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江苏省淮安市范集中学高二数学:《线面垂直判定》教学设计

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一、教材内容解析

淮安市范集中学 顾红

直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与 此平面垂直.该定理把原来定义中要求与任意一条(无限)直线垂直转化为只要与两条(有 限)相交直线垂直就行了,使直线与平面垂直的判定简捷而又具有可操作性.
对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程展开,而对 直线与平面垂直的判定的研究则遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认 知过程展开,通过该内容的学习,进一步培养学生空间想象能力和几何直观能力,发展学 生的合情推理能力、一定的推理论证能力和运用图形语言进行交流的能力.同时体验和感 悟转化的数学思想,即“空间问题转化为平面问题”,“无限问题转化为有限问题”,“ 直 线与直线垂直和直线与平面垂直的相互转化”.
二、教学目标解析 知识与技能:理解直线与平面垂直的意义,掌握直线与平面垂直的判定定理. 过程与方法:在直观感知,操作确认的基础上学会归纳、概括结论. 情感态度与价值观:激发学生学习兴趣,培养学生勤于思考、勤于动手的学习品质. 教学重点:直观感知、操作确认,概括出直线与平面垂直的定义和判定定理. 教学难点:直线与平面垂直的判定定理. 目标解析: 1.借助对图片、实例的观察,抽象概括出直线与平面垂直的定义.
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2.通过直观感知、操作确认,归纳出直线与平面垂直的判定定理. 3.能运用直线与平面垂直的判定定理,证明与直线和平面垂直有关的简单命题:在平 面内选择两条相交直线,证明它们与平面外的直线垂直. 4.能运用直线与平面垂直定义证明两条直线垂直,即证明一条直线垂直于另一条直线 所在的平面. 三、教学问题诊断分析 学生已经学习了直线、平面平行的判定及性质,学习了两直线(共面或异面)互相垂 直的位置关系,有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会,有了一 定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力. 在直线与平面垂直的判定定理中,学生对为什么要且只要两条相交直线的理解有一定 的困难,因为定义中“任一条直线”指的是“所有直线”,这种用“有限”代替“无限” 的过程导致学生形成理解上的思维障碍.同时,由于学生的空间想象能力、推理论证能力 有待进一步加强,在直线与平面垂直判定定理的运用中,不知如何选择已知平面内的两条 相交直线证直线与平面线垂直,或选择与直线垂直的平面证明直线与直线垂直,导致证明 过程中无从着手或发生错误. 教学难点:操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及其初步运用. 四、教学工具准备 为了有效实现教学目标,条件许可准备投影仪,多媒体课件,三角板,教鞭(表直线).学 生自备学具:三角形纸片、三角板、笔(表直线)、课本(表平面). 五、教学过程设计 (一)观察归纳直线与平面垂直的定义 1 直观感知 问题 1:请同学们观察图片,说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系?你 能举出一些类似的例子吗?
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设计意图:从实际背景出发,直观感知直线和平面垂直的位置关系,从而建立初步印 象,为下一步的数学抽象做准备.
师生活动:观察图片,引导学生举出更多直线与平面垂直的例子,如教室内直立的墙 角线和地面的位置关系,直立书的书脊与桌面的位置关系等,由此引出课题.
2.观察归纳 思考 1:直线和平面垂直的意义是什么? 我们已经学过直线和平面平行的判定和性质,知道直线和平面平行的问题可转化为考 察直线和平面内直线平行的关系, 直线和平面垂直的问题同样可以转化为考察直线和平 面内直线的关系. 问题 2:(1)如图 1,在阳光下观察直立于地面旗杆 AB 及它在地面的影子 BC,旗杆 所在的直线与影子所在直线的位置关系是什么? (2)旗杆 AB 与地面上任意一条不过旗杆底部 B 的直线 B′C′的位置关系又是什么? 由此可以得到什么结论? 设计意图:引导学生用“平面化”与“降维”的思想来思考问题,通过观察思考,感 知直线与平面垂直的本质内涵. 师生活动:学生思考作答, 教师用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变 化而移动的过程,再引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆所在直线与地面内的任 意一条直线都垂直.
问题 3:如图 2,AC、AD 是用来固定旗杆 AB 的铁链,它们与地面内任意一条直线都 垂直吗?
设计意图:通过反面剖析,进一步感悟直线与平面垂直的本质. 师生活动:引导学生将三角板直立于桌面上,用一直角边作旗杆 AB,斜边作为铁链 AC,观察桌面上的直线(用笔表示)是否与 AC 垂直,由此否定上述结论. 问题 4、通过上述观察分析,你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直?
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设计意图:让学生归纳、概括出直线与平面垂直的定义. 师生活动:学生回答,教师补充完善,指出定义中的“任意一条直线”与“所有直线” 是同意词,同时给出直线与平面垂直的记法与画法. 定义:如果直线 l 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面α 互 相垂直,记作: l⊥α .直线 l 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 l 的垂面.直线与平 面垂直时,它们唯一的公共点 P 叫做垂足. 画法:画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直, 如图 3.
3.辨析讨论 辨析 1:下列命题是否正确,为什么? (1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线与这个平面垂直. (2)如果一条直线垂直一个平面,那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线. 设计意图:通过问题辨析与讨论,加深概念的理解,掌握概念的本质属性.由(1) 使学生明确定义中的“任意一条直线”是“所有直线”的意思.由(2)使学生明确,直 线与平面垂直的定义既是判定又是性质,“直线与直线垂直”和“直线与平面垂直”可以 相互转化. 师生活动:命题(1)判断中引导学生用笔表直线,用三角板两直角边表两垂直直线, 用书本表平面举出反例.教师利用三角板和教鞭进行演示,将一块大直角三角板的一条直 角边 AC 放在黑板面上,这时另一 条直角边 BC 就和黑板面的一条直线(即三角板与黑板 面的交线 AC)垂直,在此基础上在黑板面上放一根和 AC 平行的教鞭 EF 并平行移动,那 么 BC 始终和 EF 垂直,但 BC 不一定和黑板面垂直,最后教师给出反例的直观图 4.由命 题(2)给出下列常用命题:
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指出它是判断直线与直线垂直的常用方法,它将直线与直线垂直的问题转化为判定一 条直线垂直于另一条直线所在的平面.
(二)探究发现直线与平面垂直的判定定理 1.分析实例 思考 2:我们该如何检验学校广场上的旗杆是否与地面垂直? 虽然可以根据直线与平面垂直的定义判定直线与平面垂直,但由于利用定义判定直线 与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直,这种方法实际上难以实 施,因为我们无法去一一检验.因而有必要寻找一个便捷、可行的判断直线和平面垂直的 方法. 问题 5、如图,观察跨栏、简易木架等实物,你认为其竖杆能竖直立于地面的原因是 什么?
设计意图:通过图片观察思考,感知判定直线与平面垂直时只需平面内有限条直线(两 条相交直线),从中体验有限与无限之间的辩证关系.
师生活动:引导学生观察思考,师生共同分析竖杆能竖直立于地面的原因:它固定在 两相交横杆上且与两横杆垂直.
2.操作确认
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实验:如图 5,请同学们拿出准备好的一块(任意)三角形的纸片,我们一起来做一 个试验:过△ABC 的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上, (BD、DC 与桌面接触).

问题 6:(1)折痕 AD 与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面垂直? 设计意图:通过观察试验,分析折痕 AD 与桌面不垂直的原因,探究发现折痕 AD 与桌 面垂直的条件. 师生活动:在折纸试验中,学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况,引导学生进 行交流,根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因.学生再次折纸,经过讨论交 流,发现当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高,即 AD⊥BC,翻折后折痕 AD 与桌面垂直. 问题 7: 如图 6, 由折痕 AD⊥BC,翻折之后垂直关系,即 AD⊥CD,AD⊥BD 发生变化 吗?由此你能得到什么结论? 设计意图:引导学生发现折痕 AD 与桌面垂直的条件:AD 垂直桌面内两条相交直线. 师生活动:师生共同分析折痕 AD 是 BC 边上的高时的实质:AD 是 BC 边上的高时,翻 折之后垂直关系不变,即 AD⊥CD,AD⊥BD.这就是说,当 AD 垂直于桌面内的两条两条相 交直线 CD、BD 时,它就垂直于桌面.
问题 8:(1)如图 7,把 AD、BD、CD 抽象为直线 、 、 ,把桌面抽象为平面 ,

直线 与平面 垂直的条件是什么?(2)如图 8,若α 内两条相交直线 、 与 无公共点



,直线 还垂直平面α 吗?由此你能给出判定直线与平面垂直的方法吗?

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设计意图:让学生归纳出直线与平面垂直的判定定理,并能用符号语言准确表示,使 学生明白要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直 线和已知直线垂直,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的.
师生活动:学生叙述结论,不完善的地方教师引导、补充完整,并结合“两条相交直 线确定一个平面”的事实作简要说明.然后让学生用图形语言与符号语言来表示定理.指 出定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.
定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. 用符号语言表示为:
3.质疑深化 辨析 2:下列命题是否正确,为什么? 如果一条直线与一个梯形的两条边垂直,那么这条直线垂直于梯形所在的平面.
设计意图:通过辨析,强化定理中“两条相交直线”的条件. 师生活动:学生思考作答,教师再次强调“相交”条件. (三)初步应用 例 1、求证:与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直. 设计意图:初步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理与定义解决问题,明确运用 判定定理的条件. 师生活动:学生根据题意画图(如图 9),将其转化为几何命题:△ABC 中,a⊥AC,a ⊥BC,求证:a⊥AB.请两位同学板演,其余同学在练习本上完成,师生共同评析,明确 运用线面垂直判定定理时的具体步骤,防止缺少条件,特别是“相交”的条件.
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例 2、如图 10,已知 a∥b,a⊥α ,求证:b⊥α .

设计意图:进一步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理或用定义证明直线与平面

垂直,体会空间中平行关系与垂直关系的转化与联系.

师生活动:教师引导学生分析思路,可用判定定理证,也可利用定义证,提示辅助线

的添法.学生在练习本上完成,对照课本 P73 例 1,完善自己的解题步骤.让学生用文字

语言叙述:如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这

个平面.指出:命题体现了平行关系与垂直关系的联系,其结果可以作为直线和平面垂直

的又一个判定方法.

练习、如图 11,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AA1、CC1 的中点,判断下列

结论是否正确:

① AC⊥面 CDD1C1

② AC⊥面 BDD1B1

③ EF⊥面 BDD1B1

④ AC⊥BD1

设计意图:利用所学知识解决直线与平面垂直的有关问题,体会转化思想在解决问题 中的作用.其中①是定义的应用,②是判定定理的应用,③是例 2 结论的应用,④是判定 定理与定义的应用.
师生活动:学生思考讨论,请一位同学用投影仪展示并分析其思路,教师参与讨论.
(四)总结反思 (1)通过本节课的学习,你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法? (2)上述判断直线与平面垂直的方法体现了什么数学思想? (3)关于直线与平面垂直你还有什么问题? 设计意图:培养学生反思的习惯,鼓励学生对问题进行质疑和概括.
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师生活动:学生发言,互相补充,教师点评完善,归纳出判断直线与平面垂直的三种 方法:利用定义,利用判定定理,利用例 2 的结论.这些方法体现了转化的数学思想.同 时强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路.
六、目标检测设计 1、如图,点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,O 是对角线 AC 与 BD 的交点,且 PA=PC,PB=PD. 求证:PO⊥平面 ABCD.
2、课本 P74 练习 1

3、课本 P73 探究题:如图,直四棱柱 称为直棱柱)中,底面四边形满足什么条件时,

(侧棱与底面垂直的棱柱 ?

4、设计一个检验学校广场上的旗杆是否与地面垂直的方案,写出实施步骤和依据. 设计意图:通过训练,巩固本课所学知识,感悟其中蕴涵的转化数学思想,增强学生 的应用意识.其中第 1 题主要运用直线与平面垂直的判定定理,第 2、3 题是活用直线与 平面垂直的定义与判定定理,第 4 题前后呼应,为解决课中给出的问题提供各种方案,是 本课所学知识的实际应用. 附:板书设计
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