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高中数学必修1(人教B版)第二章


高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 函数 2.6 利用图象变换研究函数的图象与性质(补充)

一、学习任务 掌握作函数图象的一般方法,会运用函数图象理解和研究函数的性质. 二、知识清单
函数的图象变换 利用函数图象研究其性质

三、知识讲解
1.函数的图象变换 描述: 通过对函数图象的平移、对称、翻折等变换,得到与函数 y = f (x) 相关的其他函数图象的方 法.主要包括: 函数图象的平移 将函数 f (x) 的图象向左平移 a 个单位,得到函数 y = f (x + a) 的图象; 将函数图象向右平移 a 个单位,得到函数 y = f (x ? a) 的图象; 将函数图象向上平移 a 个单位,得到函数 y = f (x) + a 的图象; 将函数图象向下平移 a 个单位,得到函数 y = f (x) ? a 的图象. 函数图象的对称 将函数图象关于直线 x = a 对称,得到函数 y = f (2a ? x) 的图象; 将函数图象关于点 (a, b) 对称,得到函数 y = 2b ? f (2a ? x) 的图象; 如果函数 y = f (x) 存在反函数,则将函数图象关于直线 y = x 对称,得到函数 y = f ?1 (x) 的图象. 函数图象的翻折 函数 y = | f (x)| 的图象是将函数 y = f (x) 的图象在 x 轴下方的部分翻折到上方后得到的结 果; 函数 y = f (|x|) 的图象是将 y = f (x) 在 y 轴左侧的图象删去,然后再将 y 轴右侧的图象关 于 y 轴对称复制到左边后得到的结果. 例题: 作出函数 y = 2x + 1 的图象,并指出其中心对称点.

x?1 2x + 1 3 3 解:因为 y = ,所以把 y = 的图象,先向右平移 1 个单位,再向上平 =2+ x?1 x?1 x 2x + 1 移 2 个单位,即可得到 y = 的图象.结合图象可知,它的中心对称点是 (1, 2),如图 x?1
所示:

作出 f (x) = x 2 ? 4x + 3 图象,通过图象变换作出下列函数的图象. (1)f (?x) = x 2 + 4x + 3;(2)?f (x) = ?x2 + 4x ? 3;(3)f (|x|) = x2 ? 4|x| + 3 ; (4)|f (x)| = |x 2 ? 4x + 3|. 解:f (x) = x 2 ? 4x + 3 图象如下图所示:

(1)(2)(3)(4)分别对应下面四个图象:

2.利用函数图象研究其性质 描述: 通过函数的图象特征或多个函数图象之间的位置关系判断函数的性质;或根据函数的性质作出函 数的图象,然后借助图象对函数的性质进行深入的研究. 例题: 对于任意实数 x ,符号 [x] 表示不超过 x 的最大整数,例如 [?1.5] = ?2 ,[2.5] = 2 ,定义函 数 {x} = x ? [x],则给出下列四个命题:① 函数 y = {x} 的定义域是 R,值域是 [0, 1] ;② 方程 {x} = 正确的序号是( ) A.①③ B.②④ 解:D

1 有无数个解;③ 函数 y = {x} 是周期函数;④ 函数 y = {x} 是增函数.其中 2
C.①④ D.②③

? x, ? ? ? x ? 1, 因为 {x} = x ? [x] = ? x ? 2, ? ? ? x ? 3, ? ?
函数 y =

0≤x<1 1 ≤ x < 2, 2 ≤ x < 3, 3 ≤ x < 4,

函数图象如图所示,显然 ②③ 正确,①④ 错误.

ex + e?x 的图象大致为( ex ? e?x



解:A

ex + e?x = ?f (x),所以 f (x) 为奇函数,排除 D.又因为 ex ? e?x 2 ex + e?x e 2x + 1 e 2x ? 1 + 2 在 (?∞, 0),(0, ∞) 上都是减函 f (?x) = = = =1+ e 2x ? 1 e 2x ? 1 e 2x ? 1 ex ? e?x
因为 f (?x) = 数,排除 B、C.故选 A.

四、课后作业

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1. 要得到函数 y = f (3x + 6) 的图象,只需要把函数 y = f (3x) 的图象 ( A.向左平移 2 个单位
答案: A

)

C.向左平移 6 个单位

B.向右平移 2 个单位

D.向右平移 6 个单位

2. 设函数 f (x) = |x + 1| + |x ? a| 的图象关于直线 x = 1 对称,则 a 的值为 ( A.3
答案: A

)

B.2

C.1

D.?1

答案: A 解析: 将函数

f (x) = |x + 1| + |x ? a| 的图象向左平行移动一个单位,得到 g (x) = |x + 2| + |x + 1 ? a| 的图象,而它关于 y 轴对称,于是 y = g (x) 是偶函数,则有 1 ? a = ?2 ,故 a = 3 . )

3. 函数 f (x) 的定义域为 R,若 f (x + 1) 与 f (x ? 1) 都是奇函数,则 ( A.f (x) 是偶函数
答案: D 解析: (1)若

C.f (x) = f (x + 2)

B.f (x) 是奇函数

D.f (x + 3) 是奇函数

f (x) 关于 (a, 0) , (b, 0) 对称,则 f (x) 为周期函数,周期为 2|b ? a|; (2)若 f (x) 关于 x = a, x = b 对称,则 f (x) 为周期函数,周期为 2|b ? a|; (3)若 f (x) 关于 x = a, (b, 0) 对称,则 f (x) 为周期函数,周期为 4|b ? a|. 由题知:f (x) 关于 (?1, 0) , (1, 0) 对称,故 f (x) 为周期函数且周期为 4 ,结合关于 (1, 0) 对 称,可知 f (x) 关于 (?3, 0) 对称,所以 f (x + 3) 为奇函数.

4. 已知过点 (1, 2) 的二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如下图,给出下列论断:① abc > 0,②

a ? b + c < 0,③ b < 1 ,其中正确的论断是 (

)

A.①③
答案: B

B.②

C.②③

D.③

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