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2012届江苏苏教版高中新课标总复习(第1轮)文数:第9章第50讲 椭圆


考纲泛读

高考展望

圆锥曲线是解析几何的 ①理解中心在坐标 核心内容,是中学数学各主 原点的椭圆的定义、 干知识的交汇点、各种数学 几何图形、标准方 思想方法的综合点,也是初 程及简单几何性 等数学与高等数学的衔接点, 质. 在实际生活中有着广泛的应 用.

考纲泛读
②了解中心在坐标 原点的双曲线及顶 点在坐标原点的抛 物线的定义、几何 图形和标准方程, 知道它们的简单几 何性质. ③理解顶点在坐标 原点的抛物线的定 义、几何图形、标 准方程及简单几何 性质.

高考展望
由于与其他部分知识联系较紧 密,在历年高考数学科中,圆 锥曲线与方程都占有重要的地 位.其命题一般紧扣课本,突 出重点,全面考查.填空题考 查基本概念、基本方法,解答 题着重考查圆锥曲线中的重要 知识点,需要考生的知识形成 网络,会通过知识的重组解决 问题.随着新课标对圆锥曲线 要求的降低,高考对本部分内 容的考查也有所降低.

椭圆的标准方程
【例1】 已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴, 且经过两点P ( 6,,P2 (- 3,- 2),求该椭 1) 1 圆的方程.

【解析】设所求的椭圆方程为mx 2+ny 2=1 (m ? 0,n ? 0). 因为椭圆经过两点P ( 6,,P2 (- 3, 2), 1) ? 1 1 ? ?m ? 9 ?6m ? n ? 1 ? 所以 ? , 解得 ? , ?3m ? 2n ? 1 ?n ? 1 ? 3 ? x2 y 2 故所求的椭圆标准方程为 + =1. 9 3

已知两点,椭圆标准方程的形式不 确定,可以根据焦点位置设出椭圆标准 方程进行分类讨论,用待定系数法求出a, b的值,但若设为mx2+ny2=1,则包含了 焦点在x轴上和焦点在y轴上的两种情况, 是一个好的选择,避免讨论,简化解题 过程.

【变式练习1】 求中心在原点,并与椭圆9x2 +4y2 =36 有相同的焦点,且经过点Q(2,-3)的椭 圆的标准方程.

【解析】由题设知,所求椭圆的焦点在y轴上, 且焦点坐标为(0, 5). ? y 2 x2 故设所求椭圆的方程为 2 ? 2 =1? a ? b ? 0 ?, a b ?a 2 ? b 2 ? 5 ?a 2 ? 15 ? ? 则? 9 , 解得 ? 2 4 ?b ? 10 ? ? 2 ? 2 =1 b ?a y 2 x2 故所求椭圆的方程为 ? =1 15 10

椭圆的几何性质
【例2】 x2 y 2 已知A ? 4,0 ?,B ? 2, 2 ? 是椭圆 ? =1内的两个点, 25 9 M 是椭圆上的动点.求:

?1? MA + MB 的最大值和最小值;
5 ? 2 ? MB ? MA 的最小值. 4

x2 y2 【解析】1? 如图,由 ? =1, ? 25 9 知a=5,b=3,所以c=4. 所以点A ? 4,0 ? 为椭圆的右焦点, 左焦点为F (-4,0). 又因为 MA + MF =2a=10, 所以 MA + MB =10- MF + MB , 因为 | MB - MF |? BF = (?4 ? 2) 2 ? (0 ? 2) 2=2 10, 所以-2 10 ? MB - MF ? 2 10, 故10-2 10 ? MA - MB ? 10 ? 2 10, 即 MA + MB 的最大值为10+2 10, 最小值为10-2 10

25 ? 2 ?由题意椭圆的右准线为x= , 4 设M 到右准线的距离为 MN , | MA | 4 由椭圆的第二定义知 =e= , | MN | 5 5 5 所以 MA = MN ,所以 MB + MA = MB + MN . 4 4 由图易知当B、M 、N 共线且M 在点B、N 之间时, 25 17 MB + MN 最小为 BN = -2= , 4 4 5 此时M 坐标为( 5,. 2) 3

当圆锥曲线上的点与两焦点的距离建立联系 时,常考虑第一定义;当圆锥曲线上的点与焦点和 相应准线的距离建立联系时,常考虑第二定义,并 注意利用平面几何、三角知识来解题.问题(1)是用 椭圆第一定义中的数量关系进行转换,使问题化归 为几何中求最大(小)值的基本模式,主要是利用三 角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 等结论;问题(2)利用第二定义实现了数据的转化, 利用了三点共线时,距离和最小.

【变式练习2】 x2 y 2 已知F1、F2是椭圆 + =1的两个焦点, 9 4 P( x,y )为椭圆上一点.

?1? 求 PF1 ? PF2 的最大值; ? 2 ? 求2x+3y的最大值和最小值.

【解析】1?因为a=3,故由椭圆的定义知 PF1 + PF2 =6, ? | PF1 | ? | PF2 | 2 所以 PF1 ? PF2 ? ( ) =9, 2 当且仅当 PF1 = PF2 =3时等号成立. 所以 PF1 ? PF2 的最大值为9. ? x ? 3cos? , ? 2 ? 易知椭圆的参数方程为 ? ? y ? 2sin ? 则2x+3y=6cos?+6sin?=6 2sin(?+ ). 4 当sin(?+ )=-1时, x+3y) min=-6 2; (2 4 当sin(?+ )=1时, x+3y ) max=6 2 (2 4

?

? ?

说明:此题还有其他解法,上面方法 较简捷.利用椭圆的参数方程,直接 将目标函数转化为三角函数,根据正 弦函数的最值求解

椭圆的综合应用
【例3】 x y 如图,设椭圆E: 2 ? 2 ? 1 a b (a>b>0)的焦点为F1与F2, 且P ? E,?F1PF2=2? . 求证:PF1F2的面积S=b 2 tan? . ?
2 2

1 【证明】设 PF1 =r1, 2 =r2,则S= r1r2sin2? . PF 2 又 F1F2 =2c, 由余弦定理有 ? 2c ? =r12+r12-2r1r2cos2?
2

=(r1+r2 ) -2r1r2-2r1r2cos2?=? 2a ? -2r1r2 (1+cos2? ),
2 2

于是2r1r2 (1+cos2? )=4a 2-4c 2=4b 2 2b 2 所以r1r2= 1 ? cos 2? 1 2b 2 这样即有S= ? ? ? sin2 2 1 ? cos 2? 2 2 sin? cos? =b =b 2 tan? 2cos 2?

用定义去解决圆锥曲线问题比较方 便.如本例,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则S= 1/2r1r2sin2θ.若能消去r1r2 ,再借助余弦定理 即可解决问题.

【变式练习3】 x2 y 2 已知点A、B分别是椭圆 ? =1长轴的左、右 36 20 端点,点F 是椭圆的右焦点,点P是椭圆上的点, 位于x轴的上方,且PA ? PF .

?1? 求点P的坐标; ? 2 ? 设M 为椭圆长轴AB上的一点,M 到直线AP的
距离等于 MB ,求椭圆上的点到点M 的距离d的 最小值.

【解析】1?由已知可得点A(-6,0),F ? 4,0 ?. ? ??? ? 设点P的坐标为( x,y ),则 AP=( x+6,y ), ??? ? FP=( x-4,y ). ? x2 y 2 ? ? =1 由已知得 ? 36 20 , ?( x ? 6)( x ? 4) ? y 2 ? 0 ? 3 则2x +9x-18=0,解得x= 或x=-6. 2 3 5 由于y>0,故x= ,于是y= 3, 2 2 3 5 所以点P的坐标是( , 3) 2 2
2

? 2 ? 直线AP的方程为x- 3 y+6=0. 设点M 的坐标为? m,0 ?,
|m?6| 则点M 到直线AP的距离是 2 |m?6| 由于 = | m-6 | ,又-6 ? m ? 6,故解得m=2. 2 故椭圆上的点( x,y )到点M 的距离d 满足 5 2 4 9 2 d =( x-2) +y =x -4x+4+20- x = ( x- ) +15. 9 9 2 9 因为-6 ? x ? 6,所以当x= 时,d 取得最小值 15 2
2 2 2 2

x2 y 2 1.若方程 2 ? 2 = 表示焦点在y轴上的椭圆, 1 a a (-1,0) 则a的取值范围是__________________
x2 y2 【解析】方程化为标准方程得 2 ? 2 =1 a ?a 依题意得-a ? a 2 ? 0,解得-1 ? a ? 0.

2.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离 3 心率为 ,且G上一点到G的两个焦点的距离之和 2 x2 y2 ? =1 为12,则椭圆G的方程为 _________________ 36 9

3 【解析】题意e= ,a=12,得a=6, 2 2 则c=3 3,b= a 2 ? c 2=3, x2 y 2 则所求椭圆方程为 ? =1 36 9

x2 3.已知椭圆C: ? y 2 =1的两焦点为F1,F2,点P ( x0, 2 x0 2 y0 )满足 ? y0 2 <1,则 PF1 + PF2 的取值范围为 2 x0 x [2,2 2) ____________,直线 +y0 y=1与椭圆C的公共 2 0 点个数为 _________  .

【解析】依题意知,点P在椭圆内部.画出图形, 由数形结合可得,当P在原点处时( PF1 + PF2 ) min =2,当P在椭圆上时,取到( PF1 + PF2 ) max=2 2, x2 故范围为[2, 2 2).因为P( x0,y0 )在椭圆 +y 2=1 2 x·0 x 的内部,则直线 +y·0=1上的点( x,y )均在椭 y 2 圆外,故此直线与椭圆不可能有交点,故交点数为0.

x2 y 2 4.已知椭圆C1与椭圆C2: ? =1有相同的焦 9 5 点,椭圆C1过点(- 6,,求椭圆的标准方程. 1)

x2 y 2 【解析】在椭圆C2: ? =1中,a 2=9,b 2=5, 9 5 所以c= a 2 ? c 2=2 又因为已知椭圆C1与椭圆C2有相同的焦点, 所以在椭圆C1中,c1=2,a12 ? b12+4. x2 y2 设椭圆C1:2 ? 2 =1,又椭圆C1过点(- 6,, 1) b1 ? 4 b1 (? 6) 2 12 所以 2 ? 2 =1,解得b12=-1(舍去)或b12=4, b1 ? 4 b1 则a12 ? b12 ? 4 ? 8 x2 y 2 所以椭圆C1的标准方程为C1: ? =1 8 4

x2 y 2 5.设椭圆 2 ? 2 =1? a ? b ? 0 ?的左、 a b 右两个焦点分别为F1、F2,短轴的 上端点为B,短轴上的两个三等分 点为P、Q,且四边形F1PF2Q为正方形. (1)求椭圆的离心率;

? 2 ? 若过点B作此正方形的外接圆的切线在x轴上的一
3 2 个截距为- ,求此椭圆的方程. 4

b 【解析】1?由题意知P(0, ). ? 3 设F1 (-c,0).因为四边形F1PF2Q为正方形, b 所以c= ,即b=3c, 3 c2 1 所以b 2=9c 2,即a 2=10c 2,所以 2 = , a 10 10 所以离心率e= 10

? 2 ?因为B ? 0,3c ?,
故由几何关系可求得一条切线的斜率为2 2, 所以切线方程为y=2 2 x+3c. 3 2 因为切线在x轴上的截距为- ,所以c=1. 4 x2 y 2 故所求椭圆的方程为 ? =1. 10 9

1.椭圆的两个定义的灵活运用:椭圆 的两个定义都是用椭圆上的点到焦点的距离 来刻画的.第二定义将到焦点的距离与到准 线的距离(平行于坐标轴的线)建立了等量关 系.由此可对一些距离进行有效转化.因此, 在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时, 应先想到利用定义进行求解,会有事半功倍 之效.

2.椭圆的标准方程有两种形式,在解 题时要防止遗漏,要深刻理解椭圆中的几何 量a,b,c,e等之间的关系(如a 2=b 2+c 2,a> c b>0,e= )及每一个量的本质含义,并能熟 a 练地应用于解题.

3.求椭圆的标准方程,常采用“先 定位,后定量”的方法(待定系数法).如 若不能确定焦点的位置,则两种情况都要 考虑,这一点一定要注意,不要遗漏,此 时设所求的椭圆方程为一般形式:Ax2 + By2 =1(A>0,B>0且A≠B);若 A<B,则焦 点在x轴上;若A>B,则焦点在y轴上.

1. (2010· 州一模卷) 扬 如图,已知F1、F2是椭 x2 y 2 圆C: 2 ? 2 =1? a ? b ? 0 ?的左、右焦点,点 a b P在椭圆C上,线段PF2与圆x 2+y 2=b 2相切于 点Q,且点Q为线段PF2的中点,则椭圆C的 离心率为 ________ .

5 答案: 3

选题感悟:求椭圆的离心率近几年一直 是圆锥曲线考题的热点,以曲线间的图 形特征为条件,寻求基本量a,c间的齐 次关系式,通过解方程或不等式求离心 率的值或范围.

2. (2010·南通一模卷) 已知椭圆的中心在坐 标原点,焦点在x轴上,以其两个焦点和短 轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积 为4的正方形,设P为该椭圆上的动点,C、 D的坐标分别是(- 2,、 2,,则 PC ? PD 0) ( 0) 的最大值为 ______ .

【解析】由题意知,椭圆的焦点坐标为 (- 2,、 2,,即C、D两点是椭圆的 0) ( 0) 两焦点,且a=2,所以 PC + PD =2a | PC | ? | PD | 2 =4,从而 PC ? PD ? ( )= 2 22=4,当且仅当 PC = PD 时,取“=”.

答案:4 选题感悟:本题主要考查了椭圆的基本 量间的关系及基本不等式的应用.解题 的突破口是利用条件得出C、D为椭圆 的焦点,进而运用基本不等式求最值, 体现了在知识的交汇处命题的理念.

x2 y 2 3. (2010·南京一模卷) 已知椭圆C: 2 ? 2 =1 a b 1 ? a ? b ? 0 ?的离心率为 ,F1、F2分别为椭圆 2 C的左、右焦点.若椭圆C的焦距为2.

?1? 求椭圆C的方程; ? 2 ? 设M 为椭圆上任意一点,以M 为圆心,
MF1为半径作圆M ,当圆M 与椭圆的右准线 l有公共点时,求? MF1F2面积的最大值.

c 1 【解析】1?因为2c=2,且 = , ? a 2 所以c=1,a=2, x2 y 2 所以b 2=3.所以椭圆C的方程为 ? =1 4 3 x0 2 y0 2 ? 2 ? 设点M的坐标为( x0,y0 ),则 ? =1 4 3 a2 因为F1 (-1, 0), =4,所以直线l的方程为x=4. c 由于圆M 与直线l有公共点,

所以点M 到直线l的距离4-x0小于或等于圆的半径R. 因为R = MF1 =( x0+1) 2+y0 2 ,
2 2

所以(4-x0 ) 2 ? ( x0+1) 2+y0 2 ,即y0 2+10 x0-15 ? 0. x0 2 3x0 2 又因为y0 2=3(1- ),所以3- +10 x0-15 ? 0, 4 4 4 解得 ? x0 ? 2. 3 4 15 当x0= 时, 0 = y , 3 3 1 15 15 所以( S ? MF1F2 ) max= ? 2 ? = 2 3 3

选题感悟:本题是在椭圆和圆的交汇 处命题,重点考查了椭圆的基本性质 及直线与圆的位置关系的应用,体现 了江苏新高考对解析几何“独树一帜” 的高考命题要求.



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