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2010年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷_数学(理科)含答案

2010 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷 数学(理科) 数学(理科)
小题, 在每小题给出的四个选项中。 一、选择题:本大题共 l2 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中。 选择题: 只有一项是符合题目要求的. 只有一项是符合题目要求的. 1.下列函数中,周期为 π 的是 A.y=sin

x 2

B.y=sin2x

C.y=cos

x 4

D.y=tan2x

2.已知数列{a n }为等差数列,a 1 +a 3 +a 5 =15,a 4 =7,则 S 6 的值为 A.30 B.35 C.36
?1

D.24 (x)的图象经过 A(1,O)点,则函数 y= f(x-1)的图象必过点

3.已知函数 f(x)反函数 f

A.(1,1) B.(0,1) C.(一 1,2) D.(一 l,1) 4.动点 P 到 A(0,2)点的距离比它到直线 l:y=-4 的距离小 2,则动点 P 的轨迹方程为 A.y 2 =4x B.y 2 =8x
10

C.x 2 =4y

D.x 2 =8y
10

5.设(1-2x) =a 0 + a 1 x+ a 2 x 2 +…+ a 10 x ,则 a 1 +

a2 a3 a + 2 +…+ 10 则的值为 2 2 29

A.2 B.-2 C.2043 D.2046 6.若定义在[-1,1]上的两个函数 f(x)、g(x)分别是偶函数和奇函数,且它们在[0, 1] 上的图象如图所示,则不等式

f ( x) <0 的解集为 g ( x)

A.(-

1 1 1 1 ,0)∪( ,1) B.(- , ) 3 3 3 3 1 1 1 C. (-1,- )∪( ,1) D.(- ,0) 3 3 3
7.过直线 y=x 上一点 P 引圆 x 2 +y 2 -6x+7=0 的切线,则切线长的最小值为

A.

2 2

B.

3 2 2

C.

10 2

D. 2

8.如图,长方体 ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中,AB=AA 1 =2,AD=1,E 为 CC 1 的中点,则 A 1 E 与 BD 所成角的余弦值为

A.

3 5

B.

30 10

C.

3 4

D.

7 7

9.等腰直角三角形 ABC 中,A=

π
2

,AB=AC=2,M 是 BC 的中点,P 点在 ? ABC 内部或其

边界上运动,则即 BP · AM 的取值范围是 A.[-l,0] B.[1,2] C.[-2,-1] D.[-2,0]

10.函数 f(x)=sinx+2x f ′ ( 关系正确的是 A.f(a) > f(b)

π
3

) , f ′ (x)为 f(x)的导函数,令 a=-

1 ,b=log 3 2,则下列 2

B.f(a) < f(b)

C.f(a) = f(b)

D.f(|a|) < f(b)

11.如图,棋盘式街道中,某人从 A 地出发到达 B 地.若限制行进的方向只能向右或向上,那么不经 过 E 地的概率为 A.

1 2

B.

3 7

C.

3 5

D.

2 5

12.椭圆

x2 y2 + =1(a>b>0)上一点 A 关于原点的对称点为 B,F 为其右焦点,若 AF⊥BF, a 2 b2

设∠ABF= α ,且 α ∈[

π

12 4

,

π

],则该椭圆离心率的取值范围为

A.[

2 2 6 ,1 ) B.[ , ] 2 2 3

C.[

6 ,1) 3

D.[

2 3 , ] 2 2

每小题 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分;共 20 分. 填空题: 13.复数

3+i 的虚部为 1+ i
2

14.已知集合 A={x︱︱x-a︱≤l},B={x︱ x ? 5 x ? 6 ≥ 0 },若 A∩B= φ ,则实数 a 的 取值范围是 15.奇函数 f(x)的图象按向量 a 平移得到函数 y=cos(2x 一 ∣a∣最小时,a= a a 16.三棱锥 A—BCD 内接于球 0,BC=AD= 2 3 ,AB=CD=2 且∠BAD=∠BCD=

π
3

)+1 的图象,当满足条件的

π
2

,顶点

A 在面 BCD 上的射影恰在 BC 上, 。一动点 M 从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动,经

过其它兰个顶点后回到出发点,则动点 M 经过的最短距离为 解答题: 小题, 解答应写出文宇说明, 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文宇说明,证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 l0 分) 17. 如图,已知平面四边形 ABCD 中, ? BCD 为正三角形,AB=AD=1,∠BAD= θ ,记四边 形 ABCD 的面积为 S.

(I)将 S 表示为 θ 的函数; (Ⅱ)求 S 的最大值及此时 θ 的大小.

18. ( 18. 本小题满分 12 分) 已知公比 q 为正数的等比数列{ an }的前 n 项和为 sn ,且 5s2 = 4 s4 . (I)求 q 的值; (Ⅱ)若 bn = q + S n ?1 , n ≥ 2, n ∈ N 的前 n 项和 Tn .

(

?

)且数列{ b }也为等比数列,求数列{(2n 一 1) b }
n n

19.( 19.(本小题满分 l2 分) 为提高某篮球运动员的投篮水平,教练对其平时训练的表现作以详细的数据记录:每 次投中记 l 分,投不中记一 1 分,统计平时的数据得如图所示频率分布条形图.若在 某场训练中,该运动员前 n 次投篮所得总分司为 sn ,且每次投篮是否命中相互之间没有 影响. (I)若设 ξ = S3 ,求 ξ 的分布列及数学期望; (Ⅱ)求出现 S8 = 2 且 Si ≥ 0(i = 1,2,3) 的概率。

20. 20.(本小题满分 12 分) 如图,平行六面体 ABCD— A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD= 其中 AC 与 BD 交于点 G, A1 点在面 ABCD 上的射影 0 恰好为线段 AD 的中点。 (I)求点 G 到平面 ADD1 A1 距离;

π
3

(Ⅱ)若 D1G 与平面 ADD1 A1 ,所成角的正弦值为 求二面角 D1 -OC-D 的大小.

3 , 4

21. 21.(本小题满分 12 分) 如图,已知双曲线

x2 y 2 ? = 1 (b>a>O)且 a ∈ [1,2],它的左、右焦点分别为 F1 , F2 , a 2 b2

左、右顶点分别为 A、B.过 F2 作圆 x 2 + y 2 = a 2 的切线,切点为 T,交双曲线于 P,Q 两 点. (I) (II) 求证:直线 PQ 与双曲线的一条渐近线垂直; 0 ∣OM∣-∣MT∣=1, 若 M 为 PF2 的中点, 为坐标原点, ∣PQ∣= λ ∣AB∣,求实数 λ 的取值范围.

22. 22.(本小题满分 l2 分) 已知过原点(0,0)作函数, f ( x ) = e x x 2 ? x + a 的切线恰好有三条,切点分别为

(

)

(x1, y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ) ,且 x1 ? x2 ? x3
(I) 求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求证: x1 <-3.

2009-2010 年度石家庄市第一次模拟考试数学答案

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 1-5 BCADB 6-10 ACBDA 11-12 DB 二、填空题: 本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分 13. ?1 14.

{a | 0 < a < 5}

15.

? π ? ? ? ,1? ? 12 ?

16.



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解:(Ⅰ)在 ?ABD 中,由余弦定理得 BD = 2 ? 2 cos θ ,……………………….1 分
2

又S

= S ?ABD + S ?BCD = sin θ + (2 ? 2 cos θ ) sin
π 3 3 2
, θ ∈ ( 0, π)

1 2

1 2

π ……………………………3 分 3
……………………………….5 分

所以 S = sin(θ ? ) +

(Ⅱ)∵ θ ∈ (0, π )

∴?

π π 2π <θ ? < ,……………………………….7 分 3 3 3
5π 3 时,S取得最大值,最大值为 1 + . …10 分 6 2
, 4 S 4 = 16a1 ,

所以当 θ ?

π
3

=

π
2

时,即θ =

18.解(Ⅰ)若 q = 1 , 则 5S 2 = 10a1

∵ a1 ≠ 0, ∴ 5S 2 ≠ 4 S 4 ,不合题意. ……………………………………………….2 分
若 q ≠ 1 ,由 5S 2 = 4 S 4 得 5 × ∴q =

a1 (1 ? q 2 ) a (1 ? q 4 ) 1 2 = 4× 1 ,∴ q = , 又 q > 0, 1? q 1? q 4

1 . ……………………………………………………………………………..5 分 2 1 a1[1 ? ( ) n ?1 ] 1 1 1 2 (Ⅱ) bn = + = + 2a1 ? a1 ? ( ) n ?2 ,…………………………….7 分 1 2 2 2 1? 2 1 1 由 {bn } 为等比数列知: + 2a1 = 0 ,得 a1 = ? , 2 4 1 1 n?2 1 ∴ bn = ? ( ) = n . ….........................................................................................9 分 4 2 2

则 Tn =

1 3 5 2n ? 1 + 2 + 3 +?+ , ① 2 2 2 2n 1 1 3 2n ? 3 2 n ? 1 Tn = 2 + 3 + ? + + n +1 , ② 2 2 2 2n 2 2n + 3 ①-②得 Tn = 3 ? . ………………………………………………………………..12 分 2n
19. 解: (Ⅰ)分析可知 ξ 的取值分别为 1,3. …………………………………………..2 分

1 2 2 1 2 ∴ p (ξ = 1) = C32 ( ) 2 ( ) + C32 ( )2 ( ) = , 3 3 3 3 3 1 2 1 p (ξ = 3) = ( )3 + ( )3 = , …………………………………………………………….4 分 3 3 3
∴ ξ 的分布列为

ξ
P

1

3

2 3

1 3

2 1 5 Eξ = 1× + 3 × = . 3 3 3

………………………………………………………….6 分

(Ⅱ)若 S 8 = 2 ,说明前八次投篮中,五次投中三次未投中,又 S i ≥ 0(i = 1,2,3) 所以包含两种情况. 第一种情况:第一次投中,第二次未投中,第三次投中,后五次中任意两次未投中. 此时的概率为 P = ? 1

? 2 ?? 1 ?? 2 ? 2 ? 1 ? ? 2 ? ?1? 2? 2? ? ? ? ? ? C5 ? ? ? ? = C 5 ? ? × ? ? . ………………..8 分 ? 3 ?? 3 ?? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? 3? ?3?

2

3

5

3

第二种情况:第一次和第二次都投中,后六次中任意三次未投中.此时的概率为

? 2 ?? 2 ? 3 ? 1 ? ? 2 ? ?1? 3? 2 ? P2 = ? ? ? ? C6 ? ? ? ? = C 6 ? ? × ? ? . ……………………………………..10 分 ? 3 ?? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? 3? ?3?
所以出现 S8 = 2 且 Si ≥ 0(i = 1, 2, 3) 的概率为: P = P1 + P2 = 20.解:(Ⅰ) 连结 BO ,取 DO 中点 H ,连结 GH , 因为 A1O ⊥ 平面 AC ,所以平面 AD1 ⊥ 平面 AC , 又底面为菱形, O 为 AD 中点, 所以 BO ⊥ 平面 AD1 ,

3

3

5

3

320 320 = . …….12 分 37 2187

因为 GH ∥ BO , 所以 GH ⊥ 平面 AD1 ,…………………….3 分

又 GH =

1 3 BD = , 2 2

所以点 G 到平面 ADD1 A1 的距离为 (Ⅱ)方法一:

3 . …………………………………………..5 分 2

分别以 OA, OB, OA1 所在直线为 x, y , z 轴, 建立如图所示的坐标系, 则 G (?

1 3 , , 0) , D1 (?2, 0, a ) , 所 以 2 2

3 3 D1G = ( , , ?a) , 2 2
面 AD1 的一个法向量 n = 0, 3, 0 ,

(

)

3 3 2 所以 cos n, D1G = = ,解得 a = 1 ,…………………………………7 分 2 4 3? a +3
因为面 OCD 的一个法向量为 n = (0, 0,1) ,………………………………………………8 分 设面 OCD1 的一个法向量为 p = ( x, y , z ) ,则 OD1 = (?2, 0,1) , OC = ( ?2, 3, 0) , 则有 ?

? p ? OC = 0; ? ? p ? OD1 = 0. ?

所以 ?

? ? ?2 x + 3 y = 0 , ? ?2 x + z = 0 ?

取 x = 3 , m = ( 3, 2, 2 3) , …………………………………………………………10 分 则 cos < p, m >=

2 3 2 57 = , 19 19

所以二面角 D ? OC ? D1 的大小为 arccos

2 57 . ………………………………… 12 分 19

方法 二:连结 D1 H , 由(1 )可知 ∠GD1 H 为 直线

D1G 与平面 AD1 所成角.
则 sin ∠GD1 H =

GH 3 = , D1G 4

所以 D1G = 2 ………………………….6 分 过 D1 做 D1O1 垂直 AD ,交其延长线于 O1 点,连结

O1G ,在 ?O1 DG 中, O1 D = DG = 1, ∠GDO1 =

2π ,所以 O1G = 3 , 3

那么在直角三角形 D1O1G , D1O1 =1,………………………………………….8 分 过 O1 做 O1M ⊥ CO 于点 M ,连结 D1M , 则 ∠D1MO1 为所求二面角的平面角, ………………………………………….9 分 连结 CO1 ,则 OO1 ⊥ O1C ,且 OO1 =2, O1C = 则在△ OO1C 中, O1M =

3,

2 3 ,………………………………………………..11 分 7

所以 tan ∠D1MO1 =

D1O1 21 = , O1M 6 21 ……………………………12 分 6

所以所求二面角 D1 ? OC ? D 的大小为 arctan

21.解: (Ⅰ)双曲线

x2 y2 b ? 2 = 1(b > a > 0) 的渐近线为 y = ± x , 2 a b a

设直线 PQ 的方程为 y = k ( x ? c) ,(不妨设 k < 0 ),由于与圆 x 2 + y 2 = a 2 相切,



| kc | k 2 +1

= a ,即 k 2 =

a2 a ,直线 PQ 的斜率 k = ? ,…………………….3 分 2 b b b , a

因为一三象限的渐近线为

a b ? ? = ?1 . b a
所以直线 PQ 与双曲线的一条渐近线垂直;……………………………………….5 分

? y = k ( x ? c) ? (Ⅱ) ? x 2 y 2 得 (b 2 ? a 2 k 2 ) x 2 + 2a 2 k 2 cx ? a 2 k 2 c 2 ? a 2b 2 = 0 , ? 2 ? 2 =1 b ?a
? ?2a 2 k 2 c ? x1 + x2 = 2 ? b ? a2k 2 设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) ,则 ? , 2 2 2 2 2 ? x x = ?a k c ? a b ? 1 2 b2 ? a 2k 2 ?
所以 | PQ |= 因为 | OM |=

(1 + k 2 )[( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] =

2ab2 (1 + k 2 ) 2ab 2 = 2 ,…….7 分 | b2 ? a2k 2 | b ? a 2

1 1 | PF1 | , | F2 M |= | PF2 | , 2 2 1 | F2 M | ? | OM |= (| PF2 | ? | PF1 |) = a , 2 | OM | ? | MT |= 1 ,代入上式得 | F2 M | ? | MT |= a + 1 ,

又 | F2 M | ? | MT |=| F2T |=

c2 ? a2 = b ,

所以 b = a + 1 . ……………………………………………………………………..9 分 因为 | AB |= 2a , | PQ |=

2ab 2 , b2 ? a 2

λ=

b2 (a + 1) 2 a2 = = + 1 ,………………………………………….10 分 b2 ? a 2 2 a + 1 2a + 1
t ?1 1? 1 ? , t ∈ [3, 5] , λ = ?t + ? 2 ? + 1 , 2 4? t ?

令 t = 2a + 1, 则 a =

因为 t + 在 [3,5] 为增函数,所以 λ ∈ ? , ? . ……………………………..12 分 t 3 5 22. 解(Ⅰ)

1

?4 9? ? ?

f ' ( x) = e x ( x 2 + x + a ? 1) ,
x 2 x 2

设切点为 ( x 0 , y 0 ) ,则切线方程为 y ? e 0 ( x 0 ? x 0 + a ) = e 0 ( x 0 + x 0 + a ? 1)( x ? x 0 ) , 代入(0,0)得 x0 + ax0 ? a = 0 ,
3

由题意知满足条件的切线恰有三条,则方程 x + ax ? a = 0 有三个不同的解. ………….2 分
3

令 g ( x) = x + ax ? a , g ' ( x ) = 3 x 2 + a .
3

当 a ≥ 0 时, g ' ( x ) ≥ 0, g ( x )是( ? ∞, ∞)上增函数 ,则方程 x + ax ? a = 0 有 唯 +
3

一解, ……………………..3 分 当

a < 0 时 ,由 g ' ( x) = 0得x = ± ?

a , 3

a a a a g ( x)在(?∞,? ? )和( ? ,+∞)上是增函数,在( ? ? , ? )上是减函数 3 3 3 3
? ? a? ? g ? ? ? ? > 0; ? 3? ? ? ? 3 要 使 方 程 x + ax ? a = 0 有 三 个 不 同 的 根 , 只 需 ? a? ? ? g ? ? ? < 0. ? ? 3? ? ? ?
3 ?? ? a? a? ?? ? ? ? ? a? ? ? ? a > 0; ? ? ? 3? 3? ?? ? ? ? ……………………………………………….5 分 ? 3 ? ?? a a ?? ? ? + a ? ? a < 0. ? ? 3? 3 ?? ?

解得 a < ?

27 . …………………………………………………………………………6 分 4
3

(Ⅱ)法一 : 由已知得 ( x ? x1 )( x ? x 2 )( x ? x3 ) = x + ax ? a , 则 x1 + x 2 + x3 = 0, x1 x 2 + x1 x3 + x 2 x3 = a , x1 x 2 x3 = a . 由a < ?

27 < 0知x1 < 0, x 2 > 0, x3 > 0 ………………………………………8 分 4

2 2 x3 x 2 x x 1 1 2 1 1 2 ( 2 + 2 ) x1 = ( 2 + 2 )( x 2 + x3 ) = 2 + 2 + 2 + 2( 3 + 2 ) ≥ 8 , x 2 x3 x 2 x3 x 2 x3 x 2 x3

又因为 x 2 ≠ x3 所以 (

1 1 + 2 )x12 > 8 , 2 x 2 x3

1 1 8 + 2 > 2 ,…………………………………………………………………10 分 2 x 2 x3 x1


1 1 1 + + =1, x1 x 2 x3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ) 2 = 2 + 2 + 2 + 2( + + ) x1 x 2 x3 x1 x 2 x3 x1 x 2 x1 x3 x3 x 2

所以 (

=

x + x 2 + x3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 +2 1 = 2 + 2 + 2 ∴ 2 + 2 + 2 =1 2 x1 x 2 x3 x1 x 2 x3 x1 x 2 x3 x1 x 2 x3
1 1 1 1 8 9 + 2 + 2 > 2 + 2 = 2, 2 x1 x 2 x3 x1 x1 x1

又1 =

∴ x12 > 9 即x1 < ?3 ………………………………………………………………..12 分
法二∵ g ( x) = x + ax ? a ,
3

x → ?∞,

g ( x ) → ?∞,

? a? g ?? ? ? > 0 , ? ? 3? ?

由函数连续性知 ? ∞ < x1 < ? ?

a ,………………………………………8 分 3

∵a < ?

27 ,∴ g ( ?3) = ?27 ? 4a > 0, ……………………………………10 分 4

且 ?3 < ?

?a , 3

∴ x1 < ?3 . ……………………………………………………………………...12 分


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