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2.4弦切角的性质2.5_与圆有关的比例线段_-_复制_图文

1 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

2 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

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问题1:在前面我们共同研究过与圆有关的 两种什么角? 圆心角和圆周角。 问题2:圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半。 圆心角定理 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

3 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

观察:在图1中,以点D为中心旋转直线DE,同
时保证直线BC与DE的交点落在圆周上. 当DE变为圆的切线时(如图2),你能发现什么现象?
E C (C) D O B A E

D
图1 O

图2

A

B

在图1中,根据圆内接四边形的性质,有∠BCE=∠A. 在图2中,DE是切线, ∠BCE=∠A仍然成立吗?

4 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

猜想:△ABC是⊙O的内接三角形,
CE是⊙O的切线,则∠BCE= ∠ A.
C O A B A E

C
O



C O



A B



5 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

1.弦切角: 顶点在圆上,一边和
圆相交,另一边和圆 相切的角叫做弦切角。
A

E

(C) D
O

图2

B

6 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

练一练
下面五个图中的∠BAC是不是弦切角? C
C
A × A B B C B × B C

×

C


A

× A

A

B

7 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

弦切角的特征:
(1) 顶点在圆上; (2) 一边和圆相交; (3) 一边和圆相切。

C

A

B

8 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

2.弦切角定理
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
D


O A

m


几何语言:
BA切⊙O于A

∠BAC= ∠ADC

AC是圆O的弦

9 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

练一练
如图,直线AB和⊙O相切于点P,PC 、PE是弦, PD是直径。 C A (1)指出图中所有的弦切角; 弦切角有: O P ∠APC 、 ∠ APD 、 ∠ APE D ∠ BPC 、 ∠ BPD 、 ∠ BPE E B (2)指出这些弦切角所夹的弧。 ∠ APD (弧PCD) ∠APC (弧PC) ∠ APE (弧PCE) ∠BPD (弧PED)

∠BPC (弧PEC) ∠BPE (弧PE)

10 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

例1.如图已知AB是⊙O的直径,AC是弦, 直线CE和⊙O切于点C,AD⊥CE,垂足为 D.求证:AC平分∠BAD.

思路一:

B O 1 A

2

E

C

D

11 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

思路二:
连结OC,由切线性质,可得OC∥AD,于 是有∠2=∠3,又由于∠1=∠3,可证得 ∠1=∠2
B O
1

A
2

3

E

C

D

12 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系 A

例2: 如图,AD是△ABC 中∠BAC的平分线,经过 点A的⊙O与BC切于点D, 与AB、AC分别相交于E、 B F. 求证:EF∥BC.

E

O

F
D C

13 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

练习: 1.如图,AC是⊙O的弦,BD切⊙O 4 于C,则图中弦切角有 个. 若∠AOC=1200,则∠ ACD = 600 . 2.如图,直线MN切⊙O于C,AB 是⊙O的直径,若∠ BCM=400,则 ∠ ABC等于( B ) M A.400 B. 500 C. 450 D.600 3.已知⊙O是△ABC的内切 圆,D,E,F为切点,若∠ A: ∠ B: ∠ C=4:3:2, 则∠DEF = 500 , ∠FEC= 700 .

O B C O B C A D
O

A

D A N F C

B

E

14 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

内容总结
弦切角-------顶点在圆上,一边和圆相 交,另一边和圆相切的角。 弦切角定理: 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.

注意:
一般情况下,弦切角、圆周角、圆心 角都是通过它们所夹的(或所对的)同一 条弧(或等弧)联系起来,因此,当已知 有切线时常添线构建弦切角或添切点 处的半径应用切线的性质求解。

15 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

方法归纳 定理的证明 (化归思想、分类思想)
C O A
B E

C
O



C O A B



化归

化归




16 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

17 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

? 分析:延用从特殊到一般的思路。先分析△ABC 为直角三角形时的情形,再将锐角三角形和钝角 三角形的情形化归为直角三角形的情形。

18 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

证明:

(1)圆心O在△ ABC的边BC上
C E

O A B

19 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

(2)圆心0在△ABC的内部
C O A E



20 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

(3)圆心0在△ABC的外部,
C A B O E

21 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

22 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

探究1:AB是直径,CD⊥AB交点P.线段 PA,PB,PC,PD之间有何关系? PA· PB=PC· PD 1.相交弦定理 圆内的两条相交弦,被 交点分成的两条线段长的积相等。
D A A P O B C D D

P

B O

P

B

A

O
C

C

23 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

探究2:把两条相交弦的交点P从圆内 运动到圆上.再到圆外, PB=PC· PD 是否还能成立? 结论 PA·
D C P A(C.P) A B P A B C D

PB=PC· PD P在圆上:PA=PC=0, 仍有 PA· P在圆外:易证△PAD∽△PCB
PA PD ? ? . PC PB

故PA· PB=PC· PD

24 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

? 2.割线定理 从圆外一点引圆的两条割 线,这一点到每条割线与圆的交点的两 条线段长的积相等. PA· PB=PC· PD D
D
C C O O P P A B A(B)

探究3:使割线PB绕P点运动到切线的 位置,是否还能成立?

25 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

连接AC,AD易证△PAC∽△PDA 故PA· PB=PC· PD仍成立

D

因为A,B重合,
上式可变形为
P

C O

PA? =PC· PD 3.切割线定理 从圆外一点引圆的切 线和割线,切线长是这点到割线与圆 交点的两条线段长的比例中项.

A(B)

26 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

探究4:使割线PD绕P点运动到切线的 位置,可以得出什么结论 ? C(D) D
C O P A(B) P A(B) O

PA? =PC· PD

易证Rt△OAP≌Rt△OCP.

PA=PC

4.切线长定理 从圆外一点引圆的两 条切线,它们的切线长相等,圆心和 这一点的连线平分两条切线的夹角.

27 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

思考:1.由切割线定理能证明切线长定 理吗? 如图由P向圆任作一条割线EF试试. 思考:2.你能将切线长定理推广到空间 的情形吗?
C(D) F O

O P E

A(B)

28 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

4 4 1 解:设CD=x,则PD= 5 x ,PC= 5 x A 由相交弦定理,得

例1.圆内的两条弦AB,CD交于圆内一点 1 P,已知PA=PB=4.PC= PD,求CD的长.

PA?PB=PC?PD

D
4 x 5

∴4×4= ? 求得 x=10, ∴CD=10

1 x 5

P

C
B

29 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

例2.E是圆内的两条弦AB,CD的交点,直线 EF//CB,交AD的延长线于F,FG切圆于G. C 求证:(1)△DFE∽△EFA; (2)EF=FG 3 △DFE∽△EFA EF FD O ? E B FA EF

EF?=FA?FD 又GF?=FA?FD GF? = EF? EF=FG

1

2

A G

D
F

30 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

例3.如图,两圆相交于A,B两点,P是 两圆公共弦AB上的任一点,从P引两 圆的切线PC,PD. C 求证:PC=PD P
析:PC?=PA?PB 又PD?=PA?PB PC? = PD? PC=PD
B A

D

31 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

例4.如图,AB是⊙O的直径,过A,B引 两条弦AD和BE,相交于点C, 求证:AC?AD+BC?BE=AB?. D 分析:A,F,C.E四点共圆 E C BC?BE=BF?BA. A
F O

B

F,B,D,C四点共圆 AC?AD=AF?AB. AC?AD+BC?BE=AF?AB+BF?BA

=AB(AF+BF)=AB?

32 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

例5.如图,AB,AC是⊙O的切线,ADE 是⊙O的割线,连接CD,BD,BE,CE.
问题1 由上述条件能推出哪些结论? B 探究1: ∠ACD= ∠AEC △ADC∽△ ACE ⑴
CD AC ? CE AE
D O E

A
C

CD?AE=AC?CE ⑵ 同理 BD?AE=AB?BE ⑶ 因为AC=AB,由 ⑵⑶ 可得 BE?CD=BD?CE ⑷

图⑴

33 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

问题2 在图(1)中,使线段AC绕A旋转,得到图(2),
其中EC交圆于G,DC交圆于F,此时又能推出哪些 结论? B
B E D A C O D A F G O E

图⑴

C

图⑵

探究2: 猜想并可证明 △ADC∽△ ACE ⑸ 同样可得⑵⑶⑷

34 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

证明如下:

∵AB?=AD?AE,而AB=AC,
∴AC?=AD?AE,即
AC AD ? AE AC

B

E
D F G C O

∵∠CAD= ∠EAC, ∴ △ADC∽△ ACE

A



(对应边成比例且夹角相等).

图⑵

另一方面连接FG由于F,G,E,D四点共圆
∴ ∠CFG= ∠AEC, 又∵∠ACF= ∠AEC, ∴ ∠CFG= ∠ACF, ∴ FG//AC



35 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

问题3 在图(2)中,使线段AC继续绕A旋转,使割
线CFD变成切线CD,得到图(3),此时又能推出哪 些结论?
B E D O F G C B D O E

A F G
C

A

图⑵
P

图⑶

探究3: 可以推出(1)~(6)的所有结论。

36 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

此外

∴AD?CE=AE?CG ⑺ D ∵ △ACD∽△ AEC O CD AD A ? ? CE AC G Q ∴AC?CD=AD?CE ⑻ 图⑶ 由⑺⑻可得: C AC?CD=AE?CG ⑼ P 连接BD,BE,延长GC到P,延长BD交AC于Q,则 ∠PCQ= ∠PGD= ∠DBE, 故C,E,B,Q四点共圆 ⑽

AD CG ? ∵AC//DG. ? AE CE

B

E

37 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

习题2.5
5.如图, ⊙O与⊙O?相交与点A,B.PQ是⊙O的 切线,求证:PN?=NM?NQ
A

O?

O

B M

N
Q

P

38 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

习题2.5

6.如图,PA是⊙O的切线, M是PA的中点, 求证:∠MPB=∠MCP 思路: ∵MA?=MB?MC=PM? M
B A

MB PM ? PM MC

O

P

∴△MBP∽△PMC
∴∠MPB=∠MCP

C

39 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

习题2.5

7.如图, AD,BE,CF分别是△ABC三边的高,H 是垂心,AD延长线交△ABC外接圆于点G,
求证:DH=DG
F H
2 1

A
3

E

C

D
B G

40 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

习题2.5

8.如图,⊙O直径AB的延长线与弦CD的延长线

交于点P,AE=AC.
E A O
1

⌒ ⌒

求证:PF?PO=PA?PB 思路: △POC∽△PDF
B
2

F

PO PC ? P PD PF

C

D

PF?PO=PD?PC
又PD?PC=PB?PA PF?PO=PB?PA

41 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

习题2.5 9.将例5的图(1)作如下变化:以A为中心,把线段AC绕A 逆时针旋转一个角度,连接EC并延长与圆相交于F,连接 DC并延长与圆相交于G,连接FG,其他条件同例5,能推出 哪些结论?如果∠BAD= ∠CAD,又有什么结论?
B E D O D O C F G B E

A
C

A

图⑴

42 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

习题2.5 9题 将例5的图(1)作如下变化:以A为中心,把线段AC绕A 逆时针旋转一个角度,连接EC并延长与圆相交于F,连接 DC并延长与圆相交于G,连接FG,其他条件同例5,你能推 出哪些结论?如果∠BAD= ∠CAD,又有什么结论?

AB?=AD?AE CF?CE=CD?CG ∵AC=AB ∴AC?=AD?AE
AC AD 即 ? AE AC

① ②

B E

D
A

O C

∵∠CAD= ∠EAC,

F

G

∴ △ADC∽△ ACE ∴∠ACD=∠AEC=∠G ∴ AC//FG


43 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

如果∠BAD= ∠CAD,如图, ∵△ABD∽△ = ACD (?) ∴ BD=CD ④ ∴∠ABD=∠ACD ∵∠ACD=∠1 ∠ABD=∠2 ∴∠1=∠2


∴BD=FD

⌒ ⌒



∴△ABE∽△ ACE = ∴ BE=CE


B E
4 3

∴ AE⊥BC ⑧

D
A F

C

2
1

G

∴ 四边形ABEC各边中点 共圆 ⑨

44 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

习题2.4
1.如图,经过圆上的点T的切线和弦 AB的延长线相交于点C。 求证:∠ATC=∠TBC 2.如图,⊙O和⊙O′都经过A,B两点, AC是⊙O′的切线,交⊙O于点C,AD 是⊙O的切线,交⊙O′于点D,求证: AB? =BC· BD
A T O B C C B O′ D

A


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