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江苏省淮安市范集中学高二数学:《函数的单调性》教学设计

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本节课采用探究式课堂教学模式,以新课程理念、建构主义和思维导图为指导, 在教学过程中,通过教师的启发引导,以学生独立自主和合作交流为前提,以问 题为导向设计教学情境,以函数的单调性为基本探究内容,为学生提供充分自由 表达、质疑、探究、讨论问题的机会,让学生通过个人、小组、集体等多种解难 释疑的尝试活动,在知识的形成、发展过程中展开思维,逐步培养学生发现问题、 探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。通过教师的示范性表达,强化 学生严格的科学精神,完成从具体到抽象,从特殊到一般知能建构。
四、教学目标 1 知识与技能: (1)使学生理解函数单调性的概念,能判断并证明一些简单函数在给定区间 上的单调性。 (2)通过函数单调性的教学,逐步培养学生观察、分析、概括与合作交流的 能力; 2 过程与方法: (1)通过本节课的学习,通过“数与形”之间的转换,渗透数形结合的数学 思想。 (2)通过探究活动及探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良 好思维习惯,让学生经历从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过 程. 3 情感,态度与价值观:在平等的教学氛围中,通过学生之间、师生之间的交 流、合作与评价,拉近学生之间、师生之间的情感距离,培养学生对数学的兴趣。。 五、教学重点与难点 教学重点:函数单调性的概念及判断 教学难点:利用定义证明或判断函数的单调性 六、教学过程
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(一)创设情境,引入课题(4 分钟) 幻灯片给出:有人对人的学习能力和年龄的关系进行研究,得到下面的学习 能力关系图

观察图像回答问题

(1)人的学习能力在多少岁达到最大值;

(2)在哪一段时间内学习能力呈上升趋势?而在哪一段学习能力呈下降趋

势?

(3)你还能看出什么信息?

发散问题:还能举出生活中其他的数据变化情况吗?

(二)归纳探索,形成概念

1.分组作图,直观感知

问题 1:分组作出函数 y ? x ?1, y ? ?x ? 1, y ? (x ?1)2 , y ? 1 的图象,并且观察 x

自变量变化时,函数值有什么变化规律?(3 分钟)

8

8

6

6

4
2 y = x-1

4
2y = -x+1

10

5

2

5

10

10

5 2

5

10

4

4

6

6

8

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8

6

4

2

h(x) = (x 1)2

10

8

6 4 2

1 q(x) = x

10

5

2

4

6

5

10

15 10 5 2

5 10 15 20

4

6

8

10

引导学生讨论并进行分类描述 (增函数、减函数).初步明确函数的单调性 是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质.
问题 2:各小组根据本组的讨论理解派代表谈什么是增函数、减函数?(4 分 钟)

教师总结:如果函数 f (x) 在某个区间上随自变量 x 的增大,y 也越来越大,

我们说函数 f (x) 在该区间上为增函数;如果函数 f (x) 在某个区间上随自变量 x 的

增大,y 越来越小,我们说函数 f (x) 在该区间上为减函数.
增函数:荣辱与共 减函数:此消彼长 2.深入探究,理性升华 问题探究 1:画出函数 y ? x ? 1 (x ? 0) 的图象,并说出这个函数分别在哪个区间
x 为增函数和减函数?(分组作图及讨论)(4 分钟)
教师运用几何画板给出图像:
6 5 y = x+1/x 4 3 2 1

642 1

246

困难 1.作图的准确性;

困难 2.难以确定分界点的确切位置.

讨论问题:用图像法和解析法表示函数各有什么优点和缺点?

学生感悟:用函数图象判断函数单调性虽然比较直观,但是图像难作以及

不够精确,需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.

问题探究 2:试一试!从解析式的角度说明 f (x) ? x2 在 ?0,???为增函数?(3

分钟)

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分组探究及展示,教师作赏识积极性评价。 对于学生错误或不准确的回答,充分挖掘学生的闪光点,给予积极的引导和 评价,引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在
于自变量不可能被穷举,从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量 x1, x2 .
3.抽象思维,形成概念 问题探究:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?(8 分钟) 师生共同探究,得出增函数严格的定义,然后学生类比得出减函数的定义. (1)板书定义(幻灯片给出)
一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 A,区间 I ? A

如果对于区间 I 内的任意两个值 x1, x2 ,当 x1 ? x2 时,都有 f (x1 ) ? f (x2 ) ,那

么就说 y=f(x)在区间 I 上是增函数(increasing function)。 I 称为 y ? f (x) 的 单调增区间。
如果对于区间 I 内的任意两个值 x1, x2 ,当 x1 ? x2 时,都有 f (x1 ) ? f (x2 ) ,那

么就说在这个区间 I 上是减函数。 I 称为 y ? f (x) 的单调减区间。

(2)巩固概念

深化理解:

① 已知 f (x) ? 1 可以通过 f (?1) ? f (1) 断定 f (x) ? 1 是增函数吗?为什

x

x

么?.

② 分组讨论:函数 f (x) 满足 f (?1) ? f (1) .则 f (x) 在 ??1,1?上为增函数。(给

出反例,训练学生的逆向思维及发散思维)

③ 函数 f (x) 在区间 ?1,2?和(2,3)上均为增函数,则函数 f (x) 在区间(1,3)上

为增函数.

④ 为函数 f (x) ? 1 在区间 ?? ?,0?和 ?0,???上都是减函数,所以 f (x) ? 1 在

x

x

?? ?,0?? ?0,???上是减函数.

通过判断题,强调三点: ①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上 单调性. ②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是 定义域内某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数). ③函数在定义域内的两个区间 A,B 上都是增(或减)函数,一般不能认为函

数在 A ? B 上是增(或减)函数.

思考:如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?

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(三)规范证法,延展创新
例 1.证明函数 f (x) ? x ? 1 在 ?1,???上是增函数.(10 分钟)
x 1.分析解决问题
学生分组探究讨论、交流.教师给出规范证明

证明:任取 x1, x2 ? ?1,???且 x1 ? x2 ,

…………………………设元

f

(x1 )

?

f

(x2 )

?

? ??? x1

?

1 x1

????

? ? ??? x2

?

1 x2

????

…………………………作差

?

?x1

?

x2 ? ? ???
?

1 x1

?

1 x2

????

………………………变形

?

( x1

?

x2

)

x1x2 ? 1 x1 x2

?1 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0, x1x2 ? 1

? f (x1 ) ? f (x2 ) ? 0 即 f (x1 ) ? f (x2 ) ………………………… 定号
∴函数 f (x) ? x ? 1 在 ?1,???上是增函数.……………………定论
x 问题是探究:怎样变形有利于定号? 2.归纳解题步骤 引导学生归纳证明函数单调性的步骤:设元、作差、变形、定号、定论.
变式探究:试证明函数 f (x) ? x ? 1 ? x 在 ?0,???上是减函数.

深入探究:函数 f (x) 在区间 (a,b) 上是增函数是否等价于对任意的

x1, x2

? ?a,b? ,且 x1

?

x2 有

f

(x2 ) ? x2 ?

f (x1 ) x1

?

0?

对减函数你能写出对应的等价性命题吗?试一试! 引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明函

数 f (x) ? ? x 在 ?0,???上是减函数.

( 四)思维导图,形成系统(4 分钟) 学生交流在本节课学习中的体会、收获,交流学习过程中的体验和感受,
师生合作共同完成小结. 引导学生画出本节课知识体系的思维导图,建构自己的知能结构,形成知识
系统。
( 五)课外作业,反馈信息 课本 P45 习题 1、题(A 组)第 1-3 题。

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