 与垂直 78 第八节 立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角、 距离 80 第十章 解析几何 83 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 83 第二节 两条直线的位置关系、距离公式 84 第三节 圆的方程 87 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 88 第五节 椭 圆 90 第六节 双曲线 93 第七节 抛物线 95 第八节 曲线与方程 96 第九节 圆锥曲线的综合问题 98 第十一章 统计与统计案例 101 第一节 随机抽样 101 第二节 用样本估计总体 101 第三节 变量间的相关关系、统计案例 102 第十二章 计数原理、概率、离散型随机变量及其 分布 104 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 104 第二节 排列与组合 105 第三节 二项式定理 106 第四节 随机事件的概率 108 第五节 古典概型 109 第六节 几何概型 111 第七节 离散型随机变量及其分布列 112 第八节 二项分布及其应用 113 第九节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 115 开卷速查 开卷速查(01) 集合的概念与运算 117 开卷速查(02) 命题及其关系、充分条件与必要条件 118 开卷速查(03) 简单的逻辑联结词、全称量词与存在 量词 119 开卷速查(04) 不等关系与不等式 120 开卷速查(05) 一元二次不等式及其解法 121 开卷速查(06) 基本不等式 122 开卷速查(07) 二元一次不等式(组)与简单的线性 规划问题 123

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开卷速查(08) 函数及其表示 126 开卷速查(09) 函数的单调性与最值 127 开卷速查(10) 函数的奇偶性与周期性 128 开卷速查(11) 幂函数与二次函数 129 开卷速查(12) 指数与指数函数 130 开卷速查(13) 对数与对数函数 131 开卷速查(14) 函数的图像 132 开卷速查(15) 函数与方程 133 开卷速查(16) 函数的应用 135 开卷速查(17) 变化率与导数、导数的计算 136 开卷速查(18) 导数的应用(一)137 开卷速查(19) 导数的应用(二)139 开卷速查(20) 定积分与微积分基本定理 140 开卷速查(21) 任意角、弧度制及任意角的三角函数 142 开卷速查(22) 同角三角函数的基本关系与诱导公式 143 开卷速查(23) 三角函数的图像与性质 144 开卷速查(24) 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像及应用 145 开卷速查(25) 简单的三角恒等变换 146 开卷速查(26) 正弦定理和余弦定理 148 开卷速查(27) 解三角形应用举例 149 开卷速查(28) 平面向量的概念及线性运算 151 开卷速查(29) 平面向量基本定理及坐标运算 152 开卷速查(30) 平面向量的数量积及应用 153 开卷速查(31) 复 数 154 开卷速查(32) 数列的概念与简单表示法 155 开卷速查(33) 等差数列及其前 n 项和 157 开卷速查(34) 等比数列及其前 n 项和 158 开卷速查(35) 数列求和 159 开卷速查(36) 数列的综合应用 160 开卷速查(37) 合情推理与演绎推理 162 开卷速查(38) 直接证明与间接证明 163 开卷速查(39) 数学归纳法 164 开卷速查(40) 算法初步与算法案例 165 开卷速查(41) 空间几何体的结构、三视图和直观图 167 开卷速查(42) 空间几何体的表面积和体积 168 开卷速查(43) 空间点、直线、平面之间的位置关系 169 开卷速查(44) 直线、平面平行的判定与性质 170 开卷速查(45) 直线、平面垂直的判定与性质 172 开卷速查(46) 空间向量及其运算 173 开卷速查(47) 立体几何中的向量方法(Ⅰ)——证 明平行与垂直 175 开卷速查(48) 立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求 空间角、距离 176 开卷速查(49) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 179 开卷速查(50) 两条直线的位置关系、距离公式 180

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开卷速查(51) 开卷速查(52) 开卷速查(53) 开卷速查(54) 开卷速查(55) 开卷速查(56) 开卷速查(57) 开卷速查(58) 开卷速查(59) 开卷速查(60) 开卷速查(61) 原理 195 开卷速查(62) 开卷速查(63) 开卷速查(64) 开卷速查(65) 开卷速查(66) 开卷速查(67) 开卷速查(68) 开卷速查(69) 布 205

圆的方程 181 直线与圆、圆与圆的位置关系 183 椭 圆 184 双曲线 186 抛物线 187 曲线与方程 189 圆锥曲线的综合问题 191 随机抽样 193 用样本估计总体 193 变量间的相关关系、统计案例 194 分类加法计数原理与分步乘法计数 排列与组合 196 二项式定理 197 随机事件的概率 198 古典概型 200 几何概型 201 离散型随机变量及其分布列 202 二项分布及其应用 203 离散型随机变量的均值与方差、正态分

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高考进行时 一轮总复习· 数学(新课标通用 A 版· 理)· · · · 答案与导解 答案与导解 考点调查 360° 第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合的概念与运算 教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 错误! 学情自测 1.解析:∵a=2 2?N,∴a?M,故选 D. 答案:D 2.解析:由已知 x 是正方形,则 x 必是矩形,所以 C?B,故选 B. 答案:B 3.解析:由题意知?UA={0,4},又 B={2,4},故(?UA)∪B={0,2,4},故选 C. 答案:C 4.解析:由题意得 P=M∩N={1,3},所以 P 的子集为?,{1},{3},{1,3},共 4 个, 故选 B. 答案:B 5.解析:∵M={-1,0,1},N={0,-1},∴N M,故选 B. 答案:B 核心考点 引领通关———————————————— 【例 1】 解析:因为 B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},所以 x>y.x=5?y=1,2,3,4; x=4?y=1,2,3;x=3?y=1,2;x=2?y=1,所以 B 中有 4+3+2+1=10 个元素,故选 D. 答案:D 通关训练 1 解析:由题意,得 B={2,3,4,5,6,7,8,9,10},故 B 中元素之和为 2+3+4+? 9?2+10? +10= =54. 2 答案:54 【例 2】 解析:当 B=?时,有 m+1≥2m-1,则 m≤2. 当 B≠?时,若 B?A,如图. m+1≥-2, ? ? 则?2m-1≤7, 解得 2<m≤4. ? ?m+1<2m-1, 综上,m 的取值范围为 m≤4,故选 D. 答案:D 通关训练 2 解析:由 log2x≤2,得 0<x≤4, 即 A={x|0<x≤4}, 而 B=(-∞,a), 由于 A?B,如图所示,则 a>4,即 c=4. 答案:4 【例 3】 解析:∵P={x|(x+1)(x-2)≤0}=[-1,2], Q={x|0<x-1≤2}=(1,3], ∴?RP=(-∞,-1)∪(2,+∞). ∴(?RP)∩Q=(2,3],故选 C. 答案:C

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3 通关训练 3 (1)解析:由 3-2x≥0,得 x≤ , 2 3 3 即 M={x|x≤ },故?RM={x|x> }. 2 2 x x 由 2 >0,得 3-2 <3,即 N={y|y<3}. 因此题图中阴影部分表示的集合是 3 (?RM)∩N={x| <x<3},故选 B. 2 答案:B (2)解析:M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈R} ={y|y=|cos2x|,x∈R} ={y|0≤y≤1}, x N={x|| |<1,x∈R} i ={x||xi|<1,x∈R} ={x||x|<1}={x|-1<x<1}, ∴M∩N=[0,1),故选 C. 答案:C 【例 4】 解析:不妨设 1∈T,则对于?a,b∈T,∵?a,b,c∈T,都有 abc∈T,不 妨令 c=1,则 ab∈T,故 T 关于乘法是封闭的,故 T、V 中至少有一个关于乘法是封闭的; 若 T 为偶数集,V 为奇数集,则它们符合题意,且均是关于乘法是封闭的,从而 B、C 错误; 若 T 为非负整数集,V 为负整数集,显然 T、V 是 Z 的两个不相交的非空子集,T∪V=Z, 且?a,b,c∈T,有 abc∈T,?x,y,z∈V,有 xyz∈V,但是对于?x,y∈V,有 xy>0,xy ?V,D 错误.故选 A. 答案:A 通关训练 4 解析:①中,-4+(-2)=-6?A,所以不正确; ②中设 n1,n2∈A,n1=3k1,n2=3k2,k1,k2∈Z,则 n1+n2∈A,n1-n2∈A,所以②正 确; ③令 A1={n|n=5k,k∈Z},A2={n|n=2k,k∈Z},则 A1,A2 为闭集合,但 A1∪A2 不是 闭集合,所以③不正确. 答案:② 考题调研 成功体验———————————————— 1.解析:当 x=0,y=2 时,x-y=-2; 当 x=0,y=1 时,x-y=-1; 当 x=y 时,x-y=0; 当 x=1,y=0 时,x-y=1; 当 x=2,y=0 时,x-y=2; 当 x=2,y=1 时,x-y=1. 所以,B={-2,-1,0,1,2},故选 C. 答案:C 2.解析:由题意,得 zi=4,所以 z=-4i,故选 C. 答案:C 3.解析:∵A={x|x<0 或 x>2},B={x|- 5<x< 5}. ∴A∪B=R,故选 B. 答案:B 4.解析:由(x-1)2<4,得 x2-2x-3<0,-1<x<3. 故 M={x|-1<x<3}.又 N={-1,0,1,2,3}, 得 M∩N={0,1,2},故选 A. 答案:A 5.解析:T={x|-4≤x≤1},?RS={x|x≤-2},(?RS)∪T={x|x≤1}=(-∞,1],故选 C.

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答案:C 1? x 2 6 . 解析: 由题意知集合 A = {x| ? ?2? ≤1} = {x|x≥0} ,集合 B = {x|x - 6x + 8≤0} = {x|2≤x≤4},?RB={x|x<2 或 x>4}. 因此 A∩(?RB)={x|0≤x<2 或 x>4},故选 C. 答案:C 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 10 必要条件 11 充要条件 答案:□ □ 学情自测 1 1 1.解析:由 = 得 x=y,A 正确,易知 B、C、D 错误,故选 A. x y 答案:A 2.解析:以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题,即“若 α π π = ,则 tanα=1”的逆否命题是“若 tanα≠1,则 α≠ ”,故选 C. 4 4 答案:C 3.解析:由 A?B,得 A∩B=A;反过来,由 A∩B=A,且(A∩B)?B,得 A?B,因此, “A?B”是“A∩B=A”成立的充要条件,故选 C. 答案:C 4.解析:原命题的条件:在△ABC 中,∠C=90° , 结论:∠A、∠B 都是锐角.否命题是否定条件和结论. 即“在△ABC 中,若∠C≠90° ,则∠A、∠B 不都是锐角”. 答案:“在△ABC 中,若∠C≠90° ,则∠A、∠B 不都是锐角” 2 5.解析:①由 2>-3A/?2 >(-3)2 知,该命题为假;②由 a2>b2?|a|2>|b|2?|a|>|b| 知,该命题为真;③a>b?a+c>b+c,又 a+c>b+c?a>b, ∴“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件为真命题. 答案:②③ 核心考点 引领通关———————————————— 【例 1】 解析:命题“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是增函数,则 m≤1”是真命 题,所以其逆否命题“若 m>1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真命题. 答案:D 通关训练 1 解析:对于①,若 log2a>0=log21,则 a>1,所以函数 f(x)=logax 在其定 义域内是增函数,故①不正确;对于②,依据一个命题的否命题的定义可知,该说法正确; 对于③,原命题的逆命题是“若 x+y 是偶数,则 x、y 都是偶数”,是假命题,如 1+3=4 是偶数,但 3 和 1 均为奇数,故③不正确;对于④,不难看出,命题“若 a∈M,则 b?M” 与命题“若 b∈M,则 a?M”是互为逆否命题,因此二者等价,所以④正确.综上可知正确 的说法有②④. 答案:②④ 【例 2】 解析:对于 A,由 y=x2+mx+m+3 有两个不同的零点,可得 Δ=m2-4(m+ 3)>0,从而可得 m<-2 或 m>6.所以 p 是 q 的必要不充分条件; f?-x? f?-x? 对于 B, 由 =1?f(-x)=f(x)?y=f(x)是偶函数, 但由 y=f(x)是偶函数不能推出 f?x? f?x? =1,例如函数 f(x)=0,所以 p 是 q 的充分不必要条件; 对于 C,当 cosα=cosβ=0 时,不存在 tanα=tanβ,反之也不成立,所以 p 是 q 的既不充 分也不必要条件; 对于 D,由 A∩B=A,知 A?B,所以?UB??UA; 反之,由?UB??UA,知 A?B,即 A∩B=A.

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所以 p?q. 综上所述,p 是 q 的充分必要条件的是 D 选项. 答案:D 通关训练 2 解析:对于①,当数列{an}为等比数列时,易知数列{anan+1}是等比数列, 但当数列{anan+1}为等比数列时,数列{an}未必是等比数列,如数列 1,3,2,6,4,12,8 显然不是等 比数列,而相应的数列 3,6,12,24,48,96 是等比数列,因此①正确;对于②,当 a≤2 时,函数 f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上是增函数,因此②不正确;对于③,当 m=3 时,相应的两条 直线互相垂直,反之,这两条直线垂直时,不一定有 m=3,也可能 m=0.因此③不正确;对 b sinB 1 于④,由题意得 = = 3,若 B=60° ,则 sinA= ,注意到 b>a,故 A=30° ,反之,当 a sinA 2 3 A=30° 时,有 sinB= ,由于 b>a,所以 B=60° 或 B=120° ,因此④正确.综上所述,真 2 命题的序号是①④. 答案:①④ 【例 3】 解析:方法一:由 q:x2-2x+1-m2≤0, 得 1-m≤x≤1+m, ∴綈 q:A={x|x>1+m 或 x<1-m,m>0}, x-1 由 p:|1- |≤2,解得-2≤x≤10, 3 ∴綈 p:B={x|x>10 或 x<-2}. ∵綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件. m>0, ? ? ∴A B,∴?1-m<-2, ? ?1+m≥10, 即 m≥9 或 m>9. ∴m≥9. 方法二:∵綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件, ∴p 是 q 的充分而不必要条件, 由 q:x2-2x+1-m2≤0,得 1-m≤x≤1+m, ∴q:Q={x|1-m≤x≤1+m}, x-1 由 p:|1- |≤2,解得-2≤x≤10, 3 ∴p:P={x|-2≤x≤10}. ∵p 是 q 的充分而不必要条件, m>0, ? ? ∴P Q,∴?1-m<-2, ? ?1+m≥10, m>0, ? ? 或?1-m≤-2, ? ?1+m>10, m>0, ? ? 或?1-m≤-2, ? ?1+m>10,

即 m≥9 或 m>9.∴m≥9. 答案:m≥9 通关训练 3 解析:由题意,得 B={x|(x-2)[x-(3a+1)]≤0}, 1 ①当 a≥ 时,B={x|2≤x≤3a+1}; 3 1 ②当 a< 时,B={x|3a+1≤x≤2}. 3

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? ?a≥3, 因为 p 是 q 的充分条件,所以 A?B,于是有? a +1≤3a+1, ?2a≥2, ?
2

1

解得 1≤a≤3.

? ?a<3, 或? a +1≤2, ? ?2a≥3a+1,
2

1

解得 a=-1.

故 a 的取值范围是{a|1≤a≤3 或 a=-1}. 答案:{a|1≤a≤3 或 a=-1}. 考题调研 成功体验———————————————— 1.解析:由 q?綈 p 且綈 pA/?q 可得 p?綈 q 且綈 qA/?p,所以 p 是綈 q 的充分不必 要条件. 答案:A 2.解析:当 a=3 时 A={1,3}显然是 B 的子集,但 A?B 时,a=3 或者 a=2,故为充分 不必要条件. 答案:A 3.解析:当 φ=π 时,y=sin(2x+φ)=sin(2x+π)=-sin2x,过原点,当 φ=2π 也满足题 意,故答案为充分不必要条件. 答案:A π π π 4.解析:若 f(x)是奇函数,则 φ=kπ+ (k∈Z),φ 不一定等于 ;反之,若 φ= ,则 f(x) 2 2 2 π π ? =Acos? ?ωx+2?=-Asinωx 为奇函数,所以“f(x)是奇函数”是“φ=2”的必要不充分条件, 故选 B. 答案:B 5.解析:当 a=0,f(x)=|x|显然成立,当 a≠0,f(x)=|(ax-1)x|=|ax2-x|,令 ax2-x=0, 1 解得 x1=0,x2= ,当 a<0,f(x)的图像如下图. a

当 a>0,f(x)的图像如下图.

由以上两图可知,选 C. 答案:C 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

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教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 错误! 学情自测 π 1.解析:当 x=1 时,lgx=0;当 x= 时,tanx=1,所以 A、B 均为真命题,显然 D 为 4 真命题.当 x=0 时,x3=0,所以 C 为假命题,故选 C. 答案:C 2.解析:∵命题 p 为真命题,q 为假命题,∴p 或 q,綈 q 为真命题,故选 B. 答案:B 3.解析:由于特殊命题的否定是全称命题,因而綈 p 为?n∈N,2n≤1 000,故选 A. 答案:A 3 a 2x -a 4.解析:∵f′(x)=2x- 2= 2 ,∴A、B 不正确.在 C 中,当 a=0 时,f(x)=x2 是 x x 偶函数,C 正确.显然 f(x)不是奇函数,D 不正确,故选 C. 答案:C 5.解析:“?x∈R 有 x2-mx-m<0”是假命题,则“?x∈R 有 x2-mx-m≥0”是真 命题,即 Δ=m2+4m≤0,所以-4≤m≤0. 答案:[-4,0] 核心考点 引领通关———————————————— - 【例 1】 解析:令 u=1-ax,则 u=1-ax 是减函数,所以 y=21 ax 在 R 上是减函数, p 为真命题. 对于命题 q:由 x2<1,得-1<x<1,故 x<a,则“x2<1”是“x<a”(1<a<2)的充分 不必要条件. 因此 q 为真命题, 綈 p、 綈 q 均为假命题, 所以 p∨q 为真, p∧q 为真; 綈 p∧q 为假, (綈 p)∨(綈 q)为假. 答案:A + 通关训练 1 解析:函数 y=2-ax 1 恒过定点(-1,1),所以命题 p 为假;若函数 f(x-1) 为偶函数,所以有 f(-x-1)=f(x-1),关于直线 x=-1 对称,所以命题 q 为假;所以綈 p 为真,綈 q 为真,綈 p∧綈 q 为真,故选 B. 答案:B 【例 2】 解析:由 f(x)=ax2+bx+c,知 f′(x)=2ax+b. 依题意 f′(x0)=0.又 a>0,所以 f(x)在 x=x0 处取得极小值. 因此,对?x∈R,f(x)≥f(x0),C 为假命题,故选 C. 答案:C 通关训练 2 解析:当 m=0 时,f(x)=x2 是偶函数,故 A 正确. 因为 y=x2 是偶函数,所以 f(x)=x2+mx 不可能是奇函数,故 B 错. 当 m=1 时,f(x)=x2+x 是非奇非偶函数,故 C、D 错,故选 A. 答案:A 1 【例 3】 答案:(1)綈 p:?x0∈R,x2 0-x0+ <0,假命题. 4 (2)綈 q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题. (3)綈 r:?x∈R,x2+2x+2>0,真命题. (4)綈 s:?x∈R,x3+1≠0,假命题. 通关训练 3 解析:命题“所有不能被 2 整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个不 能被 2 整除的整数不是奇数”,故选 D. 答案:D

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【例 4】 解析:∵函数 y=cx 在 R 上单调递减, ∴0<c<1,即 p:0<c<1. ∵c>0 且 c≠1,∴綈 p:c>1. 1 ? 又∵f(x)=x2-2cx+1 在? ?2,+∞?上为增函数, 1 1 ∴c≤ .即 q:0<c≤ . 2 2 1 ∵c>0 且 c≠1,∴綈 q:c> 且 c≠1. 2 又∵“p∨q”为真,“p∧q”为假, ∴p 真 q 假或 p 假 q 真. 1 1 ①当 p 真,q 假时,{c|0<c<1}∩{c|c> 且 c≠1}={c| <c<1}; 2 2 1 ②当 p 假,q 真时,{c|c>1}∩{c|0<c≤ }=?. 2 1 综上所述,实数 c 的取值范围是{c| <c<1}. 2 1 答案:{c| <c<1} 2 ?Δ1=4m2-4>0, ? 通关训练 4 解析:由? 得 m<-1,故 p:m<-1; ?x1+x2=-2m>0, ? 由 Δ2=4(m-2)2-4(-3m+10)<0,知-2<m<3,故 q:-2<m<3. 由 p∨q 为真,p∧q 为假可知,命题 p,q 一真一假, ?m<-1, ? 当 p 真 q 假时,? 此时 m≤-2; ? ?m≥3或m≤-2,
? ?m≥-1, 当 p 假 q 真时,? 此时-1≤m<3. ?-2<m<3, ? 所以实数 m 的取值范围是{m|m≤-2,或-1≤m<3}. 答案:{m|m≤-2,或-1≤m<3} 考题调研 成功体验———————————————— 1.解析:命题 p 为全称命题,全称命题的否定是特称命题,故选 D. 答案:D 2.解析:全称命题的否定是一个特称命题(存在性命题),故选 D 项. 答案:D 3.解析:该命题为存在性命题,其否定为“对任意实数 x,都有 x≤1”. 答案:C 4.解析:该特称命题的否定为“?x∈?RQ,x3?Q”. 答案:D 1?x ?1?x 1 1 5.解析:对于 p1:∵x∈(0,+∞), > ,∴? ?2? >?3? ,故 p1 为假命题;对于 p3;x 2 3 1 1?1 11 = ,? < 1 = log ,故 p3 为假命题.正确的命题有 p2,p4. 2 2 ? ?2 22 答案:D

第二章 不等式 第一节 不等关系与不等式 教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 10 > 11 < 12 > 13 > 14 > 15 > 16 < 答案:□ □ □ □ □ □ □ 学情自测

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1.解析:若 a< b,则( a)2<( b)2,即 a<b,选 D. 答案:D 2.解析:∵a<0,ay>0,∴y<0,-y>0. 又∵x+y>0,∴x>-y>0,∴x-y>0,选 A. 答案:A 3.解析:∵c>d,∴由“a>b”不能推出“a-c>b-d”.若 a-c>b-d,c>d,则(a -c)+c>(b-d)+d,即 a>b,选 B. 答案:B 1?x ?1?a<?1?b,选 4.解析:由函数 f(x)=? 在 R 上单调递减,且 a > b ,得 f ( a ) < f ( b ) ,即 2 ? ? ?2? ?2? D. 答案:D 5.解析:当 c=0 时,命题①不成立;若 ac2>bc2,则 c2>0,从而 a>b,命题②正确; 又 2c>0,故由 a>b 可得 a· 2c>b· 2c,命题③正确,故填②③. 答案:②③ 核心考点 引领通关———————————————— 【例 1】 解析:(1)(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y). ∵x<y<0,∴xy>0,x-y<0. ∴-2xy(x-y)>0. ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y). a+b (2)∵a>0,b>0,∴aabb>0,(ab) >0. 2 a b a+b a+b a-b b-a ?a?a-b ab ∴ =aa- bb- =a b =?b? . 2 2 2 2 2 a+b ?ab? 2 a?a-b a 若 a>b>0,则 a-b>0, >1,? ?b? 2 >1, b a?a-b a 若 b>a>0,则 a-b<0,0< <1,? ?b? 2 >1. b a+b 综上,aabb>(ab) . 2 答案:(1)(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y); a+b (2)aabb>(ab) . 2 S3 S5 S3 S 5 通关训练 1 解析:(1)当 q=1 时, =3, =5,故 < ; a3 a5 a3 a 5 3 5 a ? 1 - q ? a ? 1 - q ? q2?1-q3?-?1-q5? q2-1 S3 S5 1 1 当 q>0 且 q≠1 时, - = 2 - 4 = = =- a3 a5 a1q ?1-q? a1q ?1-q? q4?1-q? q4?1-q? q+1 S3 S5 4 <0,故 < . q a3 a5 S3 S5 综上, < . a3 a5 a?a-b aabb - - (2) b a=aa bbb a=? ?b? . ab a?a-b a 当 a>b>0 时, >1,a-b>0,故? ?b? >1; b a?a-b a 当 b>a>0 时,0< <1,a-b<0,故? ?b? >1. b 综上,aabb>abba. S3 S5 答案:(1) < ;(2)aabb>abba. a3 a5

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【例 2】 解析:∵a>0>b,c<d<0, ∴ad<0,bc>0,ad<bc,故①不成立. a b ac+bd + = . d c cd 由 c<d<0,得 cd>0. 由 0>b>-a,得 a>-b>0. 由 c<d<0,得-c>-d>0. 所以-ac>bd,即 ac+bd<0. a b ac+bd 故 + = <0,故②成立. d c cd ∵a>b,-c>-d, ∴a-c>b-d,故③成立. 由 c<d<0,得 d-c>0. 又 a>b,故 a(d-c)>b(d-c),即④成立. 综上,②③④成立,选 C. 答案:C 1 1 通关训练 2 解析:由 a>b>1>0,得 0< < . a b c c 又 c<0,故 > ,即①正确; a b 由幂函数 y=xc(c<0)在(0,+∞)上单调递减,且 a>b>1, 知 ac<bc,即②正确; 由 a>b>1,c<0,得 a-c>b-c>0. 由对数函数 y=logbx 在(0,+∞)上单调递增, 知 logb(a-c)>logb(b-c). 又 logb(b-c)>loga(b-c), 故 logb(a-c)>loga(b-c),即③正确,选 D. 答案:D 【例 3】 解析:f(-1)=a-b,f(1)=a+b,f(-2)=4a-2b. ?1≤a-b≤2, ? 由题意,得? ? ?2≤a+b≤4. 方法一:设 m(a-b)+n(a+b)=4a-2b, ?m+n=4, ?m=3, ? ? 则? 解得? ? ? ?n-m=-2. ?n=1. 故 f(-2)=3(a-b)+(a+b). ∵3≤3(a-b)≤6,2≤a+b≤4,∴5≤3(a-b)+(a+b)≤10. 即 5≤f(-2)≤10. ∴f(-2)的取值范围是[5,10]. ? ?1≤a-b≤2, 方法二:画出不等式组? 表示的平面区域,如图中阴影部分. ?2≤a+b≤4 ?

t 令 4a-2b=t,则 b=2a- . 2

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?a-b=1, ? 由? 解得 ?a+b=2 ?

?a=2, ? 1 ?b=2,

3

3 1? 故 A? ?2,2?.

? ? ?a-b=2, ?a=3, 由? 解得? 故 B(3,1). ?a+b=4 ?b=1, ? ? 作出直线 l0:b=2a,如图. t 3 1 平移直线 l0,当 l0 过点 A 时,- 取得最大值,t 取得最小值,tmin=4× -2× =5;当 2 2 2 t l0 过点 B 时,- 取得最小值,t 取得最大值,tmax=4×3-2×1=10,故 t∈[5,10],即 f(-2) 2 的取值范围是[5,10]. 答案:[5,10] 通关训练 3 解析:设 x+3y=m(x+y)+n(x+2y), ? ? ?m+n=1, ?m=-1, 则? 解得? ?m+2n=3, ?n=2. ? ? 所以 x+3y=-(x+y)+2(x+2y). ? ? ?-1≤x+y≤1, ?-1≤-?x+y?≤1, 由? 得? ?1≤x+2y≤3, ?2≤2?x+2y?≤6. ? ? 所以 1≤-(x+y)+2(x+2y)≤7,即 1≤x+3y≤7. 故 x+3y 的取值范围是[1,7]. 答案:[1,7] 考题调研 成功体验———————————————— 1.解析:A 项中,若 c 小于等于 0 则不成立;B 项中,若 a 为正数 b 为负数则不成立; C 项中,若 a,b 均为负数则不成立.故选 D. 答案:D 1 1 2.解析:因为 < <0,所以可取 a=-1,b=-2. a b 1 1 1 1 =- , = ,故①成立; 3 ab 2 a+b 又|a|+b=1-2=-1<0,故②错误; 1 1 3 又 a- =0,b- =- <0,故③成立; a b 2 又 lna2=0,lnb2=ln22>0,故④错误,选 C. 答案:C 3.解析:①a2-2a+3=(a-1)2+2>0; ②a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0; ③a5-a3b2+b5-a2b3=a3(a2-b2)+b3(b2-a2)=(a2- b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2), 若 a=b,则上式=0,不成立; 1 ④若 a<0,则 a+ <0. a ∴①②一定成立,故选 C. 答案:C a b 4.解析:由 2> 2可知 c2>0, c c a 2 b 2 ∴ 2· c > 2· c ,即 a>b,∴①正确. c c 3 3 由 a >b ,ab>0,可得

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1 1 a>b>0 或 b<a<0,∴ < ,∴②正确. a b 由 a2>b2,ab>0 可得 a>b>0 或 a<b<0, 1 1 1 1 a>b>0 时, < ,但 a<b<0 时, > ,故③不正确. a b a b ∵0<a<b<1,∴loga(1+a)>logb(1+a). 1 又∵logb(1+a)-logb =logb(1-a2)>0, 1-a 1 ∴logb(1+a)>logb , 1-a 1 ∴loga(1+a)>logb ,故④正确,故选 C. 1-a 答案:C 第二节 一元二次不等式及其解法 教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 10 ?x-a??x-b?<0 答案:□
??x-a??x-b?≥0, ??x-a??x-b?≤0, ? ? 11 ? 12 ? □ □ ? ? ?x-b≠0 ?x-b≠0 学情自测 1.解析:∵(x-1)(x-2)<0,∴1<x<2,故原不等式的解集为(1,2),故选 D 项. 答案:D 2.解析:∵2x2-x-1=(x-1)(2x+1)>0, 1 ∴x>1 或 x<- , 2 1? 故原不等式的解集为? ?-∞,-2?∪(1,+∞),故选 D. 答案:D 3.解析:∵9x2+6x+1=(3x+1)2≥0, 1 ∴9x2+6x+1≤0 的解集为{x|x=- },故选 B 项. 3 答案:B 1 4.解析:∵x=-2, 是方程 ax2+bx-2=0 的两根, 4

2 1 1 =?-2?× =- , ?- a 4 2 ∴? b 7 ?-a=-4, ∴ab=28,故选 C. 答案:C

∴a=4,b=7,

?a>0, ?a>0, ? ? 5. 解析: 当 a=0 时, 不等式为 1≥0 恒成立; 当 a≠0 时, 须? 即? 2 ?Δ≤0, ?4a -4a≤0, ? ? 所以 0<a≤1. 综上 0≤a≤1. 答案:[0,1] 核心考点 引领通关———————————————— 【例 1】 解析:(1)因为不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b},所以 x1=1 与 x2=b 是方程 ax2-3x+2=0 的两个实数根,b>1 且 a>0.

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?1+b=a, 由根与系数的关系,得? 2 ?1×b=a.

3

?a=1, ? 解得? ?b=2. ?

(2)不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0, 即 x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0. 当 c>2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|2<x<c}; 当 c<2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|c<x<2}; 当 c=2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为?. 所以,当 c>2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为 {x|2<x<c}; 当 c<2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|c<x<2}; 当 c=2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为?. 答案:(1)a=1,b=2 (2)当 c>2 时,解集为{x|2<x<c};当 c<2 时,解集为{x|c<x<2};当 c=2 时,解集为 ?. a?? a? 通关训练 1 解析:(1)由 12x2-ax-a2>0?(4x+a)(3x-a)>0?? ?x+4??x-3?>0, a a a a ①a>0 时,- < ,解集为{x|x<- 或 x> }; 4 3 4 3 2 ②a=0 时,x >0,解集为{x∈R 且 x≠0}; a a a a ③a<0 时,- > ,解集为{x|x< 或 x>- }. 4 3 3 4 a?x-1? ?a-1?x+2-a (2) -1>0? >0?[(a-1)x+2-a](x-2)>0. x-2 x-2 ①当 a=1 时,不等式的解为 x>2. a-2 ②当 a≠1 时,关键是比较 与 2 的大小. a-1 a-2 -a a-2 ∵ -2= ,又 a>0,∴当 a<1 时, >2, a-1 a-1 a-1 a-2 不等式的解为 2<x< ; a-1 a-2 当 a>1 时, <2, a-1 a-2 不等式的解为 x< 或 x>2. a-1 a-2 综上所述,当 0<a<1 时,原不等式的解集为{x|2<x< };当 a=1 时,原不等式的 a-1 解集为{x|x>2}; a-2 当 a>1 时,原不等式的解集为{x|x< 或 x>2}. a-1 a a 答案:(1)①a>0 时,解集为{x|x<- 或 x> }; 4 3 ②a=0 时,解集为{x∈R 且 x≠0}; a a ③a<0 时,解集为{x|x< 或 x>- }. 3 4 a-2 (2)当 0<a<1 时,解集为{x|2<x< }; a-1 当 a=1 时,解集为{x|x>2};

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a-2 或 x>2}. a-1 【例 2】 解析:(1)∵x∈R 时,有 x2+ax+3-a≥0 恒成立,须 Δ=a2-4(3-a)≤0,即 2 a +4a-12≤0,所以-6≤a≤2. (2)当 x∈[-2,2]时,设 g(x)=x2+ax+3-a≥0,分如下三种情况讨论(如图所示): 当 a>1 时,解集为{x|x<

(1)

(2)

(3) ①如图(1),当 g(x)的图像恒在 x 轴上方时,满足条件时,有 Δ=a2-4(3-a)≤0,即- 6≤a≤2. ②如图(2),g(x)的图像与 x 轴有交点, Δ≥0, ? ? a 但在 x∈[-2,+∞)时,g(x)≥0,即?x=-2<-2, ? ?g?-2?≥0,

? ? a 即?-2<-2, ? ?4-2a+3-a≥0

a2-4?3-a?≥0,

a≥2或a≤-6, ? ?a>4, ?? 7 ? ?a≤3,

解之得 x∈?. ③如图(3),g(x)的图像与 x 轴有交点, 但在 x∈(-∞,2]时,g(x)≥0,

? ? a 即?x=-2>2, ? ?g?2?≥0,

Δ≥0,

? ? a 即?-2>2, ? ?7+a≥0

a2-4?3-a?≥0,

a≥2或a≤-6, ? ? ??a<-4, ? ?a≥-7.

∴-7≤a≤-6. 综合,得-7≤a≤2. (3)令 h(a)=xa+x2+3, 当 a∈[4,6]时,h(a)≥0 恒成立. 2 ? ? ?h?4?≥0, ?x +4x+3≥0, 只需? 即? 2 ?h?6?≥0, ?x +6x+3≥0, ? ? 解之得 x≤-3- 6或 x≥-3+ 6. 答案:(1)-6≤a≤2;(2)-7≤a≤2;

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(3)x≤-3- 6或 x≥-3+ 6. 通关训练 2 解析: (1)对所有实数 x, 都有不等式 mx2-2x+m-2<0 恒成立, 即函数 f(x) 2 =mx -2x+m-2 的图像全部在 x 轴下方, 当 m=0 时,-2x-2<0,显然对任意 x 不能恒成立; 当 m≠0 时,由二次函数的图像可知有 ?m<0, ? ? 解得 m<1- 2, ?Δ=4-4m?m-2?<0, ? 综上可知 m 的取值范围是(-∞,1- 2). (2)设 g(m)=(x2+1)m-2x-2,它是一个以 m 为自变量的一次函数,由 x2+1>0 知 g(m) 在[-2,2]上为增函数, 则由题意只需 g(2)<0 即可, 即 2x2+2-2x-2<0,解得 0<x<1. 即 x 的取值范围是(0,1). 答案:(1)(-∞,1- 2);(2)(0,1). 【例 3】 解析: (1)由题意得 y=[12(1+0.75x)-10(1+x)]×10 000×(1+0.6x)(0<x<1), 整理得 y=-6 000x2+2 000x+20 000(0<x<1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,必须有 ?y-?12-10?×10 000>0, ?-6 000x2+2 000x>0, ? ? ? 即? ? ? ?0<x<1, ?0<x<1, 1 解得 0<x< , 3 1? 所以投入成本增加的比例应在? ?0,3?范围内. 1 0, ?. 答案:(1)y=-6 000x2+2 000x+20 000(0<x<1);(2)? ? 3? 通关训练 3 解析:(1)由题意得 x? 8 ? y=100? 100? ?1-10?· ?1+50x?. x 1- ?-80≥0. 因为售价不能低于成本价,所以 100? ? 10? 所以 y=f(x)=20(10-x)(50+8x),定义域为[0,2]. (2)由题意得 20(10-x)(50+8x)≥10 260, 化简得 8x2-30x+13≤0. 1 ? 1 13 解得 ≤x≤ ,所以 x 的取值范围是? ?2,2?. 2 4 答案:(1)y=f(x)=20(10-x)(50+8x),定义域为[0,2]; 1 ? (2)? ?2,2?. 考题调研 成功体验———————————————— 1.解析:∵|x|2-3|x|-4>0,∴(|x|-4)(|x|+1)>0, ∴|x|>4,x>4 或 x<-4,选 A 项. 答案:A 2.解析:①当 a=1 时,原不等式化为-1<0,恒成立,故 a=1 符合题意. ②当 a=-1 时,原不等式化为 2x-1<0,不恒成立,∴a=-1 不合题意. ③当 a2-1≠0 时,依题意,有 2 ? ?a -1<0,
? 2 2 ?Δ=[-?a-1?] +4?a -1?<0. ?

3 解得- <a<1. 5

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a2 3.解析:因为 f(x)的值域为[0,+∞),所以 Δ=0,即 a2=4b,所以 x2+ax+ -c<0 4 a2 2 的解集为(m,m+6),易得 m,m+6 是方程 x +ax+ -c=0 的两根,由一元二次方程根与 4 2m+6=-a, ? ? 系数的关系得? 解得 c=9. a2 m ? m + 6 ? = -c, ? 4 ? 答案:9 1 4.解析:显然 a=1 不能使原不等式对 x>0 恒成立,故 a≠1 且当 x1= ,a≠1 时原 a-1 不等式成立.对于 x2-ax-1=0,设其两根为 x2,x3,且 x2<x3,易知 x2<0,x3>0.当 x>0 1 3 时,原不等式恒成立,故 x1= 满足方程 x2-ax-1=0,代入解得 a= 或 a=0(舍去). 2 a-1 3 答案: 2 3 x2 ? 5.解析:依据题意得 2-1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-1+4(m2-1)在 x∈? ?2,+∞?上恒成 m 立, 3 1 3 2 ,+∞?上恒成立. 即 2-4m2≤- 2- +1 在 x∈? 2 ? ? m x x 3 2 ? 1 即 2-4m2≤? ?-x2-x+1?min. m 3 3 2 5 当 x= 时函数 y=- 2- +1 取得最小值- , 2 x x 3 1 5 所以 2-4m2≤- ,即(3m2+1)(4m2-3)≥0, m 3 3 3 解得 m≤- 或 m≥ . 2 2 3 3 答案:?-∞,- ?∪? ,+∞? 2? ?2 ? ? 第三节 基本不等式 教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 p2 10 答案:□ 4 学情自测 1 1.解析:∵x>0,∴y=x+ ≥2,当且仅当 x=1 时取等号. x 答案:C 2.解析:∵m>0,n>0,∴m+n≥2 mn=18.当且仅当 m=n=9 时,等号成立. 答案:A 1 1 9 3 1 3.解析:由 x(3-3x)= ×3x(3-3x)≤ × = ,当且仅当 3x=3-3x,即 x= 时等号成 3 3 4 4 2 立. 答案:B 4 4 4.解析:x+ =x-1+ +1≥4+1=5. x-1 x-1

3 综合①②③可知,a 的取值范围是- <a≤1. 5 答案:D

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4 当且仅当 x-1= ,即 x=3 时等号成立. x-1 答案:5 5.解析:由已知条件 lgx+lgy=1,可知 xy=10. 2 5? 2 5 10 则 + ≥2 =2,故? ?x+y?min=2,当且仅当 2y=5x 时取等号.又 xy=10,即 x=2, x y xy y=5 时等号成立. 答案:2 核心考点 引领通关———————————————— 【例 1】 解析:(1)∵x<0,∴-x>0, 4 4 ∴f(x)=2+ +x=2-?-x+?-x??. x ? ? 4 4 ∵- +(-x)≥2 4=4,当且仅当-x= , x -x 即 x=-2 时等号成立. 4 ∴f(x)=2-?-x+?-x??≤2-4=-2, ? ? ∴f(x)的最大值为-2. (2)∵x>0, 2x 2 2 ∴f(x)= 2 = ≤ =1, 1 2 x +1 x+ x 1 当且仅当 x= ,即 x=1 时取等号. x 答案:(1)-2 (2)1 通关训练 1 解析:(1)∵x>0,a>2x, 1 ∴y=x(a-2x)= ×2x(a-2x) 2 1 ?2x+?a-2x??2 ≤ × 2 ? 2 ? a2 = , 8 a a2 当且仅当 x= 时取等号,故函数的最大值为 . 4 8 (2)∵x>-1,∴x+1>0. 设 x+1=z>0,则 x=z-1, ?z+4??z+1? z2+5z+4 ∴y= = z z 4 4 =z+ +5≥2 z·+5=9. z z a2 答案:(1) ;(2)最小值 9,无最大值. 8 1 3? 1 3 【例 2】 解析: (1)由 x>0, y>0, x+3y=5xy 得 + =1, 则 3x+4y=(3x+4y)? ?5y+5x? 5y 5x 3x 9 4 12y 13 3x 12y 3x 12y 1 = + + + ≥ +2 · =5,当且仅当 = ,即 x=1,y= 时等号成立. 5y 5 5 5x 5 5y 5x 5y 5x 2 1 1 (2)∵a>0,b>0,且 + =1, a b 2+b 1 2+b ∴ = · 2ab a 2b

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1 1 1 1 ?1 1? ? +?b+2??2 ?? + ≤? a ? = · a ?b 2? ? 2 ? 9 = , 16 1 1 1 4 当且仅当 = + ,即 a= ,b=4 时,等号成立,故选 A. a b 2 3 答案:(1)C (2)A 通关训练 2 解析:(1)依题意,得(x+1)(2y+1)=9, ∴(x+1)+(2y+1)≥2 ?x+1??2y+1?=6, 即 x+2y≥4. ?x+1=2y+1, ?x=2, ? ? 当且仅当? 即? 时等号成立. ?x+2y+2xy=8, ?y=1 ? ? ∴x+2y 的最小值是 4,故选 B. b+a-b?2 a2 (2)∵a>b>0,∴b(a-b)≤? ? 2 ? =4, 当且仅当 a=2b 时等号成立. 16 16 64 64 ∴a2+ ≥a2+ 2 =a2+ 2 ≥2 a2· 2 =16, a a a b?a-b? 4 当且仅当 a=2 2时等号成立. 16 ∴当 a=2 2,b= 2时,a2+ 取得最小值 16. b?a-b? 答案:(1)B;(2)16 x x 【例 3】 解析:若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,只需求得 y= 2 的最大 x +3x+1 x +3x+1 x 1 1 1 值即可,因为 x>0,所以 y= 2 = ≤ = ,当且仅当 x=1 时取等 1 5 x +3x+1 1 x+ +3 2 x·+3 x x 1 ? 号,所以 a 的取值范围是? ?5,+∞?. 1 ? 答案:? ?5,+∞? 通关训练 3 解析:由 x>0,y>0,xy=x+2y≥2 2xy,得 xy≥8,于是由 m-2≤xy 恒 成立,得 m-2≤8,m≤10,故 m 的最大值为 10. 答案:10 12 ? ? 16? 【例 4】 解析:由题意可得,造价 y=3? ?2x×150+ x ×400?+5 800=900?x+ x ?+5 16 16 x+ ?+5 800≥900×2 800(0<x≤5),则 y=900? x× +5 800=13 000(元),当且仅当 x x? ? x 16 = ,即 x=4 时取等号. x 故当侧面的长度为 4 米时,总造价最低. 答案:当侧面的长度为 4 米时,总造价最低. 通关训练 4 解析:(1)设靠墙的长度为 x m,侧面长为 y m, 由题意,知 40x+2y×45+20xy≤3 200, ∵40x+90y≥2 40x· 90y=120 xy (当且仅当 40x=90y 时,取“=”), ∴3 200≥120 xy+20xy, 即( xy-10)( xy+16)≤0,∴0< xy≤10, ∴S=xy≤100,即仓库面积 S 的最大允许值是 100 m2.

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(2)由(1)知,当 40x=90y 时,S 取最大值, 20 又 xy=100,∴x=15,y= , 3 ∴此时正面铁栅应设计为 15 m 长. 答案:(1)100m2;(2)15m. 考题调研 成功体验———————————————— xy xy 1 1 1.解析: = 2 = ≤ =1,当且仅当 x=2y 时成立,因 z x -3xy+4y2 x 4y x 4y + -3 2 · - 3 y x y x 1 ?2 2 1 2 2 1 此 z=4y2-6y2+4y2=2y2,所以 + - = - 2=-? ?y-1? +1≤1. x y z y y 答案:B 2.解析:∵0<x<1, 1 ∴f(x)=x(4-3x)= · 3x(4-3x) 3 1 3x+4-3x?2 4 ≤ ×? 3 ? 2 ? =3, 2 当且仅当 3x=4-3x,即 x= 时,取得“=”,故选 D 项. 3 答案:D a 3.解析:∵关于 x 的不等式 x+ ≥5 在(1,+∞)上恒成立,∴a≥(5-x)(x-1)在(1, x-1 +∞)上恒成立.∵(5-x)(x-1)=-(x-3)2+4≤4,∴a≥4,即 a 的最小值为 4. 答案:C 4.解析:由题知,函数图像恒过点 A(1,1),且点 A 在直线 mx+ny-2=0 上,所以 m+n n m 1 1 1 1 1 1? 1 + (m+n)= ?2+ + ?≥ ×(2+2)=2,当且仅当 m= =2,其中 mn>0,所以 + = ? m n 2?m n? 2? m n ? 2 n=1 时取得最小值,故所求的最小值为 2. 答案:2 5.解析:由已知得 a2+ab+ac+bc=(a+b)(a+c)=4, 则 2a+b+c=(a+b)+(a+c)≥2 ?a+b??a+c?=4, ∴2a+b+c 的最小值为 4. 答案:4 第四节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 10 图像法 11 定义域 12 对应法则 13 对应法则 14 映射 15 函数 16 非空数集 答案:□ □ □ □ □ □ □ 4ac-b2 17 18 19 20 21 22 23 24 □不等于零 □大于或等于 0 □R □R □(0, +∞) □{x|x≠0} □R □{y|y≥ } 4a 2 4ac-b 25 {y|y≤ 26 {y|y≠0} 27 {y|y>0} 28 R □ } □ □ □ 4a 学情自测 4 4 1.解析:∵f(x)= ,∴f(a)= =2,∴a=-1. 1-x 1-a 答案:-1 2.解析:对于①函数是映射,但映射不一定是函数; 对于②f(x)是定义域为{2},值域为{0}的函数. 对于③函数 y=2x(x∈N)的图像不是一条直线; 对于④由于这两个函数的定义域不同,所以它们不是同一个函数. 答案:①② 3.答案:[-3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]

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4.解析:函数 y=

1 3

的定义域为{x|x≠0},选项 A 中由 sinx≠0?x≠kπ,k∈Z,故 A 项

x 不对;选项 B 中 x>0,故 B 项不对;选项 C 中 x∈R,故 C 项不对;选项 D 中由正弦函数及 分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x|x≠0},故选 D 项. 答案:D 5.解析:根据题设条件,∵π 是无理数,∴g(π)=0, ∴f(g(π))=f(0)=0. 答案:B 核心考点 引领通关———————————————— |x| 【例 1】 解析:对于(1),由于函数 f(x)= 的定义域为{x|x∈R 且 x≠0},而函数 g(x) x ?1 ?x≥0? ? =? 的定义域是 R,所以二者不是同一函数;对于(2),若 x=1 不是 y=f(x)定义 ?-1 ?x<0? ? 域的值,则直线 x=1 与 y=f(x)的图像没有交点,如果 x=1 是 y=f(x)定义域内的值,由函数 定义可知,直线 x=1 与 y=f(x)的图像只有一个交点,即 y=f(x)的图像与直线 x=1 最多有一 个交点;对于(3),f(x)与 g(t)的定义域、值域和对应关系均相同,所以 f(x)和 g(t)表示同一函 1? ?1 ? ?1? ? ?1?? 数;对于(4),由于 f? ?2?=?2-1?-?2?=0,所以 f?f?2??=f(0)=1. 综上可知,正确的判断是(2)(3). 答案:(2)(3) 通关训练 1 解析:A 项中,g(x)=|x|,∴f(x)=g(x). B 项中,f(x)=|x|,g(x)=x(x≥0), ∴两函数的定义域不同. C 项中,f(x)=x+1(x≠1),g(x)=x+1, ∴两函数的定义域不同. D 项中,f(x)= x+1· x-1(x+1≥0 且 x-1≥0),f(x)的定义域为{x|x≥1}; g(x)= x2-1(x2-1≥0), g(x)的定义域为{x|x≥1 或 x≤-1}. ∴两函数的定义域不同.故选 A. 答案:A 2 2 【例 2】 解析:(1)令 t= +1,则 x= , x t-1 2 2 ∴f(t)=lg ,即 f(x)=lg (x>1). t-1 x-1 (2)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则 f′(x)=2ax+b=2x+2,∴a=1,b=2,∴f(x)=x2+2x +c. 又∵方程 f(x)=0 有两个相等实根, ∴Δ=4-4c=0,c=1,故 f(x)=x2+2x+1. (3)当 x∈(-1,1)时,有 2f(x)-f(-x)=lg(x+1).① 以-x 代替 x 得,2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).② 由①②消去 f(-x)得, 2 1 f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),x∈(-1,1). 3 3 2 答案:(1)lg (x>1); x-1 (2)f(x)=x2+2x+1; 2 1 (3)f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),x∈(-1,1). 3 3 通关训练 2 解析:(1)由题意可设 f(x)=ax2+bx(a≠0),则 a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,

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ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1, ?2a+b=b+1, ? 1 1 ∴? 解得 a= ,b= . 2 2 ? a + b = 1 , ? 1 1 因此 f(x)= x2+ x. 2 2

? ?f?x?+2f? ?x?=2x+1, (2)由已知得? 1? 2 + 2 f ? x ? = +1, ?f? x ? ? x

1

1? 消去 f? ? x ?,

4+x-2x2 得 f(x)= . 3x 4+x-2x2 1 1 答案:(1)f(x)= x2+ x;(2)f(x)= . 2 2 3x ? ? ?x≤1, ?x>1, 【例 3】 解析:(1)f(x)≤2?? 1-x 或? ?0≤x≤1 或 x>1,故选 D. ?2 ≤2 ?1-log2x≤2 ? ? (2)①当 a>0 时,1-a<1,1+a>1. 这时 f(1-a)=2(1-a)+a=2-a; f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a. 由 f(1-a)=f(1+a),得 2-a=-1-3a, 3 解得 a=- ,不符合题意,舍去. 2 ②当 a<0 时,1-a>1,1+a<1, 这时 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a; 3 f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a,由 f(1-a)=f(1+a),得-1-a=2+3a,解得 a=- . 4 3 综合①,②知 a 的值为- . 4 3 答案:(1)D (2)- 4 4? 4 4 8 通关训练 3 解析:(1)∵ >0,∴f? ?3?=2×3=3. 3 4? ? 4 ? ? 1? 4 ∵- <0,∴f? ?-3?=f?-3+1?=f?-3?= 3 1 ? ?2? 4 f? ?-3+1?=f?3?=3. 4? ? 4? 12 ∴f? ?3?+f?-3?= 3 =4. (2)若 x≤0,f(x)=x2+bx+c. ∵f(-4)=f(0),f(-2)=-2, ??-4?2+b· ?b=4, ?-4?+c=c, ? ? ∴? 解得? 2 ? ? ?-2?+c=-2, ??-2? +b· ?c=2.
2 ? ?x +4x+2 ?x≤0?, ∴f(x)=? ?2 ?x>0?. ?

当 x≤0 时,由 f(x)=x,得 x2+4x+2=x,解得 x=-2,或 x=-1; 当 x>0 时,由 f(x)=x,得 x=2. ∴方程 f(x)=x 有 3 个解. (3)当 x<-1 时有 1>1,∴无解. 当-1≤x<0 时,有(1-x2)2+1>1,∴x≠± 1. ∴-1<x<0. 当 0≤x≤1 时,有(1-x2)2+1>(2x)2+1,

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∴0≤x< 2-1. 当 x>1 时有 1>(2x)2+1,∴无解. 综上,x 的取值范围是-1<x< 2-1. 答案:(1)B (2)C (3)(-1, 2-1) ?x+1>0, ? 【例 4】 解析:(1)由? 2 得-1<x<1. ? ?-x -3x+4>0,
? ?0≤2x≤2, (2)依已知有? ?x-1≠0. ? 解之得 0≤x<1,定义域为[0,1).故选 B 项. 答案:(1)(-1,1) (2)B 通关训练 4 解析:(1)f(x)的定义域为 R,即 mx2+4mx+3≠0 恒成立. ①当 m=0 时,符合条件. ②当 m≠0 时,Δ=(4m)2-4×m×3<0, 3 即 m(4m-3)<0,∴0<m< . 4 3? 综上所述,m 的取值范围是? ?0,4?. ?0≤x+1≤4, ? (2)由? 得 1≤x≤3. ?0≤x-1≤4, ? 故 f(x+1)+f(x-1)的定义域为[1,3]. 3? 答案:(1)? ?0,4? (2)[1,3] 【例 5】 解析:(1)(配方法) y=x2+2x=(x+1)2-1, y=(x+1)2-1 在[0,3]上为增函数,∴0≤y≤15, 即函数 y=x2+2x(x∈[0,3])的值域为[0,15]. (2)(分离常数法) x-3 x+1-4 4 y= = =1- . x+1 x+1 x+1 4 4 因为 ≠0,所以 1- ≠1, x+1 x+1 即函数的值域是{y|y∈R,y≠1}. (3)方法一:(换元法) 1-t2 令 1-2x=t,则 t≥0 且 x= , 2 1-t2 1 于是 y= -t=- (t+1)2+1, 2 2 1 1 由于 t≥0,所以 y≤ ,故函数的值域是{y|y≤ }. 2 2 方法二:(单调性法) 1? 1 1 容易判断函数 y=f(x)为增函数, 而其定义域应满足 1-2x≥0, 即 x≤ , 所以 y≤f? ?2?=2, 2 1 即函数的值域是{y|y≤ }. 2 (4)(均值不等式法) 函数定义域为{x|x∈R,x>0,且 x≠1}. 当 x>1 时,log3x>0, 1 1 于是 y=log3x+ -1≥2 log3x· -1=1; log3x log3x 当 0<x<1 时,log3x<0,于是

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y=log3x+

1 -1 log3x

1 =-??-log3x?+?-log x??-1 ? ? 3 ?? ≤-2-1=-3. 故函数的值域是(-∞,-3]∪[1,+∞). 1 答案:(1)[0,15];(2){y|y∈R,y≠1};(3){y|y≤ }; 2 (4)(-∞,-3]∪[1,+∞). 通关训练 5 解析:(1)方法一:(分离常数法) 1-x2 2 y= =-1+ , 1+x2 1+x2 2 ∵x2≥0,∴x2+1≥1,∴0< ≤2. 1+x2 2 ∴-1<-1+ ≤1.即函数值域为(-1,1]. 1+x2 方法二:(反解法) 1-x2 1-y 由 y= ,得 x2= . 1+x2 1+y 1-y ∵x2≥0,∴ ≥0. 1+y ∴-1<y≤1,即函数值域为(-1,1]. 1 25 x- ?2+ , (2)(配方法)y= -2? ? 4? 8 5 2 5 2? ∴0≤y≤ ,∴值域为?0, . 4 4 ? ? (3)方法一:(基本不等式法) 1 1 由 y=x+ +1(x≠0),得 y-1=x+ . x x 1? ?1? ?1?=2, ∵? ?x+x?=|x|+?x?≥2 |x|· ?x? ∴|y-1|≥2,即 y≤-1 或 y≥3. 方法二:(判别式法) 1 由 y=x+ +1,得 x2+(1-y)x+1=0. x ∵方程有实根,∴Δ=(1-y)2-4≥0. 即(y-1)2≥4,∴y-1≤-2 或 y-1≥2. 得 y≤-1 或 y≥3. 方法三:(导数法) 1 ?x+1??x-1? ∵y′=1- 2= <0, x x2 ∴-1<x<0 或 0<x<1. ∴函数在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,此时 y≥3; 函数在(-1,0)上递减,在(-∞,-1)上递增,此时 y≤-1. ∴y≤-1 或 y≥3. 即函数值域为(-∞,-1]∪[3,+∞). 1?2 3 (4)x2-x+1=? ?x-2? +4≠0,函数的定义域是 R. x2-x 由 y= 2 有(y-1)x2-(y-1)x+y=0. x -x+1 当 y=1 时,无解,∴y≠1;

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当 y≠1 时,Δ=[-(y-1)]2-4y(y-1)≥0, 1 即 3y2-2y-1≤0,∴- ≤y<1. 3 1 ? 综上,函数的值域是? ?-3,1?. (5)三角换元: 由 4-x2≥0,得-2≤x≤2. ∴设 x=2cosθ(θ∈[0,π]),则 y=2cosθ+ 4-4cos2θ =2cosθ+2sinθ π? =2 2sin? ?θ+4?. π π 5π? , , ∵θ+ ∈? 4 ?4 4 ? π? ? 2 ? ∴sin? ?θ+4?∈?- 2 ,1?, ∴y∈[-2,2 2]. (6)方法一:(绝对值不等式法) 由于|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 所以函数值域为[3,+∞). 方法二:(数形结合法) -2x+1?x<-1?, ? ? y=?3?-1≤x≤2?, ? ?2x-1?x>2?. 画出此分段函数的图像如图,可知值域为[3,+∞).

5 2? 答案:(1)(-1,1];(2)?0, ; 4 ? ? 1 ? (3)(-∞,-1]∪[3,+∞);(4)? ?-3,1?; (5)y∈[-2,2 2];(6)[3,+∞). 考题调研 成功体验———————————————— ?x≥0, ? 1.解析:要使函数有意义,需? 解得 0≤x<1,即所求定义域为[0,1).故选 ?1-x>0, ? B 项. 答案:B ?2x+1,x<1, ? 2.解析:f(x)=? 2 ? ?x +ax,x≥1. ∵0<1,∴f(0)=20+1=2. ∵f(0)=2≥1,∴f(f(0))=22+2a=4a,∴a=2. 故应选 C 项. 答案:C 3.解析:在 2f(x)-f(-x)=3x+1,① 将①中 x 换为-x,则有 2f(-x)-f(x)=-3x+1,②

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①×2+②得 3f(x)=3x+3, ∴f(x)=x+1. 答案:B 1? ? 1?2 4.解析:∵f? ?x-x?=?x-x? +2, ∴f(3)=9+2=11. 答案:C 3 ? ?b=-2a-1, 1? ? 1? ? 5.解析:由题 f?2?=f?-2?,f(-1)=f(1),解得? ?b=-2a, ? =-10. 答案:-10 第二节 函数的单调性与最值 教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 10 f?x0?=M 答案:□ 学情自测 1.解析:由函数的奇偶性排除 A 项,由函数的单调性排除 B、C 项,由 y=x|x|的图像 可知此函数为增函数,又该函数为奇函数,故选 D 项. 答案:D 1 2.解析:函数 y=(2k+1)x+b 是减函数,则 2k+1<0,即 k<- . 2 答案:D 1?2 3 3 3.解析:∵1-x(1-x)=x2-x+1=? ?x-2? +4≥4, 1 4 ∴0< ≤ . 1-x?1-x? 3 答案:D 4.解析:函数 f(x)的对称轴 x=1,单调增区间为[1,4],f(x)max=f(-2)=f(4)=8. 答案:[1,4] 8 1 5.解析:方法一,∵f′(x)<- <0, ?x-1?2 ∴f(x)在[2,3]上为减函数. 1 1 1 ∴f(x)min=f(3)= = ,f(x)max= =1. 2 3-1 2-1 1 1 方法二,由函数 f(x)= ,x∈[2,3]的图像(如下图)可知 f(x)= 在[2,3]上是减函数. x-1 x-1
? ?a=2, ? 则 a+3b ?b=-4, ?

1 ∴f(x)min=f(3)= .f(x)max=f(2)=1. 2 1 答案: 1 2 核心考点 引领通关———————————————— 【例 1】 解析:方法一:f(x)的定义域为 R,在定义域内任取 x1<x2,都有 f(x1)-f(x2)

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?x1-x2??1-x1x2? x1 x2 - 2 = 2 ,其中 2 x1+1 x2+1 ?x1+1??x2 2+1?

2 x1-x2<0,x2 1+1>0,x2+1>0.

①当 x1,x2∈(-1,1)时,即|x1|<1,|x2|<1, ∴|x1x2|<1,则 x1x2<1,1-x1x2>0,f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2),∴f(x)为增函数. ②当 x1,x2∈(-∞,-1]或[1,+∞)时,1-x1x2<0,f(x1)>f(x2),∴f(x)为减函数. 综上所述,f(x)在[-1,1]上是增函数,在(-∞,-1]和[1,+∞)上是减函数. x 方法二:∵f′(x)=?x2+1?′ ? ? 2 2 x +1-x?x +1?′ = ?x2+1?2 2 x +1-2x2 = 2 ?x +1?2 1-x2 = 2 , ?x +1?2 ∴由 f′(x)>0 解得-1<x<1. 由 f′(x)<0 解得 x<-1 或 x>1, ∴f(x)在[-1,1]上是增函数,在(-∞,-1]和[1,+∞)上是减函数. 答案:f(x)在[-1,1]上是增函数,在(-∞,-1]和[1,+∞)上是减函数 1 x-1+1 ? 通关训练 1 解析:f(x)=a =a 1+x-1?, ? ? x-1 设-1<x1<x2<1,则 1 1 f(x1)-f(x2)=a?1+x -1?-a?1+x -1? ? ? ? ? 1 2 x2-x1 =a . ?x1-1??x2-1? 当 a>0 时,f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),函数 f(x)在(-1,1)上是减函数; 当 a<0 时,f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),函数 f(x)在(-1,1)上是增函数. 答案:当 a>0 时,是减函数;当 a<0 时,是增函数. ?x2-4x+3,x≥0, ? 【例 2】 解析:(1)f(x)=x2-4|x|+3=? 2 于是可得函数 f(x)=x2-4|x| ? x + 4 x + 3 , x < 0 , ? +3 的图像,如图①所示. 由图①可知,函数的递增区间为[-2,0),(2,+∞),递减区间为(-∞,-2),[0,2].

(2)先作出函数 y=x2-4x+3 的图像, 由于绝对值的作用, 把 x 轴下方的部分翻折到上方, 可得函数的图像.如图②所示. 由图可知,函数的递增区间为[1,2],(3,+∞),递减区间为(-∞,1),(2,3]. (3)由 x2-1>0,得函数的定义域为{x|x>1 或 x<-1}. 令 u(x)=x2-1,则 u(x)的图像如图③所示.

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由图像知,u(x)在(-∞,-1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.而 f(u)=log2u 是增 函数. 故 f(x)=log2(x2-1)的递增区间为(1,+∞), 递减区间是(-∞ ,-1). 答案:(1)递增区间为[-2,0),(2,+∞),递减区间为(-∞,-2),[0,2]; (2)递增区间为[1,2],(3,+∞),递减区间为(-∞,1),(2,3]; (3)递增区间为(1,+∞),递减区间为(-∞ ,-1). 3?2 25 通关训练 2 解析: (1)函数 f(x)的定义域是(-1,4), u(x)=-x2+3x+4=-? ?x-2? + 4 的 3 ? 减区间为? ?2,4?. 3 ? ∵e>1,∴函数 f(x)的单调减区间为? ?2,4?. ?1?|x|,?x≤-1或x≥1?, ?2? 1 1 (2)f (x)= 画出 f (x)的图像,如图所示. 2 2 1 ,?-1<x<1?. 2

? ? ?

1 由图像可知,f (x)的单调增区间为(-∞,-1). 2 答案:(1)D (2)C ax-1 a+1 【例 3】 解析:f(x)= =a- ,设 x1<x2<-1, x+1 x +1 ? a+1 ?-?a- a+1 ? 则 f(x1)-f(x2)=?a- ? ? ? ? x1+1? ? x2+1? a+1 a+1 = - x2+1 x1+1 ?a+1??x1-x2? = , ?x2+1??x1+1? 又函数 f(x)在(-∞,-1)上是减函数, 所以 f(x1)-f(x2)>0,由于 x1<x2<-1, 所以 x1-x2<0,x1+1<0,x2+1<0, 所以 a+1<0,即 a<-1. 故 a 的取值范围是(-∞,-1). 答案:(-∞,-1) 通关训练 3 解析:(1)因为函数 f(x)=(2a-1)x+b 是 R 上的减函数,所以 2a-1<0,解 1 得 a< , 2 1? 所以 a 的取值范围是? ?-∞,2?.

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x-5 a-3 (2)y= =1+ , x-a-2 x-?a+2?
? ?a-3<0, 由函数在(-1,+∞)上单调递增,有? 解得 a≤-3. ?a+2≤-1, ? 1 -∞, ? (2)C 答案:(1)? 2? ? 【例 4】 解析:(1)证明: 方法一:∵函数 f(x)对于任意 x,y∈R 总有 f(x)+f(y)=f(x+y), ∴令 x=y=0,得 f(0)=0. 再令 y=-x,得 f(-x)=-f(x). 在 R 上任取 x1>x2,则 x1-x2>0,f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 因此,f(x)在 R 上是减函数. 方法二: 设 x1>x2, 则 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上为减函数. (2)∵f(x)在 R 上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为 f(-3)与 f(3). ∵f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为 2,最小值为-2. 答案:(1)证明略;(2)2,-2. 通关训练 4 解析:(1)令 x1=x2>0,代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故 f(1)=0. x1 (2)任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1>x2,则 >1. x2 x 1 ? 由于当 x>1 时,f(x)<0,所以 f? ?x2?<0, 即 f(x1)-f(x2)<0,因此 f(x1)<f(x2), 所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. (3)∵f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数, ∴f(x)在[2,9]上的最小值为 f(9). x1? ?9? 由 f? ?x2?=f(x1)-f(x2)得,f?3?=f(9)-f(3), 而 f(3)=-1,所以 f(9)=-2, ∴f(x)在[2,9]上的最小值为-2. 答案:(1)0;(2)减函数;(3)-2. 考题调研 成功体验———————————————— b 1.解析:∵y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都是减函数, x ∴a<0,b<0, b ∴y=ax2+bx 的对称轴方程 x=- <0, 2a ∴y=ax2+bx 在(0,+∞)上为减函数. 答案:B

2.

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解析:(筛选法)对于 A 项:y=x3 为奇函数,不合题意;对于 C,D 项:y=-x2+1 和 y =2 在(0,+∞)上单调递减,不合题意;对于 B 项:y=|x|+1 的图像如图所示,知 y=|x| +1 符合题意,故选 B. 答案:B a -2x-a,x<- , 2 a - ,+∞?, 3.解析:由 f(x)= 可得函数 f(x)的单调递增区间为? 2 ? ? a 2x+a,x≥- , 2 a 故 3=- ,解得 a=-6. 2 答案:-6 1? 4.解析:由奇函数 y=f(x)在(0,+∞)上递增,且 f? ?2?=0,得函数 y=f(x)在(-∞,0) 1 1 1 1 1 1 1 - ?=0.由 f(log x)>0,得 log x> 或- <log x<0,解得 0<x< 或 1<x< 上递增,且 f? ? 2? 9 9 2 2 9 3 1 3.所以满足条件的 x 的取值集合为{x|0<x< ,或 1<x<3}. 3 1 答案:{x|0<x< ,或 1<x<3} 3 5.解析:用等价转化、构造函数和分离参数的思想解题. 2 2 ? ? ?x +2x+a>0, ?a>-?x +2x?, x2+2x+a 在区间[1, +∞)上, f(x)= >0 恒成立?? ?? x ?x≥1 ?x≥1 ? ?
-|x|

? ? ?

?a 大于函数 φ(x)=-(x2+2x)在[1,+∞)上的最大值. 于是问题转化为求函数 φ(x)=-(x2+2x)在[1,+∞)上的最大值问题. φ(x)=-(x+1)2+1 在[1,+∞)上递减, ∴x=1 时,φ(x)最大值为 φ(1)=-3. ∴a>-3. 答案:a>-3 第三节 函数的奇偶性与周期性 教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 10 最小 答案:□ 学情自测 1 ? 1 1. 解析: f(x)的定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞), 又 f(-x)= -(-x)=-? ?x-x?=-f(x), -x 则 f(x)为奇函数,图像关于原点对称. 答案:C 2.解析:由题意知 f(x)与|g(x)|均为偶函数,A 项:偶+偶=偶;B 项:偶-偶=偶,B 错;C,D 项:分别为偶+奇=偶,偶-奇=奇均不恒成立,故选 A. 答案:A 3.解析:∵f(x)是周期为 2 的奇函数, 5? ? 5 ? ? 1? 1 ? 1? 1 ?1? ∴f? ?-2?=f?-2+2?=f?-2?=-f?2?=-2×2×?1-2?=-2. 答案:A 4.解析:由 f(x)是偶函数知,f(x)=f(-x), 即 ax2+bx=a(-x)2-bx,∴2bx=0,∴b=0. 又 f(x)的定义域应关于原点对称, 1 1 即(a-1)+2a=0,∴a= ,故 a+b= . 3 3

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1 答案: 3 5.解析:令 g(x)=f(x)-1=x3cosx, ∵g(-x)=(-x)3cos(-x)=-x3cosx=-g(x), ∴g(x)为定义在 R 上的奇函数. 又∵f(a)=11, ∴g(a)=f(a)-1=10,g(-a)=-g(a)=-10. 又 g(-a)=f(-a)-1, ∴f(-a)=g(-a)+1=-9. 答案:-9 核心考点 引领通关———————————————— 2 ? ?9-x ≥0, 【例 1】 解析:(1)由? 2 得 x=± 3. ?x -9≥0, ? ∴f(x)的定义域为{-3,3}. 又 f(3)+f(-3)=0,f(3)-f(-3)=0. 即 f(x)=± f(-x). ∴f(x)既是奇函数,又是偶函数. 1-x ? ? ≥0, (2)由?1+x 得-1<x≤1. ? ?1+x≠0, ∵f(x)的定义域(-1,1]不关于原点对称. ∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 2 ? ?4-x ≥0, ? (3)由 得-2≤x≤2 且 x≠0. ?|x+3|-3≠0, ? ∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称. 4-x2 4-x2 ∴f(x)= = . x ?x+3?-3 ∴f(x)=-f(-x),∴f(x)是奇函数. 答案:(1)既是奇函数,又是偶函数;(2)非奇非偶函数;(3)奇函数 通关训练 1 解析:①f(x)= 1-x2+ x2-1的定义域为{-1,1},又 f(-x)=± f(x)=0, 2 2 则 f(x)= 1-x + x -1是奇函数,也是偶函数; ②f(x)=x3-x 的定义域为 R,又 f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x),则 f(x)=x3-x 是奇函数; ③由 x+ x2+1>x+|x|≥0 知 f(x)=ln(x+ x2+1)的定义域为 R,又 f(-x)=ln(-x+ 1 ?-x?2+1)=ln =-ln(x+ x2+1)=-f(x),则 f(x)为奇函数; x+ x2+1 - - - 3x - 3 x 3 x-3x 3x-3 x ④f(x)= 的定义域为 R,又 f(-x)= =- =-f(x),则 f(x)为奇函数; 2 2 2 1-x 1-x 1+x ?1-x? ⑤由 >0 得-1<x<1,f(x)=ln 的定义域为(-1,1),又 f(-x)=ln =ln? ? 1+x 1+x 1-x ?1+x? 1-x -1 =-ln =-f(x),则 f(x)为奇函数. 1+x 答案:D 【例 2】 解析:(1)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=0. 当 x<0 时,-x>0, 由已知,得 f(-x)=(-x)2-(-x)-1=x2+x-1=-f(x). ∴f(x)=-x2-x+1.

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x -x-1 ?x>0?, ? ? ∴f(x)=?0 ?x=0?, ? ?-x2-x+1 ?x<0?. (2)方法一:∵f(x)是 R 上的偶函数, ∴f(-x)=f(x)在 R 上恒成立. - e x a ex a 即 + -x= + x, a e a e 2 2x (a -1)e +1-a2=0 对任意的 x 恒成立. 2 ? ?a -1=0, ∴? 解得 a=1. ?a>0, ? 方法二:∵f(x)是 R 上的偶函数, ∴f(-1)=f(1). 11 e a ∴ ·+ae= + . ae a e 1 1 1 a- ?e+ ? -a?=0. ∴? a ? ? e ?a ? 1? 2 ∴? ?a-a?(e -1)=0. 1 ∴a- =0. a 又 a>0,∴a=1. 经验证当 a=1 时,有 f(-x)=f(x). ∴a=1. ? ?-2≤1-m≤2, (3)∵f(x)的定义域为[-2,2],∴有? 2 ?-2≤1-m ≤2. ? 解得-1≤m≤ 3.① 又 f(x)为奇函数,且在[-2,0]上单调递减, ∴在[-2,2]上单调递减. ∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1)?1-m>m2-1. 即-2<m<1.② 综合①②,可知-1≤m<1. x -x-1 ?x>0?, ? ? 答案:(1)f(x)=?0 ?x=0?, ? ?-x2-x+1 ?x<0?.
2

2

(2)1;

(3)-1≤m<1. 通关训练 2 解析:(1)当 x<0 时,则-x>0,所以 f(x)=x2+x,f(-x)=ax2-bx, 而 f(-x)=-f(x),即-x2-x=ax2-bx, 所以 a=-1,b=1,故 a+b=0. (2)因为 f(x)=x2+2x 在[0,+∞)上是增函数,又因为 f(x)是 R 上的奇函数,所以函数 f(x) 是 R 上的增函数,要使 f(3-a2)>f(2a),只需 3-a2>2a,解得-3<a<1. 答案:(1)0 (2)(-3,1) 【例 3】 解析: 由 f(x+6)=f(x)得 f(x)的周期为 6, 所以 f(1)+f(2)+?+f(2 012)=335[f(1) +f(2)+?+f(6)]+f(1)+f(2),而 f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5) =f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,f(1)+f(2)+f(3)+?+f(6)=1, 所以 f(1)+f(2)+?+f(2 012)=338,故选 B. 答案:B 通关训练 3 解析:(1)证明:函数 f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x),函数 f(x)的图像关于 x=1 对称,则 f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以 f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x),所以 f(x)

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是以 4 为周期的周期函数. - (2)当 x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],又 f(x)的图像关于 x=1 对称,则 f(x)=f(2-x)=22 x-1, x∈[1,2]. (3)∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-1,又 f(x)是以 4 为周期的周期函 数. ∴f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 013)=f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1. - 答案:(1)证明略;(2)f(x)=22 x-1,x∈[1,2];(3)1. 【例 4】 解析:(1)由 f(x+2)=-f(x)得, f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π) =-(4-π)=π-4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x), 得:f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即 f(1+x)=f(1-x). 故知函数 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称. 又当 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图像关于原点成中心对称,则 f(x)的图像如图所示.

当-4≤x≤4 时,f(x)的图像与 x 轴围成的图形面积为 S, 1 ? 则 S=4S△OAB=4×? ?2×2×1?=4. (3)函数 f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z), 单调递减区间为[4k+1,4k+3](k∈Z). 答案:(1)π-4;(2)4;(3)递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z),递减区间为[4k+1,4k+3](k∈ Z). 通关训练 4 解析:(1)证明:由函数 f(x)的图像关于直线 x=1 对称,有 f(x+1)=f(1-x), 即有 f(-x)=f(x+2). 又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 故有 f(-x)=-f(x). 故 f(x+2)=-f(x). 从而 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即 f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0. x∈[-1,0)时,-x∈(0,1],f(x)=-f(-x)=- -x. 故 x∈[-1,0]时,f(x)=- -x. x∈[-5,-4]时,x+4∈[-1,0], f(x)=f(x+4)=- -x-4. 从而,x∈[-5,-4]时,函数 f(x)=- -x-4. 答案:(1)证明略;(2)f(x)=- -x-4,x∈[-5,-4]. 考题调研 成功体验———————————————— 1.解析:y=x3,y=2sinx 为奇函数;y=x2+1 为偶函数;y=2x 为非奇非偶函数.所以 共有 2 个奇函数,故选 C 项. 答案:C 1 12+ ?=-2,应选 A 项. 2.解析:因为 f(x)是奇函数,故 f(-1)=-f(1)=-? 1? ? 答案:A

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3.解析:将 f(x)+g(x)=ax-a x+2 中的 x 用-x 代替得 f(-x)+g(-x)=a x-ax+2,由 - - 函数的奇偶性可得-f(x)+g(x)=a x-ax+2,将两式相加和相减可得 g(x)=2,f(x)=ax-a x, 15 - 因为 g(2)=a,所以 a=2,则有 f(2)=22-2 2= . 4 答案:C 4.解析:∵f(x)是 R 上的奇函数,∴f(0)=0. 又对?x∈R,f(x)=f(x+4), ∴4 是函数 f(x)的周期. ∴f(2 012)=f(0)=0, f(2 011)=f(-1). 1 又 x∈(-2,0)时,f(x)=2x,∴f(2 011)= . 2 1 ∴f(2 012)-f(2 011)=- ,故选 A. 2 答案:A 5.解析:当 x≥0 时,令 x2-4x<5,解得,0≤x<5. 又因为 f(x)为定义域为 R 的偶函数,则不等式 f(x+2)<5 等价于-5<x+2<5,即-7< x<3;故解集为(-7,3). 答案:(-7,3)
- -

第四节 幂函数与二次函数 教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 10 (-∞,0)∪(0,+∞) 11 奇函数 12 偶函数 13 奇函数 14 非奇非偶函数 15 答案:□ □ □ □ □ □ 16 在 R 上递增 17 在(-∞,0]上递减,在[0,+∞)递增 18 在 R 上递增 19 在[0, 奇函数 □ □ □ □ 2 2 20 在 (-∞, 0) 和 (0,+∞)上递减 21 (1,1) 22 ax +bx+ c(a≠0) 23 a(x- h) +∞)上递增 □ □ □ □ 2 ?4ac-b ,+∞? □ 24 (h , k) 25 a(x - x1)(x - x2) 26 R 27 R 28 29 + k(a≠0) □ □ □ □ □ ? 4a ? 2 b? b 4ac-b2 b ?-∞,4ac-b ? □ 30 x=- 31 ?-∞,- 32 ?- 33 ,+∞? □ □ □ 2a? ? ? 2a ? 2a 4a 4a ? ? 2 b b 4 ac - b ? 35 ?- ,+∞? □ 34 ?-∞,- 36 □ 2a? □? 2a ? ? 4a 学情自测 1.解析:形如 f(x)=xα 的函数是幂函数,其中 α 是常数. 答案:D 1 - 2.解析:在函数 y=x 1,y=x,y=x ,y=x3 中,只有函数 y=x 和 y=x3 的定义域是 R, 2 且是奇函数,故 α=1,3. 答案:A ? ? ?a>0, ?a>0, 1 3.解析:由题意知? 即? 得 a> . 20 ?Δ<0, ?1-20a<0 ? ? 答案:C 4.解析:设幂函数的解析式为 y=xα,则 3=? 答案:y=x
-2

3? α - ,得 α=-2.故 y=x 2. ?3?

a+2 ? ? ?- =1, ?a=-4, 2 5.解析:由题意知? 得? ?b=6. ? ? ?a+b=2, 则 f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5≥5. 答案:5

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核心考点 引领通关———————————————— 【例 1】 解析:∵f(x)是幂函数,∴m2-m-1=1, ∴m=-1 或 m=2, 当 m=-1 时,m2+m-3=-3, 当 m=2 时,m2+m-3=3, - ∴f(x)=x 3 或 f(x)=x3, 而易知 f(x)=x3 在(0,+∞)上为增函数, 1 - f(x)=x 3= 3在(0,+∞)上为减函数. x ∴m 的值为 2. 答案:B 1 1 通关训练 1 解析:令 f(x)=x- = ,则 f(x)的定义域是{x|x>0},且在(0,+∞)上单调 2 x a+1>0, ? ? 递减,则原不等式等价于?3-2a>0, ? ?a+1>3-2a, 2 3 解得 <a< . 3 2 2 3 , ? 答案:? 3 ? 2? 【例 2】 解析:(1)由于 f(x)有两个零点 0 和-2, 所以可设 f(x)=ax(x+2)(a≠0), 这时 f(x)=ax(x+2)=a(x+1)2-a, 由于 f(x)有最小值-1, ?a>0, ? 所以必有? 解得 a=1. ? ?-a=-1, 因此 f(x)的解析式是 f(x)=x(x+2)=x2+2x. (2)设点 P(x,y)是函数 g(x)图像上任一点,它关于原点对称的点 P′(-x,-y)必在 f(x) 图像上, 所以-y=(-x)2+2(-x),即-y=x2-2x,y=-x2+2x,故 g(x)=-x2+2x. 答案:(1)f(x)=x2+2x;(2)g(x)=-x2+2x. 通关训练 2 解析:依条件,设 f(x)=a(x-1)2+15 (a<0), 即 f(x)=ax2-2ax+a+15. 令 f(x)=0,即 ax2-2ax+a+15=0, 15 ∴x1+x2=2,x1x2=1+ . a 2 2 2 x1+x2=(x1+x2) -2x1x2 15? 30 =4-2? ?1+ a ?=2- a =17, ∴a=-2,∴f(x)=-2x2+4x+13. 答案:f(x)=-2x2+4x+13 【例 3】 解析:(1)当 a=-2 时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于 x∈[-4,6], ∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增, ∴f(x)的最小值是 f(2)=-1,又 f(-4)=35,f(6)=15,故 f(x)的最大值是 35. (2)由于函数 f(x)的图像开口向上,对称轴是 x=-a,所以要使 f(x)在[-4,6]上是单调函 数,应有-a≤-4 或-a≥6,即 a≤-6 或 a≥4. (3)当 a=1 时,f(x)=x2+2x+3, ∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为 x∈[-6,6],

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2 ? ?x +2x+3,x∈ ?0,6], 且 f(x)=? 2 ?x -2x+3,x∈[-6,0], ?

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6], 单调递减区间是[-6,0]. 答案:(1)最小值-1, 最大值 35;(2)a≤-6 或 a≥4; (3)递增区间为(0,6],递减区间为[- 6,0). 通关训练 3 解析:f(x)=-(x-a)2+a2-a+1, 当 a>1 时,ymax=a; 当 0≤a≤1 时,ymax=a2-a+1; 当 a<0 时,ymax=1-a. ? ? ? ?a>1, ?0≤a≤1, ?a<0, 根据已知条件? 或? 2 或? ?a=2 ?a -a+1=2 ?1-a=2, ? ? ? 解得 a=2 或 a=-1. 答案:2 或-1 【例 4】 解析:(1)由 f(0)=1 得,c=1.∴f(x)=ax2+bx+1. 又 f(x+1)-f(x)=2x, ∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x, ?2a=2, ?a=1, ? ? 即 2ax+a+b=2x,∴? ∴? ? ? ?a+b=0, ?b=-1. 2 因此,f(x)=x -x+1. (2)f(x)>2x+m 等价于 x2-x+1>2x+m, 即 x2-3x+1-m>0, 要使此不等式在[-1,1]上恒 成立,只需使函数 g(x)=x2-3x+1-m 在[-1,1]上的最小值大于 0 即可. ∵g(x)=x2-3x+1-m 在[-1,1]上单调递减, ∴g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-1>0 得,m<-1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(-∞,-1). 答案:(1)f(x)=x2-x+1;(2)(-∞,-1). 通关训练 4 解析:(1)?x∈R,f(x)<bg(x)??x∈R, x2-bx+b<0?(-b)2-4b>0?b<0 或 b>4. 故 b 的取值范围为(-∞,0)∪(4,+∞). (2)F(x)=x2-mx+1-m2, Δ=m2-4(1-m2)=5m2-4. 2 5 2 5 ①当 Δ≤0,即- ≤m≤ 时, 5 5 m ≤0, 2 2 5 则必需 ?- ≤m≤0. 5 2 5 2 5 - ≤m≤ 5 5

? ? ?

2 5 2 5 ②当 Δ>0,即 m<- 或 m> 时, 5 5 设方程 F(x)=0 的根为 x1,x2(x1<x2). m ? ? 2 ≥1, m 若 ≥1,则 x1≤0,即? 2 ?F?0?=1-m2≤0 ?

?m≥2;

?m≤0, ? m 2 5 若 ≤0,则 x2≤0,即? 2 ?-1≤m≤- . 2 5 ?F?0?=1-m2≥0 ? 综上所述,m 的取值范围为[-1,0]∪[2,+∞). 答案:(1)(-∞,0)∪(4,+∞);

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(2)[-1,0]∪[2,+∞). 考题调研 成功体验———————————————— 1.解析:∵f(x)=k· xα 是幂函数,∴k=1. 1 2 又 f(x)的图像过点? , ?, ?2 2 ? 1 2 1 1 3 ?α ∴? ?2? = 2 ,∴α=2,∴k+α=1+2=2. 答案:C 2.解析:当 a=0 时,f(x)=-1 在 R 上恒有 f(x)<0; 当 a≠0 时,∵f(x)在 R 上恒有 f(x)<0, ? ?a<0, ∴? 2 ∴-4<a<0. ?a +4a<0, ? 综上可知:-4<a≤0. 答案:D 3.解析:函数 f(x)=ex-1 的值域为(-1,+∞),g(x)=-x2+4x-3 的值域为(-∞,1], 若存在 f(a)=g(b),则需 g(b)>-1,即-b2+4b-3>-1, ∴b2-4b+2<0,∴2- 2<b<2+ 2. 答案:D b 4.解析:由 f(0)=f(4)知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 对称轴为 x=2,即- =2.所以 4a 2a +b=0,又 f(0)>f(1)且 f(0),f(1)在对称轴同侧,故函数 f(x)在(-∞,2]上单调递减,则抛物 线开口方向朝上,知 a>0,故选 A 项. 答案:A 5.解析:由 m2-5m+7=1,得 m=2 或 m=3, - m=2 时,y=x 2 在(0,+∞)递减, m=3 时,y=x3 在(0,+∞)递增,故 m=3. 答案:3 第五节 指数与指数函数 教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 1 1 n m r+s rs r r 10 11 12 13 0 14 无意义 15 a 16 a 17 a b 18 (0,1) 19 y>1 答案: □ a □ □ □ □ □ □ □ □ □ m n m a a n 20 0<y<1 □ 21 0<y<1 22 y>1 23 增函数 24 减函数 □ □ □ □ 学情自测 1 1.解析:原式=(26) -1=7. 2 答案:B 2.解析:∵1-2x≥0,∴2x≤1,∴x≤0. 答案:A 3.解析:当 x=1 时,f(x)=5. 答案:A 4.解析:∵a2-3a+3=1,∴a=2 或 a=1(舍). 答案:2 5.解析:由题意知 0<a2-1<1,即 1<a2<2, 得- 2<a<-1 或 1<a< 2. 答案:(- 2,-1)∪(1, 2) 核心考点 引领通关————————————————

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1 1 3 2- 【例 1】 解析:(1)(124+22 3) -27 +16 -2×(8- ) 1 2 6 4 3 1 1 3 2 =(11+ 3)2× -33× +24× -2×8- ×(-1) 2 6 4 3 1 2 =11+ 3-3 +23-2×23× 2 3 =11+ 3- 3+8-8=11. 1 1 1 1 (2)∵x +x- =3,∴(x +x- )2=9, 2 2 2 2 -1 -1 ∴x+2+x =9,∴x+x =7, - - ∴(x+x 1)2=49,∴x2+x 2=47, 3 3 1 1 - 又∵x +x- =(x +x- )· (x-1+x 1) 2 2 2 2 =3×(7-1)=18, - x2+x 2-2 47-2 ∴ = =3. 3 3 18-3 x +x- -3 2 2 答案:(1)11;(2)3. 2?1 3 1 ?2?1 通关训练 1 解析:原式=? × 1 + 2 ×2 - =2. ?3?3 4 4 ?3?3 答案:2 【例 2】 解析:画出 f(x)=|3x-1|的图像如下图:

要使 c<b<a 且 f(c)>f(a)>f(b)成立,则有 c<0 且 a>0.由 y=3x 的图像可得 0<3c<1<3a, ∵f(c)=1-3c,f(a)=3a-1,f(c)>f(a), ∴1-3c>3a-1,即 3c+3a<2. 答案:D

通关训练 2 解析:由图像得函数是减函数,∴0<a<1. 又分析得,图像是由 y=ax 的图像向左平移所得, ∴-b>0,即 b<0.从而 D 项正确. 答案:D 【例 3】 解析:(1)当 a>0,b>0 时,任取 x1,x2∈R,x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=a(2x1-2x2 ) +b(3x1-3x2) ∵2x1<2x2,a>0?a(2x1-2x2)<0, 3x1<3x2,b>0?b(3x1-3x2)<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,函数 f(x)在 R 上是增函数. 当 a<0,b<0 时,同理,函数 f(x)在 R 上是减函数. (2)f(x+1)-f(x)=a· 2x+2b· 3x>0, 3?x a ? a? 当 a<0,b>0 时,? ?2? >-2b,则 x>log1.5?-2b?; 3?x a ?- a ?. 当 a>0,b<0 时,? < - ,则 x <log 1.5 ?2? ? 2b? 2b

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? a? ? 即当 a<0,b>0 时,x 的取值范围是? ?log1.5?-2b?,+∞?; ? a ?? 当 a>0,b<0 时,x 的取值范围是? ?-∞,log1.5?-2b??.
答案:(1)当 a>0,b>0 时,f(x)为增函数;当 a<0,b<0 时,f(x)为减函数; a? (2)当 a<0,b>0 时,x>log1.5? ?-2b?; a? a>0,b<0 时,x<log1.5? ?-2b?. 1? 2 通关训练 3 解析:(1)当 a=-1 时,f(x)=? ?3?-x -4x+3, 令 g(x)=-x2-4x+3, 1?t 由于 g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而 y=? ?3? 在 R 上单调 递减, 所以 f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数 f(x)的单调递增 区间是(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2). 1?h(x) (2)令 h(x)=ax2-4x+3,f(x)=? ?3? , a>0, ? ? 由于 f(x)有最大值 3,所以 h(x)应有最小值-1,因此必有?3a-4 解得 a=1, =-1, ? a ? 即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值等于 1. 1?h(x) 2 (3)由指数函数的性质知,要使 y=? ?3? 的值域为(0,+∞).应使 h(x)=ax -4x+3 的值 域为 R, 因此只能 a=0.(因为若 a≠0,则 h(x)为二次函数,其值域不可能为 R).故 a 的值为 0. 答案:(1)函数 f(x)的单调递增区间为(-2,+∞),单调递减区间为(-∞,-2);(2)1; (3)0. 考题调研 成功体验———————————————— 3 1.解析:(a2) >0,a3<0,故①错, 2 1 x ∵2 =16,∴x=4,∵3y= ,∴y=-3. 27 ∴x+y=4+(-3)=1,故④错. 答案:B - 2.解析:由 f(x)过定点(2,1)可知 b=2,因 f(x)=3x 2 在[2,4]上是增函数,可知 C 正确. 答案:C 1?-|x| |x| 1 - 3.解析:∵f(2)=4,∴a |2|=4,a= ,∴f(x)=? ?2? =2 ,则函数 f(x)为偶函数,x≥0 2 时,递增,x<0 时,递减,故选 A 项. 答案:A 4.解析:令 t=2x-x2=-(x-1)2+1≤1, 1?t 1 ∴? ?2? ≥2, 1? 2 ?1 ? ∴y=? ?2?2x-x 的值域为?2,+∞?,故选 A 项. 答案:A 1 1 m+n m+n n m 5.解析:由题易知,定点为(1,1),所以 m+n=1, + = + = + +2≥2 m n m n m n 1 +2=4(当且仅当 m=n= 时等号成立). 2

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答案:4 第六节 对数与对数函数 教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 logaN 10 N 11 logbN = 12 logad 13 logaM + logaN 14 logaM - logaN 答案: □ □ □ □ □ logab

15 nlogaM □

n 16 17 (0,+∞) 18 R 19 (1,0) 20 1 21 0 22 y>0 23 y<0 24 y<0 25 y>0 26 □ log M □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ m a 27 减函数 28 y=logax 29 y=x 增函数 □ □ □ 学情自测 1 1.解析:∵A={y|y>0},B={y| <y<1}, 2 1 ∴A∩B={y| <y<1}. 2 答案:C 2.解析:当 x=1 时 y=0. 答案:C 3.解析:y=lg|x|是偶函数,由图像知在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. 答案:B 1 4.解析:由 1-2log6x≥0,解得 log6x≤ ?0<x≤ 6,故所求定义域为(0, 6 ]. 2 答案:(0, 6] 5. 解析: 由 f(ab)=1 得 ab=10, 于是 f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=2(lga+lgb)=2lg(ab)=2lg10 =2. 答案:2 核心考点 引领通关———————————————— 【例 1】 解析:(1)由 2a=5b=m 得 a=log2m,b=log5m, 1 1 ∴ + =logm2+logm5=logm10, a b 1 1 ∵ + =2,∴logm10=2, a b ∴m2=10,∴m= 10,故选 A 项. (2)原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg4+lg25=2. (3)依题意,可得 lg(xy)=lg(2x-3y)2, 即 xy=4x2-12xy+9y2, x?2 ?x? 整理得:4? ?y? -13?y?+9=0, x x 9 解得 =1 或 = . y y 4 x 9 3x ∵x>0,y>0,2x-3y>0,∴ = ,∴log =2. y 4 2y 答案:(1)A (2)2 (3)2 通关训练 1 解析:(1)由已知 a=log210,b=log510, 1 1 则 + =lg2+lg5=lg10=1. a b (2)由已知 x=log43, 1 10 - 则 4x+4 x=4log43+4-log43=3+ = . 3 3 10 答案:(1)1 (2) 3 2 2 【例 2】 解析:(1)由于 f(x)=log2x = log2|x|,所以函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+ 3 3

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2 ∞),且当 x>0 时, f(x)= log2x 在(0,+∞)上单调递增,又函数是偶函数,所以函数图像关 3 于 y 轴对称,因此选 D 项.

(2)设 a<b<c,因为 a、b、c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c),由函数的图像可知 10<c<12, 且|lga|=|lgb|,因为 a≠b,所以 lga=-lgb,可得 ab=1,所以 abc=c∈(10,12),故选 C 项. 答案:(1)D (2)C 通关训练 2 解析: 设 f1(x)=(x-1)2, f2(x)=logax, 要使当 x∈(1,2)时, 不等式(x-1)2<logax 2 恒成立,只需 f1(x)=(x-1) 在(1,2)上的图像在 f2(x)=logax 图像的下方即可. 当 0<a<1 时,显然不成立; 当 a>1 时,如图,

要使 x∈(1,2)时 f1(x)=(x-1)2 的图像在 f2(x)=logax 的图像下方,只需 f1(2)≤f2(2),即(2 -1) ≤loga2,loga2≥1, ∴1<a≤2,即实数 a 的取值范围是(1,2]. 答案:(1,2] 1 1 【 例 3 】 解 析 : log 3 = - log23 = - log49 , b = f(log 3) = f( - log49) = f(log49) , 2 2
2

1? 3 5 5 =? ?5?-5= 125> 32=2>log49,又 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数, 1 - 且在(-∞,0]是增函数,故 f(x)在[0,+∞)上是单调递减的,∴f(0.2 0.6)<f(log 3)<f(log47), 2 即 c<b<a. 答案:B 1 通关训练 3 解析:∵x=lnπ>1,y=log52<log5 5= , 2 1 1 1 1 1 0 z=e- = > = ,且 e- <e =1,∴y<z<x. 2 2 e 4 2 答案:D 【例 4】 解析:(1)∵a>0 且 a≠1,设 t(x)=3-ax,则 t(x)=3-ax 为减函数,x∈[0,2] 时,t(x)最小值为 3-2a,当 x∈[0,2],f(x)恒有意义,即 x∈[0,2]时,3-ax>0 恒成立. 3 ∴3-2a>0.∴a< . 2 3 1, ?. 又 a>0 且 a≠1,∴a∈(0,1)∪? ? 2? (2)t(x)=3-ax, ∵a>0,∴函数 t(x)为减函数, ∵f(x)在区间[1,2]上为减函数, ∴y=logat 为增函数, ∴a>1,x∈[1,2]时,t(x)最小值为 3-2a,f(x)最大值为 f(1)=loga(3-a), log47<log49,0.2
-0.6

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?3-2a>0, ? ∴? 即 ?loga?3-a?=1, ?

?a<2, ? 3 ?a=2,

3

故不存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1. 3? 答案:(1)(0,1)∪? ?1,2?;(2)不存在,证明略. 通关训练 4 解析:(1)∵f(1)=1, ∴log4(a+5)=1,因此 a+5=4,a=-1, 这时 f(x)=log4(-x2+2x+3). 由-x2+2x+3>0 得-1<x<3,函数定义域为(-1,3). 令 g(x)=-x2+2x+3. 则 g(x)在(-1,1)上递增,在(1,3)上递减, 又 y=log4x 在(0,+∞)上递增, 所以 f(x)的单调递增区间是(-1,1),递减区间是(1,3). (2)假设存在实数 a 使 f(x)的最小值为 0, 则 h(x)=ax2+2x+3 应有最小值 1, a>0, ? ? 1 因此应有?3a-1 解得 a= . 2 ? a =1, ? 1 故存在实数 a= 使 f(x)的最小值等于 0. 2 答案:(1)递增区间为(-1,1),递减区间为(1,3); 1 (2)存在 a= ,理由略. 2 考题调研 成功体验———————————————— 1.解析:根据指数与对数的运算法则可知, + 2lgx lgy=2lgx· 2lgy,故 A 项错,B 项错,C 项错; + lg(xy) D 项中,2 =2lgx lgy=2lgx· 2lgy,故选 D 项. 答案:D lg6 lg2 lg10 lg2 lg14 lg2 2.解析:根据公式变形,a= =1+ ,b= =1+ ,c= =1+ ,因为 lg7 lg3 lg3 lg5 lg5 lg7 lg7 lg2 lg2 lg2 >lg5>lg3,所以 < < ,即 c<b<a.故选 D 项. lg7 lg5 lg3 答案:D 3.解析:∵f(x)=ln( 1+9x2-3x)+1, ∴f(-x)=ln( 1+9x2+3x)+1, ∴f(x)+f(-x)=ln1+1+1=2, 1? 1 又 lg =-lg2,∴f(lg2)+f? ?lg2?=2,故选 D 项. 2 答案:D 4.解析:设 f(x)与 g(x)图像的交点坐标为(x,y), 则 y=2lnx,y=x2-4x+5,联立得 2lnx=x2-4x+5,令 h(x)=x2-4x+5-2lnx(x>0), 2 由 h′(x)=2x-4- =0,得 x1=1+ 2,x2=1- 2(舍). x 当 h′(x)<0 时,即 x∈(0,1+ 2)时,h(x)单调递减; 当 h′(x)>0,即 x∈(1+ 2,+∞)时,h(x)单调递增. 又∵h(1)=2>0,h(2)=1-2ln2<0,h(4)=5-2ln4>0, ∴h(x)与 x 轴必有两个交点,故选 B 项. 答案:B

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5.解析:∵函数 y=lg(x2-2x+3)有最小值,f(x)=alg(x2-2x+3)有最大值,∴0<a<1. ∴由 loga(x2-5x+7)>0,得 0<x2-5x+7<1,解得 2<x<3. ∴不等式 loga(x2-5x+7)>0 的解集为(2,3). 答案:(2,3) 第七节 函数的图像 教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 10 f?|x|? 11 f?ax? 12 af?x? 答案:□ □ □ 学情自测 1.解析:y=lg|x-1|关于直线 x=1 对称,排除 A,D;因函数值可以为负值,故选 B. 答案:B 1 1 2.解析:方法一:y=1- 的图像可以看成由 y=- 的图像向右平移 1 个单位,再 x x-1 向上平移 1 个单位得到的. 方法二:由于 x≠1,故排除 C、D 项. 又函数在(-∞,1)及(1,+∞)上均为增函数,排除 A,所以选 B. 答案:B - 3.解析:当 0<a<1 时,y=a x 为增函数且过点(0,1),y=logax 为减函数且过点(1,0), 故应选 C. 答案:C 1?x - - + -x 4.解析:y=8· 2 x=2 x 3,y=? ?2? =2 ,故选 A. 答案:A 5.解析:∵函数 f(x)图像关于直线 x=1 对称, ∴f(1+x)=f(1-x),∴f(2)=f(0). 即 3+|2-a|=1+|a|,用代入法知选 A. 答案:A 核心考点 引领通关———————————————— ? ?lgx ?x≥1?, 【例 1】 解析:(1)y=? 图像如图①. ?-lgx ?0<x<1?. ? (2)将 y=2x 的图像向左平移 2 个单位.图像如图②. 2 ? ?x -2x-1 ?x≥0?, ? (3)y= 2 图像如图③. ?x +2x-1 ?x<0?. ? 3 3 (4)因 y=1+ ,先作出 y= 的图像,将其图像向右平移 1 个单位,再向上平移 1 个单 x x-1 x+2 位,即得 y= 的图像,如图④. x-1







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答案:图略 + 通关训练 1 解析:(1)y=2x 1-1 的图像可由 y=2x 的图像向左平移 1 个单位,得 y=2x +1 + 的图像,再向下平移 1 个单位得到 y=2x 1-1 的图像,如图①所示.

图①

图②

图③

(2)当 x≥0 时,y=sin|x|与 y=sinx 的图像完全相同,又 y=sin|x|为偶函数,其图像关于 y 轴对称,如图②所示. (3)首先作出 y=log2x 的图像 c1,然后将 c1 向左平移 1 个单位,得到 y=log2(x+1)的图像 c2,再把 c2 在 x 轴下方的图像翻折到 x 轴上方,即为所求图像 c3:y=|log2(x+1)|.如图③所示 (实线部分). 答案:图略 【例 2】 解析:f(x)=1+log2x 的图像由函数 f(x)=log2x 的图像向上平移一个单位而得 到,所以函数图像经过(1,1)点,且为单调增函数,显然,A 项中单调递增的函数经过点(1,0), 1?x - 而不是(1,1),故不满足;函数 g(x)=21 x=2×? ?2? ,其图像经过(0,2)点,且为单调减函数,B 项中单调递减的函数与 y 轴的交点坐标为(0,1),故不满足;D 项中两个函数都是单调递增的, 故也不满足. 综上所述,排除 A,B,D.故选 C 项. 答案:C 通关训练 2 解析:(1)画出函数 y=2x,y=x2 的图像可知两个函数图像有三个交点,所 以函数 y=2x-x2 的图像与 x 轴有三个交点,故排除 B、C;当 x→-∞时,2x-x2<0,排除 D. (2)从对数的底数入手进行讨论,再结合抛物线过原点,然后从抛物线对称轴的取值范围 进行判断,故选 D. 答案:(1)A (2)D ??x-2?2-1,x∈?-∞,1]∪[3,+∞?, ? 【例 3】 解析:f(x)=? 2 ?-?x-2? +1,x∈?1,3?, ? 作出图像如图所示.

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(1)f(x)在[1,2],[3,+∞)上为增函数,在(-∞,1),(2,3)上是减函数. (2)由图像可知,y=f(x)与 y=m 图像有四个不同的交点,则 0<m<1,∴集合 M={m|0 <m<1}. 答案:(1)f(x)在[1,2],[3,+∞)上是增函数,在(-∞,1),(2,3)上是减函数;(2){m|0< m<1}. 通关训练 3 解析:(1)观察图像可知,共有 10 个交点.

2 ? ?x -x+a,x≥0, (2)y=? 2 作出图像,如图所示. ?x +x+a,x<0, ?

1 1 此曲线与 y 轴交于(0, a)点, 最小值为 a- , 要使 y=1 与其有四个交点, 只需 a- <1<a, 4 4 5 ∴1<a< . 4 5 答案:(1)A (2)1<a< 4 考题调研 成功体验———————————————— - 1.解析:依题意,f(x)向右平移 1 个单位之后得到的函数应为 y=e x,于是 f(x)相当于 y -x -x-1 =e 向左平移 1 个单位的结果,∴f(x)=e ,故选 D 项. 答案:D 2.解析:由函数解析式可得,该函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),故排除 A 项; -1 3 取 x=-1,y= = >0,故再排除 B 项;当 x→+∞时,3x-1 远远大于 x3 的值且都为正, 1 2 -1 3 x3 故 x →0 且大于 0,故排除 D 项,选 C 项. 3 -1 答案:C 3.解析:当 t∈[-1,0]时,S 增速越来越平缓,当 t∈[0,1]时,增速越来越快. 答案:B

4. 1?|1-x| ?1?|1-x| 解析:首先作出 y=? ?2? 的图像(如右图所示),欲使 y=?2? +m 的图像与 x 轴有交 点,则-1≤m<0. 答案:-1≤m<0 5.解析:由图像可求得直线的方程为 y=2x+2(x≤0), 1 x+ ?的图像过点(0,2), 又函数 y=logc? ? 9?

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1 将其坐标代入可得 c= , 3 1 13 所以 a+b+c=2+2+ = . 3 3 13 答案: 3 第八节 函数与方程 教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 10 f(a)· 11 一分为二 12 零点 13 f(a)· 14 f(x1)=0 答案:□ f(b)<0 □ □ □ f(b)<0 □ 15 16 □f(a)· f(x1)<0 □f(x1)· f(b)<0 学情自测 1.解析:函数 f(x)=2x+x3-2 显然是一个单调递增且是连续的函数,同时 f(0)f(1)=(- 1)×1=-1<0.由函数零点存在性定理可知,函数在(0,1)内必存在唯一一个零点,故选 B 项. 答案:B 2.解析:∵2a+b=0,∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1). 1 ∴零点为 0 和- . 2 答案:C 3.解析:设函数 f(x)=ex-x-2,从表中可以看出 f(1)· f(2)<0,因此方程 ex-x-2=0 的 一个根所在的区间为(1,2). 答案:C 4.解析:由 f(2)· f(3)<0 可知 x0∈(2,3). 答案:(2,3) 5.解析:∵函数 f(x)=x2+x+a 在(0,1)上有零点. ∴f(0)f(1)<0.即 a(a+2)<0,解得-2<a<0. 答案:(-2,0) 核心考点 引领通关———————————————— 【例 1】 解析:(1)方法一:∵f(1)=12-3×1-18=-20<0, f(8)=82-3×8-18=22>0,∴f(1)· f(8)<0, 故 f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点. 方法二:令 f(x)=0,得 x2-3x-18=0,x∈[1,8]. ∴(x-6)(x+3)=0,∵x=6∈[1,8],x=-3?[1,8], ∴f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点. (2)方法一:∵f(1)=log23-1>log22-1=0, f(3)=log25-3<log28-3=0,∴f(1)· f(3)<0, 故 f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零点.

方法二:设 y=log2(x+2),y=x,在同一直角坐标系中画出它们的图像,从图像中可以 看出当 1≤x≤3 时,两图像有一个交点,因此 f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零点. 答案:(1)存在;(2)存在. 通关训练 1 解析:方法一:函数 f(x)=log3x+x-3 的定义域为(0,+∞),并且在(0, +∞)上递增连续,又 f(2)=log32-1<0,f(3)=1>0,∴函数 f(x)=log3x+x-3 有唯一的零点 且零点在区间(2,3)内.

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方法二: 方程 log3x+x-3=0 可化为 log3x=3-x, 在同一坐标系中作出 y=log3x 和 y=3 -x 的图像如图所示,可观察判断出两图像交点横坐标在区间(2,3)内. 答案:C 【例 2】 解析:由题意知,f(x)是周期为 2 的偶函数. 在同一坐标系内作出函数 y=f(x)及 y=log3|x|的图像,如下:

观察图像可以发现它们有 4 个交点, 即函数 y=f(x)-log3|x|有 4 个零点. 答案:4 通关训练 2 解析:(1)因为函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+1)=f(x-1),所以函数 y=f(x)(x ∈R)是周期为 2 的周期函数,又因为 x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,所以作出函数 y=f(x)(x∈R) 的图像如下图所示:

由图可知:函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为 8 个,故选 C. ? ? ?x≤0, ?x>0, (2)方法一:由 f(x)=0 得? 2 或? ? ? ?x +2x-3=0, ?-2+lnx=0. 2 解得 x=-3,或 x=e . 因此函数 f(x)共有两个零点. 方法二:函数 f(x)的图像如图所示:

可观察函数 f(x)共有两个零点,故选 B. 答案:(1)C (2)B 1 【例 3】 解析:当 m=0 时,x= 为函数的零点;当 m≠0 时,若 Δ=0,即 m=1 时, 2 x=1 是函数唯一的零点,若 Δ≠0,显然 x=0 不是函数的零点,这样函数有且仅有一个正实 数零点等价于方程 mx2-2x+1=0 有一个正根和一个负根,即 mf(0) <0,即 m<0.故选 B 项. 答案:B x ? ?2 -1,x≥0, ? 通关训练 3 解析: 画出函数 f(x)= 的图像, 由图像可知, 若函数 y=f(x) 2 ?-x -2x,x<0 ? -m 有 3 个零点,则 0<m<1,因此 m 的取值范围是(0,1). 答案:(0,1)

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考题调研 成功体验———————————————— 1.解析:函数 f(x)=2x|log0.5x|-1 的零点也就是方程 2x|log0.5x|-1=0 的根,即 2x· |log0.5x| 1?x 1?x ? ? =1,整理得|log0.5x|=?2? .令 g(x)=|log0.5x|,h(x)=?2? ,作 g(x),h(x)的图像如图所示.因为 两个函数图像有两个交点,所以 f(x)有两个零点.

答案:B 2.解析:由题意 a<b<c,可得 f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c- a)(c-b)>0.显然 f(a)· f(b)<0,f(b)· f(c)<0,所以该函数在(a,b)和(b,c)上均有零点,故选 A 项. 答案:A 3.解析:f(0)=-1<0,f(1)=2>0,f(2)=11>0,f(3)=32>0,f(4)=71>0,则 f(0)· f(1)=- 3 2<0 且函数 f(x)=x +2x-1 的图像是连续曲线,所以 f(x)在区间(0,1)内有零点. 答案:A 4.解析:要函数 f(x)=x2+2x+m 有零点,则 Δ=4-4m≥0,即 m≤1,故“m<1”是“函 数 f(x)=x2+2x+m 有零点”的充分而不必要条件. 答案:A 1 1 x-3 5.解析:由题得 f′(x)= - = (x>0),令 f′(x)>0 得 x>3;令 f′(x)<0 得 0<x<3; 3 x 3x 令 f′(x)=0 得 x=3,故函数 f(x)在区间(0,3)上为减函数,在区间(3,+∞)为增函数,在 x=3 处有极小值 1-ln3<0. 1? 1 1 e 又 f(1)= >0,f(e)= -1<0,f? ?e?=3e+1>0,故选 D 项. 3 3 答案:D 第九节 函数的应用 教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 错误! 学情自测 1.解析:∵f′(x)=ex+xex,∴f′(1)=2e. 答案:C 2.解析:依题意得 y′=1+lnx,y′|x=e=1+lne=2, 1 所以- ×2=-1,a=2. a 答案:A 3. 解析: 由 v(t)=s′(t)=6t2-gt, a(t)=v′(t)=12t-g, 得 t=2 时, a(2)=v′(2)=12×2 2 -10=14(m/s ). 答案:A 4.解析:∵y′=3x2-1,∴y′|x=1=3×12-1=2. ∴该切线方程为 y-3=2(x-1),即 2x-y+1=0. 答案:2x-y+1=0 5.解析:y′=(xcosx)′-(sinx)′ =x′cosx+x(cosx)′-cosx =cosx-xsinx-cosx =-xsinx. 答案:-xsinx

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核心考点 引领通关———————————————— f?x?-f?x0? 【例 1】 解析:f′(x0)=xlim →x0 x-x0 x3-x3 0 =xlim →x0 x-x0 2 2 =xlim →x (x +xx0+x0) =3x2 0. 曲线 f(x)=x3 在 x=x0 处的切线方程为 2 y-x3 (x-x0), 0=3x0· ?y=x3, ? 2 3 即 y=3x0x-2x0,由? 2 3 ?y=3x0x-2x0, ? 得(x-x0)2(x+2x0)=0,解得 x=x0 或 x=-2x0. 3 若 x0≠0,则交点坐标为(x0,x3 0),(-2x0,-8x0);若 x0=0,则交点坐标为(0,0). 2 3 答案:f′(x0)=3x0,若 x0≠0,交点为(x0,x0),(-2x0,-8x3 0);若 x0=0,交点为(0,0). 1 -1 1+Δx Δy f?1+Δx?-f?1? 通关训练 1 解析:(1)∵ = = Δx Δx Δx 1- 1+Δx 1-?1+Δx? = = Δx 1+Δx Δx 1+Δx?1+ 1+Δx? -Δx -1 = = , Δx? 1+Δx+1+Δx? 1+Δx+1+Δx -1 Δy 1 ∴f′(1)= lim = lim =- . 2 Δx→0 Δx Δx→0 1+Δx+1+Δx 1 1 - Δy f?x+Δx?-f?x? x+2+Δx x+2 (2)∵ = = Δx Δx Δx ?x+2?-?x+2+Δx? -1 = = , Δx?x+2??x+2+Δx? ?x+2??x+2+Δx? -1 Δy 1 ∴f′(x)= lim = lim =- . Δx→0 Δx Δx→0 ?x+2??x+2+Δx? ?x+2?2 1 1 答案:(1)f′(1)=- ;(2)f′(x)=- . 2 ?x+2?2 【例 2】 解析:(1)方法一:y=(x2+3x+2)(x+3) =x3+6x2+11x+6, ∴y′=3x2+12x+11. 方法二:y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′ =[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)· (x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x2+12x+11. x x 1 -cos ?=- sin x, (2)∵y=sin ? 2? 2? 2 1 1 1 ? ∴y′=? ?-2sin x?′=-2(sinx)′=-2cosx. 1+ x+1- x 1 1 2 (3)y= + = = , 1- x 1+ x ?1- x??1+ x? 1-x 2 -2?1-x?′ 2 ∴y′=?1-x?′= = . ? ? ?1-x?2 ?1-x?2
0

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1 答案:(1)y′=3x2+12x+11;(2)y′=- cosx; 2 2 (3)y′= . ?1-x?2 2 4 2?x -x-2? 通关训练 2 解析:(1)f ′(x)=2x-2- = x x 2?x+1??x-2? = (x>0), x ∵x>0,∴x+1>0. ∴f ′(x)>0?x-2>0?x>2. ∴f ′(x)>0 的解集为(2,+∞). π? (2)由已知:f ′(x)=f ′? ?2?cosx-sinx. π? ?π? 则 f ′? ?2?=-1,因此 f(x)=-sinx+cosx, f?4?=0. 答案:(1)C (2)0 【例 3】 解析:(1)设 u=2x-3,则 y=(2x-3)5, 由 y=u5 与 u=2x-3 复合而成, ∴y′=f ′(u)· u′(x)=(u5)′(2x-3)′=5u4· 2=10u4=10(2x-3)4. (2)设 u=3-x,则 y= 3-x. 1 由 y=u 与 u=3-x 复合而成. 2 1 1 1 y′=f ′(u)· u′(x)=(u )′(3-x)′= u- (-1) 2 2 2 3-x 1 1 1 =- u- =- = . 2 2 2 x -6 2 3-x π (3)设 y=u2,u=sinv,v=2x+ , 3 则 y′x=y′u· u′v· v′x=2u· cosv· 2 π π ? cos?2x+ ?=2sin?4x+2π?. =4sin? 3? 3? ?2x+3?· ? ? 答案:(1)y′=10(2x-3)4;(2)y′= 2π 4x+ ?. (3)y′=2sin? 3? ? 1 x · 2x= 2 . 2 2 x +1 x +1 (2)y′=(2sin2x)(cos2x)×2=2sin4x. - - - (3)y′=(-e x)sin2x+e x(cos2x)×2=e x(2cos2x-sin2x). 1 1 x (4)y′= 2x= . 2· 2· 1 + x2 1+x 2 1+x x x - 答案:(1)y′= 2 ;(2)y′=2sin4x;(3)y′=e x(2cosx-sin2x);(4)y′= . 1 + x2 x +1 1 4 【例 4】 解析:(1)∵P(2,4)在曲线 y= x3+ 上,且 y′=x2, 3 3 ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率为 y′|x=2=4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0. 1 3 4? 1 4 (2)设曲线 y= x3+ 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A? ?x0,3x0+3?,则切线的斜率为 y′|x 3 3 =x0=x2 0. 通关训练 3 解析:(1)y′= 3-x ; 2x-6

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1 3 4? 2 ∴切线方程为 y-? ?3x0+3?=x0(x-x0), 2 4 即 y=x2 x- x3 + . 0· 3 0 3 2 3 4 ∵点 P(2,4)在切线上,∴4=2x2 0- x0+ , 3 3 2 3 2 2 即 x3 0-3x0+4=0,∴x0+x0-4x0+4=0, 2 ∴x0 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, ∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 x-y+2=0 或 4x-y-4=0. (3)设切点为(x0,y0),则切线的斜率为 x2 1. 0=1,x0=± 5 ? 切点为(-1,1)或? ?1,3?, 5 ∴切线方程为 y-1=x+1 或 y- =x-1, 3 即 x-y+2=0 或 3x-3y+2=0. 答案:(1)4x-y-4=0;(2)x-y+2=0 或 4x-y-4=0;(3)x-y+2=0 或 3x-3y+2=0. 通关训练 4 解析:(1)f′(x)=3x2-8x+5,f′(2)=1,又 f(2)=-2. ∴曲线 f(x)在 x=2 处的切线方程为 y-(-2)=x-2,即 x-y-4=0. 2 2 (2)设切点坐标为(x0,x3 0-4x0+5x0-4),f′(x0)=3x0-8x0+5,则切线方程为 y-(-2)= 2 3 2 2 2 (3x0-8x0+5)(x-2),又切线过(x0,x0-4x0+5x0-4)点,则 x3 0-4x0+5x0-2=(3x0-8x0+5)(x0 -2),整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得 x0=2 或 x0=1, 因此经过 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程为 x-y-4=0 或 y+2=0. 答案:(1)x-y-4=0;(2)x-y-4=0 或 y+2=0. 考题调研 成功体验———————————————— 1.解析:由题意知 y′|x=-1=(4x3+2ax)|x=-1=-4-2a=8,则 a=-6.故选 D 项. 答案:D x-1-?x+1? -2 1 2.解析:y′= = ,点(3,2)处切线斜率 k=- ,∵切线与直线 ax 2 2 ?x-1? ?x-1?2 +y+1=0 垂直, ∴a=-2. 答案:D π x+ ?=xcosx, 3.解析:∵f(x)=xsin? ? 2? ∴f′(x)=cosx-xsinx, π? π π π π ∴f′? ?2?=cos2-2sin2=-2,故选 A. 答案:A 4.解析:过点 P 作 y=x-2 的平行直线,且与曲线 y=x2-lnx 相切,设 P(x0,x2 0-lnx0), 1 则 k=y′|x=x0=2x0- , x0 1 1 ∴2x0- =1,∴x0=1 或 x0=- (舍去). x0 2 |1-1-2| ∴P(1,1),∴d= = 2. 1+1 答案:B 5.解析:令 ex=t,则 x=lnt,∴f(t)=lnt+t, 1 ∴f′(t)= +1,∴f′(1)=2. t 答案:2 第二节 导数的应用(一)

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教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 10 f(b) 11 f(a) 答案:□ □ 12 f(b) □ 学情自测 1.解析:∵f′(x)=3x2+2ax+3,f′(-3)=0,∴a=5. 答案:D 1 1 ?x-1??x+1? 2.解析:函数 y= x2-lnx 的定义域为(0,+∞),y′=x- = ,令 y′≤0, 2 x x 则可得 0<x≤1. 答案:B 3.解析:求导得 f′(x)=ex+xex=ex(x+1),令 f′(x)=ex(x+1)=0,解得 x=-1,易知 x=-1 是函数 f(x)的极小值点. 答案:D 4.解析:f′(x)=x2+2x-3,f′(x)=0,x∈[0,2], 17 得 x=1.比较 f(0)=-4,f(1)=- , 3 10 17 f(2)=- .可知最小值为- . 3 3 17 答案:- 3 5.解析:f′(x)=3x2-a 在 x∈[1,+∞)上 f′(x)≥0,则 f′(1)≥0?a≤3. 答案:3 核心考点 引领通关———————————————— 【例 1】 解析:f′(x)=ex-a, (1)若 a≤0,则 f′(x)=ex-a≥0, 即 f(x)在 R 上递增, 若 a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna. 因此当 a≤0 时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞),当 a>0 时,f(x)的单调增区间是[lna, +∞). (2)∵f′(x)=ex-a≤0 在(-2,3)上恒成立. ∴a≥ex 在 x∈(-2,3)上恒成立. - 又∵-2<x<3,∴e 2<ex<e3,只需 a≥e3. 当 a=e3 时,f′(x)=ex-e3 在 x∈(-2,3)上, f′(x)<0,即 f(x)在(-2,3)上为减函数,∴a≥e3. 故存在实数 a≥e3,使 f(x)在(-2,3)上为减函数. 答案:(1)a≤0 时,f(x)的增区间为(-∞,+∞);a>0 时,f(x)的增区间为[lna,+∞); (2)存在,a 的范围是 a≥e3. 通关训练 1 解析:(1)当 a=2 时,f(x)=(-x2+2x)ex, ∴f′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex. 令 f′(x)>0,即(-x2+2)ex>0, ∵ex>0,∴-x2+2>0,解得- 2<x< 2. ∴函数 f(x)的单调递增区间是(- 2, 2). (2)若函数 f(x)在 R 上单调递减, 则 f′(x)≤0 对 x∈R 都成立, 即[-x2+(a-2)x+a]ex≤0 对 x∈R 都成立. ∵ex>0,∴x2-(a-2)x-a≥0 对 x∈R 都成立. ∴Δ=(a-2)2+4a≤0,即 a2+4≤0,这是不可能的. 故不存在 a 使函数 f(x)在 R 上单调递减. 答案:(1)(- 2, 2);(2)不存在,理由略.

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1 3 【例 2】 解析:(1)因 f(x)=alnx+ + x+1, 2x 2 a 1 3 故 f′(x)= - 2+ . x 2x 2 由于曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于 y 轴,故该切线斜率为 0,即 f′(1)=0, 1 3 从而 a- + =0,解得 a=-1. 2 2 1 3 (2)由(1)知 f(x)=-lnx+ + x+1(x>0), 2x 2 2 1 1 3 3x -2x-1 f′(x)=- - 2+ = x 2x 2 2x2 ?3x+1??x-1? = . 2x2 令 f′(x)=0,解得 x1=1, 1 1 x2=- (因 x2=- 不在定义域内,舍去). 3 3 当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,1)上为减函数; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(1,+∞)上为增函数. 故 f(x)在 x=1 处取得极小值 f(1)=3. 答案:(1)a=-1;(2)f(x)的极小值为 3,无极大值. 通关训练 2 解析:(1)因为 f(x)=x3+ax2+bx, 所以 f′(x)=3x2+2ax+b, 且 f′(-1)=3-2a+b=0, f′(1)=3+2a+b=0, 解得 a=0, b=-3. 经检验,当 a=0,b=-3 时,1 和-1 是函数 f(x)=x3+ax2+bx 的两个极值点.综上, 所求的 a 和 b 的值分别为 0,-3. (2)由(1),知 f(x)=x3-3x,所以 g′(x)=x3-3x+2=(x-1)2(x+2),令 g′(x)=0,得 x =1 或 x=-2, 当 x 变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表所示: x 1 (-∞,-2) -2 (-2,1) (1,+∞) 0 0 g′(x) - + + g(x) 极小值 不是极值 所以 x=-2 是函数 g(x)的极小值点,即函数 g(x)的极值点为-2. 答案:(1)a=0,b=-3;(2)-2. 【例 3】 解析:(1)f′(x)=3x2+2ax+b. 2? 依题意 f′(1)=3,f′? ?3?=0, 3+2a+b=3, ? ?a=2, ? ? 得? ?2?2 4 解之得? ? ?b=-4. ? ?3? +3a+b=0, ?3· 所以 f(x)=x3+2x2-4x+5. (2)由(1)知,f′(x)=3x2+4x-4=(x+2)(3x-2). 2 令 f′(x)=0,得 x1=-2,x2= . 3 当 x 变化时,f(x),f′(x)的变化情况如下表: x -4 (-4, 2 ?-2,2? ?2,1? -2) -2 3? 3 ? ?3 ? 0 f′(x) + - f(x) -11 极大值 13

1 0 95 极小值 27 + 4

∴f(x)在[-4,1]上的最大值为 13,最小值为-11.

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答案:(1)f(x)=x3+2x2-4x+5;(2)最大值为 13,最小值为-11. 通关训练 3 解析:(1)因为 f(x)=ax3+bx+c,故 f′(x)=3ax2+b. 由于 f(x)在点 x=2 处取得极值 c-16, ?f′?2?=0, ?12a+b=0, ? ? 故有? 即? ?f?2?=c-16, ?8a+2b+c=c-16, ? ?
? ? ?12a+b=0, ?a=1, 化简得? 解得? ?4a+b=-8, ?b=-12. ? ? 3 (2)由(1)知 f(x)=x -12x+c, f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2). 令 f′(x)=0,得 x1=-2,x2=2. 当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0, 故 f(x)在(-∞,-2)上为增函数; 当 x∈(-2,2)时,f′(x)<0, 故 f(x)在(-2,2)上为减函数; 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0, 故 f(x)在(2,+∞)上为增函数. 由此可知 f(x)在 x=-2 处取得极大值 f(-2)=16+c, f(x)在 x=2 处取得极小值 f(2)=c-16. 由题设条件知 16+c=28,解得 c=12. 此时 f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3, f(2)=-16+c=-4, 因此 f(x)在[-3,3]上的最小值为 f(2)=-4. 答案:(1)a=1,b=-12;(2)-4. 考题调研 成功体验———————————————— 1 1 1 1 ? ? 1. 解析: 由条件知 f′(x)=2x+a- 2≥0 在? 即 a≥ 2-2x 在? ?2,+∞?上恒成立, ?2,+∞? x x 上恒成立. 1 1 ? ∵函数 y= 2-2x 在? ?2,+∞?上为减函数, x 1 1 ∴ymax< -2× =3.∴a≥3.故选 D 项. 1 2 ? ?2 2 ? ? 答案:D 2.解析:当 k=1 时,f(x)=(ex-1)(x-1),f′(x)=xex-1, ∵f′(1)=e-1≠0, ∴f(x)在 x=1 处不能取到极值; 当 k=2 时,f(x)=(ex-1)(x-1)2,f′(x)=(x-1)· (xex+ex-2),令 H(x)=xex+ex-2, x x 则 H′(x)=xe +2e >0,x∈(0,+∞). 说明 H(x)在(0,+∞)上为增函数, 且 H(1)=2e-2>0,H(0)=-1<0, 因此当 x0<x<1(x0 为 H(x)的零点)时,f′(x)<0,f(x)在(x0,1)上为减函数. 当 x>1 时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上是增函数. ∴x=1 是 f(x)的极小值点,故选 C 项. 答案:C

3.

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1 ? 解析:f′(x)=lnx-ax+x? ?x-a?=lnx-2ax+1,函数 f(x)有两个极值点,即 lnx-2ax+1 lnx+1 =0 有两个不同的根(在正实数集上),即函数 g(x)= 与函数 y=2a 在(0,+∞)上有两个 x -lnx 不同交点.因为 g′(x)= 2 ,所以 g(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,所以 g(x)max= x g(1)=1,如图. 若 g(x)与 y=2a 有两个不同交点,须 0<2a<1. 1 即 0<a< ,故选 B. 2 答案:B 4.解析:对于 A 项,由极大值的定义知错误;对于 B 项,函数 f(x)与 f(-x)的图像关于 y 轴对称,-x0 应是 f(-x)的极大值点,故不正确;对于 C 项,函数 f(x)与-f(x)图像关于 x 轴对称,x0 应是-f(x)的极小值点,故不正确;对于 D 项,函数 f(x)与-f(-x)的图像关于原 点成中心对称,故正确. 答案:D 5.解析:∵函数 f(x)的图像关于直线 x=-2 对称, ∴f(x)满足 f(0)=f(-4),f(-1)=f(-3), ? ? ?b=-15?16-4a+b?, ?a=8, 即? 解得? ?0=-8?9-3a+b?, ?b=15. ? ? 4 3 2 ∴f(x)=-x -8x -14x +8x+15. 由 f′(x)=-4x3-24x2-28x+8=0, 得 x1=-2- 5,x2=-2,x3=-2+ 5. 易知,f(x)在(-∞,-2- 5)上为增函数,在(-2- 5,-2)上为减函数,在(-2,-2 + 5)上为增函数,在(-2+ 5,+∞)上为减函数. ∴f(-2- 5)=[1-(-2- 5)2][(-2- 5)2+8(-2- 5)+15] =(-8-4 5)(8-4 5) =80-64=16. f(-2)=[1-(-2)2][(-2)2+8×(-2)+15] =-3(4-16+15) =-9. f(-2+ 5)=[1-(-2+ 5)2][(-2+ 5)2+8(-2+ 5)+15] =(-8+4 5)(8+4 5) =80-64 =16. 故 f(x)的最大值为 16. 答案:16 第三节 导数的应用(二) 学情自测 1.解析:因为 y′=-x2+81,所以当 x>9 时,y′<0;当 x∈(0,9)时,y′>0,所以 1 函数 y=- x3+81x-234 在(9,+∞)上单调递减,在(0,9)上单调递增,所以 x=9 是函数的 3 极大值点,又因为函数在(0,+∞)上只有一个极大值点,所以函数在 x=9 处取得最大值. 答案:C 2.解析:f′(x)=ex(sinx+cosx). π? ∵x∈? ?0,2?,∴f′(x)>0. π? ∴f(x)在? ?0,2?上为增函数,

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π? π ∴f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f? ?2?=e2. 答案:A x2+a-2x2 a-x2 3.解析:f′(x)= 2 = 2 , ?x +a?2 ?x +a?2 当 x> a时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 当- a<x< a时,f′(x)>0,f(x)单调递增, a 3 3 当 x= a时,令 f(x)= = , a= <1,不合题意. 2a 3 2 1 3 ∴f(x)max=f(1)= = ,a= 3-1. 1+a 3 答案:D 4.解析:∵f(x)是奇函数, ∴f(x)在(0,2)上的最大值为-1, 1 1 1 1 当 x∈(0,2)时,f′(x)= -a,令 f′(x)=0 得 x= ,又 a> ,∴0< <2. x a 2 a 1 1 ? 令 f′(x)>0,则 x< ,∴f(x)在? ?0,a?上递增; a 1 ? 1 令 f′(x)<0,则 x> ,∴f(x)在? ?a,2?上递减, a 1? 1 1 ∴f(x)max=f? = ln - a · =-1, a ? ? a a 1 ∴ln =0,得 a=1. a 答案:1 5.解析:若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)≥0 显然成立. 3 1 当 x>0,即 x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 a≥ 2- 3. x x 3?1-2x? 3 1 设 g(x)= 2- 3,则 g′(x)= , x x x4 1? ?1 ? ?1? 所以 g(x)在区间? ?0,2?上单调递增,在区间?2,1?上单调递减,因此 g(x)max=g?2?=4, 从而 a≥4. 3 1 当 x<0,即 x∈[-1,0]时,同理,a≤ 2- 3. x x g(x)在区间[-1,0)上单调递增, ∴g(x)min=g(-1)=4,从而 a≤4,综上,可知 a=4. 答案:4 核心考点 引领通关———————————————— 【例 1】 解析:(1)由 f(x)=ex-2x+2a,x∈R 知 f′(x)=ex-2,x∈R. 令 f′(x)=0,得 x=ln2,于是当 x 变化时, f′(x),f(x)的变化情况如下表: x ln2 (-∞,ln2) (ln2,+∞) 0 f′(x) - + f(x) 单调递减 2(1-ln2+a) 单调递增 故 f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2],单调递增区间是[ln2,+∞), f(x)在 x=ln2 处取得极小值,极小值为 f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a). (2)证明:设 g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R, 于是 g′(x)=ex-2x+2a,x∈R. 由(1)知当 a>ln2-1 时,g′(x)的最小值为

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g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0. 于是对任意 x∈R,都有 g′(x)>0, 所以 g(x)在 R 上单调递增. 于是当 a>ln2-1 时,对任意 x∈(0,+∞),都有 g(x)>g(0). 而 g(0)=0,从而对任意 x∈(0,+∞),g(x)>0. 即 ex-x2+2ax-1>0,故 ex>x2-2ax+1. 答案:(1)递减区间为(-∞,ln2],递增区间为[ln2,+∞),f(x)的极小值为 2(1-ln2+a), 无极大值; (2)证明略. 3 通关训练 1 解析:(1)记 g(x)=lnx+ x-1- (x-1),则当 x>1 时, 2 1 1 3 3 g′(x)= + - <0.又 g(1)=0,有 g(x)<0,即 f(x)< (x-1). x 2 x 2 2 9?x-1? (2)记 h(x)=f(x)- . x+5 2+ x x+5 ?x+5?3-216x 1 1 54 54 54 由(1)得 h′(x)= + - - - . 2= 2< 2= x 2 x ?x+5? 2x ?x+5? 4x ?x+5? 4x?x+5?2 令 g(x)=(x+5)3-216x. 则当 1<x<3 时,g′(x)=3(x+5)2-216<0,因此 g(x)在(1,3)内是递减函数. 又由 g(1)=0,得 g(x)<0,所以 h′(x)<0,因此 h(x)在(1,3)内是递减函数. 9?x-1? 又 h(1)=0,得 h(x)<0.于是当 1<x<3 时,f(x)< . x+5 答案:证明略. 【例 2】 解析:(1)函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞). 若 x=0,则 f′(x)=0; 若 x<0,则 1-ex>0,f′(x)<0; 若 x>0,则 1-ex<0,f′(x)<0. ∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数, 即 f(x)的单调递减区间为(-∞,+∞). (2)由(1)知,f(x)在[-2,2]上单调递减, 故[f(x)]min=f(2)=2-e2, ∴m<2-e2 时,不等式 f′(x)>m 恒成立. 故 m 的取值范围是(-∞,2-e2). 答案:(1)f(x)的递减区间为(-∞,+∞);(2)(-∞,2-e2). 通关训练 2 解析:(1)当 a=-1 时,f(x)=x2lnx+x2-1, f′(x)=2xlnx+3x. 则曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 f′(1)=3. 又 f(1)=0,所以切线方程为 3x-y-3=0. (2)f′(x)=2xlnx+(1-2a)x=x(2lnx+1-2a),其中 x≥1. 1 当 a≤ 时,因为 x≥1,所以 f′(x)≥0, 2 所以函数 f(x)在[1,+∞)上单调递增, 故 f(x)≥f(1)=0. 1 1 当 a> 时,令 f′(x)=0,得 x=ea- . 2 2 1? 若 x∈? ?1,ea-2?,则 f′(x)<0, 1? 所以函数 f(x)在? ?1,ea-2?上单调递减, 1? 所以当 x∈? ?1,ea-2?时,f(x)≤f(1)=0,不符合题意.

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1? 综上 a 的取值范围是? ?-∞,2?. 1? 答案:(1)3x-y-3=0;(2)? ?-∞,2?. 51 1 【例 3】 解析: (1)因为当 x=10 时, y=9.2, 即 ×10-a×102-ln1=9.2, 解得 a= . 50 100 51 x2 x 所以 f(x)= x- -ln . 50 100 10 x 1 12t 因为 ≥t 且 t> ,所以 6<x≤ , 2 2x-12 2t-1 12t 即投入 x 的取值范围是?6,2t-1?. ? ? x2-51x+50 ?x-1?? x-50? 51 x 1 (2)对 f(x)求导,得 f′(x)= - - =- =- . 50 50 x 50x 50x 令 f′(x)=0,得 x=50 或 x=1(舍去). 当 x∈(6,50)时,f′(x)>0,且 f(x)在(6,50]上连续,因此 f(x)在(6,50]上是增函数; 当 x∈(50,+∞)时,f′(x)<0,且 f(x)在[50,+∞)上连续,因此 f(x)在[50,+∞)上是减 函数.所以 x=50 为极大值点. 1 25? 12t 当 ≥50,即 t∈? ?2,44?时,投入 50 万元改造时取得最大增加值; 2t-1 25 12t 12t ? 当 6< <50,即 t∈? ?44,+∞?时,投入2t-1万元改造时取得最大增加值. 2t-1 12t 51 x2 x 答案:(1)y= x- -ln ,x∈?6,2t-1?; 50 100 10 ? ? 1 25 ? (2)当 t∈? ?2,44?时,x=50 万元; 25 12t ? 当 x∈? ?44,+∞?时,x=2t-1万元. a 通关训练 3 解析:(1)因为 x=5 时,y=11,所以 +10=11,所以 a=2. 2 2 (2)由(1)可知,该商品每日的销售量 y= +10(x-6)2, x-3 所以商场每日销售该商品所获得的利润 2 2 f(x)=(x-3)?x-3+10?x-6? ? ? ? =2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6. 从而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6). 于是,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (3,4) 4 (4,6) 0 f′(x) + - f(x) 单调递增 极大值 42 单调递减 由上表可得,x=4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点. 所以,当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值,且最大值等于 42. 答:当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 答案:(1)a=2;(2)x=4 元/千克. 考题调研 成功体验———————————————— 1 1.解析:由题意知|MN|=|x3-lnx|,设 h(x)=x3-lnx,h′(x)=3x2- ,令 h′(x)=0,得 x 3 1 3 1 1 1 1 1 1 1-ln ?>0,故|MN|min ,易知当 x= 时,h(x)取得最小值,h(x)min= - ln = ? 3? 3 3 3 3 3 3? 1? 1 1? = ?1-ln3?= (1+ln3). 3 3 x=

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答案:A 1 1 2.解析:显然 y= ex 和 y=ln(2x)的图像关于直线 y=x 对称,令 y′= ex=1?x=ln2. 2 2 1-ln2 1 所以 y= ex 的斜率为 1 的切线的切点是(ln2,1),到直线 y=x 的距离 d= . 2 2 1-ln2 所以|PQ|min=2× = 2(1-ln2),所以选 B. 2 答案:B 3.解析:依题意得,y′=-3x2+27=-3(x-3)(x+3),当 0<x<3 时,y′>0;当 x>3 时,y′<0.因此,当 x=3 时,该商品的年利润最大. 答案:C 1 4.解析:设 f(x)= x3-ax2+1,则 f′(x)=x2-2ax=x(x-2a),因为 a>2,所以 2a>4, 3 8 ? 11 所以当 x∈(0,2)时, f′(x)<0, 则 f(x)在(0,2)上为减函数, 又 f(0)f(2)=1×? ?3-4a+1?= 3 -4a<0, 所以 f(x)=0 在(0,2)上恰好有 1 个根,故选 B. 答案:B 5.解析:由题意可得 f′(-2)=0,而且当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,此时 xf′(x)>0; 当 x∈(-2,+∞)时,f′(x)>0,此时若 x∈(-2,0),xf′(x)<0,若 x∈(0,+∞),xf′(x)>0, 所以函数 y=xf′(x)的图像可能是 C. 答案:C 第四节 定积分与微积分基本定理 教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 b c b 10 11 F(b)-F(a) 12 F(x)|a 答案:□ □ ? f(x)dx+? f(x)dx(其中 a<c<b) □

?a

?c

b 13 F(x)|a □

学情自测 1 1.解析:?4 dx=lnx|4 2=ln4-ln2=ln2. ?x
2

答案:D 1 0 2.解析:?1(ex+2x)dx=(ex+x2)|1 0=(e +1)-e =e.

?0

答案:C 3.解析:先求[0,π]上的面积为: π π ? sinxdx=-cosx|0=2.

?0

因为三块区域的面积相等,都是 2,故总面积为 6. 答案:D 4.解析:∵?2f(x)dx=?1f(x)dx+?2f(x)dx,

?0

?0

?1

∴? f(x)dx=? f(x)dx-? f(x)dx

?1

2

?0

2

?0

1

=-1-1 =-2. 答案:-2 2 3 2 3 2 1 2 4 5.解析:由已知得 S=?a xdx= x |a 0= a =a ,所以 a = ,所以 a= . 3 2 3 2 2 3 9 ? 4 答案: 9 核心考点 引领通关————————————————
0

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1 2 14 2x2- ?dx=? x3-lnx?|2 【例 1】 解析:(1)?2? -ln2. 1= x 3 ? ? ? ? 3 ?
1

π x π 1-cosx 1 π π-2 (2)∫ 0sin2 dx=∫ 0 dx= (x-sinx)| 0= . 2 2 2 2 2 2 4 - π (3)?0-π(cosx+ex)dx=(sinx+ex)|0 . -π=1-e

?

(4)y= -x2+2x= 1-?x-1?2 y≥0, ? ? 2 ??1-?x-1? ≥0, ? ?y2=1-?x-1?2
?y≥0, ? ?? 2 2 ??x-1? +y =1, ? ?y≥0, ? ?? 2 2 ?y =1-?x-1? ?

π 由图形可知:?1 -x2+2x= . 4 ?
0

(5)由 y=xcosx-5sinx 为奇函数,得 1 1 ? -1(xcosx-5sinx+2)dx=? -1(xcosx-5sinx)dx+

? ? ?

?

1-12dx=2x|1 -

1=4.

π-2 14 π - 答案:(1) -ln2;(2) ;(3)1-e π;(4) ;(5)4. 3 4 4 1 1 1 3 x - x2?|1 通关训练 1 解析:(1)?1(x2-x)dx=? 0=- . 3 2 ? ? 6 ?
0

π π x π 1-cosx (2)∫ - sin2 dx=2∫ 0 dx 2 2 2 2 2 π1 π cosx =2∫ 0 dx-2∫ 0 dx 22 2 2 1 π 1 π =2·x| 0-2·· sinx| 0 2 2 2 2 π ? =? ?2-0?-(1-0) π-2 = . 2 3 (3)?2|3-2x|dx=∫ 1|3-2x|dx+错误!|3-2x|dx 2 ? 3 =∫ 1(3-2x)dx+错误!(2x-3)dx 2 3 =(3x-x2)| 1+(x2-3x)|错误! 2 1 = . 2 π-2 1 1 答案:(1)- ;(2) ;(3) . 6 2 2 【例 2】 解析:(1)由图像可得二次函数的解析式为 f(x)=-x2+1,则与 x 轴所围图形 x3 4 1 - +x?|- 的面积 S=?1-1(-x2+1)dx=? 1= . 3 ? ? 3 ?
1

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?y= x, (2)由? 得交点 A(1,1); ?y=2-x
y=2-x, ? ? 由? 得交点 B(3,-1). 1 y=- x ? 3 ? 故所求面积 1 1 x+ x?dx+?3?2-x+ x?dx S=?1? 3 3 ? ? ? ? ? ? 2 3 1 2? 1 ? 1 2? 3 | | =? ?3x2+6x ? 0+?2x-3x ? 1 2 1 4 = + + 3 6 3 13 = . 6 13 (2) 6 通关训练 2 解析:(1)封闭图形的面积为: π π π π ∫ - cosxdx=sinx| - 3 3 3 3 π π ? =sin -sin? ?-3? 3 3 3 = -?- ? 2 ? 2? = 3. (2)令 y=-1 得到 A(-2,-1),B(-1,-1),C(1,-1),D(2,-1).设围成的面积为 答案:(1)B S, 因为 y 轴两边的阴影部分关于 y 轴对称, 4 所以 S=2?0-1(2 -y- -y)dy= . 3 ? 4 答案:(1)D (2) 3 【例 3】 解析: (1)①设 A 到 C 经过 t1 s, 由 1.2t1=24, 得 t1=20 s, 所以 AC=∫20 0 1.2tdt =0.6t2|20 = 240( m ) . 0 ②设从 D 到 B 经过 t2 s,由 24-1.2t2=0,得 t2=20 s. 20 所以 DB=∫0 (24-1.2t)dt=240 m. 10 (2)W=∫1 F(x)dx 2 =∫10 1 (x +1)dx 1 3 ? 10 | =? ?3x +x? 1 =342. ∴力对质点 M 所作的功为 342 J. 答案:(1)240 240 (2)342
0 1

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通关训练 3

2t ?0≤t<1? ? ?2 ?1≤t<3? 解析:v(t)=? t+1 ?3≤t≤6? ?1 ? 3



由变速直线运动的路程公式,可得 S=错误!v(t)dt =错误!2tdt+错误!2dt+错误!错误!dt =t2|错误!+2t错误!错误!+错误!错误!错误! 49 = (m) 4 1 49 所以物体在 s~6 s 间的运动路程是 m. 2 4 49 答案: m 4 考题调研 成功体验———————————————— 1.解析:由题意可知,l 的方程为 y=1. 如图,B 点坐标为(2,1),

x3 ? 2 8 x2 | ∴所求面积 S=4-2?2 dx=4-2? ?12? 0=3,故选 C 项. ? 4
0

答案:C 1 7 2.解析:S1=?2x2dx= x3|2 1= , 3 3 ?
1

S2=?

? 1x
1

21

dx=lnx|2 1=ln2,

7 2 S3=?2exdx=ex|2 1=e -e=e(e-1)>e> , 3 ? 所以 S2<S1<S3,故选 B 项. 答案:B 25 3.解析:由于 v(t)=7-3t+ ,且汽车停止时速度为 0, 1+t 因此由 v(t)=0 可解得 t=4, 即汽车从刹车到停止共用 4 s. 该汽车在此期间所行驶的距离 25 s=?4?7-3t+1+t?dt ? ?? 3t ? |4 =? ?7t- 2 +25ln?t+1?? 0 =4+25ln5(m). 答案:C 1 3? 2 4.解析:∵? ?3x ?′=x , 1 1 ∴?Tx2dx= x3|T = T3-0=9,∴T=3. 3 0 3 ?
0 0 2

答案:3

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1 2x? 5.解析:由题意得,所求面积为?e ? ?x+2x+2e ?dx=

?1

2e 2x e 2 2e 2 2e e dx+?e (2x)dx+?e (2e2x)dx=lnx|e 1+x |1+e |1=(1-0)+(e -1)+(e -e )=e . ? ?1x ?1 ?1

1

答案:e2e

第五章 三角函数、三角恒等变换、解三角形 第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数 教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 错误! 学情自测 1.解析:因-870° =-2×360° -150° .-150° 是第三象限角. 答案:C -1 1 2.解析:∵sin α= =- ,且 α 的终边在第四象限, 2 2 11 ∴α= π. 6 答案:B 3.解析:由 sin α<0,知 α 在第三、第四象限或 α 终边在 y 轴的负半轴上,由 tanα>0, 知 α 在第一或第三象限,因此 α 在第三象限. 答案:C 2π 4.解析:因 tan =- 3=-y,∴y= 3. 3 答案: 3 3 l 3π 1 5.解析:弧长 l=3π,圆心角 α= π,由弧长公式 l=α· r 得 r= = =4,面积 S= lr 4 α 3 2 π 4 =6π. 答案:4 6π 核心考点 引领通关———————————————— π 【例 1】 解析:(1)终边在直线 y= 3x 上的角的集合为{α|α=kπ+ ,k∈Z}. 3 6 6 (2)所有与 π 角终边相同的角的集合是{θ|θ= π+2kπ,k∈Z}, 7 7 θ θ 2 2 ∴所有与 角终边相同的角可表示为 = π+ kπ,k∈Z. 3 3 7 3 θ 2 20 34 ∴在[0,2π)内终边与 角终边相同的角有 π, π, π. 3 7 21 21 π (3)∵2kπ<α<2kπ+ ,k∈Z, 2 α π ∴4kπ<2α<4kπ+π,kπ< <kπ+ ,k∈Z. 2 4 α ∴2α 在第一或第二象限或终边在 y 轴非负半轴上, 角终边在第一或第三象限. 2 π 答案:(1){α|α=kπ+ ,k∈Z}; 3 2π 20π 34π α (2) , , ;(3)2α 在第一或第二象限或终边在 y 轴非负半轴上, 角终边在第一或 7 21 21 2 第三象限. 通关训练 1 解析:(1)所有与角 α 有相同终边的角可表示为 β=45° +k×360° (k∈Z),

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则令-720° ≤45° +k×360° ≤0° , 得-765° ≤k×360° ≤-45° , 765 45 解得- ≤k≤- ,从而 k=-2 或 k=-1, 360 360 代入得 β=-675° 或 β=-315° . (2)因为 M={x|x=(2k+1)×45° ,k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集 合; 而集合 N={x|x=(k+1)×45° ,k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集 合,从而 M N. 答案:(1)β=-675° 或-315° ;(2)M N. 【例 2】 解析:∵P(x,- 2)(x≠0), ∴点 P 到原点的距离 r= x2+2. 3 x 3 又 cosα= x,∴cosα= 2 = x. 6 x +2 6 ∵x≠0,∴x=± 10.∴r=2 3. 当 x= 10时,P 点坐标为( 10,- 2), 由三角函数的定义, - 2 6 1 10 有 sinα= =- , = =- 5, 6 tan α 2 3 - 2 6 5+ 6 1 6 ∴sinα+ =- - 5=- ; tanα 6 6 6 5- 6 1 当 x=- 10时,同理可求得 sinα+ = . tanα 6 6 5+ 6 6 5- 6 答案:- 或 . 6 6 通关训练 2 解析:∵角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上, ∴在角 α 的终边上任取一点 P(4t,-3t) (t≠0), 则 x=4t,y=-3t, r= x2+y2= ?4t?2+?-3t?2=5|t|, 当 t>0 时,r=5t, y -3t 3 x 4t 4 sinα= = =- ,cosα= = = , r 5t 5 r 5t 5 y -3t 3 tanα= = =- ; x 4t 4 y -3t 3 当 t<0 时,r=-5t,sinα= = = , r -5t 5 x 4t 4 y -3t 3 cosα= = =- ,tanα= = =- . r -5t 5 x 4t 4 3 4 3 综上可知,sinα=- ,cosα= ,tanα=- 5 5 4 3 4 3 或 sinα= ,cosα=- ,tanα=- . 5 5 4 3 4 3 答案:sinα=- ,cosα= ,tanα=- 5 5 4 3 4 3 或 sinα= ,cosα=- ,tanα=- . 5 5 4 π 【例 3】 解析:(1)∵2kπ+ <θ<2kπ+π (k∈Z), 2 ∴-1<cosθ<0,4kπ+π<2θ<4kπ+2π (k∈Z), -1≤sin2θ<0,∴sin(cosθ)<0,cos(sin2θ)>0.

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sin?cosθ? sin?cosθ? <0.∴ 的符号是负号. cos?sin2θ? cos?sin 2θ?

1 (2)作直线 x=- 交单位圆于 C、D 两点,连接 OC、OD,则 OC 与 OD 围成的区域(图中 2 阴影部分)即为角 α 终边的范围,故满足条件的角 α 的集合为 2 4 {α|2kπ+ π≤α≤2kπ+ π,k∈Z}. 3 3 2 4 答案:(1)负号;(2){α|2kπ+ π≤α≤2kπ+ π,k∈Z}. 3 3

通关训练 3 3 3 ,作直线 y= 交单位圆于 A、B 两点,连接 OA、OB,则 OA 与 OB 2 2 围成的区域(图中阴影部分)即为角 α 的终边的范围,故满足条件的角 α 的集合为 π 2 {x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ π,k∈Z}. 3 3 π (2)方法一:由 sin2θ<0,得 2kπ+π<2θ<2kπ+2π (k∈Z),kπ+ <θ<kπ+π (k∈Z). 2 当 k 为奇数时,θ 的终边在第四象限; 当 k 为偶数时,θ 的终边在第二象限. 又因 cosθ≤0,所以 θ 的终边在左半坐标平面(包括 y 轴),所以 θ 的终边在第二象限. 所以 tanθ<0,cosθ<0,点 P 在第三象限. 方法二:由|cosθ|=-cosθ 知 cosθ≤0,① 又 sin2θ<0,即 2sinθcosθ<0② ? ?sinθ>0, 由①②可推出? ?cosθ<0, ? 因此 θ 在第二象限,P(tanθ,cosθ)在第三象限. π 2 答案:(1){x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ π,k∈Z}; 3 3 (2)在第三象限. 【例 4】 解析:(1)设弧长为 l,弓形面积为 S 弓,则 π π 10π α=60° = ,R=10,l= ×10= (cm), 3 3 3 S 弓=S 扇-S△ 1 10π 1 π = × ×10- ×102×sin 2 3 2 3 50 50 3 = π- 3 2 π 3 ? =50? - (cm2). ?3 2 ? (2)扇形周长 C=2R+l=2R+αR, C ∴R= , 2+α 解析:∵sinx≥

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1 2 ∴S 扇= α· R 2 1 ? C ?2 = α· 2 ?2+α? C2 1 = α· 2 4+4α+α2 C2 1 = · 2 4 4+α+ α C2 ≤ . 16

C2 当且仅当 α2=4,即 α=2 时,扇形面积有最大值 . 16 10π π 3 答案:(1)弧长为 (cm),弓形面积为 50? - ?(cm2); 3 ?3 2 ? (2)α=2. 通关训练 4 解析:(1)设扇形的圆心角为 θ rad,则扇形的周长是 2r+rθ. 依题意:2r+rθ=πr,∴θ=(π-2)rad. 1 1 ∴扇形的面积 S= r2θ= (π-2)r2. 2 2 (2)设扇形的半径为 r,弧长为 l, 则 l+2r=20,即 l=20-2r (0<r<10). 1 ∴扇形的面积 S= lr 2 1 = (20-2r)r 2 =-r2+10r =-(r-5)2+25. ∴当 r=5 时,S 有最大值 25, l 此时 l=10,α= =2 rad. r 因此,当 α=2 rad 时,扇形的面积取最大值. 1 答案:(1)圆心角为(π-2)rad,扇形面积为 (π-2)r2;(2)2 rad. 2 考题调研 成功体验———————————————— 1.解析:在 α=195° +k· 360° (k∈Z)中,令 k=-2 得 α=-525° ,故选 C. 答案:C 2.解析:2 013° =5×360° +213° ,∴2 013° 是第三象限角. ∴tan2 013° >0,cos2 013° <0,∴点 P 在第四象限,故选 D. 答案:D ? ?sinα-cosα>0, π π? ? 5 ? , π, π 3.解析:由已知得? 解得 α∈? 4 2?∪? 4 ?. ? ?tanα>0, ? 答案:D 4. 解析: 由角 2α 的终边在第二象限, 知 tanα>0, 依题设知 tan2α=- 3, 所以 2α=120° , 得 α=60° ,tanα= 3. 答案:B 2 1 2 1 4 5.解析:∵sinα= ,cosα= ,∴sin2α=2× × = . 5 5 5 5 5 4 答案: 5 第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式

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教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 10 cosα 11 -tanα 12 sinα 13 -cosα 14 -tanα 15 cosα 16 sinα 17 cosα 18 -sinα 答案:□ □ □ □ □ □ □ □ □ 学情自测 1.解析:sin585° =sin(360° +225° ) =sin225° =sin(180° +45° ) 2 =-sin 45° =- . 2 答案:A 2.解析:∵sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ), ∴-sin θ=- 3cosθ,∴tanθ= 3. π π ∵|θ|< ,∴θ= . 2 3 答案:D cosθ+cosθ 2 2 3.解析:原式= = = =-2. cosθ-sin θ 1-tanθ 1-2 答案:B 1 1 4.解析:∵sin(π+A)= ,∴-sinA= . 2 2 3 1 ? ∴cos? ?2π-A?=-sinA=2. 1 答案: 2 sinα 1 2 5 5.解析:由题意知 cosα<0,又 sin2α+cos2α=1,tanα= =- .∴cosα=- . cosα 2 5 2 5 答案:- 5 核心考点 引领通关———————————————— 1 【例 1】 解析:(1)∵sinA+cosA= ① 5 1 ∴两边平方得 1+2sinAcosA= , 25 12 ∴sinAcosA=- . 25 12 (2)由 sinAcosA=- <0,且 0<A<π, 25 可知 cosA<0,∴A 为钝角,∴△ABC 是钝角三角形. (3)∵(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA 24 49 =1+ = , 25 25 又 sinA>0,cosA<0,∴sinA-cosA>0, 7 ∴sinA-cosA= .② 5 4 3 ∴由①,②可得 sinA= ,cosA=- , 5 5 4 5 sinA 4 ∴tanA= = =- . cosA 3 3 - 5 12 4 答案:(1)- ;(2)钝角三角形;(3)- . 25 3 2 通关训练 1 解析:(1)sin α+sinαcosα-2cos2α

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sin2α+sinαcosα-2cos2α sin2α+cos2α tan2α+tanα-2 4 = = . 5 tan2α+1 (2)∵sinα=2sinβ,tanα=3tanβ, ∴sin2α=4sin2β,① tan2α=9tan2β,② 由①÷ ②得:9cos2α=4cos2β,③ ①+③得:sin2α+9cos2α=4, ∵cos2α+sin2α=1, 3 6 ∴cos2α= ,即 cosα=± . 8 4 4 6 答案:(1) ;(2)± . 5 4 π ? ? 5π ? 【例 2】 解析:(1)∵? ?6+α?+? 6 -α?=π, π 5π ? ∴ -α=π-? ?6+α?. 6 5π ? ? ?π ?? ∴cos? ? 6 -α?=cos?π-?6+α?? π ? =-cos? ?6+α? 3 =- , 3 5π ? 3 即 cos? ? 6 -α?=- 3 . (2)∵cos(α-7π)=cos(7π-α) =cos(π-α) =-cosα 3 =- , 5 3 ∴cosα= . 5 7 α- π? ∴sin(3π+α)· tan? ? 2 ? ?-tan?7π-α?? =sin(π+α)· ? ?2 ?? π ? =sinα· tan? ?2-α? π ? sin? ?2-α? =sinα· π ? cos? ?2-α? cosα 3 =sinα· =cosα= . sinα 5 3 3 答案:(1)- ;(2) . 3 5 ?-sinα?sinα y 3 通关训练 2 解析:原式= =tanα,根据三角函数的定义,得 tanα= =- . x 4 ?-sinα?cosα 3 答案:- 4 1 【例 3】 解析:(1)因为 tanα= , 3 =

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sin2α+cos2α 1 所以 2 = 2sinαcosα+cos α 2sinαcosα+cos2α tan2α+1 2 = = . 2tanα+1 3 π? -tanα· cos?-α?· sin? ?-α-2? (2)原式= cos?π-α?· sin?π-α? π ? tanα· cosα· sin? ?α+2? = -cosα· sinα sinα · cosα cosα = -sinα =-1. 2 答案:(1) ;(2)-1. 3 π? 5 通关训练 3 解析:∵sin? ?α+2?=- 5 , 5 2 5 ∴cosα=- ,又 α∈(0,π),∴sinα= . 5 5 π α? 2?π α? cos2? ?4+2?-cos ?4-2? sin?π-α?+cos?3π+α? π α? α? 2?π cos2? ?4+2?-sin ?4+2? = sinα-cosα π ? cos? ?2+α? -sinα 2 = = =- . 3 sinα-cosα sinα-cosα 2 答案:- 3 考题调研 成功体验———————————————— 3 1.解析:tan150° =tan(180° -30° )=-tan30° =- ,选 B. 3 答案:B 2.解析:∵α 是第二象限角,∴cosα=- 1-sin2α=- 答案:A 3.解析:由已知得 sinα=- 1-cos2α 1 2 2 =- 1- =- , 9 3 sinα ∴tanα= =-2 2,故选 C. cosα 答案:C sinα 3 ? ?cosα=-4, 4.解析:由题意可知? 3 3 sinα= ,sin(α+π)=-sinα=- ,故选 B. 5 5 答案:B 5 ?2 12 1-? ?13? =-13.故选 A.

? ?sin2α+cos2α=1,

π ? 9 由此解得 sin2α= ,又 α∈? ?2,π?,因此有 25

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sinαcosα 5.解析:由函数 f(x)为偶函数得 sinα-2cosα=0,所以 tanα=2,sinαcosα= 2 sin α+cos2α tanα 2 = = ,故选 A. 1+tan2α 5 答案:A 第三节 三角函数的图像与性质 教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 错误! 学情自测 π π 3π 1.解析:∵x- ≠kπ+ ,∴x≠kπ+ ,k∈Z. 4 2 4 答案:D π 2.解析:选项 A、D 中的函数均为偶函数,C 中函数的最小正周期为 ,故选 B. 2 答案:B 3π? 3.解析:作出函数 y=|sin x|的图像观察可知,函数 y=|sin x|在? ?π, 2 ?上递增. 答案:C π ? π π ? π? ? π? 4.解析:因为 y=sin x 在? ?-2,0?上为增函数且-18>-10,故 sin?-18?>sin?-10?. 答案:> π π π x+ ?=-1 时,函数 y=2-3cos?x+ ?取得最大值 5,此时 x+ =π+ 5.解析:当 cos? ? 4? ? 4? 4 3 2kπ,从而 x= π+2kπ,k∈Z. 4 3 答案:5 π+2kπ,k∈Z 4 核心考点 引领通关———————————————— sin x>0, sin x>0, ? ? ? ? 【 例 1 】 解 析 : (1) 要 使 函 数 有 意 义 必 须 有 ? 即? 解得 1 1 ?cosx-2≥0, ?cosx≥2, ? ? 2kπ<x<π+2kπ, ? ? ? π (k∈Z), π ? ?-3+2kπ≤x≤3+2kπ π ∴2kπ<x≤ +2kπ,k∈Z, 3 π ∴函数的定义域为{x|2kπ<x≤ +2kπ,k∈Z}. 3

(2)y=sin2x+sin x-1,令 sin x=t,则有 y=t2+t-1,t∈[-1,1],画出函数图像如图所 5 ? 1 示,从图像可以看出,当 t=- 及 t=1 时,函数取最值,代入 y=t2+t-1 可得 y∈? ?-4,1?. 2 π 答案:(1){x|2kπ<x≤ +2kπ,k∈Z} (2)C 3 通关训练 1 解析:(1)要使函数有意义

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? ?x>0, 则? tanx≥0, π ? ,k∈Z ?x≠kπ+2

1 2+log x≥0, 2

0<x≤4, ? ? ?? π kπ≤x<kπ+ ?k∈Z?. ? 2 ?

利用数轴可得函数的定义域是 π {x|0<x< ,或 π≤x≤4}. 2 π π 5π π 0, ?时,2x- ∈?- , ?, (2)当 x∈? ? 2? 6 ? 6 6? π 1 ? ? ? sin? ?2x-6?∈?-2,1?, π? ? 3 ? ? 3 ? 故 3sin? ?2x-6?∈?-2,3?即此时函数 f(x)的值域是?-2,3?. π 答案:(1){x|0<x< ,或 π≤x≤4} (2)B 2 π? 【例 2】 解析:(1)y=-sin? ?2x-3?, π? 它的增区间是 y=sin? ?2x-3?的减区间, π 2x- ?的增区间. 它的减区间是 y=sin? 3? ? π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 π π 3π 由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 5π 11π 得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 π 5π? 故所给函数的递减区间为? ?kπ-12,kπ+12?,k∈Z; 5π 11π? 递增区间为? ?kπ+12,kπ+ 12 ?,k∈Z. 2π 最小正周期 T= =π. 2 π? π ? ? (2)观察图像可知,y=|tanx|的递增区间是? ?kπ,kπ+2?,k∈Z,递减区间是?kπ-2,kπ?, k∈Z. 最小正周期 T=π. π 5π? 5π 11π? ? 答案:(1)递减区间为? ?kπ-12,kπ+12?(k∈Z),递增区间为?kπ+12,kπ+ 12 ?(k∈Z); 最小正周期为 π; π π kπ,kπ+ ?(k∈Z),递减区间为?kπ- ,kπ?(k∈Z),最小正周期为 π. (2)递增区间为? 2? 2 ? ? ? π π π ? ? ? 通关训练 2 解析:∵? ?3+4x?+?6-4x?=2, π? ?π ? ∴cos? ?4x-6?=cos?6-4x?

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π π ?? =cos?2-? ?3+4x?

? ? π ? =sin? ?3+4x?. π 2π π 4x+ ?,周期 T= = . ∴y=2sin? 3? ? 4 2
π π π 当- +2kπ≤4x+ ≤ +2kπ (k∈Z)时,函数单调递增, 2 3 2 5π kπ π kπ? ∴函数的递增区间为? ?-24+ 2 ,24+ 2 ?(k∈Z). π π 3π 当 +2kπ≤4x+ ≤ +2kπ(k∈Z)时,函数单调递减, 2 3 2 π kπ 7π kπ? ∴函数的递减区间为? ?24+ 2 ,24+ 2 ?(k∈Z). π kπ 当 x= + (k∈Z)时,ymax=2; 24 2 5π kπ 当 x=- + (k∈Z)时,ymin=-2. 24 2 5π kπ π kπ? π ? π kπ 7π kπ? 答案: 周期为 , 递增区间为? ?-24+ 2 ,24+ 2 ?(k∈Z),递减区间为?24+ 2 ,24+ 2 ?(k 2 ∈Z),最大值为 2,最小值为-2. π x+ ?, 【例 3】 解析:(1)f(x)=2sin? ? 3? π ? y=f(x+φ)=2sin? ?x+3+φ?图像关于 x=0 对称, 即 f(x+φ)为偶函数. π π π ∴ +φ= +kπ,k∈Z,φ=kπ+ ,k∈Z, 3 2 6 π π 又∵|φ|≤ ,∴φ= . 2 6 4π ? ?2π ? (2)由题意得 3cos? ?2× 3 +φ?=3cos? 3 +φ+2π? 2π ? =3cos? ? 3 +φ?=0, 2π π π ∴ +φ=kπ+ ,k∈Z,∴φ=kπ- ,k∈Z, 3 2 6 π 取 k=0,得|φ|的最小值为 .故选 A. 6 π 答案:(1) (2)A 6 3sinx? ?3 通关训练 3 解析:(1)f(x)=? ? ?1 cosx ? =3cosx- 3sinx π? =2 3cos? ?x+6?. 5π π? 5π 所以当 x= 时,f(x)=2 3cos? ? 6 +6?=-2 3. 6 π? 2 2 (2)由题设,有 f? 4 ? ω?=± a +b , 2 即 (a+b)=± a2+b2,由此得到 a=b. 2 π? ?cosωπ-sinωπ?=0, 又 f′? = 0 ,∴ a ω 8? ?8? ? 8

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ωπ ωπ π 从而 tan =1, =kπ+ ,k∈Z, 8 8 4 即 ω=8k+2,k∈Z,而 0<ω<5,∴ω=2, π 2x+ ?, 于是 f(x)=a(sin2x+cos2x)= 2asin? 4? ? 故 f(x)的最小正周期是 π. 答案:(1)A (2)π 考题调研 成功体验———————————————— π? π ? π 3π? π π 1.解析:因为 x∈? ?0,2?,所以 2x-4∈?-4, 4 ?,当 2x-4=-4,即 x=0 时,f(x) 2 取得最小值- . 2 答案:B π? 2.解析:∵y=sin2x+ 3(1-cos2x)=2sin? ?2x-3?+ 3, 2π ∴T= =π. 2 答案:π 1 2 3.解析:f(x)=sinx-2cosx= 5? sinx- cosx?, 5 ? 5 ? 1 2 令 cosα= ,sinα=- ,则 f(x)= 5sin(α+x), 5 5 π 当 x=2kπ+ -α(k∈Z)时, 2 sin(α+x)有最大值 1,f(x)有最大值 5, π 即 θ=2kπ+ -α(k∈Z), 2 π 2 2 5 ? ?π ? 所以 cosθ=cos? ?2kπ+2-α?=cos?2-α?=sinα=- 5=- 5 . 2 5 答案:- 5 π ωx+ ? 4.解析:(1)f(x)=4cosωx· sin? 4? ? =2 2sinωx· cosωx+2 2cos2ωx = 2(sin2ωx+cos2ωx)+ 2 π? =2sin? ?2ωx+4?+ 2. 因为 f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0, 2π 从而有 =π,故 ω=1. 2ω π? (2)由(1)知,f(x)=2sin? ?2x+4?+ 2. π π π 5π 若 0≤x≤ ,则 ≤2x+ ≤ . 2 4 4 4 π π π π 当 ≤2x+ ≤ ,即 0≤x≤ 时,f(x)单调递增; 4 4 2 8 π π 5π π π 当 ≤2x+ ≤ ,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递减. 2 4 4 8 2 π ? ?π π? 综上可知,f(x)在区间? ?0,8?上单调递增,在区间?8,2?上单调递减. π π π 0, ?上是增函数,在? , ?上是减函数. 答案:(1)1;(2)f(x)在? ? 8? ?8 2?

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π π 5.解析:(1)f(x)=- 2sin2x· cos - 2cos2x· sin +3sin2x-cos2x=2sin2x-2cos2x=2 2 4 4 π ? sin? ?2x-4?. 2π 所以,f(x)的最小正周期 T= =π. 2 3π 3π π? 3π? ? (2)因为 f(x)在区间? 在区间? 又 f(0)=-2, f? ?0, 8 ?上是增函数, ? 8 ,2?上是减函数, ? 8 ?= π? ? π? 2 2,f? ?2?=2,故函数 f(x)在区间?0,2?上的最大值为 2 2,最小值为-2. 答案:(1)π;(2)最大值为 2 2,最小值-2. 第四节 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像及应用 教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 2π-φ 3π φ π 3π 10 11 12 0 13 14 π 15 16 2π 答案:□ - □ □ □ □ □ □ 2ω ω ω 2 2 学情自测 x π x 1.解析:由 = +kπ 得 x=π+2kπ(k∈Z).故 x=π 是函数 y=sin 的一条对称轴. 2 2 2 答案:C 2π 2.解析:最小正周期为 T= =6; π 3 1 π 由 2sin φ=1,得 sin φ= ,φ= . 2 6 答案:A 1? 3.解析:∵y=cos(2x+1)=cos2? ?x+2?, 1 ∴只要将函数 y=cos2x 的图像向左平移 个单位即可. 2 答案:C π ? ?2π ? ?7π ? ?5π ? ?13π ? 4.答案:? ?6,0? ? 3 ,1? ? 6 ,0? ? 3 ,-1? ? 6 ,0? 2π 2π 2π 5.解析:观察函数图像可得周期 T= ,则 T= = ,所以 ω=3. 3 3 ω 答案:3 核心考点 引领通关———————————————— π? 2π π 【例 1】 解析:(1)y=2sin? ?2x+3?的振幅 A=2,周期 T= 2 =π,初相 φ=3. π? π (2)令 X=2x+ ,则 y=2sin? ?2x+3?=2sinX. 3 列表,并描点画出图像: π π π 7π 5π x - 6 12 3 12 6 π 3π X 0 π 2π 2 2 0 1 0 0 y=sinX -1 π ? 0 2 0 0 -2 y=2sin? ?2x+3?

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π? π (3)方法一:把 y=sinx 的图像上所有的点向左平移 个单位,得到 y=sin? ?x+3?的图像, 3 π? π? 1 ? 再把 y=sin? ?x+3?的图像上的点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变),得到 y=sin?2x+3? π? 的图像,最后把 y=sin? ?2x+3?上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),即可得到 π? y=2sin? ?2x+3?的图像. 1 方法二:将 y=sinx 的图像上每一点的横坐标 x 缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得到 y 2 π π π x+ ?=sin?2x+ ?的 =sin2x 的图像;再将 y=sin2x 的图像向左平移 个单位,得到 y=sin2? 3? ? 6? ? 6 π ? 图像;再将 y=sin? ?2x+3?的图像上每一点的横坐标保持不变,纵坐标伸长为原来的 2 倍,得 π? 到 y=2sin? ?2x+3?的图像. π 答案:(1)振幅为 2,周期为 π,初相为 ;(2)图像略; 3 (3)图像变换略. 通关训练 1 解析:(1)列表取值: 3 5 7 π π π 2 2 2 1 π π 3 0 π x- π 2 4 2 2 f(x) 0 3 0 -3 描出五个关键点并用光滑曲线连接,得到一个周期的简图. x π 2 9 π 2 2π 0

π (2)先把 y=sinx 的图像向右平移 个单位,然后把所有的点的横坐标扩大为原来的 2 倍, 4 再把所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍,得到 f(x)的图像. 答案:略. T 7π π π 【例 2】 解析:(1)由题图知 A= 2, = - = , 4 12 3 4 2π ∴T=π,ω= =2. π π π ∴2× +φ=2kπ+π,k∈Z,∴φ=2kπ+ (k∈Z). 3 3 π 令 k=0,得 φ= . 3 π? ∴函数解析式为 f(x)= 2sin? ?2x+3?,

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π 6 = . 3 2 3 π π π π- ?= ,∴ω=2. (2)由图形知,T= =2? ω ?8 8? 2 3 3 由 2× π+φ=kπ,k∈Z,得 φ=kπ- π,k∈Z. 8 4 π π π ? 又∵|φ|< ,∴φ= .由 Atan? ?2×0+4?=1, 2 4 π? 知 A=1,∴f(x)=tan? ?2x+4?, π? π π? π ? ∴f? ?24?=tan?2×24+4?=tan3= 3. 6 答案:(1) (2)B 2 通关训练 2 解析:观察图像可知:A=2 且点(0,1)在图像上, 1 ∴1=2sin(ω· 0+φ),即 sinφ= . 2 π π ∵|φ|< ,∴φ= . 2 6 11 11π π 又∵ π 是函数的一个零点,且是图像递增穿过 x 轴形成的零点,∴ ω+ =2π,∴ω 12 12 6 ∴f(0)= 2sin =2. π? ∴f(x)=2sin? ?2x+6?. π? 答案:f(x)=2sin? ?2x+6? 2π ? 【例 3】 解析:(1)由最低点为 M? ? 3 ,-2?,得 A=2. π T π 2π 2π 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 ,得 = ,即 T=π,所以 ω= = =2.由点 2 2 2 T π 2π 2π 4π ? ? ? ? ? M? ? 3 ,-2?在图像上,得 2sin?2× 3 +φ?=-2,即 sin? 3 +φ?=-1. 4π π 11π 故 +φ=2kπ- ,k∈Z,∴φ=2kπ- (k∈Z). 3 2 6 π? π 又 φ∈? ?0,2?,∴φ=6, π? 故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin? ?2x+6?. π π? π ?π 7π? (2)∵x∈? ?12,2?,∴2x+6∈?3, 6 ?. π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2; 6 2 6 π 7π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最小值-1. 6 6 2 故函数 f(x)的值域为[-1,2]. π? 答案:(1)f(x)=2sin? ?2x+6?;(2)[-1,2]. π π? 2π 通关训练 3 解析: (1)依题意得: A=5, 周期 T=4? ∴ω= =2, 故 y=5sin(2x ?3-12?=π, π +φ), π ? ?π ? 又图像过点 P? ?12,0?,∴5sin?6+φ?=0, π π 由已知可得 +φ=0,∴φ=- , 6 6

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π? ∴y=5sin? ?2x-6?. π π π (2)由- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z,得: 2 6 2 π π - +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 6 3 π π? 故函数 f(x)的递增区间为:? ?kπ-6,kπ+3?(k∈Z). π? π π? ? 答案:(1)y=5sin? ?2x-6?;(2)?kπ-6,kπ+3?(k∈Z). 考题调研 成功体验———————————————— π ? π? ? 1.解析:函数 y=sin(2x+φ)的图像向左平移 个单位后变为函数 y=sin? ?2?x+8?+φ?= 8 π ? sin? ?2x+4+φ?的图像, π 2x+ +φ?为偶函数, 又 y=sin? 4 ? ? π π π 故 +φ= +kπ,k∈Z,∴φ= +kπ,k∈Z. 4 2 4 π 若 k=0,则 φ= .故选 B 项. 4 答案:B π? 2.解析:∵y= 3cosx+sinx=2sin? ?x+3?, ∴函数 y= 3cosx+sinx(x∈R)的图像向左平移 m(m>0)个单位长度后,变为函数 y= π ? 2sin?x+3+m? ?的图像. 又∵所得到的图像关于 y 轴对称,则有 π π +m=kπ+ ,k∈Z, 3 2 π ∴m=kπ+ ,k∈Z. 6 π ∵m>0,∴当 k=0 时,m 的最小值为 . 6 答案:B π 3π 3T 5π - ?= , 3.解析:由图像可得, = -? 4 12 ? 3? 4 5π ? 2π ?5π ? ∴T=π,则 ω= =2,再将点? ?12,2?代入 f(x)=2sin(2x+φ)中得,sin? 6 +φ?=1, π 5π π π 令 +φ=2kπ+ ,k∈Z,解得,φ=2kπ- ,k∈Z, 6 2 3 π π π ? 又∵φ∈? ?-2,2?,则取 k=0,∴φ=-3. 故选 A 项. 答案:A 4.解析:由题意知 f(x)=2cos2x· sinx=2(1-sin2x)· sinx. 令 t=sinx,t∈[-1,1], 则 g(t)=2(1-t2)t=2t-2t3. 3 令 g′(t)=2-6t2=0,得 t=± . 3 当 t=± 1 时,函数值为 0; 3 4 3 当 t=- 时,函数值为- ; 3 9

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3 4 3 时,函数值为 . 3 9 4 3 4 3 ∴g(t)max= ,即 f(x)的最大值为 .故选 C 项. 9 9 答案:C π 5.解析:y=cos(2x+φ)向右平移 个单位得, 2 π? π? ? π? ? ? ? y=cos? ?2?x-2?+φ?=cos(2x-π+φ)=sin?2x-π+φ+2?=sin?2x+φ-2?,而它与函数 y π π π 5π 2x+ ?的图像重合, =sin? 令 2 x + φ - = 2 x + + 2 k π , k ∈ Z , 得 φ = +2kπ, k∈Z, 又-π≤φ 3 ? ? 2 3 6 5π <π,∴φ= . 6 5π 答案: 6 当 t= 第五节 简单的三角恒等变换 教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 2tanα 2 10 1-2sin α 11 答案:□ □ 1-tan2α 学情自测 sin2α 2sinαcosα 1.解析: 2 = =2tanα=2×3=6. cos α cos2α 答案:D 2.解析:原式=sin 68° cos23° -cos68° sin 23° =sin(68° -23° )=sin 45° = 答案:B 4 1 3.解析:cos(π-2α)=-cos2α=-(1-2sin2α)=2sin2α-1=2× -1=- . 9 9 答案:B 3 4.解析:由已知条件 sin α=- 1-cos2α=- , 5 π? 2 2 7 2 sin? ?α+4?= 2 sin α+ 2 cosα=- 10 . 7 2 答案:- 10 π tanα+1 2 α+ ?= 5.解析:tan? ? 4? 1-tanα=5, 即 5tanα+5=2-2tanα. 3 则 7tanα=-3,故 tanα=- . 7 3 答案:- 7 核心考点 引领通关———————————————— ? 1 -tanα? α ?1+tanα· 2 ?· tan ? 【例 1】 解析:(1)? α 2? ? tan ? 2 ? α α α cos sin sin 2 2 2 sinα - 1+ · = α α · cosα α sin cos cos 2 2 2 2 . 2

? ? ?

?? ?? ??

? ? ?

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α α α α cos2 -sin2 cosαcos +sinαsin 2 2 2 2 = · α α α sin cos cosαcos 2 2 2 α cos 2 2cosα 2 = · = . sinα α sinα cosαcos 2 cos10° + 3sin10° ? ?· 2sin80° (2)原式=?2sin50° ? +sin10° × cos10° ? ? 1 3 ? ? cos10° + sin10° ?× 2cos10° 2 2 =? ?2sin50° ? +2sin10° × cos10° ? ? =2 2[sin50° · cos10° +sin10° · cos(60° -10° )] 3 =2 2sin(50° +10° )=2 2× = 6. 2 2 答案:(1) ;(2) 6. sinα cos2α cos2α 通关训练 1 解析:(1) = =1. π π π -α?cos? -α? sin? -2α? 2sin? ?4 ? ?4 ? ?2 ? 2 sin5° 2cos 10° ?cos5° ? - (2) -sin10° cos5° ? sin5° ? 4sin10° cos10° 2 2 cos 5 - sin 5° cos10° ? ? = -sin10° 2sin10° cos5° ? ? sin5° cos10° = -2cos10° 2sin10° cos10° -2sin20° = 2sin10° cos10° -2sin?30° -10° ? = 2sin10° 3sin10° 3 = = . 2sin10° 2 (3)原式=(1-tan25° tan35° )tan60° + 3tan25° tan35° = 3- 3tan25° tan35° + 3tan25° tan35° = 3. 3 答案:(1)1;(2) ;(3) 3. 2 π 【例 2】 解析:∵0<β< <α<π, 2 π α π π β ∴- < -β< , <α- <π, 4 2 2 4 2 α α ? 5 ? ∴cos? 1-sin2? ?2-β?= ?2-β?= 3 , β? β? 4 5 sin? 1-cos2? ?α-2?= ?α-2?= 9 , α+β ? β? ?α ?? ∴cos =cos? ??α-2?-?2-β?? 2 β? ?α ? =cos? ?α-2?cos?2-β?+ β α α- ?sin? -β? sin? ? 2? ?2 ?

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1? 5 4 5 2 =? ?-9?× 3 + 9 ×3 7 5 = , 27 α+β 49×5 239 ∴cos(α+β)=2cos2 -1=2× -1=- . 2 729 729 239 答案:- 729 π? π π 通关训练 2 解析:∵α,β∈? ?0,2?,∴-2<α-β <2, 1 π 又∵tan(α-β)=- <0,∴- <α-β <0. 3 2 1 10 ∴ 2 =1+tan2(α-β)= , 9 cos ?α-β? 3 10 10 cos(α-β)= ,sin(α-β)=- . 10 10 4 3 又∵sinα= ,∴cosα= . 5 5 ∴cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) 3 3 10 4 ? 10? = × + × - 5 10 5 ? 10 ? 10 = . 10 10 答案: 10 π π 【例 3】 解析:∵0<β<α< ,∴0<α-β< . 2 2 13 1 π 又∵cos(α-β)= ,cosα= ,0<β<α< , 14 7 2 4 3 ∴sinα= 1-cos2α= , 7 3 3 sin(α-β)= 1-cos2?α-β?= , 14 ∴cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 = × + × 7 14 7 14 1 = . 2 π π ∵0<β< ,∴β= . 2 3 π 答案: 3 tanα-tanβ 1 1 通关训练 3 解析:由 tan(α-β)= 知, = . 2 1+tanαtanβ 2 1 1 将 tanβ=- 代入上式解得 tanα= . 7 3 1 2× 3 2tanα 3 ∴tan2α= = = , 1 1-tan2α ? 2 4 1- ? ?3?

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3 1 + 4 7 =1. 1 3 - ? 1+ ×? 4 ? 7? π? 1 3 ? π? 由 tanα= < .α∈(0,π)知 α∈? ?0,6?,∴2α∈?0,3?. 3 3 3 ? 由 tanβ∈(-1,0),β∈(0,π)知 β∈? ?4π,π?, 3 ? 5 ? ? ∴-β∈? ?-π,-4π?,∴2α-β∈?-π,-12π?, 3 ∴2α-β=- π. 4 3 答案:- π. 4 π? π? 【例 4】 解析:(1)f(x)=(sin2x+sinxcosx)+2sin? cos? ?x+4?· ?x+4? 1-cos2x 1 π? = + sin2x+sin? ?2x+2? 2 2 1 1 = + (sin2x-cos2x)+cos2x 2 2 1 1 = (sin2x+cos2x)+ . 2 2 2sinαcosα 2tanα 4 由 tanα=2,得 sin2α= 2 = . 2 = 2 sin α+cos α tan α+1 5 2 2 cos α-sin α 1-tan2α 3 cos2α= 2 2 = 2 =- . 5 sin α+cos α 1+tan α 1 1 3 所以,f(α)= (sin2α+cos2α)+ = . 2 2 5 1 1 (2)由(1)得 f(x)= (sin2x+cos2x)+ 2 2 π? 1 2 = sin? ?2x+4?+2. 2 π π? 5π π 5π 由 x∈? ?12,2?,得12≤2x+4≤ 4 . π? 2+1 2 ∴- ≤sin? ?2x+4?≤1,0≤f(x)≤ 2 , 2 2+1? ? 所以 f(x)的取值范围是?0, ?. 2 ? ? 3 2+1? ? 答案:(1) ;(2)?0, ?. 5 2 ? ? π? ? π? 通 关 训 练 4 解 析 : (1) ∵ f(x) = 3 sin ? ?2x-6? + 1 - cos2 ?x-12? = π 1 π 3 2? sin?2x- ?- cos?2x- ??+1 6 6? ? ? 2 ? ?2 ? π π π 2x- ?- ?+1=2sin?2x- ?+1, =2sin?? 6? 6? 3? ? ?? 2π ∴f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π 2x- ?=1, (2)当 f(x)取得最大值时,sin? 3? ? π π 5π 此时 2x- =2kπ+ (k∈Z),即 x=kπ+ (k∈Z), 3 2 12 tan2α-tanβ ∴tan(2α-β)= = 1+tan2αtanβ

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∴所求 x 的集合为{x|x=kπ+ 答案:(1)π;(2){x|x=kπ+

5π ,k∈Z}. 12

5π ,k∈Z}. 12 考题调研 成功体验———————————————— 3π? 5 1.解析:∵cosα=- ,α∈? ?π, 2 ?, 5 2 5 ∴sinα=- 1-cos2α=- . 5 ∴tanα=2. 2×2 2tanα 4 tan2α= 2 = 2=- ,故选 B. 3 1-tan α 1-2 答案:B π? 4 3 3 3 4 3 ? π? 4 2.解析:cos? ?α-6?+sinα= 5 ?2sinα+ 2 cosα= 5 ?sin?α+6?=5, 7π? 4 ? π? 所以 sin? ?α+ 6 ?=-sin?α+6?=-5. 答案:C π ? 2? π ? 3.解析:f(x)=sin2? ?4+x?+sin ?4+x?-1 π ? ?π ? =2sin2? ?4+x?-1=-cos?2+2x?=sin2x ∴故 D 正确. 答案:D θ 4.解析:∵θ 为第二象限角,∴ 为第一、三象限角. 2 θ ∴cos 的值有两个, 2 24 24 由 sin(π-θ)= ,可知 sinθ= , 25 25 7 θ 18 ∴cosθ=- ,∴2cos2 = . 25 2 25 θ 3 ∴cos =± . 2 5 答案:C 1-cos2α 1 5.解析:∵ =1,∴2tanα=1,即 tanα= . sinαcosα 2 tan?β-α?-tanα ∴tan(β-2α)=tan(β-α-α)= 1+tan?β-α?· tanα 1 1 - - 3 2 = =-1. 1 1- 6 答案:-1 第六节 正弦定理和余弦定理 教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 错误! 学情自测

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BC AC 3 2 AC 3 2 2 1.解析:由正弦定理得: = ,即 = ,所以 AC= × =2 3. sinA sinB sin60° sin45° 2 3 2 答案:B b2+c2-a2 1+4-3 1 2.解析:∵cosA= = = , 2bc 2×1×2 2 又∵0° <A<180° ,∴A=60° . 答案:C a b b 24 3.解析:∵ = ,∴sinB= sinA= sin45° , sinA sinB a 18 2 2 ∴sinB= .又∵a<b,∴B 有两个. 3 答案:B 3 4.解析:由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB=4+12-2×2×2 3× =4,所以 b=2. 2 答案:2 5.解析:设 BC=x,由余弦定理得 49=25+x2-10xcos120° , 整理得 x2+5x-24=0,即 x=3. 1 1 3 15 3 因此 S△ABC= AB×BC×sin B= ×3×5× = . 2 2 2 4 15 3 答案: 4 核心考点 引领通关———————————————— a b 3 2 【例 1】 解析:由正弦定理得 = , = , sinA sinB sinA sin45° 3 ∴sinA= . 2 ∵a>b,∴A=60° 或 A=120° . 6+ 2 bsinC 当 A=60° 时,C=180° -45° -60° =75° ,c= = ; sinB 2 6- 2 bsinC 当 A=120° 时,C=180° -45° -120° =15° ,c= = . sinB 2 6+ 2 6- 2 答案:A=60° ,C=75° ,c= 或 A=120° ,C=15° ,c= . 2 2 π 通关训练 1 解析:∵A+C=2B 且 A+B+C=π,∴B= . 3 asinB 1 π 由正弦定理知:sinA= = ,又 a<b,∴A<B,∴A= . b 2 6 π 答案: 6 a2+c2-b2 a2+b2-c2 【例 2】 解析:(1)由余弦定理知:cosB= ,cosC= . 2ac 2ab 2 2 2 a +c -b cosB b 2ab b 将上式代入 =- 得: ·2 =- ,整理得:a2+c2-b2=- cosC 2ac 2a+c a +b2-c2 2a+c ac. a2+c2-b2 -ac 1 ∴cosB= = =- . 2ac 2ac 2 2 ∵B 为三角形的内角,∴B= π. 3 2 (2)将 b= 13, a+c=4, B= π 代入 b2=a2+c2-2accosB, 得 b2=(a+c)2-2ac-2accosB, 3

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1? ∴13=16-2ac? ?1-2?,∴ac=3. 1 3 3 ∴S△ABC= acsinB= . 2 4 2π 3 3 答案:(1) ;(2) . 3 4 A 1 通关训练 2 解析:(1)由 2cos2 +cosA=0,得 1+cosA+cosA=0,即 cosA=- ,∵0 2 2 2π <A<π,∴A= . 3 2π (2)由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA,A= ,则 3 2 2 a =(b+c) -bc, 又 a=2 3,b+c=4,有 12=42-bc,则 bc=4, 1 故 S△ABC= bcsinA= 3. 2 2π 答案:(1) ;(2) 3. 3 【例 3】 解析:(1)由 acosC+ 3asinC-b-c=0 及正弦定理得 sinAcosC+ 3sinAsinC -sinB-sinC=0. ∵B=π-A-C, ∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, ∴ 3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0. 由于 sinC≠0, π? 1 ∴ 3sinA-cosA-1=0,即 sin? ?A-6?=2. π 又 0<A<π,故 A= . 3 1 (2)△ABC 的面积 S= bcsinA= 3,故 bc=4. 2 而 a2=b2+c2-2bccosA,故 b2+c2=8.解得 b=c=2. π 答案:(1) ;(2)b=c=2. 3 π ? ?π ? ?π ? 通关训练 3 解析:(1)由 bsin? ?4+C?-csin?4+B?=a,应用正弦定理,得 sinBsin?4+C? π ? -sinCsin? ?4+B?=sinA, 2 2 2 2 2 sinB? sinC+ cosC?-sinC? sinB+ cosB?= , 2 2 ?2 ? ?2 ? 2 整理得 sinBcosC-cosBsinC=1,即 sin(B-C)=1, 3 π 由于 0<B,C< π,从而 B-C= . 4 2 3π 5π π (2)B+C=π-A= ,因此 B= ,C= . 4 8 8 π asinB 5π asinC π 由 a= 2,A= ,得 b= =2sin ,c= =2sin , 4 sinA 8 sinA 8 1 5π π π π 1 所以△ABC 的面积 S= bcsinA= 2sin sin = 2cos sin = . 2 8 8 8 8 2 1 答案:(1)证明略;(2) . 2 考题调研 成功体验———————————————— 1 1.解析:由 23cos2A+2cos2A-1=0,∴cosA= , 5

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1 由余弦定理知,72=b2+36-12b·即 5b2-12b-65=0. 5 13 解得 b=5,(b=- 舍去),故选 D. 5 答案:D π π? 7π 2.解析:A=π-(B+C)=π-? ?6+4?=12, a b 由正弦定理得 = , sinA sinB 7π 2sin 12 bsinA 则 a= = = 6+ 2, sinB π sin 6 1 1 2 ∴S△ABC= absinC= ×2×( 6+ 2)× = 3+1. 2 2 2 答案:B 3.解析:由 2asinB= 3b 得 2sinAsinB= 3sinB,故 sinA= 3 π 2π ,故 A= 或 .又△ABC 2 3 3

π 为锐角三角形,故 A= . 3 答案:D 4.解析:∵bcosC+ccosB=asinA,由正弦定理得 sinBcosC+sinCcosB=sin2A, ∴sin(B+C)=sin2A,即 sinA=sin2A. π 又∵sinA>0,∴sinA=1,∴A= , 2 故△ABC 为直角三角形. 答案:B 5.解析:∵3sinA=5sinB, ∴3a=5b.① 又 b+c=2a,② 5 7 ∴由①②可得,a= b,c= b, 3 3 5 ?2 ?7 ?2 b2+? ?3b? -?3b? b2+a2-c2 1 ∴cosC= = =- . 2ab 5 2 2 2× b 3 2 ∴C= π. 3 2 答案: π 3 第七节 解三角形应用举例 教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 错误! 学情自测 1.解析:对于 B 项,单位向量不是仅有一个,故 B 错;对于 C 项,a 与 c 的方向也可 能相反,故 C 错;对于 D 项,若 b=0,则 b 的方向是任意的,故 D 错,综上可知选 A. 答案:A → 2.解析:由题图可得 a-b=BA=e1-3e2. 答案:C → → → → 3.解析:AD=AB+BC+CD=a+2b+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2(-4a-b)

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→ =2BC. 答案:B → → → → → → → 4.解析:|AB-CB+CD|=|AB+BC+CD|=|AD|=2. 答案:2 5.解析:由题意知 a+λb=k[-(b-3a)], 1 k= , ?λ=-k, 3 ? 所以? 解得 1 ?1=3k, ? λ=- . 3 1 答案:- 3 核心考点 引领通关———————————————— 【例 1】 解析:①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同. → → → → → → ②正确.∵AB=DC,∴|AB|=|DC|且AB∥DC, 又∵A, B, C, D 是不共线的四点, ∴四边形 ABCD 为平行四边形; 反之, 若四边形 ABCD → → → → → → 为平行四边形,则AB∥DC且|AB|=|DC|,因此,AB=DC. ③正确.∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同;又 b=c, ∴b,c 的长度相等且方向相同, ∴a,c 的长度相等且方向相同,故 a=c. ④不正确.当 a∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到 a=b,故“|a|=|b|且 a∥b” 不是“a=b”的充要条件,而是必要不充分条件. 综上所述,正确命题的序号是②③. 答案:②③ 通关训练 1 解析:由于零向量与任一向量都共线,所以 A 不正确;由于数学中研究的 向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,所 以 B 不正确;向量的平行只要求方向相同或相反,与起点是否相同无关,所以 D 不正确;对 于 C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题入手来考虑,假设 a 与 b 不都是非零向 量,即 a 与 b 中至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可知 a 与 b 共线,符 合已知条件,所以有向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量,故选 C. 答案:C → → → → 1→ 1 1 【例 2】 解析:∵BA=OA-OB=a-b,BM= BA= a- b, 6 6 6 → → → 1 5 ∴OM=OB+BM= a+ b. 6 6 → 又∵OD=a+b, → → 1→ 1→ 1→ 2→ 2 2 ∴ON=OC+ CD= OD+ OD= OD= a+ b, 3 2 6 3 3 3 1 5 1 1 → → → 2 2 ∴MN=ON-OM= a+ b- a- b= a- b. 3 3 6 6 2 6 → 1 5 → 2 2 → 1 1 综上,OM= a+ b,ON= a+ b,MN= a- b. 6 6 3 3 2 6 1 5 2 2 → → → 1 1 答案:OM= a+ b,ON= a+ b,MN= a- b. 6 6 3 3 2 6 → → → → → → 通关训练 2 解析:∵BD=2DC,∴AD-AB=2(AC-AD), → → → → 2 → 1→ 2 1 ∴3AD=2AC+AB,∴AD= AC+ AB= b+ c. 3 3 3 3 答案:A → → → 【例 3】 解析:(1)证明:∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),

? ? ?

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→ → → ∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b) → =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB. → → ∴AB、BD共线,又∵它们有公共点 B, ∴A、B、D 三点共线. (2)解:∵ka+b 与 a+kb 共线, ∴存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb),即 ka+b=λa+λkb. ∴(k-λ)a=(λk-1)b. ∵a、b 是不共线的两个非零向量, ∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.∴k=± 1. 答案:(1)证明略;(2)k=± 1. → → → 通关训练 3 解析:由AB=λa+b,AC=a+μb(λ,μ∈R)及 A,B,C 三点共线得:AB= ?λ=t, ? → tAC,所以 λa+b=t(a+μb)=ta+tμb,即可得? 所以 λμ=1,故选 D. ? ?1=tμ, 答案:D 考题调研 成功体验———————————————— → → → 1.解析:∵BC+BA=2BM, → → → → → ∴MC-MB+MA-MB=2MB, → → → → 即MA+MC=2BM+2MB=0. 答案:B → → → → → → 2.解析:PA=λAB得OA-OP=λ(OB-OA) → → → 即OP=(1+λ)OA-λOB ? ?x=2+2λ → → → 又 2OP=xOA+yOB,∴? ?y=-2λ ? 消去 λ,得 x+y=2,故选 A. 答案:A → → → 3.解析:∵OA+2OC=3OB, → → → → → → ∴2OC-2OB=OB-OA,即 2BC=AB, → → → |BC| 1 ∴2|BC|=|AB|, = . → 2 |AB| 答案:A → → → 1→ 1→ 4.解析:MN=MC+CN= AD- AC 2 4 1 1 = b- (a+b) 2 4 1 1 =- a+ b. 4 4 1 1 答案:- a+ b 4 4

5. → → → → 1→ → 1 → → → → 解析:如图,连接 ED,因为AD=AE+ED=AE+ AB=AE+ ×4AF=AE+2AF=2AF+ 2 2

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→ AE.所以 x=2,y=1. 答案:2,1 第二节 平面向量基本定理及坐标运算 教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 错误! 学情自测 → → → 1.解析:∵AC=AB+BC, → ∴AC=(1,2)+(3,4)=(4,6). 答案:A 2.解析:由 a∥b 可得 2×(-2)-1×x=0,故 x=-4,所以 a+b=(-2,-1). 答案:A → 3.解析:∵A(4,1),B(7,-3),∴AB=(3,-4), → 4 AB ?3 → ∴与AB同向的单位向量为 = ,-5? ?. → ?5 |AB| 答案:A → → → → 4.解析:AD=BC=AC-AB=(2,5)-(1,3)=(1,2), → → → BD=AD-AB=(1,2)-(1,3)=(0,-1). 答案:(1,2) (0,-1) → → → → 5.解析:∵MN=MD+DA+AN 1 1 =- a-b+ a 4 2 1 = a-b, 4 1 n ∴m= ,n=-1.∴ =-4. 4 m 答案:-4 核心考点 引领通关———————————————— → 1 → → 【例 1】 解析:根据题意知 G 为三角形的重心,故AG= (AB+AC), 3 → → → 1 → → → MG=AG-AM= (AB+AC)-xAB 3 1 ?→ 1→ =? ?3-x?AB+3AC, → → → → → GN=AN-AG=yAC-AG → 1 → → =yAC- (AB+AC) 3 1 ? → 1→ =? ?y-3?AC-3AB, → → 由于MG与GN共线,根据共线向量定理知 1 ?→ 1 → → → MG=λGN?? ?3-x?AB+3AC 1 → 1→? y- ? =λ?? ?? 3?AC-3AB?, → → ∵AB,AC不共线,

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?3-x=-3λ ∴? 1? 1 ?3=λ? ?y-3?

1

1

1 1 -x 3 3 ? = ?x+y-3xy=0, 1 1 - y- 3 3

1 1 两边同除以 xy 得 + =3. x y 答案:3 → → → 通关训练 1 解析:由 B,H,C 三点共线,可令AH=xAB+(1-x)AC,又 M 是 AH 的中 1 1 1 → 1→ 1 → 1 → → → → 点,所以AM= AH= xAB+ (1-x)AC,又AM=λAB+μAC,所以 λ+μ= x+ (1-x)= . 2 2 2 2 2 2 1 答案: 2 → → → 【例 2】 解析:(1)BC=BA+AC=(2,3)-(4,7)=(-2,-4),故选 A. (2)∵a=( 3,1),b=(0,-1),c=(k, 3) ∴a-2b=( 3,1)-(0,-2)=( 3,3) 又∵a-2b 与 c 共线,∴3k-3=0,∴k=1. 答案:(1)A (2)1 通关训练 2 解析:设 M(x1,y1), → → ∴CM=(x1+3,y1+4),CA=(1,8). → → ∵CM=3CA,∴(x1+3,y1+4)=3(1,8). ? ? ?x1+3=3, ?x1=0, ∴? ∴? ∴M(0,20). ?y1+4=24. ?y1=20. ? ? → → 设 N(x2,y2),∴CN=(x2+3,y2+4),CB=(6,3). ?x2+3=12, ?x2=9, ? ? → → ∵CN=2CB,∴? ∴? ?y2+4=6. ?y2=2. ? ? → ∴N(9,2).∴MN=(9,-18). → 答案:M(0,20),N(9,2),MN=(9,-18). 【例 3】 解析:(1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1), 5 m= , ?-m+4n=3, 9 ? ∴? 得 8 ?2m+n=2, ? n= . 9

? ? ?

(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), ∵(a+kc)∥(2b-a), 16 ∴2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0,∴k=- . 13 (3)设 d=(x,y),d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4), ? ?4?x-4?-2?y-1?=0, 由题意得? 2 2 ? ??x-4? +?y-1? =5,
?x=3, ?x=5, ? ? 解得? 或? ∴d=(3,-1)或 d=(5,3). ?y=-1 ? ? ?y=3, 5 8 16 答案:(1)m= ,n= ;(2)k=- ; 9 9 13 (3)d=(3,-1)或(5,3). 通关训练 3 解析:∵a=(1,2),b=(2,3),

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∴λa+b=(λ,2λ)+(2,3)=(λ+2,2λ+3). ∵向量 λa+b 与向量 c=(-4,-7)共线, ∴-7(λ+2)+4(2λ+3)=0,∴λ=2. 答案:2 考题调研 成功体验———————————————— 1.解析:∵a=(1,m),b=(m,2),且 a∥b,∴1· 2=m· m?m=± 2.所以选 C 项. 答案:C → → 2.解析:∵OA=(-3,1),OB=(-2,k), → → → ∴AB=OB-OA=(-2,k)-(-3,1)=(1,k-1). → → 又OA,AB为矩形相邻两边所对应的向量, → → → → ∴OA⊥AB,即OA· AB=-3×1+1×(k-1)=-4+k=0,即 k=4. 答案:4 → → → → 3.解析:由平行四边形法则知AB+AD=AC=2AO, ∴λ=2. 答案:2 4.解析:可设 a=-i+j,i,j 为单位向量且 i⊥j, 则 b=6i+2j,c=-i-3j. 由 c=λa+μb=(6μ-λ)i+(λ+2μ)j, λ=-2, ? ? ? ?6μ-λ=-1, ? ∴ 解得? 1 ?λ+2μ=-3, ? ?μ=-2. ? λ ∴ =4. μ 答案:4

5.解析: 1→ → → → 1→ 2 → 1→ 2 → → 由题意作图如图. ∵在△ABC 中, DE=DB+BE= AB+ BC= AB+ (AC-AB)=- AB 2 3 2 3 6 2→ → → + AC=λ1AB+λ2AC. 3 1 2 ∴λ1=- ,λ2= . 6 3 1 故 λ1+λ2= . 2 1 答案: 2 第三节 平面向量的数量积及应用 教材回归 自主学习———————————————— 知识梳理 a· b 2 10 |a||b| 11 -|a||b| 12 a 13 14 答案:□ □ □ □ a· a □ |a||b| 2 2 15 ≤ 16 b· 17 a· 18 a· 19 x1x2 + y1y2 20 x + y □ □ a □ (λb) □ c + b· c □ □ 2 2 23 x1x2+y1y2=0 ?x1-x2? +?y1-y2? □ 学情自测 1.解析:a· b=0 时,a⊥b,或 a=0,或 b=0.故①命题错. ∵a· b=b· c,∴b· (a-c)=0.

21 □ x2+y2

22 □

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又∵b≠0,∴a=c,或 b⊥(a-c).故②命题错误. ∵a· b 与 b· c 都是实数,故(a· b)· c 是与 c 共线的向量,a· (b· c)是与 a 共线的向量, ∴(a· b)· c 不一定与 a· (b· c)相等.故③命题不正确. ∵(a· b)2=(|a||b|cosθ)2=|a|2|b|2cos2θ≤|a|2· |b|2=a2· b2.故④命题不正确. 答案:C 2.解析:在△ABC 中, AB2+AC2-BC2 9+4-10 1 cos∠BAC= = = , 2AB· AC 2×3×2 4 1 3 → → → → ∴AB· AC=|AB||AC|cos∠BAC=3×2× = . 4 2 答案:D 3.解析:λa+b=(λ+4,-3λ-2). ∵λa+b 与 a 垂直,∴(λa+b)· a=10λ+10=0. ∴λ=-1. 答案:A a· b 2×?-4?+3×7 13 65 4.解析:|a|cosθ= = = . 2 2 = |b| 5 65 ?-4? +7 答案:C 5.解析:∵a· (b-a)=a· b-a2=2, 2 ∴a· b=2+a =3. a· b 3 1 ∴cos〈a,b〉= = = , |a||b| 1×6 2 π ∴a 与 b 的夹角为 . 3 答案:C 核心考点 引领通关———————————————— → → → → → 【例 1】 解析:(1)AB· AC=(CB-CA)· (-CA) → → →2 =-CB· CA+CA =16. (2)∵a=(1,1),b=(2,5), ∴8a-b=(8,8)-(2,5)=(6,3). 又∵(8a-b)· c=30,∴(6,3)· (3,x)=18+3x=30. ∴x=4. 答案:(1)D;(2)C

通关训练 1 解析: 方法一: 以射线 AB, AD 为 x 轴, y 轴的正方向建立平面直角坐标系, → → 则 A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),则 E(t,0),t∈[0,1],则DE=(t,-1),CB=(0,-1), → → ∴DE· CB=(t,-1)· (0,-1)=1. → → → ∵DC=(1,0),∴DE· DC=(t,-1)· (1,0)=t≤1, → → 故DE· DC的最大值为 1.

→ → 方法二:由图知,无论 E 点在哪个位置,DE在CB方向上的投影都是 CB=1,

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→ → → ∴DE· CB=|CB|· 1=1, → → 当 E 运动到 B 点时,DE在DC方向上的投影最大即为 DC=1, → → → ∴(DE· DC)max=|DC|· 1=1. 答案:1,1 【例 2】 解析:(1)∵(2a-3b)· (2a+b)=61, 2 2 ∴4|a| -4a· b-3|b| =61. 又|a|=4,|b|=3,∴64-4a· b-27=61,∴a· b=-6. - 6 a· b 1 ∴cosθ= = =- . |a||b| 4×3 2 2π 又 0≤θ≤π,∴θ= . 3 (2)可先平方转化为向量的数量积. |a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a· b+|b|2 2 2 =4 +2×(-6)+3 =13, ∴|a+b|= 13. 2π 2π π → → (3)∵AB与BC的夹角 θ= ,∴∠ABC=π- = . 3 3 3 → → 又|AB|=|a|=4,|BC|=|b|=3, 1→ → 1 3 ∴S△ABC= |AB||BC|sin∠ABC= ×4×3× =3 3. 2 2 2 2π 答案:(1) ;(2) 13;(3)3 3. 3 a· b 1 通关训练 2 解析:(1)∵cos〈a,b〉= = , |a||b| 2 π ∴〈a,b〉= . 3 2 2 (2)|a+2b| =a +4a· b+4b2=4-4×1+4=4, ∴|a+2b|=2. 答案:(1)C (2)C 【例 3】 解析:(1)证明:∵(a+b)· (a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2 =(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)=0, ∴a+b 与 a-b 互相垂直. (2)解:ka+b=(kcosα+cosβ,ksinα+sinβ), a-kb=(cosα-kcosβ,sinα-ksinβ), |ka+b|= k2+2kcos?β-α?+1, |a-kb|= 1-2kcos?β-α?+k2. ∵|ka+b|=|a-kb|,∴2kcos(β-α)=-2kcos(β-α). 又 k≠0,∴cos(β-α)=0. π ∵0<α<β<π,∴0<β-α<π,∴β-α= . 2 π 答案:(1)证明略;(2) . 2 1 3 通关训练 3 解析:(1)证明:∵a· b= 3× -1× =0, 2 2 ∴a⊥b. (2)解:∵c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且 c⊥d, ∴c· d=[a+(t2-3)b]· (-ka+tb) =-ka2+t(t2-3)b2+[t-k(t2-3)]a· b=0, 又 a2=|a|2=4,b2=|b|2=1,a· b=0,

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t3-3t ∴c· d=-4k+t3-3t=0,∴k=f(t)= (t≠0). 4 3 t -3t 答案:(1)证明略;(2)f(t)= (t≠0). 4 【例 4】 解析:(1)∵p∥q, ∴(2-2sinA)(1+sinA)-(cosA+sinA)(sinA-cosA)=0, 3 3 ∴sin2A= ,sinA= , 4 2 ∵△ABC 为锐角三角形,∴A=60° . C - 3 B ? (2)y=2sin2B+cos? ? 2 ? 180° -B-A-3B? =2sin2B+cos? 2 ? ? 2 =2sin B+cos(2B-60° ) =1-cos2B+cos(2B-60° ) =1-cos2B+cos2Bcos60° +sin2Bsin60° 1 3 =1- cos2B+ sin2B 2 2 =1+sin(2B-30° ), 当 2B-30° =90° ,即 B=60° 时,函数取最大值 2. 答案:(1)A=60° ;(2)B=60° . 通关训练 4 解析:∵m∥n, ∴(a+b)(sinB-sinA)-sinC( 3a+c)=0, a b c 又∵ = = ,则化简得 a2+c2-b2=- 3ac, sinA sinB sinC a2+c2-b2 3 5π ∴cosB= =- ,∵0<B<π,∴B= . 2ac 2 6 5π 答案: . 6 考题调研 成功体验———————————————— → → → → → → 1 . 解析: ∵ AC · BD = 1×( - 4) + 2×2 = 0 ,∴ AC ⊥ BD . 又 | AC | = 1+22 = 5 , | BD |= 1→ → ?-4?2+22= 16+4=2 5,S 四边形 ABCD= |AC||BD|=5. 2 答案:C

2.解析: 由题意,不妨令 a=(0,1),b=(1,0),c=(x,y),由|c-a-b|=1 得(x-1)2+(y-1)2=1, |c|= x2+y2可看做(x,y)到原点的距离,而点(x,y)在以(1,1)为圆心,以 1 为半径的圆上.如 图所示, 当点(x, y)在位置 P 时到原点的距离最近, 在位置 P′时最远, 而 PO= 2-1, P′O = 2+1,故选 A 项. 答案:A → → 3.解析:设PB=tAB(0≤t≤1), → → → → → ∴PC=PB+BC=tAB+BC,

→ → → → → → → → ∴PB· PC=(tAB)· (tAB+BC)=t2AB2+tAB· BC.

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→ → → → 由题意PB· PC≥P0B· P0C, → → 1 → ?1 → → ? 2→2 即 t AB +tAB· BC≥ AB?4AB+BC? 4 1 1 → ?2 → 2 → BC =? , ?4? AB +4AB· 1 → → 即当 t= 时PB· PC取得最小值. 4 → → AB· BC 1 由二次函数的


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