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高二数学双曲线人教版.doc


高二数学双曲线人教版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容: 双曲线 二. 重点、难点: 1. 定义: | PF 1 | ? | PF 2 | ? 2a ? 2c 到两点 F1 (?c, 0), F2 (c, 0) 距离之差为定值 2a 的点的轨迹。

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) 或 a2 b2 a2 b2 x2 y2 3. 性质: 2 ? 2 ? 1 a b (1)范围: x ? (??, ? a] ? [a, ? ?) , y ? R
2. 标准方程: (2)对称:x、y 轴为对称轴,原点为对称中心 (3)顶点: (?a, 0) (4)渐近线: y ? ? (5)离心率: e ? 4. 第二定义: 到 F (c, 0) 的距离与到直线 l :x ?

b x a

c ? (1, ? ?) a c a2 的距离之比为定值 ? e 的点的轨迹为双曲线, a c

x2 y2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 , a 2 ? b 2 ? c 2 )。 2 a b

【典型例题】
[例 1] 求满足条件的双曲线的标准方程。 (1)一条渐近线是: 3x ? 2 y ? 0 ,且过点 A(8, 6 3) 的双曲线方程。 解: y ? ? 代入 A

3 x 2

双曲线

x2 y2 ? ?? 4 9

?? ? 0 ? ?? ? 0

x轴 y轴

??4

x2 y2 ? ?1 其渐近线双曲线系 16 36 x2 y2 ? ? 1 有共同渐近线且焦距为 12 的双曲线。 (2)求与双曲线 5 4 x2 y2 ? ? ?4 两解 ? ?? | 5? | ? | 4? |? 36 解: 5 4 x2 y2 ? ? ?1 20 16
[例 2] P 为平面上一点,过 P 作双曲线只有一个交点的直线可作 n 条。 解: 切线 有一交点、交线

① ② ③ ④

P?B
P 在线上 P 在渐近线上(非 O 点) P 在原点

无 / /(本支) 0 2

2(平渐) 2(平渐) 1 0 2

P? A?C
y A

B

C A

C

B x

[例 3] P 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 上一点(异于顶点), ?F1 PF2 ? ? ,求 S ?F1PF2 。 a2 b2 2 2 2 解: PF 1 ? PF 2 ? 2PF 1 ? PF 2 ? 4a

PF12 ? PF22 ? 2PF1 ? PF2 cos? ? 4c 2 2 2 2 相减 2PF 1 ? PF 2 (1 ? cos? ) ? 4c ? 4a ? 4b
∴ | PF1 | ? | PF2 |?

1 ? PF1 ? PF2 sin ? ? b 2 cot 2 2 2 2 x y [例 4] 双曲线 2 ? 2 ? 1 的右顶点为 A,P 为双曲线上一点(异于顶点)过 A 作渐近线的 a b

2b 2 1 ? cos?

S ?F1PF2 ?

平行线交 OP 于 E、F。 (1)证 | OP | 2 ?| OE | ? | OF | (2)双曲线上是否存在一点 P,使 S ?AEF ? 解: A(a, 0), P( x0 , y0 )

ab 4

y0 b l AE : y ? ( x ? a) ?x a x0 b l AF : y ? ? ( x ? a) a abx0 aby0 abx0 aby0 F( , ) E( , ) bx0 ? ay0 bx0 ? ay0 bx0 ? ay0 bx0 ? ay0

lOP : y ?

| OE | ? | OF |? (1 ? k 2 ) ?

2 a 2 b 2 x0 2 ? (1 ? k 2 ) x0 ?| OP | 2 2 2 2 2 | b x0 ? a y 0 |

| EF |? 1 ? k 2 | xE ? xF |?
2 0 2 0

2 2 2 | y 0 | ? x0 ? y0

b

2 ay0 | ay0 | ab 1 2 | y0 | ? x ? y ? ? S? ? ? ? 2 2 b 4 2 b x0 ? y 0

5 b a, ? ) 2 2 1 y2 2 ? 1, [例 5] 双曲线 C:x ? A (3, 2) , B (2, 0) , P 为双曲线上一点, 求 | PA | ? | PB | 2 3
四点 (? 的最小值。 解: e ? 2

| PB | ?2 d ( P, l )
1 | AB | 2

d ( A, l ) ? | PA | ?

1 5 | PB |?| PA | ? d ( A, l ) ? d ( P, l ) ? 2 2
y

P(

21 , 2) 3

A 0 C B x

[例 6] 双曲线 C:

x2 y2 ? ? ?1 的一支上有不同的三点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , 6) , C ( x3 , y3 ) , 13 12

它们与 F(0,5)的距离成等差数列。 (1)求 y1 ? y3 。 (2)求证线段 AC 的中垂线过定点,并求此点。 解:A、B、C 到准线距离成等差数列 ∴ ( y1 ?

a2 a2 a2 ) ? ( y3 ? ) ? 2( y 2 ? ) c c c

y1 ? y3 ? 2 y2 ? 12 x ? x3 k AB ? 1 13
∴ y?6 ? ?

k中垂线 ? ?

13 x1 ? x3

x ? x3 13 13 13 y?6 ? ? x? (x ? 1 ) x1 ? x3 2 x1 ? x3 2 25 ) ∴过定点 (0, 2 [例 7] 双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 的一条准线与实轴交于 D,过 D 引直线和双曲线交于 M、N,又 过一焦点 F,引一直线垂直于 MN 和双曲线交于 P、Q,证:| FP | ? | FQ |? 2 | DM | ? | DN | 。 y
M P D N 0 F Q
解: D(?

x

a 2

, 0), F ( 2a, 0)

设 MN 倾斜角为 ? ,∴PQ 为

?
2

??

a ? ? t cos? ?x ? ? l MN ? 2 ? y ? t sin ? ?
分别代入 (?
2

? ? x ? 2 a ? t cos( ? ? ) ? ? 2 l PQ ? ? y ? t sin(? ? ? ) ? 2 ?
?
2 )] 2 ? t 2 cos 2 ? ? a 2

a 2

? t cos? ) 2 ? (t sin ? ) 2 ? a 2 ,[ 2a ? t cos(? ?

即: t cos 2? ? 2at cos ? ?

1 2 a ? 0 , t 2 cos2? ? 2 2at sin ? ? a 2 ? 0 2 a2 | DM | ? | DN |?| t1 ? t 2 |? | 2 cos2? |

a2 | FP | ? | FQ |?| t1 ? t 2 |? | cos2? | ∴ | FP | ? | FQ |? 2 | DM | ? | DN |
[例 8] 过双曲线上任一点 P 的切线与双曲线的渐近线交于 A、B,求证:P 点为 AB 中点。 解: P( x1 , y1 ) 为双曲线 过 P 的切线

x2 y2 ? ? 1 上一点 a2 b2

x1 x y1 y ? 2 ?1 a2 b

? x1 x y1 y ? 2 ?1 ? ? a2 b 消y ? 2 2 ?x ? y ? 0 ? ?a2 b2 (b 2 x12 ? a 2 y12 ) x 2 ? 2a 2b 2 x1 x ? a 4b 2 ? 0 即 a 2 b 2 x 2 ? 2a 2 b 2 x1 x ? a 4 b 2 ? 0 x 2 ? 2x1 x ? a 2 ? 0 中点横坐标为 x1 ∴中点为 P
【模拟试题】
1. 离心率为 2 是双曲线为等轴双曲线的( ) A. 充非必 B. 必非充 C. 充要 D. 非充非必 2. 下列双曲线中,既有相同的离心率,又有相同渐近线的是( )

x2 x2 y2 x2 x2 ? y2 ? 1和 ? ? ?1 ? y2 ? 1和 ? ? y2 ? 1 B. 3 3 9 3 3 2 2 2 2 x y x x y2 2 2 2 ? 1和 x ? ?1 ? y ? 1和 ? ?1 C. y ? D. 3 3 3 9 3 x2 y2 ? ? 1 ,只有一个公共点的直线有( 3. 过 P(4,4)且与双曲线 ) 16 9
A. A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 4. 过双曲线的一个焦点 F1 且垂直于实轴的弦 PQ,而 F2 为另一个焦点,若 ?PF2 Q ? 则e ?( ) ) 。 A. 2 2 B. 2 ? 1 C. 2 D. 2 ? 1 5. 双曲线的两条准线, 把连结两个焦点的线段分成 1 : 2 : 1 , 则双曲线的离心率为 ( A.

?
2



C. 2 D. 3 3 2 2 2 x y y x 6. 连接双曲线 2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? 1 的四个顶点的四边形面积为 S1,连接四个焦 a b b a S1 点的四边形面积为 S2,则 的最大值为( ) S2 1 1 A. 2 B. 4 C. D. 2 4 B.
2

2

7. 求证:等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点的距离的等比中项。 8. 过双曲线

x2 y2 ? ? 1 上任一点 P 作双曲线的两渐近线的平行线,试证它们和两条渐 a2 b2

近线所围成的平行四边形的面积为定值。

试题答案
1. C 7. 2. D 3. D 4. B 5. A 6. C

证: P( x0 , y0 )

2 2 | PO |? x0 ? y0

| PF1 | ? | PF2 |?| ex1 ? a | ? | ex1 ? a |

?| e 2 x12 ? a 2 |?| 2x12 ? a 2 |?| x12 ? y12 | ∴ | PO | 2 ?| PF 1 | ? | PF 2 |
8. 设 P( x0 , y0 ) (不妨设 P 在右支) 过 P 作直线

b b y ? y 0 ? ? ( x ? x0 ) 交 y ? x 于 Q a a

b ? y ? y 0 ? ? ( x ? x0 ) ? a b ? a ?x? ( x0 ? y 0 ) ? b 2 b a ?y ? x ? a ?

b2 a b ∴ | OQ |? 1 ? 2 | ( x0 ? y 0 ) | a 2b a b | x0 ? y 0 | d ( p, l ) ? a b2 1? 2 a 1 a b2 2 a 2 2 | 2 x0 ? y 0 |? ∴ S ?| OQ | ?d ? × b ? ab 2 2b a 2b


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