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浙江省杭州二中2013-2014学年高二上学期期末数学文试卷 Word版含答案


2013 学年第一学期 杭州二中高二年级数学(文科)期末试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.直线 x ? 3 y ? 1 的倾斜角为( (A) ) (C)

? 3

(B)

2? 3

? 6

(D)

5? 6

2.已知实数 a, b ,则 a ? b ? 0 是 a ? 0 且 b ? 0 的( (A)充分不必要 (B)必要不充分
2 2

)条件 (D)既不充分也不必要 )

(C)充要

3.直线 x ? y ? 1 与圆 x ? y ? 2 的位置关系是(

(A)相切 (B)相交 (C)相离 (D)不能确定 4.一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是( (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5.已知实数 x, y 满足: x ? y ? 1,则 x ? y 的取值范围是(
2 2





(A) ? ? 2, 2 ?

?

?

(B) ? ?1,1?

(C) ?1, 2 ?

?

?

(D) 1, 2 ?

?

?


6.对于平面 ? 和两条不同的直线 m 、n ,下列命题是真命题的是( (A)若 m ,则 m// n ? ? ,n ? ? (C)若 m ,则 n//? ? ? ,m ? n

(B)若 m // ? ,n // ? ,则 m// n (D)若 m, n 与 ? 所成的角相等,则 m// n

7.过点 P ? 2,1? 的直线 l 与坐标轴分别交 A, B 两点,如果三角形 OAB 的面积为 5,则满足 条件的直线 l 最多有( (A) 1 (B) 2 )条 (C) 3 (D) 4

x2 1 2 2 8.已知双曲线 2 ? y ? 1 (a ? 0) 的一个焦点与抛物线 x ? y 的焦点重合,则此双曲线的 a 8
离心率为( ) (A)

3 3 2

(B) 3

(C)

2 3 3

(D)

4 3 3

9. 已知椭圆:

x2 y 2 ? ? 1(0 ? b ? 3) , 左右焦点分别为 F1, F2 , 过 F1 的直线 l 交椭圆于 A,B 9 b2 uuu r uuu r 两点,若 BF2 ? AF2 的最大值为 8 ,则 b 的值是 ( )
(B) 2 (C) 3 (D) 6

(A) 1

10.一个棱长为 6 的正四面体纸盒内放一个正方体,若正方体可以在纸盒内任意转动,则正
1

方体棱长的最大值为( (A) 1 (B) 2

) (C) 2 (D) 3

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.把答案填写在题中的横线上. 11.命题 P :直线 y ? 2 x 与直线 x ? 2 y ? 0 垂直;命题 Q :异面直线在同一个平面上的射 影可能为两条平行直线.则命题 P ? Q 为
2

命题(填真或假).

12.若圆 C 以抛物线 y ? 4 x 的焦点为圆心, 且与抛物线的准线相切,则该圆的标准方程是 __ .
A B D C D1 A1 C1 B1

13. 如图, 已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , 截去三个角 A ? BDA1 , C ? BDC1 ,

B1 ? BAC 1 1 后 形 成 的 几 何 体 的 体 积 与 原 正 方 体 的 体 积 之 比 值
为 . .

x2 y2 1 14.椭圆 ? ? 1 的离心率为 ,则实数 m 的值为 m 4 2

15.沿矩形 ABCD 的对角线 AC 折起,形成空间四边形 ABCD ,使得二面角 B ? AC ? D 为

120? ,若 AB ? 2, BC ? 1 ,则此时四面体 ABCD 的外接球的体积为

.

16. 已知空间中动平面 ? , ? 与半径为 5 的定球相交所得的截面的面积为 4? 与 9? ,其截面 圆心分别为 M , N ,则线段 MN 的长度最大值为 .

2 17. 过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点 , 则 AF ?BF 的最小值是

_

.

2

2013 学年第一学期 杭州二中高二年级数学(文科)期末答卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 题号 答案 二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.把答案填写在题中的横线上 11. 14. 12. 15 13. 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

17. 三、解答题:本大题共 4 小题,共 42 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 18. (本大题满分 10 分)已知直线 l : ax ? by ? c ? 0 . (Ⅰ)求证:直线 ax ? by ? c ? 0 通过定点 ?1,1? 的充要条件是 a ? b ? c ? 0 ( a, b, c 不全为 ; 0) (Ⅱ)若直线 l : ax ? by ? c ? 0 与直线 2 x ? y ? 3 ? 0 平行,求

a ? 3b 的值. a?b

3

2 19. (本大题满分 10 分)已知直线 l : mx ? y ? 2 ? m ? 1? ? 0 与曲线 C : y ? 1 ? x .

(Ⅰ)若直线 l 与直线 l1 : 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,求实数 m 的值; (Ⅱ) 若直线 l 与曲线 C 有且仅有两个交点,求实数 m 的取值范围.

4

20. (本大题满分 10 分)已知四面体 ABCD , AD ? CD , ?ADB ? ?CDB ? 120 ,且平
?

面 ABD ? 平面 BCD . (Ⅰ)求证: BD ? AC ; (Ⅱ)求直线 CA 与平面 ABD 所成角的大小.

A

B

D C

5

21. (本大题满分 12 分)已知 O 为坐标原点, F 是抛物线 E : y ? 4 x 的焦点.
2

(Ⅰ)过 F 作直线 l 交抛物线 E 于 P, Q 两点,求 OP ? OQ 的值; (Ⅱ)过点 T ? t , 0 ? 作两条互相垂直的直线分别交抛物线 E 于 A, B, C, D 四点,且 M , N 分 别为线段 AB, CD 的中点,求 ?TMN 的面积最小值.

??? ? ????

C

y A

P N

O Q

F

T M

x

D

B

6

高二数学文科答案
1.D 2.B 3.B 4.B 5.A 6.A 7.D 8.C 9.D 10.C 11.真
2 12. ? x ? 1? ? y ? 4 2

1 2 16 14. 或3 3
13. 15.

5 5 ? 6

16. 4 ? 21 17. 4 18 . ( Ⅰ ) 充 分 性 : 若 a ? b ? c ? 0 , 则 a? 1 ? b?1? c ? 0, 即 点 ?1,1? 满 足 方 程

ax ? by ? c ? 0
3分







线

ax ? by ? c ? 0







?1,1?

必要性:若直线 ax ? by ? c ? 0 过定点 ?1,1? ,则坐标 ?1,1? 满足方程 ax ? by ? c ? 0 , 即 a? 即a ?b?c ? 0 1 ? b? 1? c ? 0 , (Ⅱ)∵直线 l : ax ? by ? c ? 0 与直线 2 x ? y ? 3 ? 0 平行,∴ 6分

a b a ? ? ?2 2 1 b

8分

a ?3 a ? 3b b 1 ∴ ? ?? a a?b 3 ?1 b
19. (Ⅰ)直线 l 的斜率 k ? ?m ,直线 l1 的斜率 k ' ? 2 ? k ? ? ∴m ?

10 分

1 2
4分

1 2

(Ⅱ)∵ l : m( x ? 2) ? y ? 2 ? 0 ,∴ l 恒过点 P ? 2, 2 ?
7

又∵曲线 C : y ? 1 ? x 是单位圆在 x 轴的上方部分
2

且直线 l 与曲线 C 有且仅有两个交点,先求直线 l 与曲线 C 相切时的斜率与点

P ? 2, 2 ? 与点 Q ? ?1, 0 ? 连线的斜率
当直线 l 与曲线 C 相切,即

2m ? 2 1? m
2

? 1 ? 3m 2 ? 8m ? 3 ? 0 ? m ?

?4 ? 7 3

经检验知 m ?

?4 ? 7 3
? 2 ?4 ? 7 ? 2 ,所以 m ? ? ? , ? ? 3 3 ? 3 ?
?

而 k PQ ?

10 分

20. (Ⅰ) ∵ AD ? DC , ?ADB ? ?CDB ? 120 , BD ? BD ∴ ?ADB ? ?CDB ∴ AB ? BC ,取 AC 中点 M , 则 MB ? AC, DM ? AC ∴ AC ? 平面 BDM , ∴ AC ? BD

A M B D C

4分

(Ⅱ)过点 C 作 CH ? BD 交 BD 延长线于 H ,连结 HA ∵平面 ABD ? 平面 BCD ,∴ CH ? 平面 BAD ,∴ ?CAH 为 CA 与平面 BAD 所成角 ∵ DC ? AD , ?ADH ? ?CDH ? 60 ,
?

DH ? DH
∴ ?HAD ? ?CDH ∴ AH ? HC ∴在 Rt ?HAC 中, ?HAC ? 45
?

A D H C

B
?

∴直线 CA 与平面 ABD 所成角的大小为 45

21 . ( Ⅰ ) 设 直 线 l 的 方 程 为 l : x ? ty ? 1 ,

P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ?
由?

? x ? ty ? 1 ? y ? 4x
2

? y 2 ? 4ty ? 4 ? 0

∴ y1 y2 ? ?4 ? x1 x2 ? 1

8

∴ OP ? OQ ? x1 x2 ? y1 y2 ? ?3 (Ⅱ)根据题意得 AB, CD 斜率存在 故设 AB : x ? my ? t , CD : x ? ? 由? ∴

??? ? ????

4分

1 y ? t , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ? x3 , y3 ? , D ? x4 , y4 ? m

? x ? my ? t ? y ? 4x
2

? y 2 ? 4my ? 4t ? 0

y1 ? y2 x ?x ? 2m ? 1 2 ? 2m2 ? t ? M ? 2m2 ? t , 2m ? 2 2
2? ? 2 ? t, ? ? 2 m? ?m
4 4 2 ? 2 ? 2 4 m m m m 2 ? 1 , TM ? 4m 4 ? 4m 2 ? 2 m m 2 ? 1

同理可得 N ?

所以 TN ?

∴ S ?TMN ?

? 1 1 ? TM TN ? 2 ? m ? ? ? ??4 2 m ? ?
12 分

当且仅当 m ? 1 时,面积取到最小值 4.

9


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