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2014高三数学一轮复习:2.4函数的奇偶与周期性


[备考方向要明了]
考 什 么 1.结合具体函数,了解 函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理 解和研究函数的奇偶 怎 么 考 1.高考对函数奇偶性的考查有两个 方面:一是判断函数奇偶性,二 是函数奇偶性概念的应用,一般 为求参数或求值,如2010年高考

性.

T5.

3.了解函数周期性、最小 2.高考对周期性的考查主要是针对 正周期的含义. 三角函数,一般函数不做要求.

[归纳

知识整合] 图象特点

1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 一般地,如果对于函数f(x)的定义域 偶函数 内任意一个x,都有 f(-x)=f(x) 那么函数f(x)就叫做偶函数 ,


对称

y轴 于

一般地,如果对于函数f(x)的定义域

f(-x)=- 奇函数 内任意一个x,都有___________ 对称 f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数

关 原点 于

[探究] 1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点?它 是函数具有奇偶性的什么条件? 提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件. 2.若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,是否有f(0)=0? 如果是偶函数呢? 提示:如果f(x)是奇函数时,f(0)=-f(0),则f(0)=0; 如果f(x)是偶函数时,f(0)不一定为0,如f(x)=x2+1.

3.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?若有,有
多少个? 提示:存在,如f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意

一个数集,这样的函数有无穷多个.

2.周期性
(1)周期函数:对于函数f(x),如果存在一个非零的常 数T,使得定义域内的每一个x值,都满足 f(x+T)=f(x) ,

那么函数f(x)就叫做周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存 在一个 最小 的正数,那么这个最小正数 就叫做f(x)的最 小正周期. [探究] 4.若T为y=f(x)的一个周期,那么nT(n∈Z)是 函数f(x)的周期吗? 提示:不一定.由周期函数的定义知,函数的周期是 非零常数,当n∈Z且n≠0时,nT是f(x)的一个周期.

[自测

牛刀小试]

1.(教材习题改编)下列函数是奇函数的有________个 ①f(x)=2x4+3x2; x2+1 ③f(x)= x ; ②f(x)=x3-2x; ④f(x)=x3+1.

解析:首先确定这四个函数的定义域都关于原点对 称,然后由奇函数的定义逐个判断可知,②③为奇 函数. 答案:2

2. (2012· 南京调研)已知函数 f(x)是 R 上的奇函数, 且当 x>0 时,f(x)= x,则 f(-4)的值是________.

解析:因为 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(-4)=-f(4) =- 4=-2.

答案:-2

3.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1 -x),则
? 5? f?-2?=________. ? ?

解析:∵f(x)是周期为 2 的奇函数,
? 5? ?5? ?5 ? ∴f?-2?=-f?2?=-f?2-2? ? ? ? ? ? ? ?1? 1 ? 1? 1 ? ?=-2× ×?1- ?=- . =-f 2 2 ? 2? 2 ? ?

1 答案:- 2

4.(2012· 重庆高考)若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实 数a=________.
解析:f(x)=x2+(a-4)x-4a 为二次函数,其图象的对 a-4 称轴为 x=- ,因为偶函数的图象关于 y 轴对称, 2 a-4 所以- =0,解得 a=4. 2 答案:4

5.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞) 时, f(x)=lg x,则满足f(x)>0的x的取值范围是 _____. 解析:∵当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x, ∴当x∈(0,1)时,f(x)<0, 当x∈(1,+∞)时,f(x)>0. 又∵函数f(x)为奇函数, ∴当x∈(-1,0)时,f(x)>0;当x∈(-∞,-1)时,

f(x)<0.
∴满足f(x)>0的x的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞). 答案:(-1,0)∪(1,+∞)

判断函数的奇偶性
[例 1] 判断下列函数的奇偶性 3-x2+ x2-3;

(1)f(x)=

4-x2 (2)f(x)= ; |x+3|-3 (3)f(x)=(x+1) 1-x . 1+x

[自主解答]

?3-x2≥0, ? (1)由? 2 ?x -3≥0, ?

得 x=- 3或 x= 3. ∴函数 f(x)的定义域为{- 3, 3}. 又∵对任意的 x∈{- 3, 3}, -x∈{- 3, 3}, 且 f(-x)=-f(x)=f(x)=0. ∴f(x)既是奇函数,又是偶函数.

?4-x2≥0, ? (2)∵? ?|x+3|≠3, ?

∴-2≤x≤2 且 x≠0. ∴函数 f(x)的定义域关于原点对称. 又∵x+3>0, 4-x2 4-x2 ∴f(x)= = x . x+3-3 4-?-x?2 又 f(-x)= , -x ∴f(-x)=-f(x).∴f(x)为奇函数.

?1-x ? ≥0, 1+x (3)由? ?1+x≠0, ?

得-1<x≤1.

∵f(x)的定义域(-1,1]不关于原点对称. ∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.

若将本例(1)改为“f(x)= 断其奇偶性.
解:∵函数 f(x)= 不关于坐标原点对称,

3-2x+ 2x-3”,试判
?3? ? ? 2x-3的定义域为?2?, ? ? ? ?

3-2x+

∴函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.

判断函数奇偶性的方法 (1)首先确定函数的定义域是否关于原点对称,若不关于 原点对称,则既不是奇函数也不是偶函数.

(2)若定义域关于原点对称, 则可用下述方法进行判断: ①定义判断:f(-x)=f(x)?f(x)为偶函数, f(-x)=-f(x)?f(x)为奇函数.

②等价形式判断:f(-x)-f(x)=0?f(x)为偶函数, f(-x)+f(x)=0?f(x)为奇函数. f?-x? f?-x? 或等价于 =1, f(x)为偶函数; 则 =-1, f(x) 则 f?x? f?x? 为奇函数. (3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行. (4)对于抽象函数奇偶性的判断,应充分利用定义,巧妙 赋值,通过合理、灵活地变形配凑来判定.

1.判断下列函数的奇偶性
?x2+x?x>0?, 1-x lg?1-x2? ? (1)f(x)=lg ;(2)f(x)=? 2 (3)f(x)= 2 . 1+x |x -2|-2 ?x -x?x<0?; ? 1-x 解:(1)由 >0?-1<x<1, 1+x

定义域关于原点对称.
?1-x? 1+x ?-1 又 f(-x)=lg =lg? ?1+x? 1-x ? ?

1-x =-lg =-f(x), 1+x 故原函数是奇函数.

(2)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, 又当x>0时,f(x)=x2+x,则当x<0时, -x>0,故f(-x)=x2-x=f(x); 当x<0时,f(x)=x2-x,则当x>0时,-x<0,故f(-x) =x2+x=f(x),故原函数是偶函数.

?1-x2>0, ? (3)由? 2 ?|x -2|-2≠0, ?

得定义域为(-1,0)∪(0,1), 关于

原点对称, lg?1-x2? lg?1-x2? ∴f(x)= =- . x2 -?x2-2?-2 lg[1-?-x?2] lg?1-x2? ∵f(-x)=- =- =f(x), x2 ?-x?2 ∴f(x)为偶函数.

函数奇偶性的应用
[例 2] (1) (2012· 上海高考)已知 y=f(x)是奇函数,若

g(x)=f(x)+2 且 g(1)=1,则 g(-1)=________.

?x+1?2+sin x (2)(2012· 新课标全国卷)设函数 f(x)= 的最 2 x +1 大值为 M,最小值为 m,则 M+m=________.

[自主解答] g(1)=f(1)+2=1 则 f(1)=-1,又因为 f(-1) =-f(1)=1,所以 g(-1)=f(-1)+2=3.

(2)将函数化简,利用函数的奇偶性求解. ?x+1?2+sin x 2x+sin x f(x)= =1+ 2 , 2 x +1 x +1 2x+sin x 设 g(x)= 2 ,则 g(-x)=-g(x), x +1 因此 g(x)是奇函数,由奇函数图象的对称性知 g(x)max +g(x)min=0, 则 M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min =2+g(x)max+g(x)min=2.

[答案] (1)3

(2)2

—————

————————————

与函数奇偶性有关的问题及解决方法 (1)已知函数的奇偶性,求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值

求解.
(2)已知函数的奇偶性求解析式 将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再 利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方 程(组),从而得到f(x)的解析式.

————————————————————————

—————

————————————

(3)已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值, 常常利用待定系数法:利用f(x)±f(-x)=0得到关于待 求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程求

解.
(4)应用奇偶性画图象和判断单调性,利用奇偶性可 ———————————————————————— 画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.

2.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+

2x +b(b为常数),则f(-1)=________.
解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=20+ 2×0+b=0,解得 b=-1.所以当x≥0时,f(x)=2x+2x -1,所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3. 答案:-3

3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在 区间[0,2]上是增函数,则f(-25)、f(11)、f(80)的大小关 系为________. 解析:因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x), 所以函数是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1), f(80)=f(0),f(11)=f(3),又因为f(x)在R上是奇函数, f(0)=0,得f(80)=f(0)=0,f(-25)=f(-1)=-f(1),而 由f(x-4)=-f(x)得f(11)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)= f(1),又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(1)>f(0) =0,所以-f(1)<0,即f(-25)<f(80)<f(11).

答案:f(-25)<f(80)<f(11)

函数的周期性及其应用
[例 3] (1)(2012· 山东高考)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x

+6)=f(x).当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 012)=________.

(2)(2012· 江苏高考)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函 ?ax+1,-1≤x<0, ? 数,在区间[-1,1]上,f(x)=?bx+2 ? x+1 ,0≤x≤1, ? b∈R.若
?1? ?3? f?2?=f?2?,则 ? ? ? ?

其中 a,

a+3b 的值为________.

[自主解答]

(1)由 f(x+6)=f(x)可知,函数 f(x)的周期为

6,所以 f(-3)=f(3)=-1,f(-2)=f(4)=0,f(-1)=f(5)= -1,f(0)=f(6)=0,f(1)=1,f(2)=2,所以在一个周期内有 f(1)+f(2)+?+f(6)=1+2-1+0-1+0=1,所以 f(1)+f(2) +?+f(2 012)=f(1)+f(2)+335×1=1+2+335=338.

?3? (2)因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数, 所以 f?2?= ? ?

1 b+2 ? 1? ?1? ? 1? 2 1 f?-2?,且 f(-1)=f(1),故 f?2?=f?-2?,从而 =- a 1 2 ? ? ? ? ? ? +1 2 +1,即 3a+2b=-2.① b+2 由 f(-1)=f(1),得-a+1= ,即 b=-2a.② 2 由①②得 a=2,b=-4,从而 a+3b=-10.

[答案]

(1)338

(2)-10

函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期只需证明 f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明 函数是周期函数,且周期为 T,函数的周期性常与函数的其他 性质综合命题.

(2)根据函数的周期性, 可以由函数局部的性质得到函数的 整体性质,在解决具体问题时,要注意结论:若 T 是函数的周 期,则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期.

4.(1)(2012· 济宁模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且是以 2 为周期的周期函数.若当 x∈[0,1)时,f(x)=2x -1,则
? ? log 1 6? ? f? ?的值为________. ? 2 ?
2 2

解析: ∵-3< log 1

6<-2, ∴-1< log 1 6+2<0, 即-1< log 1

3 22

<0.∵f(x)是周期为 2 的奇函数,
? ? 3? 3? ∴f( log 1 6)=f?log 1 2?=-f?-log 1 2?= 2 2 2 ? ? ? ? ? ? log 3 ? 3? 1 ? 2 ?log2 ?=-?2 2 -1?=- . ? -f ? ? 2? 2 ?

1 答案:- 2

(2)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)=-
f(x),若f(x)在[-1,0]上是减函数,那么f(x)在[1,3]上 的单调增区间为________.

解析:由f(x)在[-1,0]上是减函数,又f(x)是R上的偶
函数,所以f(x)在[0,1]上是增函数. 由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+ 1)=f(x), 故函数f(x)是以2为周期的周期函数.

结合以上性质,模拟画出f(x)部分图象的变化趋势,如 下图.

由图象可以观察出,f(x)在[1,2]上为减函数,在[2,3]上 为增函数. 答案:[2,3](开区间也对)

? 2 个特点——奇、偶函数的定义域及关系式的特点 (1)奇、偶函数的定义域关于原点对称.函数的定义域关于 原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件. (2)f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是定义域上的等式. ? 5 个性质——函数奇偶性的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性, 则其单调 性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则 其单调性恰恰相反.

(2)若 f(x)为偶函数,则 f(-x)=f(x)=f(|x|).

(3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0,则必有 f(0)=0. f(0)=0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件. (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数, 都可表
示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”.
(5)设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的 公共定义域上:奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,奇 ×偶=奇.

? 3 种方法——函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性一般有三种方法: (1)定义法; (2)图象法; (3)性质法. ? 3 条结论——关于函数周期性常用的结论
(1)若满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x+2a)=f[(x+a)+a]=- f(x+a)=f(x),所以 2a 是函数的一个周期(a≠0); 1 (2)若满足 f(x+a)= ,则 f(x+2a)=f[(x+a)+a]= f?x? 1 =f(x),所以 2a 是函数的一个周期(a≠0); f?x+a? 1 (3)若函数满足 f(x+a)=- , 同理可得 2a 是函数的一个 f?x? 周期(a≠0).

创新交汇——与奇偶性、周期性有关的交汇问题

1.函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三 大性质,在高考中常常将它们综合在一起命制试题,其 中奇偶性多与单调性相结合,而周期性常与抽象函数相 结合,并以结合奇偶性求函数值为主.

2.根据奇偶性的定义知,函数的奇偶性主要体现为 f(-x)与f(x)的相等或相反关系,而根据周期函数的定义知,

函数的周期性主要体现为f(x+T)与f(x)的关系,它们都与
f(x)有关,因此,在一些题目中,函数的周期性常常通过 函数的奇偶性得到.函数的奇偶性体现的是一种对称关系, 而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规 律,因此,在解题时,往往需借助函数的奇偶性或周期性

来确定函数在另一区间上的单调性,即实现区间的转换,
再利用单调性来解决相关问题.

[典例]

(2012· 辽宁高考)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=

f(x),f(x)=f(2-x),且当 x∈[0,1]时,f(x)=x3.又函数 g(x)= |xcos(πx)|,则函数
? 1 3? h(x)=g(x)-f(x)在?-2,2?上的零点个__. ? ?

[解析] 由题意知函数 f(x)是偶函 数,且周期是 2.作出 g(x),f(x)的函数 图象,如图.由图可知函数 象有 6 个交点, 故
? 1 3? y=g(x),y=f(x)在?-2,2?图 ? ?

? 1 3? h(x)=g(x)-f(x)在?-2,2?上的零点有 ? ?

6

[答案]

6

[名师点评] 1.本题具有以下创新点

(1)命题方式创新:本题是以数学符号语言交代了函数 f(x)的奇偶性及周期性,考查了自然语言与符号语言转化的 能力. (2)考查内容创新:本题考查幂函数、三角函数及函数
的交汇零点, 且将数形结合思想融会其中, 较好地考查了探 究能力和逻辑推理能力. (3)解题方法创新:本题通过巧妙转化,将 x3=xcosπx
转化为我们熟悉的二次函数与周期函数间的关系,即 x2= |cos πx|而使问题得以简单解决.

2.解决本题的关键有以下几点
(1)正确识别函数 f(x)的性质;
(2)注意到 x=0 是函数 h(x)的一个零点,此处极易被 忽视;

(3)正确画出函数的图象,将零点问题转化为函数图 象的交点问题.

[变式训练] 1.(2013· 衡阳六校联考)已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶

函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,2)’
时,f(x)=log2(x+1),则f(-2 011)+f(2 012)=________. 解析:∵f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数, ∴f(-2 011)=f(2 011).

当x≥0时,f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则f(x)是以4为周
期的函数.注意到2 011=4×502+3,2 012=4×503, ∴f(2 011)=f(3)=f(1+2)=-f(1)=-log2(1+1)=-1,

f(2 012)=f(0)=log21=0.
∴f(-2 011)+f(2 012)=-1. 答案:-1

2.(2012· 朝阳模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数, 且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,

f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在[0,2]内
恰有两个不同的公共点,则实数a的值是________.

解析:∵f(x+2)=f(x),∴T=2.
又0≤x≤1时,f(x)=x2,可画出函数y=f(x)在一个周 期内的图象如图.

显然 a=0 时, y=x 与 y=x2 在[0,2]内恰有两个不同的公 共点. 另当直线 y=x+a 与 y=x2(0≤x≤1)相切时也恰有两个 1 不同公共点,由题意知 y′=(x )′=2x=1,∴x= . 2
2

?1 1? ∴A?2,4?,又 ? ?

1 A 点在 y=x+a 上,∴a=- ,综上可知 4

1 答案:0 或- 4

1 a=0 或- . 4

3.(2012· 珠海模拟)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)· f(x+2)

=13,若f(1)=2,则f(99)=________. 13 解析:∵f(x)· f(x+2)=13∴f(x+2)= , f?x?
13 ∴f(x+4)=f[(x+2)+2]= =f(x). f?x+2? ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数. 13 13 ∴f(99)=f(25×4-1)=f(-1)= = . f?1? 2 13 答案: 2

1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x), 且x∈(0,2)时,f(x)=x2+1,则f(7)的值为_______. 解析:f(7)=f(3)=f(-1)=-f(1)=-(12+1)=-2. 答案:-2

2.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)

=ex,则g(x)等于________.
解析:∵f(x)为偶函数,g(x)为奇函数, ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x). ∴f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=e x. 又∵f(x)+g(x)=ex, ex-e-x ∴g(x)= . 2


1 x -x 答案: (e -e ) 2

3.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当 0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间 [0,6]上与x轴的交点的个数为________. 解析:∵f(x)是最小正周期为2的周期函数, 且0≤x<2时, f(x)=x3-x=x(x-1)(x+1), ∴当0≤x<2时,f(x)=0有两个根,

即x1=0,x2=1.
由周期函数的性质知,当2≤x<4时,f(x)=0有两个根, 即x3=2,x4=3;

当4≤x<6时,f(x)=0有两个根, 即x5=4,x6=5, x7=6也是f(x)=0的根. 故函数f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴交点的个数为7. 答案:7

4.定义在(-1,1)上的函数 f(x).

(ⅰ)对任意

? x+y ? ? x,y∈(-1,1)都有:f(x)+f(y)=f? ?1+xy? ? ?

(ⅱ)当 x∈(-1,0)时,f(x)>0,回答下列问题.
(1)判断 f(x)在(-1,1)上的奇偶性,并说明理由;
(2)判断函数 f(x)在(0,1)上的单调性,并说明理由;
(3)若
?1? 1 ?1? ?1? ?1? f?5?= ,试求 f?2?-f?11?-f?19?的值. ? ? 2 ? ? ? ? ? ?

解:(1)令 x=y=0?f(0)=0, 令 y=-x,则 f(x)+f(-x)=0?f(-x)=-f(x)?f(x)在(-1,1) 上是奇函数. (2)设 0<x1<x2<1,



? x1-x2 ? ? ? f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f? , 1-x1x2? ? ?

x1-x2 而 x1-x2<0,0<x1x2<1? <0, 1-x1x2 x1-x2 ?1+x1??1-x1? x1-x2 又 - (- 1)= >0, 故 -1< <0. 则 1-x1x2 1-x1x2 1-x1x2
? x1-x2 ? ? ? f? >0, 1-x1x2? ? ?

即当 0<x1<x2<1 时,f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(0,1)上单调递减.
(3)由于
?1? ?1? f?2?-f?5? ? ? ? ?

?1? ? 1? =f?2?+f?-5? ? ? ? ?

? 1 1 ? ? 2-5 ? ?1? ?=f? ?. =f? ?1- 1 ? ?3? 2×5? ?

?1? ?1? ?1? 同理,f?3?-f?11?=f?4?, ? ? ? ? ? ? ?1? ?1? ?1? f?4?-f?19?=f?5?, ? ? ? ? ? ? ?1? ?1? ?1? ∴f?2?-f?11?-f?19? ? ? ? ? ? ? ?1? 1 ? ?=2× =1. =2f 5 2 ? ?


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