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8-研读课标考纲,准确定位,科学备考

研读课标考纲,准确定位, 研读课标考纲,准确定位,科学备考
——从广东各市模拟题谈文科解析几何解答题的复习 : 【摘要】 本文结合2009年广东各市文科模拟题研究 2009 年新考纲的变化.对圆锥曲线,特别是 摘要】
直线与圆锥曲线的位置关系、 抛物线的定位进行分析:在利用韦达定理解关于直线与圆锥曲线的位置 关系类型的题目,要降低难度;关于二次函数型的抛物线的综合题需要保留.并从模拟题中总结出解 析几何解答题的热点与重点是: (1)轨迹问题、最值问题、求参数范围问题、探求问题将仍然为命题 选择的对象;(2) 离心率问题、椭圆的定义及简单几何性质、求方程问题仍然是命题的重点;(3) 把解析几何与平面向量有机地融合在一起,这仍会是命题的热点.并给出复习备考策略:(1)重视基础, 提高学生的运算能力;(2)突出思想方法及解题策略的教学;(3)提高学生解综合题的能力.

: 【关键词】 新课程标准;文科;解析几何;高考复习 关键词】
一直以来,解析几何都是学生的弱项,一是基础不够扎实,对图形与方程比较茫然,看不出问 题实质,找不到解题思路;二是运算技能不过关,下笔没几步就出错.加之高考常将解析几何解答题 放在后三题,更增加了学生的畏难情绪. 从 07 年开始,广东省的高考试题是按新课程标准命制的. 高考文科卷对解析几何的要求,特别是对圆锥曲线的要求也不断发生变化.下面结合 2009 年广东考 试大纲及各市 2009 年高考模拟题,谈谈解析几何解答题的定位及备考策略.

1.课程标准与 2009 年考试大纲
课程标准是制定考试大纲、考试说明、编写教材的根本依据,考试大纲、考试说明又是高考命 题的重要依据. 文科课程标准对椭圆与双曲线的准线等部分内容进行删减,没有了圆锥曲线统一定义,降低了对 直线与圆锥曲线的位置关系的要求. 2009 年广东文、理科数学考试大纲及考试说明圆锥曲线部分比较: 文科 (1)圆锥曲线 ① 了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥 曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的 作用 ② 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方 程及简单几何性质. ③ 了解双曲线、抛物线的定义、几何图 形和标准方程,知道它们的简单几何性质. ④ 理解数形结合的思想 ⑤ 了解圆锥曲线的简单应用 (1)圆锥曲线 ① 了解圆锥曲线的实际背景,了解圆 锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中 的作用 ② 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图 形、标准方程及简单性质 ③ 了解双曲线的定义、几何图形和标 准方程,知道它的简单几何性质 ④ 了解圆锥曲线的简单应用 ⑤ 理解数形结合的思想 (2)曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 与 2008 年相比,文科对抛物线的定义、几何图形和标准方程的要求由掌握降为了解,对其有关 性质由掌握降为知道.在圆锥曲线这一部分内容中,文理科要求是不同的,要分别对待.圆锥曲线与方 程中,理科要求掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质,而文科只要求掌握椭圆 的,对抛物线的内容只作了解要求;理科要求了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 理科

2.2009 广东省各市的文科模拟题
1

新课标高考的重点、热点是什么?直线与圆锥曲线的位置关系及抛物线的新变化,该如何定位? 两年的高考时间太短,下面我们结合 2009 广东各市模拟题进行分析. 2009 广东省各市的模拟题中,每套均有一道解析几何的解答题,试题考查的知识点如下表: 卷型 广州一模 深圳一模 佛山一模 东莞期末 珠海一模 潮洲期末 汕头一模 揭阳一模 越秀区摸底 韶关一模 江门一模 茂名一模 湛江一模 惠州摸底 惠州期末 肇庆一模 广州二模 深圳二模 佛山二模 珠海二模 湛江二模 惠州二模 潮洲二模 肇庆二模 题序 19 20 20 20 19 18 20 19 20 19 20 19 20 20 19 19 19 21 20 19 20 20 18 20 考查的知识点 导数与抛物线,证明定值,直线与圆,探索性 求椭圆的方程,直线与椭圆,参数的取值范围,韦达定理 求椭圆的方程,直线与圆 轨迹,直线与抛物线,参数的取值范围 双曲线的渐近线,求椭圆的方程,直线,证明定值,向量 求椭圆的方程,向量,直线与椭圆,韦达定理 轨迹,圆,椭圆,范围 椭圆,离心率,直线与圆,求椭圆的方程 离心率,直线与椭圆,向量,范围,韦达定理 轨迹,直线与椭圆,参数的范围 求椭圆的方程,直线与抛物线, 韦达定理 求椭圆的方程,直线与圆 证明曲线是圆,直线与椭圆,离心率的取值范围 椭圆,向量,离心率,求椭圆方程 轨迹,圆,导数与抛物线,证明 求圆的方程,圆与圆,轨迹,椭圆 求椭圆的方程,离心率,圆与圆,探索性问题 求椭圆的方程,直线与圆,直线与椭圆, 向量,定点 抛物线,求圆的方程,直线与圆,向量,证明点在定直线上 椭圆的最值问题,参数的范围 求抛物线的方程,弦长,定值,探索性 求椭圆的方程,离心率,直线与圆 求椭圆的方程,向量,范围 求椭圆的方程, 直线与椭圆,面积最值

2.1 总体情况
5 1 ,涉及抛物线的试题有 4 道,占 ,涉 6 6 1 1 及双曲线的试题只有 1 道,占 ,涉及直线与圆的试题有 6 道,占 .从解题目标看, 求轨迹方程的有 24 4 20 道, 求参数的取值范围的有 7 道,求最值的有 2 道,求椭圆离心率的有 5 道,证明问题的有 4 道,向 量综合的有 6 道,探索性的问题有 3 道. 由此可见, (1)轨迹问题、最值问题、求参数范围问题、探求问题(探求或证明定值问题、直线 过定点、点与直线的存在)将仍然为命题选择的对象;(2) 离心率问题、椭圆的定义及简单几何性 质、求方程问题仍然是命题的重点;(3)把解析几何与平面向量有机地融合在一起,这仍会是命题的 热点. 向来重要的中点问题,对称问题,在这两年的高考卷及模拟卷空缺,要引起关注.
从知识点上看,24 套试题中,涉及椭圆的试题有 20 套,占

2.2 直线与圆锥曲线的位置关系的定位
2

文科新课程标准降低了直线与圆锥曲线的关系的要求.但从上表中,我们看到在直线与圆锥曲线 的位置关系中,利用“联立方程组 ? 代入消元 ? 建立一元二次方程 ? 判别式 ? 韦达定理”来解决 直线与圆锥曲线相交的问题的方法的试题有 4 道,占

1 .这类试题在各类考卷及复习资料中亦很常见, 6 使得部分学生形成惯性思维,非用不可,不然就不会解题.教学中要注意掌握其中的度,并注意不要形 成利用韦达定理解决本类题的固定模式与惯性思维.

1 例 2.1(江门一模第 20 题) 如图,抛物线 C : y = ? x 2 + 1 3
与坐标轴的交点分别为 P 、 F1 、 F2 . ⑴求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆方程; ⑵经过坐标原点 O 的直线 l 与抛物线相交 于 A 、 B 两点,若 AO = 2OB ,求直线 l 的方程. 解:(1) 略.

y P B

F1 O F2 x
A

uuur

uuu r

(2) 设 A( x A , y A ), B( xB , yB ) ,依题意知直线 l 的斜率必存在,故设 l : y = kx ,

? y = kx 1 2 ? 由? 得 x + kx ? 1 = 0 1 2 ?y = ? 3 x +1 3 ?

?(3k ) 2 ? 4 × 1 × (?3) > 0 ? 2 ? x + x B = ?3k 依题意得 ? A 解得 k = ± 3 ? x A ? x B = ?3 ? x = ?3 x B ? A 2 2 所以,直线 l 的方程是 y = x 或 y = ? x . 3 3
评注:本题是直线与二次函数型抛物线的位置关系,使用韦达定理解题,运算量较小.

例 2.2(东莞 2009 年高三期末文科测试卷 20 题) 已知动圆过点 P(1,0) ,且与定直线
l : x = ?1 相切,点 C 在 l 上, (1) 求动圆圆心的轨迹 M 的方程;
(2) 设过点 P ,且斜率为 ? 3 的直线与曲线 M 相交于 A, B 两点,当 ?ABC 为钝角三角形时, 求这种点 C 的纵坐标的取值范围. 评注:本题的第(2)问,粗看是用韦达定理来解题,但审题后却发现,直线方程是 y = ? 3( x ? 1) , 曲线 M 是 y 2 = 4 x 都已知,所以交点 A, B 可以求出.本题打破学生用韦达定理解题的思维定势.

3

2.3 抛物线的定位
新考纲降低了对抛物线的要求,但由于新课标对椭圆与双曲线的准线等部分内容进行删减,故抛 物线的准线的相关知识得到了一定重视.

例 2.3(广州一模第 19 题) 设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 是抛物线 x 2 = 4 y 上不同的两点,且该
抛物线在 A 、 B 处的两条切线相交于点 C ,并且满足 AC ? BC = 0 (1)求证: x1 x2 = ?4 ; (2)判断抛物线 x = 4 y 的准线与经过 A, B, C 三点的圆的位置关系,并说明理由.
2

uuur uuu r

评注:本题第(1)问考查二次函数型抛物线在 A 、 B 处的切线,可用导数求切点处的斜率.第(2)问 准线方程易错写为 x = ?1 或 x = ? 能力和创新意识.

1 .本题考查数形结合的思想方法,以及推理验证能力、运算求解 16

3.备考策略
3.1重视基础,提高学生的运算能力
解析几何解答题的总体难度在下降,它的入口较宽,分步设问,逐问深入的.它的第(1)问往往是 用待定系数法、直接法或相关点法 求曲线方程. 基础也包含运算能力.复习课中,一定要让学生算出结果,不能只分析解题思路,教会学生利圆 锥曲线的定义简化运算的方法,加强学生较复杂式子化简变形的能力的训练.

例 3.1(茂名一模 19) 已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为
圆 C : x 2 + y 2 ? 4 x + 2 2 y = 0 的圆心 C . (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 过椭圆的焦点且与圆C相切,求直线 l 的方程 解: (1)圆 C 方程化为: ( x ? 2) 2 + ( y + 2) 2 = 6 , 圆心 C (2, ? 2), 半径r =
2 2

2 ,且椭圆经过 2

6

设椭圆的方程为

x y + 2 = 1(a > b > 0) ,则 2 a b

2 ?4 ? a 2 + b2 = 1 ?a 2 = 8 x2 y 2 ? ? 即? 2 ,所以所求的椭圆的方程是: + =1 ? 8 4 ? ?1 ? ( b )2 = ( 2 )2 ?b = 4 ? ? a 2 (2)由(1)得到椭圆的左右焦点分别是 F1 ( ?2, 0), F2 (2, 0) ,

| F2C |= (2 ? 2) 2 + (0 + 2) 2 = 2 < r = 6 F2 在 C 内,故过 F2 没有圆 C 的切线
设 l 的方程为 y = k ( x + 2),即kx ? y + 2k = 0 点 C (2, ? 2) 到直线 l 的距离为 d =

| 2k + 2 + 2 k | 1+ k 2
4

,

= 6 1+ k 2 2 化简得: 5k + 4 2k ? 2 = 0 2 解得: k = 或k = ? 2 5 故 l 的方程为 2 x ? 5 y + 2 2 = 0或 2 x +y + 2 2=0 评注:本题考查椭圆的标准方程及直线与圆的位置关系,主要考查基础知识与运算能力. 圆锥曲线的复习务必弄清高考知识点及其对基本知识及基本能力的要求,重视对基本方法的训 练.否则一味贪高,必然忽视基础,偏离考生实际,反而达不到预定的目标.这就要求我们要重视教材 的基础作用和示范作用, 要求我们在课本的基础上变换背景、改变图形位置、增减题设或结论,挖掘 课本习题的复习功能.

由d =

6, 得

| 2k + 2 + 2 k |

3.2突出思想方法及解题策略的教学
解析几何就是用代数方法研究几何问题,其中,坐标法是研究几何问题的重要思想方法,建立坐 标系,引入点的坐标,将几何问题化归为代数问题,用方程的观点实现几何问题代数化解决. 数形 结合的思想方法、坐标法、方程思想是重要的思想方法. 思想方法反映在解题上,一是“翻译”直通车:解析几何解题中,只要掌握解析几何的基本概念、 基本性质等.把题目中的“普通语言” “图形语言”翻译成数学的“符号语言” 、 ,事情就基本成功. 二是几何关系代数化:解析几何与平面几何有着千丝万缕的联系,所以一些解析几何的题目上,只要 从题目中挖掘出平面几何的性质,然后,把平面几何、解析几何、向量、图形等语言“翻译”成代数 语言,就会柳暗花明.三是解题的过程往往吻合于作图步骤.

例 3.2(韶关一模第 19 题) 已知点 ( x, y ) 在曲线 C 上,将此点的纵坐标变为原来的 2 倍,
对应的横坐标不变,得到的点满足方程 x 2 + y 2 = 8 ;定点 M (2,1) ,平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的 截距为 m( m ≠ 0) ,直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两个不同点. (1)求曲线 C 的方程; (2)求 m 的取值范围. 解: (1)在曲线 C 上任取一个动点 P( x, y ) , 则点 ( x,2 y ) 在 …设点坐标

…将 P( x, y ) 的纵坐标变为原来的 2 倍,对应的横坐标不变, 得到的点 … 满足方程圆 x 2 + y 2 = 8 上.

x2 + y2 = 8

所以有 x 2 + (2 y ) 2 = 8 .

整理得曲线 C 的方程为

x2 y2 + = 1. 8 2
1 , 2

(2)∵直线 l 平行于 OM ,且在 y 轴上的截距为 m ,又 kOM = ∴直线 l 的方程为 y =

1 x + m. 2

5

? 1 ? y = 2 x + m, ? 由? 2 , x y2 ? + = 1. ?8 2 ?

得 x + 2mx + 2m ? 4 = 0
2 2

…方程思想

∵直线 l 与椭圆交于 A, B 两个不同点, ∴ ? = (2m)2 ? 4(2m2 ? 4) > 0, 解得 ?2 < m < 2且m ≠ 0 . ∴m 的取值范围是 ?2 < m < 0或0 < m < 2 . 评注:从解题过程看,将所有条件翻译成符号语言,用坐标表示,列成方程组,便可得解.第(1)问 可以教会学生画简图,从图形上直观分析,寻找解题的突破口,找到解题思路. 对于难题,用好翻译法,可以增加得分点.如例 2.3(广州一模第 19 题),直接翻译出题目中的一 些条件.如“∵ AC ? BC = 0 ,∴ AC ⊥ BC ”或“抛物线 x = 4 y 的准线方程为 y = ?1 ”均可得 1
2

uuur uuu r

uuur

uuu r

分,而本题平均得分才 2.1 分. 坐标法是解析几何的基本方法,方程思想是贯穿解析几何的一条主线.此题是课本习题的深化, 复习中要注意挖掘课本的例题和习题中蕴涵的基本思想和方法,明白“题在书外,理在书内”的道理, 让知识在记忆中积累,能力在联想中提升.

3.3 提高学生解综合题的能力
解析几何解答题,不可孤立地看待圆锥曲线.一是各种曲线如直线、圆、椭圆、抛物线综合起来 考查;二是圆锥曲线与其它模块知识,如三角,数列,向量,不等式的综合.

例 3.3(佛山二模第 20 题) 如图,已知曲线 C1 : y = x 2 ? 1
与 x 轴相交于 A 、 B 两点,与 y 轴相交于点 C ,圆 C2 经过 A 、 B 、 C 三点. (Ⅰ)求圆 C2 的方程; (Ⅱ)过点 P (0, m)(m < ?1) 的直线 l1 与圆 C2 相切,试探讨

y

l1 与 C1 的位置关系;
(Ⅲ)当 m = ?4 时,过点 P 作直线 l2 与 C2 相交于 M 、N 两 A O C B x

uuuu r uuur uuur uuur 点, MQ = λ QN , MP = ?λ PN ,( λ ≠ 0 且 λ ≠ ±1 ).
证明:点 Q 恒在一条定直线上.

评注:本题是直线、圆、抛物线与向量的综合题. 本题中的(Ⅱ)是探究性问题,本题中的(Ⅲ) 与向量综合,设 Q ( x , y ), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 的坐标,代入已知的向量关系式,得方程组,消元后即得 解.这是圆锥曲线与向量综合的常规解法,实质是坐标法与方程思想. 教师要精选素材,注重模块的综合与交叉.从广东近年试题来看,在模块的交汇处命制的题目不 一定是难题,甚至是命题专家眼中的“容易题” ,如果我们不进行针对性训练,那么这种“容易题” 就成了考生升学道路上的“拦路虎”.我们要从“模块的交汇”这一视角出发,或自行命制,或将成
6

题巧妙组合,作到推陈出新.这样,才是大面积提高教学质量的有效途径. 总而言之, 我们研究课程标准、考试大纲、考试说明及自己所用的教材版本和高考题、模拟题, 弄清重、难、热点问题,明确高考试题的命题要求、范围及其规律,合理地选择、组织适合自身特 点的复习资料,并大胆取舍,对繁、难、偏、怪的问题,坚决放弃,决不犹豫,确保自己的复习资 料不超纲,能恰到好处地体现课程标准对相关知识的要求,切实提高每一节的复习质量,高考的复习 就会取得事半功倍的效果.

: 【参考文献】 参考文献】
[1]广东省教育考试院.2009 广东省高考(广东卷)考试大纲的说明. 广东:广东高等教育出版社, 2009.2 [2]曹晓峰,安振平. 解析几何回顾与展望.陕西:中学数学教学参考,2006,04:P37.40 [3]张汉林. 找准着力点_谈解析几何专题复习.考试,2007,2 [4]陆云泉. 解析几何复习之我见.中学数学月刊.2006.03:P8 [5]张峰.高考数学优化思维.江苏:浙江大学出版社.2006

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