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数学代数排列组合习题集


1.排列及计算公式 从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列;从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的排列数,用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)??(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定 0!=1). 2.组合及计算公式 从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个组合;从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素 的所有组合的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数.用符 号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3.其他排列与组合公式 从 n 个元素中取出 r 个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n 个元素被分成 k 类,每类的个数分别是 n1,n2,...nk 这 n 个元素的 全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k 类元素,每类的个数无限,从中取出 m 个元素的组合数为 c(m+k-1,m). 两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1.加法原理 2.加法原理的集合形式 3.分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中的 具体方法,互不相同 (即分类不重);完成此任务的任何一种方法,都属于 某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法

1.乘法原理 2.合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这 n 步 才能完成此任务;各步计数相互独立;只要有一步中 所采取的方法不同, 则对应的完成此事的方法也不同 如果你还有点疑惑!我就讲点例题(很经典的) [例题分析]排列组合思维方法选讲 1.首先明确任务的意义 例 1. 从 1、2、3、??、20 这二十个数中任取三个不同的数组成等 差数列,这样的不同等差数列有________个。 分析:首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排 列组合问题。 设 a,b,c 成等差,∴ 2b=a+c, 可知 b 由 a,c 决定, 又∵ 2b 是偶数,∴ a,c 同奇或同偶,即:从 1,3,5,??,19 或 2,4,6,8,??,20 这十个数中选出两个数进行排列,由此就可确定等 差数列,因而本题为 2=180。 例 2. 某城市有 4 条东西街道和 6 条南北的街道,街道之间的间距相 同,如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进,则从 M 到 N 有多少种不同的走法 ? 分析:对实际背景的分析可以逐层深入 (一)从 M 到 N 必须向上走三步,向右走五步,共走八步。 (二)每一步是向上还是向右,决定了不同的走法。 (三)事实上,当把向上的步骤决定后,剩下的步骤只能向右。 从而,任务可叙述为:从八个步 骤中选出哪三步是向上走,就可以确 定走法数, ∴ 本题答案为:=56。 2.注意加法原理与乘法原理的特点,分析是分类还是分步,是排列 还是组合

例 3.在一块并排的 10 垄田地中,选择二垄分别种植 A,B 两种作物, 每种种植一垄,为有利于作物生长,要求 A,B 两种作物的间隔不少于 6 垄,不同的选法共有 ______种。 分析:条件中“要求 A、B 两种作物的间隔不少于 6 垄”这个条件不 容易用一个包含排列数,组合数的式子表示,因而采取分类的方法。 第一类:A 在第一垄,B 有 3 种选择; 第二类:A 在第二垄,B 有 2 种选择; 第三类:A 在第三垄,B 有一种选择, 同理 A、B 位置互换 ,共 12 种。 例 4.从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只,其中恰好有一双同色的取 法有________。 (A)240 (B)180 (C)120 (D)60 分析:显然本题应分步解决。 (一)从 6 双中选出一双同色的手套,有种 6 方法; (二)从剩下的十只手套中任选一只,有种 10 方法。 (三)从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只,有种 8 方法; (四)由于选取与顺序无关,因而(二 )(三)中的选法重复一次, 因而共 240 种。 例 5.身高互不相同的 6 个人排成 2 横行 3 纵列,在第一行的每一个 人都比他同列的身后的人个子矮,则所有不同的排法种数为 _______。 分析:每一纵列中的两人只要选定,则他们只有一种站位方法,因而 每一纵列的排队方法只与人的选法有关系,共有三纵列,从而有 =90 种。 例 6.在 11 名工人中,有 5 人只能当钳工,4 人只能当车工,另外 2 人能当钳工也能当车工。现从 11 人中选出 4 人当钳工,4 人当车工,问共 有多少种不同的选法 ? 分析:采用加法原理首先要做到分类不重 不漏,如何做到这一点?分 类的标准必须前后统一。

以两个全能的工人为分类的对象,考虑以他们当中有几个去当钳工为 分类标准。 第一类:这两个人都去当钳工,有 10 种; 第二类:这两人一个去当钳工,另一个什么都不当,有 10 种; 第三类:这两人一个当钳工,一个当车工,有 40 种; 第四类:这两人都当车工,有 30 种; 第五类:这两人一个当车工,另一个什么都不当,有 20 种; 第六类:这两人什么都不当,有 5 种。 因而共有 115 种。 例 7.现有印着 0,l,3,5,7,9 的六张卡片,如果允许 9 可以作 6 用,那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数 ? 分析:有同学认为只要把 0,l,3,5,7,9 的排法数乘以 2 即为所 求,但实际上抽出的三个数中有 9 的话才可能用 6 替换,因而必须分类。 抽出的三数含 0,含 9,有种 16 方法; 抽出的三数含 0 不含 9,有种 24 方法; 抽出的三数含 9 不含 0,有种 36 方法; 抽出的三数不含 9 也不含 0,有种 24 方法。 又因为数字 9 可以当 6 用,因此共有 2*(16+36)+24+24=152 种方法。 例 8.停车场划一排 12 个停车位置,今有 8 辆车需要停放,要求空车 位连在一起,不同的停车方法是________种。 分析:把空车位看成一个元素,和 8 辆车共九个元素排列,因而共有 9 种停车方法。 3.特殊元素,优先处理;特殊位置,优先考虑 例 9.六人站成一排,求 (1)甲不在排头,乙不在排尾的排列数 (2)甲不在排头,乙不在排尾,且甲乙不相邻的排法数 分析:(1)先考虑排头,排尾,但这两个要求相互有影响,因而考 虑分类。 第一类:乙在排头,有种站法。

第二类:乙不在排头,当然他也不能在排尾,有种 站法, 共+种站法。 (2)第一类:甲在排尾,乙在排头,有种方法。 第二类:甲在排尾,乙不在排头,有种方法。 第三类:乙在排头,甲不在排头,有种方法。 第四类:甲不在排尾,乙不在排头,有种方法。 共+2+=312 种。 例 10.对某件产品的 6 件不同正品和 4 件不同次品进行一一测试,至 区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现,则这 样的测试方法有多少种可能? 分析: 本题意指第五次测试的产品一定是次品, 并且是最后一个次品, 因而第五次测试应算是特殊位置了,分步完成。 第一步:第五次测试的有种可能; 第二步:前四次有一件正品有中可能。 第三步:前四次有种可能。 ∴ 共有种可能。 以下内容为很渴望的朋友准备,别闲烦啊! 捆绑与插空 例 11. 8 人排成一队 (1)甲乙必须相邻 (2)甲乙不相邻 (3)甲乙必须相邻且与丙不相邻 (4)甲乙必须相邻,丙丁必须相邻 (5)甲乙不相邻,丙丁不相邻 分析:(1)有种方法。 (2)有种方法。 (3)有种方法。 (4)有种方法。 (5)本题不能用插空法,不能连续进行插空。 用间接解法:全排列-甲乙相邻-丙丁相邻+甲乙相邻且丙丁相邻,共 --+=23040 种方法。

例 12. 某人射击 8 枪,命中 4 枪,恰好有三枪连续命中,有多少种不 同的情况? 分析:∵ 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻,因而这是一 个插空问题。另外没有命中的之间没有区别,不必计数。即在四发空枪之 间形成的 5 个空中选出 2 个的排列,即。 例 13. 马路上有编号为 l,2,3,??,10 十个路灯,为节约用电 又看清路面,可以把其中的三只灯关掉,但不能同时关掉相邻的 两只或三 只, 在两端的灯也不能关掉的情况下, 求满足条件的关灯方法共有多少种 ? 分析:即关掉的灯不能相邻,也不能在两端。又因为灯与灯之间没有 区别,因而问题为在 7 盏亮着的灯形成的不包含两端的 6 个空中选出 3 个 空放置熄灭的灯。 ∴ 共=20 种方法。 4.间接计数法.(1)排除法 例 14. 三行三列共九个点,以这些点为顶点可组成多少个三角形 ? 分析:有些问题正面求解有一定困难,可以采用间接法。 所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数, ∴ 共种。 例 15.正方体 8 个顶点中取出 4 个,可组成多少个四面体 ? 分析:所求问题的方法数 =任意选四点的组合数-共面四点的方法数, ∴ 共-12=70-12=58 个。 例 16. l,2,3,??,9 中取出两个分别作为对数的底数和真数, 可组成多少个不同数值的对数 ? 分析:由于底数不能为 1。 (1)当 1 选上时,1 必为真数,∴ 有一种情况。 (2)当不选 1 时,从 2--9 中任取两个分别作为底数,真数,共,其 中 log24=log39,log42=log93, log23=log49, log32=log94. 因而一共有 53 个。 (3)补上一个阶段,转化为熟悉的问题

例 17. 六人排成一排,要求甲在乙的前面,(不一定相邻),共有多少 种不同的方法? 如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢 ? 分析:(一)实际上,甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称, 具有相同的排法数。因而有=360 种。 (二)先考虑六人全排列;其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序 站位,因而前面的排法数重复了种, ∴ 共=120 种。 例 18.5 男 4 女排成一排,要求男生必须按从高到矮的顺序,共有多 少种不同的方法? 分析:首先不考虑男生的站位要求,共种;男生从左至右按从高到矮 的顺序, 只有一种站法, 因而上述站法重复了次。 因而有 =9×8×7×6=3024 种。 若男生从右至左按从高到矮的顺序,只有一种站法, 同理也有 3024 种,综上,有 6048 种。 例 19. 三个相同的红球和两个不同的白球排成一行, 共有多少种不同 的方法? 分析:先认为三个红球互不相同,共种方法。而由于三个红球所占位 置相同的情况下,共有变化,因而共 =20 种。 5.挡板的使用 例 20.10 个名额分配到八个班,每班至少一个名 额,问有多少种不 同的分配方法? 分析:把 10 个名额看成十个元素,在这十个元素之间形成的九个空 中,选出七个位置放置档板,则每一种放置方式就相当于一种分配方式。 因而共 36 种。 6.注意排列组合的区别与联系:所有的排列都可以看作是先取组合, 再做全排列;同样,组合如补充一个阶段 (排序)可转化为排列问题。 例 21. 从 0,l,2,??,9 中取出 2 个偶数数字,3 个奇数数字, 可组成多少个无重复数字的五位数? 分析:先选后排。另外还要考虑特殊元素 0 的选取。 (一)两个选出的偶数含 0,则有种。

(二)两个选出的偶数字不含 0,则有种。 例 22. 电梯有 7 位乘客,在 10 层楼房的每一层停留,如果三位乘客 从同一层出去,另外两位在同一层出去,最后两人各从不同的楼层出去, 有多少种不同的下楼方法? 分析:(一)先把 7 位乘客分成 3 人,2 人,一人,一人四组,有种。 (二)选择 10 层中的四层下楼有种。 ∴ 共有种。 例 23. 用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的四位数, (1)可组成多少个不同的四位数 ? (2)可组成多少个不同的四位偶数? (3)可组成多少个能被 3 整除的四位数? (4)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列,问第 85 项是什 么? 分析:(1)有个。 (2)分为两类:0 在末位,则有种:0 不在末位,则有种。 ∴ 共+种。 (3)先把四个相加能被 3 整除的四个数从小到大列举出来,即先选 0,1,2,3 0,1,3,5 0,2,3,4 0,3,4,5 1,2,4,5 它们排列出来的数一定可以被 3 整除,再排列,有: 4×()+=96 种。 (4)首位为 1 的有=60 个。 前两位为 20 的有=12 个。 前两位为 21 的有=12 个。 因而第 85 项是前两位为 23 的最小数,即为 2301。 7.分组问题 例 24. 6 本不同的书

(1) 分给甲乙丙三人,每人两本,有多少种不同的分法 ? (2) 分成三堆,每堆两本,有多少种不同的分法? (3) 分成三堆,一堆一本,一堆两本,一堆三本,有多少种不同的分 法? (4) 甲一本,乙两本,丙三本,有多少种不同的分法 ? (5) 分给甲乙丙三人,其中一人一本,一人两本,第三人三本,有多 少种不同的分法? 分析:(1)有中。 (2)即在(1)的基础上除去顺序,有种。 (3)有种。由于这是不平均分组,因而不包含顺序。 (4)有种。同(3),原因是甲,乙,丙持有量确定。 (5)有种。 例 25. 6 人分乘两辆不同的车,每车最多乘 4 人,则不同的乘车方法 为_______。 分析:(一)考虑先把 6 人分成 2 人和 4 人,3 人和 3 人各两组。 第一类:平均分成 3 人一组,有种方法。 第二类:分成 2 人,4 人各一组,有种方法。 (二)再考虑分别上两辆不同的车。 综合(一)(二),有种。 例 26. 5 名学生分配到 4 个不同的科技小组参加活动,每个科技小组 至少有一名学生参加,则分配方法共有________种. 分析:(一)先把 5 个学生分成二人,一人,一人,一人各一组。 其中涉及到平均分成四组,有=种分组方法。 (二)再考虑分配到四个不同的科技小组,有种, 由(一)(二)可知,共 =240 种。 有点小多,但希望大家能长补短! 依自己的情况而选做研究

排列与组合的共同点是从 n 个不同的元素中, 任取 m (m≤n) 个元素, 而不同点是排列是按照一定的顺序排成一列, 组合是无论怎样的顺序 并成一组,因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志.下面 通过实例来体会排列与组合的区别. 【例题】 判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出种数. (1) 高二年级学生会有 11 人:①每两人互通一封信,共通了多少 封信?②每两人互握了一次手,共握了多少次手? (2) 高二数学课外活动小组共 10 人:①从中选一名正组长和一名 副组长,共有多少种不同的选法?②从中选 2 名参加省数学竞赛, 有 多少种不同的选法? (3) 有 2、3、5、7、11、13、17、19 八个质数:①从中任取两 个数求它们的商,可以有多少个不同的商?②从中任取两个求它的 积,可以得到多少个不同的积? (4) 有 8 盆花:①从中选出 2 盆分别给甲、乙两人每人一盆,有 多少种不同的选法?②从中选出 2 盆放在教室有多少种不同的选 法? 【思考与分析】 (1) ①由于每两人互通一封信,甲给乙的信与乙 给甲的信是不同的两封信,所以与顺序有关,是排列;②由于每两人 互握一次手,甲与乙握手、乙与甲握手是同一次握手,与顺序无关, 所以是组合问题.其他类似分析. 解: (1) ①是排列问题,共通了=110(封);②是组合问题,共 需握手==55(次)

(2) ①是排列问题,共有=10×9=90(种)不同的选法;②是组合 问题,共=45(种)不同的选法; (3) ①是排列问题,共有=8×7=56(个)不同的商;②是组合问题, 共有=28(个)不同的积; (4) ①是排列问题,共有=56(种)不同的选法;②是组合问题, 共有=28(种)不同的选法.
【反思】 区分排列与组合的关键是“有序”与“无序”.

排列与组合的区别在那里?请举例说明好吗
比如有数字 1、2、3、4、5。从中选出三个数字,这叫组合,共有 20 种不 同的组合。先选出三个数字,再对这三个数字排顺序叫排列,共有 120 种。 谁能帮我举例说明一下;排列与组合的公式运用 悬赏分:0 - 解决时间:2008-6-23 16:46

用例子来说明公式 1.排列及计算公式

从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列;从 n 个不同元素 中取出 m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的排列数,用符号 p(n,m)表示.

p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定 0!=1).

2.组合及计算公式

从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个组合;从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 组合数.用符号

c(n,m) 表示.

c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);

3.其他排列与组合公式

从 n 个元素中取出 r 个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.

n 个元素被分成 k 类, 每类的个数分别是 n1,n2,...nk 这 n 个元素的全 排列数为

n!/(n1!*n2!*...*nk!).

k 类元素,每类的个数无限,从中取出 m 个元素的组合数为 c(m+k-1,m).

两个基本计数原理及应用

(1)加法原理和分类计数法

1.加法原理

2.加法原理的集合形式

3.分类的要求

每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务; 两类不同办法中的 具体方法,互不相同(即分类不重);完成此任务的任何一种方法,都 属于某一类(即分类不漏)

(2)乘法原理和分步计数法

1.乘法原理

2.合理分步的要求

任何一步的一种方法都不能完成此任务, 必须且只须连续完成这 n 步 才能完成此任务;各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不 同,则对应的完成此事的方法也不同

[例题分析]排列组合思维方法选讲

1.首先明确任务的意义

例 1. 从 1、2、3、……、20 这二十个数中任取三个不同的数组成等 差数列,这样的不同等差数列有________个。

分析: 首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排 列组合问题。

设 a,b,c 成等差,∴ 2b=a+c, 可知 b 由 a,c 决定, 又∵ 2b 是偶数,∴ a,c 同奇或同偶,即:从 1,3,5,……,19 或 2,4,6,8,……,20 这十个数中选出两个数进行排列,由此就 可确定等差数列,因而本题为 2=180。

例 2. 某城市有 4 条东西街道和 6 条南北的街道,街道之间的间距相 同,如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进,则从 M 到 N 有多少种不同的走法?

分析:对实际背景的分析可以逐层深入

(一)从 M 到 N 必须向上走三步,向右走五步,共走八步。

(二)每一步是向上还是向右,决定了不同的走法。

(三)事实上,当把向上的步骤决定后,剩下的步骤只能向右。

从而,任务可叙述为:从八个步骤中选出哪三步是向上走,就可以确 定走法数, ∴ 本题答案为:=56。

2.注意加法原理与乘法原理的特点,分析是分类还是分步,是排列 还是组合

例 3.在一块并排的 10 垄田地中,选择二垄分别种植 A,B 两种作 物,每种种植一垄,为有利于作物生长,要求 A,B 两种作物的间隔 不少于 6 垄,不同的选法共有______种。

分析:条件中“要求 A、B 两种作物的间隔不少于 6 垄”这个条件不容 易用一个包含排列数,组合数的式子表示,因而采取分类的方法。

第一类:A 在第一垄,B 有 3 种选择;

第二类:A 在第二垄,B 有 2 种选择;

第三类:A 在第三垄,B 有一种选择,

同理 A、B 位置互换 ,共 12 种。

例 4.从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只,其中恰好有一双同色的取 法有________。 (A)240 (B)180 (C)120 (D)60

分析:显然本题应分步解决。

(一)从 6 双中选出一双同色的手套,有种方法;

(二)从剩下的十只手套中任选一只,有种方法。

(三)从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只,有种方 法;

(四)由于选取与顺序无关,因而(二)(三)中的选法重复一次, 因而共 240 种。

例 5.身高互不相同的 6 个人排成 2 横行 3 纵列,在第一行的每一个 人都比他同列的身后的人个子矮,则所有不同的排法种数为 _______。

分析:每一纵列中的两人只要选定,则他们只有一种站位方法,因而 每一纵列的排队方法只与人的选法有关系,共有三纵列,从而有=90 种。

例 6.在 11 名工人中,有 5 人只能当钳工,4 人只能当车工,另外 2 人能当钳工也能当车工。现从 11 人中选出 4 人当钳工,4 人当车工, 问共有多少种不同的选法?

分析:采用加法原理首先要做到分类不重不漏,如何做到这一点?分 类的标准必须前后统一。

以两个全能的工人为分类的对象, 考虑以他们当中有几个去当钳工为 分类标准。

第一类:这两个人都去当钳工,有种;

第二类:这两人有一个去当钳工,有种;

第三类:这两人都不去当钳工,有种。

因而共有 185 种。

例 7.现有印着 0,l,3,5,7,9 的六张卡片,如果允许 9 可以作 6 用,那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?

分析:有同学认为只要把 0,l,3,5,7,9 的排法数乘以 2 即为所 求, 但实际上抽出的三个数中有 9 的话才可能用 6 替换, 因而必须分 类。

抽出的三数含 0,含 9,有种方法;

抽出的三数含 0 不含 9,有种方法;

抽出的三数含 9 不含 0,有种方法;

抽出的三数不含 9 也不含 0,有种方法。

又因为数字 9 可以当 6 用,因此共有 2×(+)++=144 种方法。

例 8.停车场划一排 12 个停车位置,今有 8 辆车需要停放,要求空 车位连在一起,不同的停车方法是________种。

分析:把空车位看成一个元素,和 8 辆车共九个元素排列,因而共有 种停车方法。

3.特殊元素,优先处理;特殊位置,优先考虑

例 9.六人站成一排,求 (1)甲不在排头,乙不在排尾的排列数 (2)甲不在排头,乙不在排尾,且甲乙不相邻的排法数

分析:(1)先考虑排头,排尾,但这两个要求相互有影响,因而考 虑分类。

第一类:乙在排头,有种站法。

第二类:乙不在排头,当然他也不能在排尾,有种站法,

共+种站法。

(2)第一类:甲在排尾,乙在排头,有种方法。

第二类:甲在排尾,乙不在排头,有种方法。

第三类:乙在排头,甲不在排头,有种方法。

第四类:甲不在排尾,乙不在排头,有种方法。

共+2+=312 种。

例 10.对某件产品的 6 件不同正品和 4 件不同次品进行一一测试, 至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发 现,则这样的测试方法有多少种可能?

分析: 本题意指第五次测试的产品一定是次品, 并且是最后一个次品, 因而第五次测试应算是特殊位置了,分步完成。

第一步:第五次测试的有种可能;

第二步:前四次有一件正品有中可能。

第三步:前四次有种可能。 ∴ 共有种可能。

4.捆绑与插空

例 11. 8 人排成一队 (1)甲乙必须相邻 (2)甲乙不相邻 (3)甲乙必须相邻且与丙不相邻 (4)甲乙必须相邻,丙丁必须相邻 (5)甲乙不相邻,丙丁不相邻

分析:(1)有种方法。

(2)有种方法。

(3)有种方法。

(4)有种方法。

(5)本题不能用插空法,不能连续进行插空。

用间接解法:全排列-甲乙相邻-丙丁相邻+甲乙相邻且丙丁相邻,共 --+=23040 种方法。

例 12. 某人射击 8 枪,命中 4 枪,恰好有三枪连续命中,有多少种 不同的情况?

分析:∵ 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻,因而这是一 个插空问题。另外没有命中的之间没有区别,不必计数。即在四发空 枪之间形成的 5 个空中选出 2 个的排列,即。

例 13. 马路上有编号为 l,2,3,……,10 十个路灯,为节约用电 又看清路面,可以把其中的三只灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只 或三只,在两端的灯也不能关掉的情况下,求满足条件的关灯方法共 有多少种?

分析:即关掉的灯不能相邻,也不能在两端。又因为灯与灯之间没有 区别, 因而问题为在 7 盏亮着的灯形成的不包含两端的 6 个空中选出 3 个空放置熄灭的灯。 ∴ 共=20 种方法。

4.间接计数法.(1)排除法

例 14. 三行三列共九个点,以这些点为顶点可组成多少个三角形?

分析:有些问题正面求解有一定困难,可以采用间接法。

所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数, ∴ 共种。

例 15.正方体 8 个顶点中取出 4 个,可组成多少个四面体?

分析:所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数, ∴ 共-12=70-12=58 个。

例 16. l,2,3,……,9 中取出两个分别作为对数的底数和真数,可 组成多少个不同数值的对数?

分析:由于底数不能为 1。

(1)当 1 选上时,1 必为真数,∴ 有一种情况。

(2)当不选 1 时,从 2--9 中任取两个分别作为底数,真数,共,其 中 log24=log39,log42=log93, log23=log49, log32=log94.

因而一共有 53 个。

(3)补上一个阶段,转化为熟悉的问题

例 17. 六人排成一排,要求甲在乙的前面,(不一定相邻),共有多少 种不同的方法? 如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢?

分析:(一)实际上,甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称, 具有相同的排法数。因而有=360 种。

(二)先考虑六人全排列;其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序 站位,因而前面的排法数重复了种, ∴ 共=120 种。

例 18.5 男 4 女排成一排,要求男生必须按从高到矮的顺序,共有 多少种不同的方法?

分析:首先不考虑男生的站位要求,共种;男生从左至右按从高到矮 的顺序,只有一种站法,因而上述站法重复了次。因而有 =9×8×7×6=3024 种。

若男生从右至左按从高到矮的顺序,只有一种站法, 同理也有 3024 种,综上,有 6048 种。

例 19. 三个相同的红球和两个不同的白球排成一行, 共有多少种不同 的方法?

分析:先认为三个红球互不相同,共种方法。而由于三个红球所占位 置相同的情况下,共有变化,因而共=20 种。

5.挡板的使用

例 20.10 个名额分配到八个班,每班至少一个名额,问有多少种不 同的分配方法?

分析:把 10 个名额看成十个元素,在这十个元素之间形成的九个空 中,选出七个位置放置档板,则每一种放置方式就相当于一种分配方 式。因而共 36 种。

6.注意排列组合的区别与联系:所有的排列都可以看作是先取组合, 再做全排列;同样,组合如补充一个阶段(排序)可转化为排列问题。

例 21. 从 0,l,2,……,9 中取出 2 个偶数数字,3 个奇数数字, 可组成多少个无重复数字的五位数?

分析:先选后排。另外还要考虑特殊元素 0 的选取。

(一)两个选出的偶数含 0,则有种。

(二)两个选出的偶数字不含 0,则有种。

例 22. 电梯有 7 位乘客,在 10 层楼房的每一层停留,如果三位乘客 从同一层出去,另外两位在同一层出去,最后两人各从不同的楼层出 去,有多少种不同的下楼方法?

分析: (一)先把 7 位乘客分成 3 人,2 人,一人,一人四组,有种。

(二)选择 10 层中的四层下楼有种。 ∴ 共有种。

例 23. 用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的四位数,

(1)可组成多少个不同的四位数? (2)可组成多少个不同的四位偶数?

(3)可组成多少个能被 3 整除的四位数? (4)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列,问第 85 项是什 么?

分析:(1)有个。

(2)分为两类:0 在末位,则有种:0 不在末位,则有种。 ∴ 共+种。

(3)先把四个相加能被 3 整除的四个数从小到大列举出来,即先选 0,1,2,3 0,1,3,5 0,2,3,4 0,3,4,5 1,2,4,5

它们排列出来的数一定可以被 3 整除,再排列,有:4×()+=96 种。

(4)首位为 1 的有=60 个。 前两位为 20 的有=12 个。 前两位为 21 的有=12 个。 因而第 85 项是前两位为 23 的最小数,即为 2301。

7.分组问题

例 24. 6 本不同的书

(1) 分给甲乙丙三人,每人两本,有多少种不同的分法? (2) 分成三堆,每堆两本,有多少种不同的分法? (3) 分成三堆,一堆一本,一堆两本,一堆三本,有多少种不同的分 法? (4) 甲一本,乙两本,丙三本,有多少种不同的分法? (5) 分给甲乙丙三人,其中一人一本,一人两本,第三人三本,有多 少种不同的分法?

分析:(1)有中。

(2)即在(1)的基础上除去顺序,有种。

(3)有种。由于这是不平均分组,因而不包含顺序。

(4)有种。同(3),原因是甲,乙,丙持有量确定。

(5)有种。

例 25. 6 人分乘两辆不同的车,每车最多乘 4 人,则不同的乘车方法 为_______。

分析:(一)考虑先把 6 人分成 2 人和 4 人,3 人和 3 人各两组。

第一类:平均分成 3 人一组,有种方法。

第二类:分成 2 人,4 人各一组,有种方法。

(二)再考虑分别上两辆不同的车。

综合(一)(二),有种。

例 26. 5 名学生分配到 4 个不同的科技小组参加活动,每个科技小组 至少有一名学生参加,则分配方法共有________种.

分析:(一)先把 5 个学生分成二人,一人,一人,一人各一组。 其中涉及到平均分成四组,有=种分组方法。

(二)再考虑分配到四个不同的科技小组,有种, 由(一)(二)可知,共=240 种。

数学排列与组合的公式分别是什么?多谢了 排列。M 是大数,N 是小数。 P(N,M)=M!/(M-N)! 组合。 C(N,M)=M!/N!(M-N)!

M!,N!是阶乘。
如:M!=M*(M-1)*(M-2)*(M-3)??*2*1

急需排列与组合的公式,要写清楚,快点呀! 从 N 个不同的元素中,任取 M (M<=N)个元素按一定的顺序排成一 列,叫做从 N 个不同元素中取出 M 个元素的一个排列。如果 M=N 则称为 N 的全排列。

从 N 个不同的元素中,任取 M (M<=N)个元素而不管次序地组 成一组,叫做从 N 个不同元素中取出 M 个元素的一个组合。

排列公式,例如 4P5=5*4*3*2=120 10P5=10*9*8*7*6=30240

组合公式,例如 5C4=(5*4*3*2)/(4*3*2*1)=5
10C5=(10*9*8*7*6)/(5*4*3*2*1)=252 数学排列与组合中 C53 是怎么计算的呢? 悬赏分:0 - 解决时间:2009-1-19 14:33

数学排列与组合中 C53(5 在下,3 在上)是怎么计算的呢? (5*4*3)/(3*2*1)

也就是 Cmn(m 下 n 上)={m*(m-1).......*n)/(n!) 求数学排列与组合题答案 悬赏分:10 - 解决时间:2010-7-12 09:14

1.某人有 5 种不同的科技书和 7 本不同的文艺书。现任选一本,则有 _____种选法。 2.加工一种零件需要两道工序,做第一道工序的有 3 人,做第二道工 序的有 4 人,每道工序只需一人就可完成加工任务。那么,为完成加 工任务,共有_____种不同的调配办法。 3.从 7,13,23 三个数中每次任意选取出两个数相加,做多可以有 _____个和。 4.从 7,13,23 三个数中每次任意选取出两个数相减,做多可以有 _____个差。 5.某条铁路线上共有 20 座车站,那么最多需要准备_____种普通客 票。 6.某个集合共有 7 哥元素, 那么由着个集合中的 3 哥元素组成的子集 共有______个。 7.把 6 个苹果平均分配给甲、乙两个小孩,共有____种不同的分发。 最好除了答案把这个概念也发出来,我没学过这个,谢谢 另外还有几个三角函数问题 1.与 330 度终边相同的角位于第___象限

2.-120 度角位于第___象限 3.与 75 度终边相同的角的集合是__________ 谢谢各位了 1.12 2.3*4 3.3 4.6 5.P(2,20) 6.C(3,7) 7.C(3,6)

1.四 2.三 3.75°±n360° 做数学排列与组合部分的题时怎样区别是该用排列还是该用组合呢? 悬赏分:10 - 解决时间:2008-7-20 16:39

总是分不清楚到底是该用排列还是用组合 情详细告诉我一下 谢 排列和组合都需要选元素,但是排列需要对选出来的元素进行排顺 序,而组合不需要。 例如:从字母表中任选 3 个字母,这是组合。 从 1 到 9 这 9 个数字中选出如 123,456 等由小到大的三个数字。这 就是排列。做题时,第一步是选出元素,第二步是对选出的元素进行 由小到大的排列。
又例如:123,321,这两个是不同的排列,但又是相同的组合。

某班 8 人,排成一纵队,正、副班长 A 和 B 必须一个在队首,一个 在队尾,战士 C 和 D 不能相邻,战士 E 和 F 必须相邻,问有多少种 排法?
(最好有解释)

1.正副班长有 2 种排法 2.战士 ef 相邻,即把他们看作一个整体,但因为可调换位置,便也 是2种 3.先不管 cd,那么除了正副班长位置已经固定,还有 3 个人(注意, ef 是整体),就有 A(3,3)=3*2*1=6 4.上述 3 个人加上正副班长共有 5 人,中间两两之间共有 4 个空,而 把 cd 插进去就可。即 4 空中选两空,就有 A(4,2)=12

再将上述相乘即 2*2*6*12 即可

1.用 0、1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字的 6 位数,能被 25 整 除的共有多少个?

2.在三位正整数中,能被 3 整除的偶数共有多少个?

请写出详细的思路,最好归纳这一类题的解法,谢谢!
表示法:排列数——A(m,n) 组合数——C(m,n),其中 m≤n

1 末尾为 50 a(4,5)=120

2 被三整除=各位数字和被三整除 5(末位)*10(十位)*3(百位)=150 我比较擅长乘法原理
先找制约条件,再按照适当顺序排列,最后分析情况数

甲乙两正整数的最大公约数是 60,甲乙两数的公约数共有多少个? 要分析过程,谢谢! 甲乙两正整数的最大公约数是 60,所以甲乙两数的公约数的个数就是 60 的约数的个数,如果你是问正约数有多少个,把 60 分解质因数, 60=2^2×3×5, 按照乘法原理,第一步因数 2 有 3 种选择方法,第二步因数 3 有两 种选择方法, 第三步 5 有两种选择方法,故 60 的正约数共有 3*2*2=12.
所以甲乙两数的正公约数共有 12 个。

在书架上放有编号为 1,2,……n 的 n 本书。现将 n 本书全部取下,再 放回去,当放回去时要求每本书都不能放在原来的位置上。 例如:n=3 时 原来位置为 1 2 3 放回去时只能为: 3 1 2 或 2 3 1 这两种 问题:求当 n=6 时满足以上条件的放法有几种?

谢谢,望能给出详细解法。 问题补充:

正确答案是 265,只是不知道过程…… 这个一个错位排列的简单例子,具体的公式为: Dn=n!{1-1/1!+1/2!-1/3!+……+[(-1)^n]/n!} 你只要把 n=6 带入即可

补充:公式的推导利用了容斥原理,你应该还没学,难讲,呵呵 有 6 个座位连成一排,安排 3 个人就座,恰有 2 个空位相邻的不同坐法共有多 少种???请列式并说明为什么

6 个座位坐 3 人,有 3 个空位 恰好有 2 个空位相邻,那还剩余 1 个空位。

然后我把 3 个人先排列好,有 P(3,3)=3!=6 种排法。 把 2 个空位看作 1 个物体,1 个空位看作另一个物体。

让这两个物体往 3 个人中间和旁边共 4 个位置里插进去, 每个物体占一个位置,这样两个物体也就是两种空位就不会相邻了。

就是说在 4 个位置上排列 2 个物体(因为 1 个空位和 2 个空位是不同 的物体,所以有顺序关系的,用排列,不用组合) 这样就是 4 个排 2 个,P(4,2)=4!/2!=4*3=12 种

所以一共是 P(3,3) * P(4,2) = 6 * 12= 72 种 排列与组合

对这类的题目有什么规律啊?还难呀!谁可以告诉我些规律,谢谢!

排列组合解题方法 解决排列组合问题要讲究策略,首先要认真审题,弄清楚是排列(有序)还是组合(无序),还 是排列与组合混合问题。其次,要抓住问题的本质特征,准确合理地利用两个基本原则进行 “分类与分步”。加法原理的特征是分类解决问题,分类必须满足两个条件:①类与类必须互 斥(不相容),②总类必须完备(不遗漏);乘法原理的特征是分步解决问题,分步必须做到步 与步互相独立, 互不干扰并确保连续性。 分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策 略,在实际操作中往往是“步”与“类”交叉,有机结合,可以是类中有步,也可以是步中有类。 以上解题思路分析,可以用顺口溜概括为:审明题意,排(组)分清;合理分类,用准 加乘;周密思考,防漏防重;直接间接,思路可循;元素位置,特殊先行;一题多解,检验 真伪。 下面对几种典型的排列组合问题进行策略分析,拟找到解决相应问题的有效方法。 一、特殊优先,一般在后 对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。在操作时,针对实际问题,有时“元素 优先”,有时“位置优先”。 例 1 0、2、3、4、5 这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有几个? 解法一:(元素优先)分两类:第一类,含 0,0 在个位有 A42 种,0 在十位有 A21· A31 种;第二类,不含 0,有 A21· 种。 A32 故共有(A42+A21A31)+A32A21=30。 注:在考虑每一类时,又要优先考虑个位。 解法二:(位置优先)分两类:第一类,0 在个位有 A42 种;第二类,0 不在个位,先从 两个偶数中选一个放个位,再选一个放百位,最后考虑十位,有 A21A31A31 种。 故共有 A42+A21A31A31=30。 练习 1 (89 年全国) 由数字 1、 3、 5 组成没有重复数字的五位数, 2、 4、 其中小于 50000 的偶数共有 个(用数字作答) 。 答案:36 二、排组混合,先选后排 对于排列与组合的混合问题,宜先用组合选取元素,再进行排列。 例 2 (95 年全国)4 个不同的小球放入编号为 1、2、3、4 的四个盒内,则恰有一个空盒 的放法有几种? 解:由题意,必有一个盒内有 2 个球,同一盒内的球是组合,不同的球放入不同的盒子 是排列。因此,有 C42A43=144 种放法。 练习 2 由数字 1,2,3,4,5,6,7 组成有 3 个奇数字,2 个偶数字的五位数,数字不 重复的有多少个? 答案:有 C43C32A55=1440(个) 三、元素相邻,整体处理 对于某些元素要求相邻排列的问题, 可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其 它元素进行排列,同时对相邻元素进行自排。 例 3 5 个男生 3 个女生排成一列,要求女生排一起,共有几种排法? 解:先把 3 个女生捆绑为一个整体再与其他 5 个男生全排列。同时,3 个女生自身也应 全排列。由乘法原理共有 A66· 种。 A33

练习 3 四对兄妹站一排,每对兄妹都相邻的站法有多少种? 答案:A44· 24=384 四、元素间隔,分位插入 对于某些元素要求有间隔的排列,用插入法。 例 4 5 个男生 3 个女生排成一列,要求女生不相邻且不可排两头,共有几种排法? 解:先排无限制条件的男生,女生插在 5 个男生之间的 4 个空隙,由乘法原理共有 A55A43 种。 注意:①必须分清“谁插入谁”的问题。要先排无限制条件的元素,再插入必须间隔的元 素;②数清可插的位置数;③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。 练习 4 4 男 4 女站成一行,男女相间的站法有多少种? 答案:2A44· A44 例 5 马路上有编号为 1、2、3、…、9 的 9 盏路灯,现要关掉其中的三盏,但不能同时 关掉相邻的两盏或三盏,也不能关两端的路灯,则满足要求的关灯方法有几种? 解:由于问题中有 6 盏亮 3 盏暗,又两端不可暗,故可在 6 盏亮的 5 个间隙中插入 3 个暗的即可,有 C53 种。 练习 5 从 1、2、…、10 这十个数中任选三个互不相邻的自然数,有几种不同的取法? 答案:C83。 五、元素定序,先排后除或选位不排或先定后插 对于某些元素的顺序固定的排列问题,可先全排,再除以定序元素的全排,或先在总位 置中选出定序元素的位置而不参加排列, 然后对其它元素进行排列。 也可先放好定序的元素, 再一一插入其它元素。 例 6 5 人参加百米跑,若无同时到达终点的情况,则甲比乙先到有几种情况? 解法一:先 5 人全排有 A55 种,由于全排中有甲、乙的全排种数 A22,而这里只有 1 种是符合要求的,故要除以定序元素的全排 A22 种,所以有 A55/A22=60 种。 解法二:先在 5 个位置中选 2 个位置放定序元素(甲、乙)有 C52 种,再排列其它 3 人有 A33,由乘法原理得共有 C52A33=60 种。 解法三:先固定甲、乙,再插入另三个中的第一人有 3 种方法,接着插入第二人有 4 种方法,最后插入第三人有 5 种方法。由乘法原理得共有 3× 5=60 种。 4× 练习 6 要编制一张演出节目单,6 个舞蹈节目已排定顺序,要插入 5 个歌唱节目,则共 有几种插入方法? 答案:A1111/A66 或 C116A55=C115A55 或 7× 9× 11 种 8× 10× 六、“小团体”排列,先“团体”后整体 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时, 可先按制约条件“组团”并视为一 个元素再与其它元素排列。 例 7 四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会,演出的出场顺序要求两名女歌手 之间有两名男歌手,则出场方案有几种? 解:先从四名男歌手中选 2 人排入两女歌手之间进行“组团”有 A42A22 种,把这个“女 男男女”小团体视为 1 人再与其余 2 男进行排列有 A33 种,由乘法原理,共有 A42A22A33 种。 练习 7 6 人站成一排,其中一小孩要站在爸妈之间的站法有多少种? 答案:A22· A44 七、不同元素进盒,先分堆再排列 对于不同的元素放入几个不同的盒内, 当有的盒内有不小于 2 个元素时, 不可分批进入, 必须先分堆再排入。

例 8 5 个老师分配到 3 个班搞活动,每班至少一个,有几种不同的分法? 解: 先把 5 位老师分 3 堆, 有两类: 1、 分布有 C53 种和 1、 2 分布有 C51C42C22/A22 3、 1 2、 种,再排列到 3 个班里有 A33 种,故共有(C53+C51C42C22/A22)· A33。 注意:不同的老师不可分批进入同一个班,须一次到位(否则有重复计数)。即“同一盒 内的元素必须一次进入”。 练习 8 有 6 名同学,求下列情况下的分配方法数: ①分给数学组 3 人,物理组 2 人,化学组 1 人; ②分给数学组 2 人,物理组 2 人,化学组 2 人; ③分给数学、物理、化学这三个组,其中一组 3 人,一组 2 人,一组 1 人; ④平均分成三组进行排球训练。 答案:①C63C32C11;②C62C42C22;③C63C32C11· A33;④C62C42C22/A33。 八、相同元素进盒,用档板分隔 例 9 10 张参观公园的门票分给 5 个班,每班至少 1 张,有几种选法? 解:这里只是票数而已,与顺序无关,故可把 10 张票看成 10 个相同的小球放入 5 个不 同的盒内,每盒至少 1 球,可先把 10 球排成一列,再在其中 9 个间隔中选 4 个位置插入 4 块“档板”分成 5 格(构成 5 个盒子)有 C94 种方法。 注:档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。 练习 9 从全校 10 个班中选 12 人组成排球队,每班至少一人,有多少种选法? 答案:C119 九、两类元素的排列,用组合选位法 例 10 10 级楼梯,要求 7 步走完,每步可跨一级,也可跨两级,问有几种不同的跨法? 解:由题意知,有 4 步跨单级,3 步跨两级,所以只要在 7 步中任意选 3 步跨两级即可。 故有 C73 种跨法。 注意:两类元素的排列问题涉及面很广,应予重视。 练习 10 3 面红旗 2 面黄旗,全部升上旗杆作信号,可打出几种不同的信号? 答案:C52 例 11 沿图中的网格线从顶点 A 到顶点 B,最短的路线有几条? 解:每一种最短走法,都要走三段“|”线和四段“—”线,这是两类元素不分顺序的排列问 题。故有 C74 或 C73 种走法。 例 12 从 5 个班中选 10 人组成校篮球队(无任何要求),有几种选法? 解:这个问题与例 12 有区别,虽仍可看成 4 块“档板”将 10 个球分成 5 格(构成 5 个盒 子),是球与档板两类元素不分顺序的排列问题。但某些盒子中可能没有球,故 4 块“档板” 与 10 个球一样也要参与排成一列而占位置,故有 C144 种选法。 练习 11 (a+b+c+d)10 的展开式有几项? 提示:因为每一项都是由 a,b,c,d 中的一个或多个相乘而得到的 10 次式,所以可以看成 是 10 个球与 3 块档板这两类元素不分顺序的排列,故共有 C133 项。 注意:怎样把问题等价转化为“两类元素的排列”问题是解题的关键。 十、个数不少于盒子编号数,先填满再分隔 例 13 15 个相同的球放入编号为 1、2、3 的盒子内,盒内球数不少于编号数,有几种不 同的放法? 解:先用 6 个球按编号数“填满”各盒(符合起码要求),再把 9 个球放入 3 个盒内即可,可 用 2 块档板与 9 个球一起排列(即为两类元素的排列问题),有 C112 种。 十一、多类元素组合,分类取出。 例 14 车间有 11 名工人,其中 4 名车工,5 名钳工,AB 二人能兼做车钳工。今需调 4

名车工和 4 名钳工完成某一任务,问有多少种不同调法? 解: 不同的调法按车工分为如下三类: 第一类调 4 车工 4 钳工; 第二类调 3 车工 4 钳工, 从 AB 中调 1 人作车工;第二类调 2 车工 4 钳工,把 AB 二人作为车工。故共有 C44C74+C43C21C64+C42C22C54=185 种不同调法。 注:本题也可按钳工分类。若按 A、B 分类,会使问题变得复杂

《排列组合应用题的解法》 排列组合应用题的解题方法既有一般的规律, 又有很多特别的技巧, 它要求我们要认真地审 题,对题目中的信息进行科学地加工处理。下面通过一些例题来说明几种常见的解法。 一. 运用两个基本原理 二. 特殊元素(位置)优先 三. 捆绑法 四. 插入法 五. 排除法 六. 机会均等法 七. 转化法 八. 隔板法 《排列、组合、二项式定理&#8226;解题技巧》 排列组合问题是高考必考题,它联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,不易掌握,实 践证明,备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用,本文介绍十二类典型排列 组合题的解答策略. 1.相邻问题并组法 2.相离问题插空法 3.定序问题缩倍法 4.标号排位问题分步法 5.有序分配问题逐分法 6.多元问题分类法 7.交叉问题集合法 8.定位问题优先法 9.多排问题单排法 10.“至少”问题间接法 11.选排问题先取后排法 12.部分合条件问题排除法 排列、组合问题,在高考中所占比重不大,但试题都具有一定的灵活性、机敏性和综 合性,在“倡导创新体系,提高素质教育”的今天,该类试题是最好的体现,由于有些问题比 较抽象,且题型繁多,解法独特,再加上限制条件,容易产生错误。本文就排列、组合问题 的常见题型的求解方法加以归纳,供大家参考。

1、特殊元素——优先法:

对于含有限定条件的排列、组合问题,一般应先考虑特殊元素,再考虑其它元素。

例 1,用 0、2、3、4、5 这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有多少 个?

[解析]因组成的三位数为偶数,末尾的数字必须是偶数,又 0 不能排在首位,故 0 是其 中的特殊元素应优先安排。①当 0 排在末尾时,有 个;②当 0 不排在末尾时,有 个,根据 分类记数原理,其中偶数共有 个。

例 2,1 名老师和 4 名获奖学生排成一排照相留念,若老师不排在两端,则共有不同的 排法多少种。

[解析]优先考虑对特殊元素(老师)的排法,因老师不排在两端,故可在中间三个位置 上来排,有 种。剩下的位置由 4 名学生全排列,有 种。因此共有 种不同的排法。

2、相邻问题——捆绑法:

对于某几个元素要求相邻的排列问题, 可先将相邻的元素“捆绑”在一起看作一个元素与 其它元素进行排列,然后再对这几个元素进行全排列。

例 3,5 名学生和 3 名老师站成一排照相,3 名老师必须站在一起的不同排法共有 种。 [解析]将 3 名老师捆绑起来看成一个元素,与 5 名学生排列,有 种排法;而 3 名老师 之间又有 种排法,故满足条件的排法共有 种。

例 4,计划展出 10 幅不同的画,其中一幅水彩画,4 幅油画,5 幅国画,排成一行陈列, 要求同一品种的画必须连在一起, 并且水彩画不放在两端, 那么不同的陈列方式有多少种?

[解析]把每种画捆绑在一起,看成一个整体,又水彩画较特殊,应优先安排。水彩画放 中间, 油画和国画放两端有 种排法。 再考虑油画和国画本身可全排列, 故排列方法共有 种。

3、不相邻问题——插空法:

对于某几个元素要求不相邻的排列问题, 可先将余下的元素进行排列, 然后在这些元素 形成的空隙中将不相邻的元素进行排列。 例 5,有 10 个学生,其中 4 人中任意两个不能站在一起,有多少种排列次序? [解析]先将其余 6 人进行排列,有 种;再把不相邻的 4 人分别排在前 6 人形成的 7 个 空隙中,有 种。所以共有 种排列次序。

例 6, 4 名男生, 名女生站成一排, 有 3 任何两名女生彼此不相邻, 有多少不同的排法? [解析]由于要求女生不相邻,应先排男生,有 种;然后在男生形成的 5 个空隙中分别 安排 3 名女生,有 种,所以共有 种。

4、正难问题——排除法:

对某些排列组合问题,当从正面入手情况复杂,不易解决时,可考虑从反面入手,将其 等价转换为一个较简单的问题来处理。

例 7,从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会,若这 4 人中必须既有男生又 有女生,则不同的选法共有

A、 140 种

B、120 种

C、 35 种

D、 34 种

[解析]先不考虑附加条件,从 7 名学生中选出 4 名共有 种选法,其中不符合条件的是 选出的 4 人都是男生,即 种。所以符合条件的选法是 种,故选 D。

例 8,四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点,在其中取 4 个不共面的点,不同的取法 共有

A、 150 种

B、147 种

C、 144 种

D、 141 种

[解析]首先只要考虑从 10 个点中任取 4 个点的取法, 种, 有 然后再取掉“共面”的情况: 其中一个面内的 6 个点中任意 4 点都共面,任取 4 点有 种;又每条棱与相对棱的中点共有 6 种;各棱的中点中 4 点共面的有 3 种。 故 10 个点中 4 点不共面的取法,共有 种。故选 D 项。

[文件] sxgdja0016.doc [科目] 数学 [年级] 高中 [章节] [关键词] 排列/组合/概念 [标题] 排列与组合的概念 [内容] 北京市五中 教学目标 1.正确理解排列、组合的意义. 2.掌握写出所有排列、 所有组合的方法, 加深对分类讨论方法的理解. 3.发展学生的抽象能力和逻辑思维能力. 肖钰

教学重点与难点 重点:正确理解两个原理(加法原理、乘法原理)以及排列、组合的 概念. 难点:区别排列与组合. 教学过程设计 师:上节课我们学习了两个基本原理,请大家完成以下两题的练习: (用投影仪出示) 1.书架上层放着 50 本不同的社会科学书, 下层放着 40 本不同的自然 科学的书. (1)从中任取 1 本,有多少种取法? (2)从中任取社会科学书与自然科学书各 1 本,有多少种不同的取 法? 2.某农场为了考察三个外地优良品种 A,B,C,计划在甲、乙、丙、 丁、戊共五种类型的上 地上分别进行引种试验,问共需安排多少个试验小区? (全体同学参加笔试练习. ) 4 分钟后,找一同学谈解答和怎样思考的? 生:第 1(1)小题从书架上任取 1 本书,有两类办法,第一类办法 是从上层取社会科学书, 可以从 50 本中任取 1 本,有 50 种方法;第二类办法是从下层取自然 科学书,可以从 40 本中任取 1 本,有 40 种方法.根据加法原理,得 到不同的取法种数是 50+40=90.第(2)小题从书架上取社会科学、

自然科学书各 1 本(共取出 2 本) ,可以分两个步骤完成:第一步取 一本社会科学 书,第二步取一本自然科学书,根据乘法原理,得到不同的取法种数 是:50×40=2 000.第 2 题说,共有 A,B,C 三种优良品种,而每 个品种在甲类型土地上实验有三个小区, 在乙类型的土地上有三个小 区??所以共需 3×5=15 个实验小区. 师:学习了两个基本原理之后,继续学习排列和组合,什么是排列? 什么是组合?这两个问题 有什么区别和联系?这是我们讨论的重点.先从实例入手: 1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线,需要准备多少种不 同飞机票? 希望同学们设计好方案,踊跃发言. 生甲:首先确定起点站,如果北京是起点站,终点站是上海或广州, 需要制 2 种飞机票,若 起点站是上海,终点站是北京或广州,又需制 2 种飞机票;若起点站 是广州,终点站是北京 或上海,又需要 2 种飞机票,共需要 2+2+2=6 种飞机票. 师:生甲用加法原理解决了准备多少种飞机票问题.能不能用乘法原 理来设计方案呢? 生乙:首先确定起点站,在三个站中,任选一个站为起点站,有 3 种 方法.即北京、上海、 广泛任意一个城市为起点站,当选定起点站后,再确定终点站,由于

已经选了起点站,终点 站只能在其余两个站去选.那么,根据乘法原理,在三个民航站中, 每次取两个,按起点站 在前、终点站在后的顺序排列不同方法共有 3×2=6 种. 师:根据生乙的分析写出所有种飞机票. 生丙: (板演)

在航海中,船舰常以“旗语”相互联系,即利用不同颜色的旗子发送 出各种不同的信号.如 有红、黄、绿三面不同颜色的旗子,按一定顺序同时升起表示一定的 信号,问这样总共可以 表示出多少种不同的信号? 请同学们谈谈自己的想法. 生丁:事实上,红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种 信号,所以不同颜色的 同时升起可以表示出来的信号种数,也就是红、黄、红这三面旗子的 所有不同顺序的排法总 数.

首先, 先确定最高位置的旗子, 在红、 黄、 绿这三面旗子中任取一个, 有 3 种方法; 其次,确定中间位置的旗子,当最高位置确定之后,中间位置的旗子 只能从余下的两面旗中 去取,有 2 种方法. 乘下那面旗子,放在最低位置. 根据乘法原理,用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种 数是: 3×2×1=6(种) . 师:根据生丁同学的分析,写出三面旗子同时升起表示信号的所有情 况. (包括每个位置情 况) 生戊: (板演)

师:第三个实例,请全体同学都参加设计,把所有情况(包括每个位 置情况)写出来. 由数字 1,2,3,4 可以组成多少个没有重复数字的三位数?写出这些 所有的三位数. (教师在教室巡视,过 3 分钟找一个同学板演)

根据乘法原理,从四个不同的数字中,每次取出三个排成三位数的方 法共有 4×3×2=24(个) .

师:请板演同学谈谈怎样想的? 生:第一步,先确定百位上的数字.在 1,2,3,4 这四个数字中任 取一个,有 4 种取法. 第二步,确定十位上的数字.当百位上的数字确定以后,十位上的数 字只能从余下的三个数

字去取,有 3 种方法. 第三步,确定个位上的数字.当百位、十位上的数字都确定以后,个 位上的数字只能从余下 的两个数字中去取,有 2 种方法. 根据乘法原理,所以共有 4×3×2=24 种. 师:以上我们讨论了三个实例,这三个问题有什么共同的地方? 生:都是从一些研究的对象之中取出某些研究的对象. 师:取出的这些研究对象又做些什么? 生:实质上按着顺序排成一排,交换不同的位置就是不同的情况. 师:请大家看书,第×页、第×行.我们把被取的对象叫做双元素, 如上面问题中的民航站 、旗子、数字都是元素. 上面第一个问题就是从 3 个不同的元素中,任取 2 个,然后按一定顺 序排成一列,求一共有多少种不同的排法,后来又写出所有排法.第 二个问题,就是从 3 个不同元素中,取出 3 个,然后按一定顺序排成 一列,求一共有多少排法和写出所有排法.第三个问题呢? 生:从 4 个不同的元素中,任取 3 个,然后按一定的顺序排成一列, 求一共有多少种不同的排法,并写出所有的排法. 师:请看课本,第×页,第×行,一般地说,从 n 个不同的元素中, 任取 m(m≤n)个元素(本章只研究被取出的元素各不相同的情况) , 按着一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一 个排列.

按着这个定义,结合上面的问题,请同学们谈谈什么是相同的排列? 什么是不同的排列? 生:从排列的定义知道,如果两个排列相同,不仅这两上排列的元素 必须完全相同,而且排 列的顺序(即元素所在的位置)也必须相同.两个条件中,只要有一 个条件不符合,就是不 同的排列. 如第一个问题中,北京—广州,上海—广州是两上排列,第三个问题 中,213 与 423 也是两个排列. 再如第一个问题中,北京—广州,广州—北京;第二个问题中,红黄 绿与红绿黄;第三个问 题中 231 和 213 虽然元素完全相同, 但排列顺序不同, 也是两个排列. 师:还需要搞清楚一个问题, “一个排列”是不是一个数? 生: “一个排列”不应当是一个数,而应当指一件具体的事.如飞机 票“北京—广州”是一 个排列, “红黄绿”是一种信号,也是一个排列.如果问飞机票有多 少种?能表示出多少种 信号.只问种数,不用把所有情况罗列出来,才是一个数.前面提到 的第三个问题,实质上 也是这样的. 师:下面我们进一步讨论: 1.在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线,有多少种不同的

飞机票价与准备多少种 不同的飞机票,有什么区别? 2.某班某小组五名同学在暑假互相都通信一次,打电话一次,通信的 封数与打电话的次数是 否一致? 3.有四个质数 2,3,5,7 两两分别作加法、减法、乘法、除法,所 得到的和、差、积、商是 否相同? 生 A:我回答第 1 个问题.前边已经讨论过有要准备 6 种飞机票,但 票价只有三种, 北京—上海与上海—北京, 北京—广州与广州—北京, 上海—广州与广州—上海票价是一样的,共有 3 种票价. 生 B:我回答第 2 个问题.举个例子,张玉同学给李刚同学写信,李 刚同学给张玉同学写信, 这样两封信才算彼此通一次信.而两人通一次电话,无论是张玉打给 李刚的,还是李刚打给 张玉的,两个人都同时参与了,彼此通了一次电话. 师:那么通了多少封信?打了多少次电话? 生 C:五个人都要给其他四位同学写信,5×4=20 封.关于打电话次 数,我现在数一数:设 五名同学的代号是 a,b,c,d,e.则 a—b,a—c,a—d,a—e,b —e,b—d,b—e,c—d ,c—e,d—e.共十次.

生 D: 我回答第 3 个问题. 减法与除法所得的差和商个数是同一个数, 因为被减数与减数,被除数与除数交换位置所得的差与商是不同 的.加法与乘法所得的和与积个数是同一个数,根据加法、乘法交换 律,被加数与加数,被乘数与乘数交换位置,和与积不受影响. 师:有多少个差与商?有多少个和与积? 生 E:2,3,5,7 都可以做被减数和被除数,对于每一个被减数(或 被除数)都对应着有 3 个数作减数(或除数) ,共有 4×3=12 个差或 商.把交换位置的情况除去,就是和或积的数字,即 12÷2=6. 师:以上三个问题六件事,有什么共同点?再按类分,类与类之间有 什么区别?区别在哪里? 生:都是从一些元素中,任取某些元素的问题. 可以分两类.一类属于前边学过的排列问题,即取出的元素要“按照 一定的顺序排成一列” ,只要交换位置,就是不同的排列.前边三个问题中的飞机票、通信 封数、减法与除法运算 的结果都属于这一类.另一类是取出的元素,不必管顺序,只有取不 同元素时,才是不同的 情况,如飞机票价,打电话次数、加法与乘法运算的结果都属于这一 类. 师:分析得很好,我们说后一类问题是从 n 个元素中任取 m(m≤n) 个元素,不管怎样的顺序并成一组,求一共有多少种不同的组.如以 上三个问题中飞机票价题是 3 组,打电话次数题是 10 组,和与积的

个数题都是 6 组. 请同学们看课本,第×页第×行开始到第×页第×行结束. (用 5 分钟时间学生读课本,教师巡视,回答学生提出的问题) 师:组合这一节讲的主要内容是什么? 生:组合定义;什么是相同的组合,什么是不同的组合;排列与组合 的区别;怎样写出某个 组合问题的所有组合. 师:现在请同学们回答这四个问题.每位同学只说一个问题. 生 F:组合定义是从 n 个不同的元素中,任取 m(m≤n)个元素并成 一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. 生 G:如果两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何, 都是相同的组合;只有 当组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合. 生 H:排列与元素的顺序有关,组合与顺序无关.如 231 与 213 是两 个排列,2+3+1 的和与 2+1+3 的和是一个组合. 生 I:我举个例子.前边生 C 同学提到的 a,b,c,d,e 这五个元素, 写出每次取出 2 个元素的所有组合. 先把 a 从左到右依次与 b,c,d,e 组合,写出 ab,ac,ad,ae.再 把 B 依次与 c,d,e 组合,写出 bc,bd,be.再把 c 依次与 d,e 组 合,写出 cd,ce.最后 d 与 e 组合,写出 de.前面生 C 面学已经写 得很好. 师:一定要认真体会排列与组合的区别在于顺序是否有关,在以后的

各种实际应用题中要区 别清楚才能寻找正确解题途径. 和排列一样,还需要区分清楚“一个组合”和“组合种数”这两个概 念.一个组合不是一个 数, 而是具体的一件事, 刚才生 I 同学回答的每一种如 ab, 又如 ac, ? 都叫一个组合,共 10 种,而 10 就是组合数. 怎样写出所有的排列和所有的组合是本节的技能方面要求, 现在请同 学们写出由 1,2,3,4 中取出 3 个数所有组合. (教师请生 M 到黑板板演) 板演: 123,124,134,234. 师:最后希望大家思考,下面的问题是排列问题,还是组合问题?怎 样解? 1.今欲从 1,2,3,8,9,10,12 诸数中选取两数,使其和为偶数, 问共有几种选法? 2.有四张卡片,每张分别写着数码 1,2,3,4.有四个空箱,分别 写着号码 1,2,3,4.把

卡片放到空箱内,每箱必须并且只能放一张,而且卡片数码与箱子号 码必须不一致,问有多 少种放法?

(两道题用投影仪示出) 同学们独立思考几分钟, 然后全班进行讨论, 请思考成熟的同学发言. 生 n:我谈第 1 题.要求出用两个数码所组成的其和为偶数的数的个 数,这时按两奇数的和为偶数与两偶数的和为偶数这一标准,进行分 类. 选出的两数不考虑顺序, 因为交换位置其和不变, 是组合问题. 解 法是: 在 1,3,9 中任选两段:1,3;1,9;3,9 有 3 个组合. 在 2,8,10,12 中任选两数:2,8;2,10;2,12;8,10;8,12; 10,12.有 6 个组合. 根据加法原理,3+6=9. 所以共有 9 种选法. 生 P:我谈第 2 题.这是从四张卡片中取出 4 张,分别放在四个位置 上,只要交换卡片位置, 就是不同的放法,是个附有条件的排列问题.解法是: 第一步是把数码卡片四张中 2,3,4 三张任选一个放在第 1 空箱. 第二步从余下的三张卡片中任选符合条件的一张放在第 2 空箱. 第三步从余下的两张卡片中任选符合条件的一张放在第 3 空箱. 第四步把最后符合条件的一张放在第四空箱.具体排法,我用下面图 表表示:

所以,共有 9 种放法. 师:参加讨论的同学对于什么是排列,什么是组合?一个排列与排列 种数,一个组合与组合 种数区别是什么?怎样排列,怎样组合都比较清楚了.由于排列组合 问题遇到的情况不是唯 一的,经常使用分类讨论的方法. 作业 课本:P232 练习,1,7;P243 练习 1,2,3,4,6. 补充作业 1.空间有五个点,其中任何四点不共面,以每四个点为顶点作一个四 面体,一共可作多少 个四面体?(5 个)

2.用 0,2,3,5 可以组成多少个数字不重复且被 5 整除的三位数? (10 个) 3.同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人 送出的贺年卡,则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种?(9 种) 课堂教学设计说明 1.温故才能知新,为了培养学生良好的学习习惯,学习新课前进行了 复习练习. 2.为了更深刻地理解排列组合概念,设计教案时采取了两项有效措 施. (1)先给出排列、组合的感性认识,再抽象出排列、组合定义,利 于学生抽象能力的培养 ,并能激发学生的学习兴趣,积极参加学习过程中来. (2)改变了教材的安排,把排列与组合的概念放在同一节课,既节 约了课时又通过对比, 更深刻理解排列与组合概念本质,掌握它们的共同点与不同点. 3.教案设计中注意了学生主体参与,通过学生实践,掌握概念的形成 过程和应用,从而培养 能力,并注意训练学生的自学能力.
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