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湖南省浏阳一中2013-2014学年下学期高二年级期中考试数学试卷(理科)


湖南省浏阳一中 2013-2014 学年下学期高二年级期中考试数学试卷(理科)

时量:120 分钟

分值:150 分

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.在复平面上,复数 z ? (?2 ? i)i 的对应点所在象限是 A.第一象限 2.双曲线 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线方程是 2 x ? y ? 0 ,则其离心率为( a 2 b2
B.

A. 5

5 2

C. 3

D.5

3.下列有关命题的说法正确的是 A.命题“ 若a ? b, 则a ?1 ? b ? 1 ”的否命题 是“ 若a ? b, 则a ?1 ? b ? 1 ”. ... B.“ x ? ?1 ?”是一个命题. C.命题“ ?x0 ? R 使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ”.
2

2

D.命题“若 x ? 1 ,则 x ? ?1 ”的逆否命题为真命题.
2

4.已知ξ ~B(n,p),且 E(ξ )=7,D(ξ )=6,则 p 等于

1 1 1 B. C. 7 6 5 5.7 个人站一队,其中甲在排头,乙不在排尾,则不同的排列方法有(
A. A.720 B.600 C.576

D. ).

1 4

D.324

6.某公司生产一种产品, 固定成本为 20 000 元,每生产一单位的产品,成本增加 100 元,

x ? ?- +400x,0≤x≤390, 900 若总收入 R 与年产量 x 的关系是 R(x)=? ? ?90 090,x>390,
大时,每年生产产品的单位数是 ( A.150
3

3

则当总利润最

). D.300 )

B.200

C.250

7.曲线 y ? x ? 11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( A. -9 B. -3 C. 9 D.15

8.设 X 是一个离散型随机变量,其分布列为:

X

-1
1

0

1

P
则 q 等于( A.1 ) B.1± 2 2

0.5

1-2q

q2

C.1-

2 2

D.1+

2 2

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.把答案填在答题卡相应位置. 9. 设 x =a0+a1(x-1)+a2(x-1) +a3(x-1) +a4(x-1) +a5(x-1) +a6(x-1) ,则 a3= ________. 10.第二十届世界石油大会将于 2011 年 12 月 4 日~8 日在卡塔尔首都多哈举行,能源问题 已经成为全球关注的焦点.某工厂经过技术改造后,降低了能源消耗,经统计该厂某种产品 的产量 x (单位:吨)与相应的生产能耗 y(单位:吨)有如下几组样本数据:
6 2 3 4 5 6

x y

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

根据相关性检验,这组样本数据具有线性相关关系,通过线性回归分析,求得回归直线的斜 率为 0.7.已知该产品的年产量为 10 吨,则该工厂每年大约消耗的汽油为______吨. 11. 如图所示,在四边形 ABCD 中,EF//BC,FG//AD,则

EF FG + = BC AD



12.在某项测量中,测量结果 X 服从正态分布 N(1,σ )(σ >0).若 X 在(0,1)内取值的概率 为 0.4,则 X 在(0,2)内取值的概率为________. 13. 动 点 P 到 点 F ( 2, 0 ) 的距离与它到直线 x ? 2 ? 0 的距离相等,则 P 的轨迹方程 为 ;

2

14. 盒子中有大小相同的 3 只白球,1 只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同 的概率是_ __ ;

15.给出下面的数表序列:

2

其中表 n ( n =1,2,3

)有 n 行,表中每一个数“两脚”的两数都是此数的 2 倍,记表 n = .

中所有的数之和为 an ,例如 a2 ? 5 , a3 ? 17 , a4 ? 49 .则 an

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:每 题回答正确得 100 分, 回答不正确得-100 分. 假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8, 且各题回答正确与否相互之间没有影响.高 考 资 源 网 (1)求这名同学回答这三个问题的总得分 ξ 的概率分布和数学期望. (2)求这名同学总得分不为负分(即 ξ ≥0)的概率. 1 n 17.(本小题满分 12 分)已知( +2x) , 2 (1)若展开式中第 5 项, 第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列, 求展开式中二项式系数 最大项的系数; (2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项. 18.(12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面为直角梯形, AD ∥ BC ,?BAD ? 90? ,

PA ⊥底面 ABCD ,且 PA ? AD ? AB ? 2 BC ,M、N 分别为 PC、PB 的中点.
(Ⅰ) 求证: PB ? DM ; (Ⅱ) 求 BD 与平面 ADMN 所成的角。

19. (本小题满分 13 分)在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? (1)求 a3 , a4 ,
3

1 (n ? 1)an ,且 an ?1 ? , (n ? 2) . 4 n ? an

(2)猜想 an 的表达式,并加以证明; 20. (本小题满分 13 分)已知椭圆 G :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点为 2 a b 3

(2 2,0) ,斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A, B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形 ,顶点为
P(?3, 2) .
(1)求椭圆 G 的方程; (2)求 ?PAB 的面积. 21. (本小题满分 13 分)设函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? b ln x ,其中 b 为常数.
2

(1)当 b ?

1 时,判断函数 f ( x) 在定义域上的单调性; 2

(2)若函数 f ( x) 有极值点,求 b 的取值范围及 f ( x) 的极值点;

4

参考答案 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 3 分,满分 24 分. 1.C; 2.A; 3.D; 4.A; 5.B; 6.D; 7.C; 8.c;

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 3 分,满分 21 分. 9. 20; 10.7.35; 11. 1; 12. 0.8; 13 . y ?8x; 14. 0.5; 15.an ? (n ?1)2n ? 1
2

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 55 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. 解 (1)ξ 的可能取值为-300,-100,100,300.

P(ξ =-300)=0.23=0.008, P(ξ =-100)=3×0.22×0.8=0.096, P(ξ =100)=3×0.2×0.82=0.384, P(ξ =300)=0.83=0.512.
所以 ξ 的概率分布为 ξ -300 0.008 -100 0.096 100 0.384 300 0.512

P

根据 ξ 的概率分布,可得 ξ 的期望

Eξ =(-300)×0.008+(-100)×0.096+100×0.384+300×0.512=180.
(2)这名同学总得分不为负分的概率为

P(ξ ≥0)=0.384+0.512=0.896.

17.解:(1)∵Cn+Cn=2Cn,∴n -21n+98=0, ∴n=7 或 n=14. 当 n=7 时,展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5, 35 3 1 4 3 ∴T4 的系数=C7( ) 2 = , 2 2
3 4 T5 的系数=C4 7( ) 2 =70,

4

6

5

2

1 2

当 n=14 时,展开式中二项式系数最大的项是 T8.
7 1 7 7 ∴T8 的系数=C14( ) 2 =3 432. 2

(2)∵Cn+Cn+Cn=79,∴n +n-156=0. ∴n=12 或 n=-13(舍去).设 Tk+1 项的系数最大, 1 1 12 12 12 ∵( +2x) =( ) (1+4x) , 2 2

0

1

2

2

5

?C124 ≥C12 4 , ? ∴? k k k+1 k+1 ?C124 ≥C12 4 . ?

k

k

k-1 k-1

∴9.4<k<10.4,∴k=10. ∴展开式中系数最大的项为 T11,
2 10 10 10 T11=C10 12·( ) ·2 ·x =16 896 x .

1 2

18. 解:(Ⅰ)因为 N 是 PB 的中点,PA=AB, 所以 AN⊥PB.

因为 AD⊥面 PAB, 所以 AD⊥PB. 从而 PB⊥平面 ADMN.

因为DM ? 平面ADMN
所以 PB⊥DM. (Ⅱ)连结 DN, 因为 PB⊥平面 ADMN, 所以∠BDN 是 BD 与平面 ADMN 所成的角. 在 Rt ?BDN 中, sin ?BDN ? ??6 分

BN 1 ? , BD 2

故 BD 与平面 ADMN 所成的角是 30 . ??12 分 19.解:容易求得: a 3 ?

1 1 , a4 ? ----------------------(2 分) 7 10
-----------------(4 分)

故可以猜想 a n ?

1 ? ,n? N 3n ? 2

下面利用数学归纳法加以证明: (i) (ii) 显然当 n ? 1,2,3,4 时,结论成立,-----------------(5 分) 假设当 n ? k ; k ? 4 时(也可以 k ? 1 ),结论也成立,即
6

ak ?

1 ? ,k ? N 3k ? 2

那么当 n ? k ? 1 时,由题设与归纳假设可知:

a k ?1 ?

(k ? 1)a k ? k ? ak

(k ? 1) ?

1 k ?1 k ?1 3k ? 2 ? ? 2 1 3k ? 2k ? 1 (3k ? 1)(k ? 1) k? ------------(9 分) 3k ? 2

?

1 1 ? 3k ? 1 3(k ? 1) ? 2
1 成立。--------(13 分) 3n ? 2

? 即当 n ? k ? 1 时,结论也成立,综上,对 ?n ? N , a n ?

20. (本小题满分 13 分) 解:(1)由已知得 c ? 2 2, 于是 b ? a ? c ? 4
2 2 2

c 6 ,解得 a ? 2 3 ? a 3

∴求椭圆 G 的方程为

x2 y 2 ? ?1 12 4

?? 4 分

(2)设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,交点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 中点 E( x0 , y0 )

?y ? x ? m ? 2 2 联立 ? x 2 y 2 ,消元整理得 4 x ? 6mx ? 3m ? 12 ? 0 ?1 ? ? ?12 4
于是 ? ? (6m) ? 4 ? 4 ? (3m ?12) ? 12 ? (16 ? m ) ? 0
2 2 2

?? 5

可得 m ? 16
2

3 3m2 ? 12 由 x1 ? x2 ? ? m, x1 x2 ? 2 4
可得 x0 ? ?

??????????????????(9 分)

3 1 3 1 m , y0 ? x0 ? m ? m ,即 E ( ? m, m) 4 4 4 4

∵ AB 为等腰三角形的底边,∴ PE ? AB

∴ k PE

1 2? m 4 ? ?1 ,解得 m ? 2 ,符合要求 ???????????(10 分) ? 3 ?3 ? m 4

此时 x1 ? x2 ? ?3, x1 x2 ? 0
7

所以 AB ?

( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2

? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? 3 2
又点 P(?3, 2) 到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ? 故 ?PAB 的面积 S ?

?3 ? 2 ? 2 2

?

3 2 2

1 9 AB ? d ? 2 2

??????(13 分)

21. (本小题满分 13 分) 解:(1)由题意知, f ( x ) 的定义域为 (0,??) ,

b 2x 2 ? 2x ? b f ' ( x) ? 2 x ? 2 ? ? ? x x

1 1 2( x ? ) 2 ? b ? 2 2 x

( x ? 0)

?当 b ?

1 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在定义域 (0,??) 上单调递增. 2
1 时, f / ( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 无极值点. 2

(2) ①由(1)得,当 b ? ②当 b ?

1 1 1 ? 2b 1 1 ? 2b 时, f ?( x) ? 0 有两个不同解, x1 ? ? , x2 ? ? 2 2 2 2 2
时 ,

? i) b ? 0

x1 ?

1 1 ? 2b ? ? 0 ? (0,??),舍去 2 2



而x2 ?

1 1 ? 2b ? ? 1 ? (0,??) , 2 2

此时 f ?( x ) , f ( x ) 随 x 在定义域上的变化情况如下表:高 考 资 源 网

x
f ?( x ) f ( x)

(0, x2 )
?


x2
0
极小值

( x2, ? ?)

?


由此表可知: b ? 0 时, f ( x ) 有惟一极小值点 , x ? ii) 当0 ? b ?

1 1 ? 2b ? , 2 2

1 时,0< x1 ? x 2 <1 2

此时, f ?( x ) , f ( x ) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

? 0, x1 ?
?


x1
0
极大值

( x1,x2 )
?

8

x2
0
极小值

( x2, ? ?)

?


由此表可知: 0?b?

1 1 1 ? 2b 时 , f ( x ) 有 一 个 极 大 值 x1 ? ? 和一个极小值点 2 2 2

x2 ?

1 1 ? 2b ; ? 2 2

综上所述:当 b ? 0 时, f ( x ) 有惟一最小值点 , x ? 当0 ? b ?

1 1 ? 2b ; ? 2 2

1 1 1 ? 2b 1 1 ? 2b 时, f ( x ) 有一个极大值点 x ? ? 和一个极小值点 x ? ? 2 2 2 2 2

9


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