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第1部分 第三章 3.2 简单的三角恒等变换


把握热 点考向

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第 三 章

3.2 应用创 新演练

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[例1] tan

8 3 α α 已知sin α=- ,且π<α< π,求sin ,cos , 17 2 2 2

α 的值. 2
α [思路点拨] 利用平方关系求出cos α,根据α与 之间的关 2

系求解.

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8 3 [精解详析] ∵sin α=- ,π<α< π, 17 2 15 ∴cos α=- . 17 ∵cos α=1-2sin =2cos -1, 2 2 π α 3 又 < < π, 2 2 4
2 2α 2α

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α ∴sin = 2 α cos =- 2

1-cos α = 2 1+cos α =- 2

15 1+ 17 4 17 = , 2 17 15 1- 17 17 =- , 2 17

α sin 2 α tan = α=-4. 2 cos 2

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α [一点通] 在公式cos 2α=2cos2α-1=1-2sin2α中,用 代 2 替α就会得到以下公式(半角的正弦、余弦、正切公式): α cos =± 2 α sin =± 2 α tan =± 2 1+cos α ; 2 1-cos α ; 2 1-cos α 1-cos α sin α = = . sinα 1+cos α 1+cos α

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π 3π 4 1.已知 <θ< ,且sin 2θ=- ,则tan θ等于( 2 4 5 A.2 1 C.-2或- 2 1 B.- 2 D.-2

)

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π 3π 3 解析:∵ <θ< ,∴π<2θ< π, 2 4 2 3 ∴cos 2θ=- 1-sin 2θ=- . 5
2

4 - 5 sin 2θ ∴tan θ= = =-2. 3 1+cos 2θ 1- 5

答案:D

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3 θ 2.已知cos θ=- ,且180° <θ<270° ,求tan . 5 2
解:法一:∵180° <θ<270° , θ ∴90° < <135° , 2 θ θ 即 是第二象限的角,∴tan <0. 2 2 θ ∴tan =- 2 1-cos θ =- 1+cos θ 3 1-(- ) 5 =-2. 3 1+(- ) 5

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法二:∵180° <θ<270° ,即θ是第三象限角, ∴sin θ=- 1-cos θ=-
2

9 4 1- =- . 25 5

3 1-(- ) 5 θ 1-cos θ ∴tan = = =-2. 2 sin θ 4 - 5

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[例2]

3π 已知π<α< ,化简: 2

1+sin α 1-sin α + . 1+cos α- 1-cos α 1+cos α+ 1-cos α
[思路点拨] 先把被开方数利用倍角公式“升幂”,再由 α 2

的范围开方进行化简.

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[精解详析] 原式= (sin α α α α +cos )2 (sin -cos )2 2 2 2 2 α α+ α α, 2|cos |- 2|sin | 2|cos |+ 2|sin | 2 2 2 2

3π ∵π<α< , 2 π α 3π ∴ < < , 2 2 4 ∴cos α α <0,sin >0. 2 2

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α α 2 α α 2 (sin +cos ) (sin -cos ) 2 2 2 2 ∴原式= + α α α α - 2(sin +cos ) 2(sin -cos ) 2 2 2 2 α α α α sin +cos sin -cos 2 2 2 2 =- + 2 2 α =- 2cos . 2

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[一点通] (1)对于三角函数式的化简有下面的要求: ①能求出值的应求出值.②使三角函数种数尽量少.③使三角 函数式中的项数尽量少.④尽量使分母不含有三角函数.⑤尽量使 被开方数不含三角函数. (2)化简的方法: ①弦切互化,异名化同名,异角化同角.②降幂或升幂.

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1-cos θ+sin θ 3.化简: . 1+cos θ+sin θ
θ 2sin +2sin cos 2 2 解:原式= θ 2θ 2cos +2sin cos 2 2 θ 2sin (sin 2 = θ 2cos (cos 2 =tan θ 2 θ +cos 2 θ +sin 2 θ ) 2 θ ) 2


θ 2 θ 2

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sin 7° +cos 15° sin 8° 4.化简: . cos 7° -sin 15° sin 8°
sin (15° -8° )+cos 15° sin 8° 解:原式= cos(15° -8° )-sin 15° sin 8° sin 15° cos 8° -cos 15° sin 8° +cos 15° sin 8° = cos 15° cos 8° +sin 15° sin 8° -sin 15° sin 8° sin 15° cos 8° = =tan 15° cos 15° cos 8° tan 60° -tan 45° =tan (60° -45° )= 1+tan 60° tan 45° 3-1 = =2- 3. 1+ 3

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[例3]

π (2011· 北京高考)(12分)已知函数f(x)=4cos xsin(x+ )-1. 6

(1)求f(x)的最小正周期; π π (2)求f(x)在区间[- , ]上的最大值和最小值. 6 4
π [思路点拨] 把sin(x+ )按两角和的正弦展开,利用公式化 6 成f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,然后研究它的性质.

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π [精解详析] (1)因为f(x)=4cos xsin(x+ )-1 6 3 1 =4cos x ( sin x+ cos x)-1 2 2 = 3sin 2x+2cos2x-1 π = 3sin 2x+cos 2x=2sin(2x+ ), 6 所以f(x) 的最小正周期为π.

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π π π π 2π (2)因为- ≤x≤ , 所以- ≤2x+ ≤ . 6 4 6 6 3 π π π 于是,当2x+ = ,即x= 时,f(x)取得最大值2; 6 2 6 π π π 当2x+ =- ,即x=- 时,f(x)取得最小值-1. 6 6 6

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[一点通] 解答此类综合题的关键是利用三角函数的诱导 公式以及和、差、倍角、半角公式和辅助角公式asin x+bcos x = a2+b2 sin(x+φ),将三角函数式化为f(x)=Asin(ωx+φ)+k

的形式,然后借助于三角函数的图像及性质去研究f(x)的相应 性质,解答过程中一定要注意公式的合理应用,以免错用公 式,导致化简失误.

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5.已知函数f(x)=sin 2x-2sin2x. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合.

解:(1)因为函数f(x)=sin 2x-2sin2x =sin 2x-(1-cos 2x) π = 2sin(2x+ )-1, 4 2π 所以函数的最小正周期为T= =π. 2

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π π π (2)由(1)知,当2x+ =2kπ+ ,即x=kπ+ (k∈Z)时,f(x)的 4 2 8 最大值为 2 -1,因此函数f(x)取最大值时x的集合为{x|x=kπ

π + ,k∈Z}. 8

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(sin x-cos x)sin 2x 6.(2012· 北京高考)已知函数f(x)= . sin x (1)求f(x)的定义域及最小正周期; (2)求f(x)的单调递增区间.

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解:(1)由sin x≠0得,x≠kπ,k∈Z, 所以定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}. (sin x-cos x)2sin xcos x f(x)= =2sin xcos x-2cos2x sin x π =sin 2x-cos 2x-1= 2sin(2x- )-1 4 2π 所以最小正周期T= =π. 2

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π π π (2)令2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ , 2 4 2 π 3π 得kπ- ≤x≤kπ+ 且x≠kπ, 8 8 π 3π 所以单调递增区间为[kπ- ,kπ),k∈Z,(kπ,kπ+ ], 8 8 k∈Z.

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[例4]

(12分)如图,ABCD是一块边长为

100 m的正方形地皮,其中AST是半径为90 m的 扇形小山,其余部分都是平地.一开发商想在 平地上建一个矩形停车场,使矩形的一个顶点 P在ST上,相邻两边CQ、CR正好落在正方形的 边BC、CD上,求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值.

[思路点拨]

可设∠PAB=θ,并用θ表示PR,PQ,

建立面积的函数关系式,再求其最大值、最小值.
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[精解详析] 如图连接AP,设∠PAB= π θ(0≤θ≤ ),延长RP交AB于M,则AM=90cos θ, 2 MP=90sin θ 所以PQ=MB=100-90cos θ, PR=MR-MP=100-90sin θ. 所以S矩形PQCR=PQ· PR =(100-90cos θ)(100-90sin θ) =10 000-9 000(sin θ+cos θ)+8 100sin θcos θ (7分) (4分) (2分)

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t2-1 令t=sin θ+cos θ(1≤t≤ 2),则sin θcos θ= , 2 t2-1 所以S矩形PQCR=10 000-9 000t+8 100· 2 8 100 10 = (t- )2+ 2 9 10 故当t= 时,S矩形PQCR有最小值950 m2; 9

(8分)

(10分)

当t= 2时,S矩形PQCR有最大值(14 050-9 000 2)m2. (12分)

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[一点通]

解决此类问题的关键是构建函数模型,

首先应选准角作为变量,其次要确定角的范围,利用三

角恒等变换求解.

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7.如图,某一公司位于两条平行的大道之间 A处,且到两道的距离分别为h1、h2,今 公司想在两道上分别设置一个产品销售 点B和C,使AB⊥AC,试问如何设置使 △ ABC的面积最小?此时最小值为多少?

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h2 解:设∠ABD=α,则∠CAE=α,AB= , sin α h1 AC= cos α, 1 h1h2 π ∴S△ ABC= AB· AC= .∵0<α< , 2 sin 2α 2 π π ∴当2α= ,即α= 时,S△ ABC的最小值为h1h2. 2 4

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三角恒等变换需要注意的思想方法: (1)常值代换. 用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些 常数,使之被代换后能运用相关公式,让化简得以顺利进行.我 们把这种代换称之为常值代换.

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(2)切化弦. 当待化简式中既含有正弦、余弦,又含有正切时,利用同角 sin α 的基本三角函数关系式tan α= 将正切化为正弦和余弦,这就 cos α 是“切化弦”的思想方法,切化弦的好处在于减少了三角函数名 称,转化为正弦、余弦的恒等变换.

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1 (3)降幂与升幂.由 C2α 变形后得到 sin α=2(1-cos 2α),cos2α
2

1 =2(1+cos 2α),运用它就是降幂. 反过来,直接运用倍角公式或变形公式 1+cos 2α=2cos2α,1 -cos 2α=2sin2α,就是升幂.

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(4)角的变换.角的变换沟通了已知角与未知角之间的联 系,使公式顺利运用,解题过程被简化.常见的角的变换有: 1 α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=2[(α+β)+(α-β)], 1 α=2[(α+β)-(β-α)],α+β=(2α+β)-α 等.

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