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高二理科2-2

高二数学理科试题(四) (一)复数

2?i 的共轭复数是( ) 1 ? 2i 3 3 A. ? i B. i 5 5 2 2. 下面关于复数 z ? 的四个命题: ?1 ? i
1.复数

C. ?i

D. i

p1 : z ? 2,
其中真命题为( A、 p2 , p3

p2 : z2 ? 2 i, p3 : z 的共轭复数为 1 ? i
) C、 p2 , p4 D、 p3 , p4

p4 : z 的虚部为 ?1

B、 p1 , p2

3. 若复数 z 满足错误!未找到引用源。 (3-4i)z=|4+3i |,则 z 的虚部为 ( A、-4 4 (B)- 错误!未找到引用源。 5 (C)4
x? y

)

4 (D) 5 的值为( ) D.2i

4.已知 x, y ? R, i 为虚数单位,且 ? x ? 2? i ? y ? ?1 ? i ,则 ?1 ? i ? A.4
0

B.-4
0

C.4+4i ).

3 5.复数 z ? cos120 ? i sin 120 ,则 z ? (

(A)

1 3 ? i 2 2

(B) ?

1 3 ? i 2 2

(C)

1 3 ? i 2 2

(D) 1

6.设 z ?

1 3 ? i (i是虚数单位) ,则 z ? 2 z 2 ? 3z 3 ? 4 z 4 ? 5z 5 ? 6 z 6 ? ( 2 2
B. 6 z
2



A. 6 z

C. 6 z

D. ? 6 z

7.已知关于 x 的方程

有实根,则纯虚数 m 的值是

A.

B.

C.

D.

8.

1? i

?1 ? i ?

2

?

1? i

?1 ? i ?

2

?(
(B) ?i

) (C)1
1

(A) i

(D) ?1

9. (

1 ? i 2005 ) ?( 1? i
A. i



B.- i

C. 2

2005

D.- 2

2005

10.若 z1 ? a ? 2i , z2 ? 3 ? 4i ,且

z1 为纯虚数,则实数 a 的值为 z2

(二)推理与证明 1.若 P= a+ a+7,Q= a+3+ a+4(a≥0),则 P、Q 的大小关系是( ) A.P>Q B.P=Q C.P<Q D.由 a 的取值确定 2.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此 f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推理( A.结论正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.全不正确 2 3 4 3.观察下列各式:7 =49,7 =343,7 =2 401,?,则 72 011 的末两位数字为( ) A.01 B.43 C.07 D.49

)

4.已知整数的数对如下: (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (1,5), (2,4), ? 则第 60 个数对是( ) A.(3,8) B.(4,7) C.(4,8) D.(5,7) 1+x 5.设 f(x)= ,又记 f1(x)=f(x),fk+1(x)=f(fk(x)),k=1,2,?,则 f2 010(x)等于( ) 1-x 6.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”正确的反设为( ) A.a,b,c 中至少有两个偶数 B.a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 C.a,b,c 都是奇数 D.a,b,c 都是偶数 7.凸函数的性质定理为:如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数,则对于区间 D 内的任意 x1,x2,?, f?x1?+f?x2?+?+f?xn? ?x1+x2+?+xn? xn,有 ≤f n n ? ?,已知函数 y=sin x 在区间(0,π)上是凸函数,则在△ ABC 中,sin A+sin B+sin C 的最大值为________. 8.用数学归纳法证明“2n>n2+1 对于 n≥n0 的正整数 n 都成立”时,第一步证明中的起始值 n0 应取 ( ) A.2 B .3 C.5 D.6 - 9.已知 1+2×3+3×32+4×33+?+n×3n 1=3n(na-b)+c 对一切 n∈N*都成立,则 a、b、c 的值为 ( ) 1 1 1 A.a= ,b=c= B.a=b=c= 2 4 4 1 C.a=0,b=c= D.不存在这样的 a、b、c 4 1 1 1 127 10.用数学归纳法证明不等式 1+ + +?+ n-1> (n∈N*)成立,其初始值至少应取( ). 2 4 64 2
2

A.7 B.8 C.9 D.10 1 1 1 1 11.设 f(n)=1+ + + +?+ (n∈N*),则 f(n+1)-f(n)=________. 2 3 4 3n-1 12,由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“a· b=b· a”; ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)· c=a· c+b· c”; ③“(m· n)t=m(n· t)”类比得到“(a· b)· c=a· (b· c)”; ④“t≠0,mt=xt?m=x”类比得到“p≠0,a· p=x· p?a=x”; ⑤“|m· n|=|m|· |n|”类比得到“|a· b|=|a|· |b|”; ac a a· c a ⑥“ = ”类比得到“ = ”. bc b b· c b 以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是( ) A.1 B .2 C.3 D.4 13.在 Rt△ABC 中,若∠C=90° ,AC=b,BC=a,则△ABC 的外接圆半径 r= 比到空间有_______________________________________. 14 .观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)等于( ) A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) 1 1 1 + 15.设 x、y、z∈R ,a=x+ ,b=y+ ,c=z+ ,则 a、b、c 三数( ) y z x A.至少有一个不大于 2 B.都小于 2 C.至少有一个不小于 2 D.都大于 2 n4+n2 16.用数学归纳法证明 1+2+3+?+n2= ,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上加上( 2 A.k2+1 B.(k+1)2 4 2 ?k+1? +?k+1? C. D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+?+(k+1)2 2 解答题 1 1.已知 a,b,c 都是实数,求证:a2+b2+c2≥ (a+b+c)2≥ab+bc+ca. 3 ) a2+b2 ,将此结论类 2

2.已知 a>0,求证:

1 1 a2+ 2- 2≥a+ -2. a a

3

π π π 3,若 a,b,c 均为实数,且 a=x2-2y+ ,b=y2-2z+ ,c=z2-2x+ .求证:a,b,c 中至少 2 3 6 有一个大于 0.

4.已知 a>0,b>0,试用分析法证明不等式

a b + ≥ a+ b. b a

1 1 3 5.在△ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 + = ,试问 A、B、 a+b b+c a+b+c C 是否成等差数列,若不成等差数列,请说明理由.若成等差数列,请给出证明.

6,用数学归纳法证明:对一切大于 1 的自然数,不等式 ?1+1??1+1???1+ 1 ?> 2n+1均成立. ? 3?? 5? ? 2n-1? 2

2 1 7,已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=- ,且 Sn+ +2=0(n≥2).计算 S1,S2,S3,S4,并 3 Sn+1 猜想 Sn 的表达式并证明.

4

(三)导数及其应用 2 1.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1)+x ,则 f′(1)=( A.-1 B.-2 C.1 D.2 2.设曲线 y ? A.2

)

x ?1 在点(3,2)处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? x ?1 1 1 B. ?2 C. ? D. 2 2

(

)

3.设函数 f(x)是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y=f(x)在 x=5 处的切线的斜率为( 1 1 A.- B.0 C. D.5 5 5 4. 已知函数 f ( x ) ?

)

1 3 x ? 2 x 2 ? 2 x ,若存在满足 0 ? x0 ? 3 的实数 x0 ,使得曲线 y ? f ( x) 在点 3


( x0 , f ( x0 )) 处的切线与直线 x ? my ? 10 ? 0 垂直,则实数 m 的取值范围是(
A. [6, ??) B. (??, 2] C. [2, 6] D. [5, 6] )

5.设函数 f ?( x) ? x2 ? 3x ? 4, 则 y ? f ? x ? 1? 的单调减区间为( A. ? ?4,1? B. ? ?5,0? C. ? ?

? 3 ? , ?? ? ? 2 ?

D. ? ?

? 5 ? , ?? ? ? 2 ?

6.等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数 f(x)=x(x-a1)(x-a2)?(x-a8),则 f′(0)=( ). 6 9 12 15 A.2 B.2 C.2 D.2 f?x? 7.函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,则函数 g(x)= 在区间(1,+∞)上一定( ) x A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数 8.函数 f ( x) 是定义域为 R 的函数,对任意实数 x 都有 f ( x) ? f (2 ? x) 成立.若当 x ? 1 时,不等式

4 ( x ? 1) ? f ?( x) ? 0 成立,设 a ? f (0.5) , b ? f ( ) , c ? f (3) ,则 a , b , c 的大小关系是 3 A. b ? a ? c B. a ? b ? c C. c ? b ? a D. a ? c ? b
9.已知函数 f ? x ? ? x ? tx ? 3x ,若对于任意的 a ? 1, 2 , b ? ? 2,3 ,函数 f ? x ? 在区间 ? a, b? 上单
3 2

? ?

?

调递减, 则实数 t 的取值范围是 A. ? ??,3? B. ? ??,5? C. ?3, ?? ? D. ?5, ?? ?





x x 10.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f ?( x) ? f ( x) 恒成立,若 x1 ? x2 ,则 e 1 f ( x2 ) 与 e 2 f ( x1 ) 的大小

关系为
5

A. ex1 f ( x2 ) ? ex2 f ( x1 ) C.

B. D.
2

ex1 f ( x2 ) ? ex2 f ( x1 )

ex1 f ( x2 ) ? ex2 f ( x1 )
3

ex1 f ( x2 )与ex2 f ( x1 ) 的大小关系不确定

11.已知函数 f(x)=x +ax +(a+6)x+1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是( ). A.(-1,2) B.(-∞,-3)∪(6,+∞) C.(-3,6) D.(-∞,-1)∪(2,+∞) 3 2 12.已知函数 f(x)=-x +ax -4 在 x=2 处取得极值,若 m、n∈[-1,1],则 f(m)+f′(n)的最小 值是( ) A.-13 B.-15 C.10 D.15 x -x 13.设 a∈R,函数 f(x)=e +a·e 的导函数是 f′(x),且 f′(x)是奇函数.若曲线 y=f(x)的一 3 条切线的斜率是 ,则切点的横坐标为( ) 2 ln2 -ln2 A.ln2 B.-ln2 C D. 2 2 14. 函数 f(x)的定义域为 R, f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为( ). A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞) 3 2 15.已知 f(x)=2x -6x +3,对任意的 x∈[-2,2]都有 f(x)≤a,则 a 的取值范围为________. 2 16.函数 f(x)=x -2ln x 的最小值为________. 3 2 17.若 f(x)=x +3ax +3(a+2)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围________. 3 18.设函数 f(x)=ax -3x+1(x∈R),若对于任意 x∈[-1,1],都有 f(x)≥0 成立,则实数 a 的值 为________. 19.已知函数 f(x)的自变量取值区间为 A,若其值域也为 A,则称区间 A 为 f(x)的保值区间.若 g(x) =x+m-lnx 的保值区间是[2,+∞),则 m 的值为________. π? 20.若 f(x)=xsin x+cos x,则 f(-3),f? ?2?,f(2)的大小关系为________. 21.若 f(x)在 R 上可导,f(x)=x2+2f′(2)x+3,则?3 0f(x)dx=________. 1 22.曲线 y= 与直线 y=x,x=2 所围成的图形的面积为____________.

x

解答题 一,基础演练 1.求下列函数的导数. x e +1 2 (1)y=x sin x;(2)y= x e -1
n
*

(3)y=log2(2x +3x+1).
2

2

(4)y=(2x+1) ,(n∈N );(5)y=ln(x+ 1+x );(6)y=2xsin(2x+5).

6

2.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值,并 求此定值.

b x

1 2 3. 已知函数 f(x)=ax +blnx 在 x=1 处有极值 . 2 (1)求 a,b 的值; (2)判断函数 y=f(x)的单调性并求出单调区间.

4,函数 f ( x) ?

1 1 1 ? 2? 3; x x x
? ? 1? ?

(1)求 y ? f ( x) 在 ?? 4, ? ? 上的最值; 2 (2)若 a ? 0 ,求 g ( x) ?

1 2 a ? 2 ? 3 的极值点 x x x

7

5.已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线为 l: 2 3x-y+1=0,若 x= 时,y=f(x)有极值. 3 (1)求 a,b,c 的值; (2)求 y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.

3

2

1 6.已知函数 f(x)= (1+x)2-ln(1+x). 2 (1)求 f(x)的单调区间; 1 (2)若 x∈[ -1,e-1]时,f(x)<m 恒成立,求 m 的取值范围. e

4 7,若函数 f(x)=ax3-bx+4,当 x=2 时,函数 f(x)有极值- . 3 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若关于 x 的方程 f(x)=k 有三个零点,求实数 k 的取值范围.

8

二,综合应用 3 1.已知函数 f(x)=x -ax-1 (1)若 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a,使 f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在试说明理 由.

1 3 1 2 2.设 f(x)=- x + x +2ax. 3 2 ?2 ? (1)若 f(x)在? ,+∞?上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; ?3 ? 16 (2)当 0<a<2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为- ,求 f(x)在该区间上的最大值. 3

3,已知函数 f(x)=x2e

-ax

(a>0),求函数在[1,2]上的最大值.

9

4,已知函数 f ( x) ?

1? x ? ln x(a ? 0) ax

(1 )若函数 f ( x ) 在 [1,??) 上为增函数,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 在 [ ,2] 上的最大值和最小值.

1 2

5,已知函数 f ( x) ? ax ? (1)用 a 表示出 b, c ;

b ? c(a ? 0) 的图象在点(1, f (1) )处的切线方程为 y ? x ? 1 . x

(2)若 f ( x) ? ln x 在[1,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围.

6.已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 2a , ( a ? R ) .
3

(Ⅰ) 求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)曲线 y ? f ( x) 与 x 轴有且只有一个公共点,求 a 的取值范围.

10

7,已知函数 f ( x) ? x2 ? 2a2 ln x (a ? 0) . (Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

e] 上没有零点,求实数 a 的取值范围. (Ⅲ)若 f ( x ) 在 [1,
错误!未找到引用源。

8,设 a 为实数,函数 f(x)=e -2x+2a,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间与极值; x 2 (2)求证:当 a>ln 2-1 且 x>0 时,e >x -2ax+1.

x

9,设函数 f(x)= +xlnx,g(x)=x ﹣x ﹣3. (I)如果存在 x1、x2∈[0,2],使得 g(x1)﹣g(x2)≥M 成立,求满足上述条件的最大整数 M; (II)如果对于任意的 s、t∈[ ,2],都有 f(s)≥g(t)成立,求实数 a 的取值范围..

3

2

11

10,已知函数 f(x)=(x+1)ln x-x+1. (1)若 xf′(x)≤x2+ax+1,求 a 的取值范围; (2)证明:(x-1)f(x)≥0.

11,为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要 建造可使用 20 年的隔热层, 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元. 该建筑物每年的能源消耗费用 C(单 k 位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系:C(x)= (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源 3x+5 消耗费用为 8 万元,设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值.

12,已知函数 f ( x) ? (Ⅰ) 求 a , b 的值;

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 . x ?1 x ln x k ? ,求 k 的取值范围. x ?1 x

(Ⅱ) 如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?

12

13,已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x ) ?

k ( x ? 1) . x

(1)当 k ? e 时,求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间和极值; (2)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 k 的值.

1 ? ln x . x 1 (Ⅰ)若函数在区间 ( a, a ? ) 其中 a ? 0 上存在极值,求实数 a 的取值范围; 2 k (Ⅱ)如果当 x ? 1 时,不等式 f ( x ) ? 恒成立,求实数 k 的取值范围. x ?1
14,已知函数 f ( x ) ?

13

15,已知函数 f ( x) ? e x sin x . ⑴ 求函数 f ( x) 的单调区间; ⑵ 如果对于任意的 x ? [0,

?
2

] , f ( x) ? kx 总成立,求实数 k 的取值范围.



16,已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? (Ⅰ)求函数 F ( x ) 的单调区间

a (a ? 0) ,设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) x

(Ⅱ)若以函数 y ? F ( x)(x ? (0,3]) 图象上任意一点 P( x0 , y 0) 为切点的切线的斜率 k ? 求实数 a 的最小值 (Ⅲ) 是否存在实数 m , 使得函数 y ? g (

1 恒成立, 2

2a ) ? m ? 1 的图象与函数 y ? f (1 ? x2) 的图象恰有四个 2 ? 1 x

不同交点?若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,说明理由。

14

17,设函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ?1. x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,过原点的直线与函数 f ( x) 的图象相切于点 P,求点 P 的坐标;

1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; 2 1 5 2 (0 , e ], ? x2 ? [0,1]使 f ( x1 ) ≥ (Ⅲ)当 a ? 时,设函数 g ( x) ? x ? 2bx ? ,若对于 ? x1 ? 3 12
(Ⅱ)当 0 ? a ?

g ( x2 ) 成立,求实数 b 的取值范围.

18,设函数 f ( x) ? x ?

1 ? a ln x(a ? R ). x

⑴讨论函数 f ( x) 的单调性; ⑵若 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ,记过点 A( x1 , f ( x1 )), B ( x2 , f ( x2 )) 的直线斜率为 k ,问:是否存在 a , 使得 k ? 2 ? a ?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由.

15

19,已知函数 f ( x) ? x 2 ln(ax)(a ? 0) . (1)若 f ' ( x) ? x 2 对任意的 x ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ? 1 时,设函数 g ( x) ?

f ( x) 1 ,若 x1 , x 2 ? ( ,1), x1 ? x 2 ? 1 ,求证 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) 4 x e

20,已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1. (1)求函数 f ( x) 的极值点。 (2)若 f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围。 (3)证明:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n (n ? 4)(n ? 1) ? ? ? ?? ? 2 ? 3 8 15 6 n ?1

(n ? N , n ? 1) .

16


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