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精品解析:【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三9月大联考数学(理)试题(原卷版)

衡水金卷 2018 届全国高三大联考理数
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.

1. 已知集合



,则( )

A. C. 2. 记复数 的虚部为

B. D. ,已知复数

( 为虚数单位),则 为( )

A.

B.

C.

D.

3. 已知曲线

在点

处的切线的倾斜角为 ,则

()

A.

B.

C.

D.

4. 2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年,中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如

图所示是一枚 8 克圆形金质纪念币,直径

,面额 100 元.为了测算图中军旗部分的面积,现用 1 粒芝

麻向硬币内投掷 100 次,其中恰有 30 次落在军旗内,据此可估计军旗的面积大约是( )

学|科|...学|科|...

A.

B.

C.

D.

5. 已知双曲线 :





曲线 的离心率为( )

A.

B.

C.

D.

)的渐近线经过圆 :

6. 已知数列 为等比数列,且

,则

A.

B.

C.

D.

7. 执行如图的程序框图,若输出的 的值为

,则①中应填( )

的圆心,则双 ()

A.

B.

C.

D.

8. 已知函数 为 内的奇函数,且当

时,

,则 , , 间的大小关系是( )

,记





A.

B.

C.

D.

9. 已知一几何体的三视图如图所示,俯视图是一个等腰直角三角形和半圆,则该几何体的体积为( )

A.

B.

C.

D.

10. 已知函数





)的部分图像如图所示,其中

,命题 :将 的图象向右平移 个单位,得到函数 下判断正确的是( )

.记命题 : 的图象,则以

A.

为真 B.

为假 C.

为真 D.

为真

11. 抛物线有如下光学性质:过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴;反之,平行

于抛物线的对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线

的焦点为 ,一条平行

于 轴的光线从点

射出,经过抛物线上的点 反射后,再经抛物线上的另一点 射出,则

的周

长为( )

A.

B.

C.

D.

12. 已知数列 与 的前 项和分别为 , ,且







,若



恒成立,则 的最小值是( )

A.

B.

C.

D.

第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

13. 已知在

中,



,若边 的中点 的坐标为 ,点 的坐标为 ,

则 __________.

14. 已知



)的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为 、 ,则



最小值为__________.

15. 已知 , 满足

其中 ,若

的最大值与最小值分别为 , ,则实数 的取值范

围为__________.

16. 在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑



平面



,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为__________.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17. 已知函数



.

(1)求函数 的最小正周期及其图象的对称轴方程;

(2)在锐角

中,内角 , , 的对边分别为 , , ,已知









的面积.

18. 如图,在四棱锥

中,底面

为直角梯形,其中



,侧面

平面





,动点 在棱 上,且

.

(1)试探究 的值,使 平面 ,并给予证明;

(2)当

时,求直线 与平面 所成的角的正弦值.

19. 如今我们的互联生活日益丰富,除了可以很方便地购,上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺 的一部分.为了解络外卖在 市的普及情况, 市某调查机构借助络进行了关于络外卖的问卷调查,并从参与 调查的民中抽取了 200 人进行抽样分析,得到表格:(单位:人)

经常使用络外卖

偶尔或不用络外卖

合计

男性

50

50

100

女性

60

40

100

合计

110

90

200

(1)根据表中数据,能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为 市使用络外卖的情况与性别有关? (2)①现从所抽取的女民中利用分层抽样的方法再抽取 5 人,再从这 5 人中随机选出 3 人赠送外卖优惠券, 求选出的 3 人中至少有 2 人经常使用络外卖的概率; ②将频率视为概率,从 市所有参与调查的民中随机抽取 10 人赠送礼品,记其中经常使用络外卖的人数为 , 求 的数学期望和方差.

参考公式:

,其中

.

参考数据:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

20. 已知椭圆 :

的左、右焦点分别为 , ,其离心率为 ,短轴长为 .

(1)求椭圆 的标准方程;

(2)过点 的直线 与椭圆 交于 , 两点,过点 的直线与椭圆 交于 , 两点,且

边形

不可能是菱形.

21. 已知函数

(,

),其中 为自然对数的底数.

(1)讨论函数 的单调性及极值;

,证明:四

(2)若不等式



内恒成立,求证:

.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22. 在平面直角坐标系中 中,已知曲线 的参数方程为

( , 为参数),以坐标原点

为极点, 轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线 的极坐标方程为

.

(1)当 时,求曲线 上的点到直线 的距离的最大值;

(2)若曲线 上的所有点都在直线 的下方,求实数 的取值范围.

23. 已知函数

.

(1)解不等式



(2)记函数

的值域为 ,若

,证明:

.


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