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2017-2018学年(新课标)北师大版高中数学必修四《函数的图像与性质第1课时》课时练习及答案

(新课标)2017-2018 学年北师大版高中数学必修四 课时提升作业 函数 y=Asin ωx + φ 的图像与性质(一) 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.函数 y=sin 2π 1 2 x+ π 3 的图像可由函数 y=sin x 的图像 ( 2 π 1 ) A.向左平移 3 个单位得到 B.向右平移3 个单位得到 C.向左平移6 个单位得到 D.向左平移3 个单位得到 【解析】选 A.y=sin 1 2 π π x+ π 3 =sin 1 2 x+ 2π 3 ,故应向左平移 个单位. 3 π 2π 2.(2014·太原高一检测)由 y=f(x)的图像向左平移3 个单位,再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到 y=2sin 3x ? 6 π 的图像,则 f(x)为( A.2sin C.2sin 3 2 3 2 1 ) 1 6 x+ π 6 1 B.2sin 6x ? π D.2sin 6x + 3 π 1 1 1 1 x+3π 1 【解析】选 B.将 y=2sin 3x ? 6 π 图像上所有点的横坐标缩短到原来的2倍得到 y=2sin 6x ? 6 π ,再将图像 向右平移 个单位,得到 y=2sin 6x ? π . 3 6 π 1 【误区警示】本题容易出现将平移方向、倍数弄反的错误,应将图像逆向变换得到平移前的图像. 【变式训练】函数 y= f(x)的图像上每一点的纵坐标伸长为原来的 3 倍,再将横坐标缩小为原来的2,再将图像 向右平移 个单位,可得 y=cosx,则原来的函数为( 4 π 1 ) A.y= cos 3 1 1 2 x+ π 4 π B.y= cos 3 1 1 1 2 x? π 4 π C.y=3cos 1 2 x + 4 D.y=3cos 2x + 4 【解析】选 A.将 y=cosx 的图像向左平移4 个单位,得到 y=cos x + 4 ,再将横坐标伸长为原来的 2 倍,得到 y=cos 1 2 π π x + 4 ,再将图像上每一点的纵坐标缩短为原来的3倍,得到 y=3cos π 1 1 1 2 x+4 . π 3.函数 y=sinωx(ω>0)的部分图像如图所示,点 A,B 是 最高点,点 C 是最低点.若△ABC 是直角三角形,则ω的 值为 ( ) A.2 π B.4 π C. 3 π D.π 【解析】选 A.函数的最大值为 1,又△ABC 是等腰直角三角形,故三角形 AB 边上的高为 2,A 与 B 的距离为 4,即为最小正周期 T,由 =4 得ω=2 . ω 2π π 【误区警示】读图错误,误认为|AB|=2,从而 =2,ω=π,选 D. ω 2π 4.(2014·锦州高一检测)函数 y=sin(ωx+φ) x ∈ R, ω > 0,0 ≤ φ < π 的部分图像如图,则 ( ) A.ω= ,φ= 2 π 4 π π 4 π 4 B.ω= ,φ= 3 π 4 π π 6 3π 4 C.ω= ,φ= D.ω= ,φ= 【解析】选 C.由题意以及函数的图像,可知 T=4×(3-1)=8, 因为 T = ,所以ω=4 ; ω 2π π 因为函数的图像经过(3,0), 所以 0=sin π π 4 × 3 + φ 且 0≤φ<π, 所以φ=4 .故选 C. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.(2014·宿迁高一检测)函数 f(x)=sin(ωx+φ) ω > 0, |φ| < 需把 y=f(x)的图像上所有的点向右平移 π 2 的图像如图所示,为了得到 y=sinωx 的图像,只 个单位长度. 【解析】T=4 7π 12 ? 3 =π,故ω=2, π 3 π 则 f(x)=sin(2x+φ),代入点 得到 sin 2π 3 2π 3 ,0 , + φ =0, π 3 由 +φ=π得φ= , 故 f(x)=sin 2x + 3 , 故需要向右平移6 个单位长度得到 y=sin2x. 答案:6 π π π 6.(2014·安徽高考)若 将函数 f(x)=sin 2x + 4 的图像向右平移φ个单位,所得图像关于 y 轴对称,则φ的最小 正值是 . π 【解题指南】平移后的函数 是余弦函数. 【解析】将函数 f(x)=sin 2x + π 4 的图像向右平移φ个单位, π 所得函数为 f(x)=sin 2(x ? φ) + 4 =sin 2x + π 4 ? 2φ , 其图像关于 y 轴对称,则 f(x)=±cos2x, 所以4 -2φ=2 +kπ(k∈Z), 当 k=-1 时,φ的最小正值是 8 . 答案: 3π 8 3π π π 三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.已知函数 y=2sin 1 2 x + 4 (x∈R). π (1)作出函数在一个周期内的图像. (2)说明该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的变换得到. 【解析】(1)列表: 1 2 x+ x y π 4 0 π 2 π 2 π 2 2 π 3π 2 0 3π 2 5π 2 -2 2π 7π 2 0 0 作图: (2)y=sinx y=sin 1 2 y=sin x + 4 π 4 π x+ y=2sin 1 2 x+ π 4 . 8.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图像如图所示, (1)求 f(x)的解析式. (2)求 f π 4 +f 2π 4 +f 3π 4 +…+f 2 015 π 4 的值. 【解题指南】根据图示信息求出解析式,再根据函数在一个周期内的和的情况求和. 【解析】(1)由图像可知 A=2, 周期 T=2 7π 12 ? 12 =π, π

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