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高中数学第二讲直线与圆的位置关系四弦切角的性质课后训练

弦切角的性质 练习 1 如图所示,PQ 为 O 的切线,A 是切点,∠BAQ=55°,则∠ADB=( ) A.55° B.110° C.125° D.155° 2 如图,△ABC 内接于 O,EC 切 O 于点 C.若∠BOC=76°,则∠BCE 等于( ) A.14° B.38° C.52° D.76° 3 如图所示,四边形 ABCD 是圆内接四边形,AB 是直径,MN 是 若∠BCM=38°,则∠B 等于( ) O 的切线,C 为切点, A.32° B.42° C.52° D.48° 4 如图,AB 是 O 的直径,EF 切 长为( ) O 于点 C,AD⊥EF 于点 D,AD=2,AB=6,则 AC 的 A.2 B.3 C. 2 3 D.4 5 如图所示,∠ABC=90°,O 是 AB 上一点, DE,OC,则图中与∠CBD 相等的角共有( ) O 切 AC 于点 D,交 AB 于点 E,连接 DB, 1 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 6 如图,AD 切 O 于点 F,FB,FC 为 O 的两弦,请列出图中所有的弦切角________. 7 如图,AB 是 O 的直径,直线 CE 与 =30°,则 O 的面积是__________. O 相切于点 C,AD⊥CE 于 D,若 AD=1,∠ABC 8 如图, AB 是 O 的直径, PB, PE 分别切 O 于 B, C, 若∠ACE=40°, 则∠P=__________. 9 如图所示,BA 是 O 的直径,AD 是 O 的切线,切点为 A,BF,BD 分别交 AD 于点 F, D,交 O 于 E,C,连接 CE.求证:BE·BF=BC·BD. 10 如图,△ABC 内接于 于点 E. O,AB=AC,直线 MN 切 O 于点 C,弦 BD∥MN,AC 与 BD 相交 2 (1)求证:△ABE≌△ACD; (2)求证:BE=BC. 3 参考答案 1 答案:C ∵PQ 是切线,∴∠C=∠BAQ=55°. 又∵四边形 ADBC 内接于圆, ∴∠ADB=180°-∠C=180°-55°=125°. 2 答案:B ∵EC 为 O 的切线, ∴∠BCE=∠BAC= 1 ∠BOC=38°. 2 3 答案:C 连接 AC,如图所示. ∵MN 切圆于 C,BC 是弦, ∴∠BAC=∠BCM. ∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°. ∴∠B+∠BAC=90°. ∴∠B+∠BCM=90°,∴∠B=90°-∠BCM=52°. 4 答案:C 连接 BC,如图所示. ∵EF 是 O 的切线, ∴∠ACD=∠ABC. 又 AB 是 O 的直径, ∴∠ACB=90°. 又 AD⊥EF, ∴∠ACB=∠ADC. ∴△ADC∽△ACB.∴ 2 AB AC ? . AC AD ∴AC =AD·AB=2×6=12, ∴AC= 2 3 . 5 答案:C ∵AB⊥BC,∴BC 与 O 相切,BD 为弦. ∴∠CBD=∠BED. 同理可得∠CDB=∠BED,∴∠CBD=∠CDB. 连接 OD.∵OD=OB,OC=OC, ∴Rt△COD≌Rt△COB. ∴CB=CD,∠DCO=∠BCO.∴OC⊥BD. 又 DE⊥BD,∴DE∥OC. ∴∠BED=∠BOC,∴∠CBD=∠BOC. ∴与∠CBD 相等的角共有 3 个. 4 6 答案:∠AFB,∠AFC,∠DFC,∠DFB 7 答案:4π ∵DE 是切线,∴∠ACD=∠ABC=30°. 又 AD⊥CD,∴AC=2AD=2. 又∵AB 是直径,∴∠ACB=90°. 又∠ABC=30°,∴AB=2AC=4, ∴OA= 1 AB=2. 2 2 ∴ O 的面积为 S=π ·OA =4π . 8 答案:80° 如图所示,连接 BC, 则∠ACE=∠ABC,∠ACB=90°. 又∠ACE=40°, 则∠ABC=40°. 所以∠BAC=90°-∠BCA=90°-40°=50°,∠ACP=180°-∠ACE=140°. 又 AB 是 O 的直径,则∠ABP=90°. 又四边形 ABPC 的内角和等于 360°, 所以∠P+∠BAC+∠ACP+∠ABP=360°. 所以∠P=80°. 9 答案: 分析: 要证 BE·BF=BC·BD, 只需证 BE BC ? , 即证明△BEC∽△BDF.由∠DBF BD BF 为公共角,只需再找一组角相等,为此,过点 B 作 O 的切线,构造弦切角. 证明:如图,过点 B 作 O 的切线 BG,则 AB⊥BG. 又 AD 是 O 的切线, ∴AD⊥AB,∴BG∥AD, ∴∠GBC=∠BDF. 又∵∠GBC=∠BEC, ∴∠BEC=∠BDF. 又∠CBE=∠DBF,∴△BEC∽△BDF. ∴ BE BC ? .∴BE·BF=BC·BD. BD BF 10 答案:分析:(1)很明显∠ABE=∠ACD,只需证明∠BAE=∠CAD,转化为证明∠BAE =∠CDB,∠CDB=∠DCN,∠DCN=∠CAD.(2)转化为证明∠BEC=∠ECB. 证明:(1)∵BD∥MN,∴∠CDB=∠DCN. 又∠BAE=∠CDB,∴∠BAE=∠DCN. 5 又直线 MN 是 O 的切线, ∴∠DCN=∠CAD.∴∠BAE=∠CAD. 又∠ABE=∠ACD,AB=AC,∴△ABE≌△ACD. (2)∵∠EBC=∠BCM,∠BCM=∠BDC. ∴∠EBC=∠BDC.∴CB=CD=4. ∵∠BEC=∠EDC+∠ECD,∠ECD=∠ABE, ∴∠BEC=∠EBC+∠ABE=∠ABC. 又 AB=AC,∴∠ABC=∠ECB. ∴∠BEC=∠ECB.∴BE=BC. 6

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