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高中数学必修4第一章(第1课时)任意角


高中数学必修 4 第一章(第 1 课时)任意角

王新敞



题:1.1.1

任意角

教学目的: 1.掌握用“旋转”定义角的概念,理解并掌握“正角” “负角” “象限角” “终边相同的 角”的含义
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2. 掌握所有

与α 角终边相同的角(包括α 角)的表示方法 3.体会运动变化观点,深刻理解推广后的角的概念; 教学重点:理解并掌握正角负角零角的定义,掌握终边相同的角的表示方法.教学难点:终 边相同的角的表示. 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 本节主要介绍推广角的概念,引入正角、负角、零角的定义,象限角的概念,终边相 同的角的表示方法. 树立运动变化的观点,理解静是相对的,动是绝对的,并由此深刻理解 推广后的角的概念. 教学方法方法可以选为讨论法, 通过实际问题, 教师抽象并通过用几何 画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观,如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋 转等等, 都能形成角的概念, 给学生以直观的印象, 形成正角、 负角、 零角的概念, 明确 “规 定”的实际意义,突出角的概念的理解与掌握. 通过具体问题,让学生从不同角度作答,理 解终边相同的角的概念,并给以表示,从特殊到一般,归纳出终边相同的角的表示方法,达 到突破难点之目的.? 教学过程: 一、复习引入: 1.复习:初中是如何定义角的? 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形
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这种概念的优点是形象、直观、容易理解,但它是从图形形状来定义角,因此角的范围 是 [00 ,3600 ] ,这种定义称为静态定义,其弊端在于“狭隘” 2.生活中很多实例会不在改范围 [00 ,3600 ] 体操运动员转体 720?,跳水运动员向内、向外转体 1080? 经过 1 小时时针、分针、秒针转了多少度? 这些例子不仅不在范围 [0 ,360 ] ,而且方向不同,有必要将角的概念推广到任意角, 想想用什么办法才能推广到任意角?(运动) 二、讲解新课: 1.角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置 OA,绕着它的端点 O 按逆时针
0 0
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B O

α

A

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高中数学必修 4 第一章(第 1 课时)任意角

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方向旋转到另一位置 OB,就形成角α .旋转开始时的射线 OA 叫做角α 的始边,旋转终止的 射线 OB 叫做角α 的终边,射线的端点 O 叫做角α 的顶点. 突出“旋转” 注意:“顶点”“始边”“终边” ⑵.“正角”与“负角”“0 角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角, 把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负 角,如图,以 OA 为始边的角α =210°,β =-150°,γ =660°,
6600

2100

-1500

特别地,当一条射线没有作任何旋转时,我们也认为这时形成了一个角,并把这个角叫 做零角.记法:角 ? 或 ?? ⑶意义 用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了 1? 角有正负之分 2? 角可以任意大 实例:体操动作:旋转 2 周(360?×2=720?) 3 周(360?×3=1080?) 3? 还有零角 一条射线,没有旋转 如:?=210? ?=?150?
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可以简记成 ?

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?=660?

角的概念推广以后,它包括任意大小的正角、负角和零角.要注意,正角和负角是表示 具有相反意义的旋转量,它的正负规定纯系习惯,就好象与正数、负数的规定一样,零角无 正负,就好象数零无正负一样. 2.“象限角” 为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点,角的始边合于 x 轴的正半轴,这样一来,角的终边落在第几象 限, 我们就说这个角是第几象限的角 (角的终边落在坐标轴上, 则此角不属于任何一个象限) 例如:30?、390?、?330?是第Ⅰ象限角,300?、?60?是第Ⅳ象限角,585?、1180?是第Ⅲ 象限角,?2000?是第Ⅱ象限角等 3.终边相同的角 ⑴观察:390?,?330?角,它们的终边都与 30?角的终边相同 ⑵探究:终边相同的角都可以表示成一个 0?到 360?的角与 k (k ? Z ) 个周角的和: 390?=30?+360? ?330?=30??360? 30?=30?+0×360?
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(k ? 1)

(k ? ?1)
(k ? 0)
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1470?=30?+4×360? ?1770?=30??5×360?

(k ? 4)

(k ? ?5)

⑶结论:所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合:

S ? ? | ? ? ? ? k ? 360? , k ? Z

?

?
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即:任何一个与角?终边相同的角,都可以表示成角?与整数个周角的和 ⑷注意以下四点: (1) k ? Z (2) ?是任意角; (3) k ? 360 与?之间是“+”号,
0

如 k ? 360 -30°,应看成 k ? 360 +(-30°);
0 0

(4)终边相同的角不一定相等,但相等的角,终边一定相同,终边相同的角有无数多个, 它们相差 360°的整数倍. 三、讲解范例: 例 1 在 0 到 360 度范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它是哪个象限的角

(1) ?120?

(2)640?

(3) ? 950?12'
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解:⑴∵-120?=-360?+240?, ∴240?的角与-140?的角终边相同,它是第三象限角. ⑵∵640?=360?+280?, ∴280?的角与 640?的角终边相同,它是第四象限角. ⑶∵-950?12’=-3 ? 360?+129?48’, ∴129?48’的角与-950?12’的角终边相同,它是第三象限角. 例 2 写出与下列各角终边相同的角的集合 S, 并把 S 中在 ? 360 ? ~ 720 ? 间的角写出来:

⑴60?

⑵ ? 21 ?

⑶ 363 ?14 ?

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解:(1) S ? ?? | ? ? 60? ? k ? 360?,k ? Z ? S 中在-360°~720 间的角是 -1×360°+60°=-280°; 0×360°+60°=60°; 1×360°+60°=420°. (2) S ? ?? | ? ? ?21? ? k ? 360?,k ? Z ? S 中在-360°~720 间的角是
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0×360°-21°=-21°; 1×360°-21°=339°; 2×360°-21°=699°. (3) S ? ?? | ? ? 363?14? ? k ? 360?,k ? Z ? S 中在-360°~720°间的角是 -2×360°+363?14’=-356?46’; -1×360°+363?14’=3?14’; 0×360°+363?14’=363?14’. 例 3 写出终边在 y 轴上的角的集合(用 0 到 360 度的角表示). 解:∵ 在 0°~360°间,终边在 y 轴的正半轴上的角为 90°,终边在 y 轴的负半轴上 的角为 270°, ∴终边在 y 正半轴、负半轴上所有角分别是: S1={?|?=k?360?+90?,k?Z};S2={?|?=k?360?+270?,k?Z} 探究:怎么将二者写成统一表达式? ∵ S1={?|?=k?360?+90?,k?Z}={?|?=2k?180?+90?,k?Z}; S2={?|?=k?360?+270?,k?Z}={?|?=2k?180?+180?+90?,k?Z} ={?|?=(2k+1)?180?+90?,k?Z}; ∴终边在 y 轴上的角的集合是: S=S1 ? S2={?|?=2k?180?+90?,k?Z} ? {?|?=(2k+1)?180?+90?,k?Z} ={?|?=180?的偶数倍+90?,k?Z} ? {?|?=180?的奇数倍+90?,k?Z} ={?|?=180?的整数倍+90?,k?Z} ={?|?=n?180?+90?,n?Z} 引申:写出所有轴上角的集合
y y y

O

x

O

x

O

x

{?|?=k?360?, k?Z}
y

{?|?=k?360?+180?,k?Z}
y

{?|?=k?180?,k?Z}
y

O

x

O

x

O

x

{?|?=k?360?+90?,k?Z} {?|?=k?360?+270?,k?Z}
y y

{?|?=k?180?+90?,k?Z}
y

O

x

O

x

O

x

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{?|?=k?90?, k?Z}

{?|?=k?90?+45?, k?Z}

{?|?=k?45?, k?Z}

(最后两个可以根据实际情况处理) 例 2.用集合的形式表示象限角 第一象限的角表示为{?|k?360?<?<k?360?+90?, (k?Z)}; 第二象限的角表示为{?|k?360?+90?<?<k?360?+180?, (k?Z)}; 第三象限的角表示为{?|k?360?+180?<?<k?360?+270?, (k?Z)}; 第四象限的角表示为{?|k?360?+270?<?<k?360?+360?, (k?Z)}; 或{?|k?360??90?<?<k?360?, (k?Z)} 例 4 写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界)
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解:.(1){α |60°+k·360°<α <255°+k·360°,k∈Z} (2){α |-120°+k·360°<α <45°+k·360°,k∈Z} 四、课堂练习: 五、小结 本节课我们学习了正角、负角和零角的概念,象限角的概念,要注意如果角的终 边在坐标轴上, 就认为这个角不属于任何象限. 本节课重点是学习终边相同的角的表示法. 严 格区分“终边相同”和“角相等”“轴线角” ; “象限角”和“区间角”“小于 90°的角” ; “第 一象限角” “0°到 90°的角”和“锐角”的不同意义.? 六、课后作业: 七、板书设计(略) 八、课后记:

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