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2.2圆内接四边形的性质与判定定理


观察
一般地,我们可以从四边形的四个边的 关系、四个角的关系来考察这些图形的共同 特点. D A A D A D B C B C B C

1.首先考察内接四边形的四个角: 显然,四个角都是圆周角,因此可以借助圆周角 定理来研究. 如图 C 连接OA,OC, ∴∠B=1/2? , ∠D=1/2? . ? .O ? B ∵ ? + ? = 360°, D ∴∠B+∠D=180°. A 同理可得: ∠A +∠C=180°.

知识要 点 圆内接四边形的性质:
定理1 圆的内接四边形的对角互补 .

2.从补角来考虑内接四边形的四个角: 如图:
将AB延长到点E,得如图, ∵ ∠ABC+∠EBC=180° . 又∵ ∠ABC+∠D=180° .

∴∠EBC=∠D.

知识要 点 圆内接四边形的性质:
定理2 圆的内接四边形的外角等于它的 内角的对角 .

小练习
已知:如图圆O1和圆O2相交于E,F 两点,直线 DC、 AB 与两圆分别相交.
问:(1)图中有几个内接四边形? (2)四边形AFED和四边形 FBCE的外角分别是什么? (1)两个 (2)∠BEF ∠EFC ∠AEF ∠EFD
A .O1 D F E B .O2 C

讨论
圆的内接四边形的对角互补.
讨论:如果一个四边形的对角互补,那么是否

可以推出这个四边形存在外接圆?

思考

圆内接四边形 判定定理?

假设四边形ABCD中, ∠B+ ∠D=180°. 求证:A、B、C、D在同一圆周上. 分析: 根据不在同一直线上的三点确定一个圆,所以 可以经过A、B、C三点做圆O,如果能证明圆 O过点D,那么就证明了结论. 显然,圆O与点D有且只有三种位置关系:

(1)点D在圆外;
(2)点D在圆内; (3)点D在圆上;只要证明只有(3)成立即可.

证明: (1)假设点D在外部,设E使AD与圆周 的交点,连接EC. 则有∠AEC+ ∠B=180°.由题设∠D+ ∠B=180° 所以∠D =∠AEC.这与“三角形的外角大于任一不 相邻的内角”矛盾,故点D不在圆外. A B E D

. O C

(2)假设点D在内部,设AD的延长线必与圆 相交,设交点为E,连接EC. 则有∠E+ ∠B=180°.由题设∠ADC+ ∠B=180° 所以∠ADC =∠E.这与“三角形的外角大于任一不 相邻的内角”矛盾,故点D不在圆内. A B D E

. O C

结论
综上所述:点D不能在圆外,也不能在圆 内,根据有且只有三种可能,所以得:
点D只能在圆上,即A、B、C、D共圆.

圆内接四边形 的判定定理

知识要 点 圆内接四边形判定定理:
如果一个四边形的对角互补,那么 这个四边形的四个顶点共圆.

知识要 点 推论:
如果四边形的一个外角等于它的内 角的对角,那么这个四边形的四个顶点 共圆。

课堂小结
1、圆内接四边形的性质定理
定理 1 圆的内接四边形的对角互补. 定理 2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.

2、圆内接四边形判定定理
如果一个四边形的对角互补,那么这 个四边形的四个顶点共圆. 推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对 角,那么这个四边形的四个顶点共圆.

教材习题答案
习题2.2(第30页)

1.∵ AD ⊥ BC,BE ⊥ AC, ∴△ABD和△ABE均为直角三角形. 设O是AB的中点,连接OE、OD,则 1 1 AB,OD = AB, 2 2 ∴ OE = OD = OA = OB. OE = ∴ A、B、D、E四点共圆. ∴∠CED = ∠ABC.
A O B E D C

2.如图,设四边形ABCD的对角互相垂直,点E、F、G、H分 别是AB、BC、CD、DA的中点,连接EF、FG、GH、HE,则 FG ∥ BD,GH ∥ AC.∵ AC ⊥ BD, ∴ FG ⊥ GH.同理可证,HE ⊥ EF. ∴∠HEF + ∠FGH = 180o. ∴ F、G、H、E四点共圆.
B F A H D G

E

3.如图, ∵ A、B、C、D四点共圆.∴∠FCE = ∠A. ∵∠CFG = ∠FCE + ∠CEF, ∠DGF = ∠A + ∠AEG, 而∠AEG = ∠CEF. ∴∠CFG = ∠DFG.
A G D F C B E

C



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