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山东省临沂市临沭县2016年新华杯首届初中学生学科素养展示大赛数学试题(无答案)


临沭县新华杯首届初中学生学科素养展示大赛 数学试题
题号
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[来源:21 世纪教

总分 22 23 24
教育网

21 世纪

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19

20

21

等级

教育网]

得分

第Ⅰ卷(选择题 共 36 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分)请将唯一正确的答案符号填在下面 答题栏内. 题号 答案 1. 已知二次函数 y ? x ? 6 x ? m 的最小值是-3,那么 m 的值等于(
2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

)

A. 10 B. 4 C. 5 D. 6 2.在某校“我的中国梦”演讲比赛中,有 9 名学生参加比赛,他们决赛的最终成绩各不相 同,其中的一名学生要想知道自己能否进入前 5 名,不仅要了解自己的成绩,还要了解 )www.21-cn-jy.com 这 9 名学生成绩的( A.众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 3. 已知命题“关于 x 的一元二次方程 x ? bx ? 1 ? 0 ,当 b ? 0 时必有实数根”,能说明这 个命题是假命题的一个反例是( )2· 1· c· n· j· y
2

A. b ? ?1 B. b ? 2 C. b ? ?2 D. b ? 0 4. 如图⊙ O 是 ?ABC 的外接圆, OD ? AB 于点 D ,交⊙ O 于点 E , ?C ? 60? ,若⊙ O 的半径为 2,则下列结论错误的是( )【来源:21cnj*y.co*m】 A. AD=BD B. AE=BE C. AB= 3 D. OD=1 ,BC ? 8, AD 平分 ?BAC 交 BC 于点 D , 5. 如图,?ABC中,AB ? AC ? 10 点 E 为 AC 的中点,连接 DE ,则 ?CDE 的周长为( A.28 B.20 ) C.14 D.10

(第 4 题图)

(第 5 题图)

(第 6 题图)

6.如图,平行四边形 ABCD 的顶点 A、B、D 在⊙ O 上,顶点 C 在⊙ O 的直径 BE 上,连 接 AE,∠E= 36? ,则∠ADC 的度数是( )【出处:21 教育名师】 A. 44? B. 54 ? C. 72? D. 53 ? 7. 已知点 P(a, a ? 3) 在抛物线 y ? x ? 7 x ? 19 图象上,则点 P 关于原点 O 的对称点 P ' 的
2

坐标是( ) (4,7) A.

(? 4,?7) B

(4,?7) C.

( ? 4,7) D.

1

8. 若 A(?

13 5 1 , y1 ), B(? , y2 ), C ( , y3 ) 是二次函数 y ? x 2 ? 4 x ? 5 的图象上的三点,则 4 4 4 y1 , y2 , y3 的大小关系是( )
B. y3 ? y1 ? y2 D. y1 ? y3 ? y2 )

A. y1 ? y2 ? y3 C. y2 ? y1 ? y3 9. 下列图形中阴影部分的面积相等的是(

A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 10. 如图,已知点 A,B,C,D,E,F 是边长为 1 的正六边形的顶点,连接任意两点均可 得到一条线段,在连接两点所得的所有线段中任取一条线段,取到长度为 3 的线段的 概率为( A. )21·世纪*教育网 B.

1 4

2 5

C.

2 3

D.

5 9

(第 10 题图)
2

(第 11 题图)

(第 12 题图)

11. 已知二次函数 y ? ax ? bx ? c ? 2 的图象如图所示,顶点为(﹣1,0),下列结论:
2 ① abc ? 0 ;② b ? 4ac ? 0 ;③ a ? 2 ;④ 4a ? 2b ? c ? 0 .其中正确结论的个数是

( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2 12. 如图,抛物线 y ? ?2 x ? 8x ? 6 与 x 轴交于点 A、B ,把抛物线在 x 轴及其上方的部

)

分记作 C1 ,将 C1 向左平移得 C2 , C2 与 x 轴交于点 B,D ,若直线 y ? ? x ? m 与 C1 , ) C2 共有 3 个不同的交点,则 m 的取值范围是( 15 7 A. ? 3 ? m ? ? B. ? 3 ? m ? ? 8 4 1 C. ? 2 ? m ? D. ? 3 ? m ? ?2 8 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分)请将最佳答案填写在题中横线上. 13. 从-2、 -1、 0、 1、 2 这 5 个数中任取一个数, 作为关于 x 的一元二次方程 x ? x ? k ? 0
2

的 k 值,则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是_____________________ . 14. 如图,点 A 是反比例函数 y ?
k 的图象上的一点,过点 A 作 AB ? x 轴,垂足为 B.点 C x

2

为 y 轴上的一点,连接 AC,BC. 若 △ ABC 的面积为 3,则 k 的值是___________。 15.如图,⊙ O 的半径为 4,OA=8,AB 切⊙ O 于 B,弦 BC∥OA,连接 AC,则图中阴影部 分的面积为______________._______ .www-2-1-cnjy-com

(第 14 题图)

(第 15 题图)

(第 18 题图)

16. 已知 f ( x) ? 1 ?

1 ,其中 f (a ) 表示当 x ? a 时代数式的值, x 1 1 1 1 ? 1 ? , f ( a) ? 1 ? , 如 f (1) ? 1 ? , f (2) ? 1 ? , f(3) 3 1 2 a
) ? f (2016 ) ? _________. 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ?? ? f (2015

17. 对于实数 a, b ,定义运算“ ? ”: a ? b ? ?

2 ? ?ab ? b (a ? b) ,例如: 5 ?3 ,因为 5 ? 3, 所 2 ? a ? ab ( a ? b ) ?

2 2 以 5 ? 3 ? 5 ? 3 ? 3 ? 6 .若 x1 , x2 是一元二次方程 x ? 6 x ? 8 ? 0 的两个根,则

x1 ? x2 =________________________ .
18. 如图,在 ?ABC 中, AB ? CB ,以 AB 为直径的⊙ O 交 AC 于点 D .过点 C 作 CF ∥

AB ,在 CF 上取一点 E ,使 DE ? CD ,连接 AE .对于下列结论:① AD ? DC ;②
? = ? AD ; ④ AE 为 ⊙ O 的 切 线 . 其 中 结 论 正 确 的 是 ?CBA ∽ ?CDE ; ③ BD

___________________(把所有你认为正确的序号都填上).2-1-c-n-j-y 三、解答题(本题共 6 个小题,满分 46 分) 得分 评卷人 19. (本题满分 6 分)如图,直线 y ? x ? m 与反比例函数 y ?

k 相交于点 x

A(6,2) ,与 x 轴交于 B 点,点 C 在直线 AB 上,且
点分别作 y 轴的平行线交双曲线 y ? (1)求 m、k 的值; (2)求点 D、E 的坐标.

AB 2 ? ,过 B、C 两 BC 3

k 于 D、E 两点。21· cn· jy· com x

3

(第 19 题图)

得分

评卷人

20.(本题满分 7 分)阅读下面的材料: 解方程 x ? 7 x ? 12 ? 0 这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,
4 2

它 的 解 法 通 常 是 : 设 x2 ? y , 则 x 4 ? y 2 , ∴ 原 方 程 可 化 为 :
2 2 解得 y1 ? 3, y2 ? 4 , 当 y ? 3 时,x ? 3 ,x ? ? 3 , 当 y ? 4 时,x ? 4 , y 2 ? 7 y ? 12 ? 0 ,

x ? ?2 .∴原方程有四个根是: x1 ? 3,x2 ? ? 3, x3 ? 2, x4 ? ?2 ,以上方法叫换元法,
达到了降次的目的,体现了数学的转化思想,运用上述方法解答下列问题. (1)解方程: ( x2 ? x)2 ? 5( x2 ? x) ? 4 ? 0 ;
2 2 (2)已知实数 a , b 满足 (a 2 ? b2 ) 2 ? 3(a 2 ? b2 ) ?10 ? 0 ,试求 a ? b 的值.

得分

评卷人

21. (本题满分 7 分)如图,圆 O 的半径为 5,在圆 O 上位于直径 AB 的 异侧有定点 C 和动点 P, 已知 BC∶CA=4∶3, 点 P 在半圆弧 AB 上运动(不

与 A、B 重合),过 C 作 CP 的垂线 CD 交 PB 的延长线于 D 点.21 教育网 (1)求证:AC· CD=PC· BC; (2)当点 P 运动到 AB 弧中点时,求 CD 的长.
A P C D O B

(第 21 题图)

4

得分

评卷人

22. (本题满分 8 分)如图,在一块正方形 ABCD 木板上,贴三种不同的 墙纸,正方形 EFCG 部分贴 A 型墙纸,△ABE 部分贴 B 型墙纸,其余部 分贴 C 型墙纸,A 型、B 型、C 型墙纸的单价分别为每平方 60 元、80 元、

40 元.21cnjy.com (1)如果木板边长为 1 米,FC=0.5 米,则一块木板所需用墙纸的费用为_______元; (2)如果木板边长为 2 米,正方形 EFCG 的边长为 x 米,一块木板需用墙纸费用为 y 元 ① 用含 x 的代数式表示 y(写出过程); 21*cnjy*com ②当 FC 的长为多少米时,一块木板需用墙纸的费用最省?最省是多少元? ③ 如果一块木板需用墙纸的费用为 225 元,则正方形 EFCG 的边长为多少米?

5

23.(本题满分 8 分) 某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:如图 1,等腰直角△ ABC 中,AB=AC,∠BAC=90° ,小敏将三角板中含 45° 角的顶点放在 A 上,斜 ? 边从 AB 边开始绕点 A 逆时针旋转一个角 , 其中三角板斜边所在的直线交直线 BC 于点 D, 直角边所在的直线交直线 BC 于点 E.【来源:21·世纪·教育·网】 (1)小敏在线段 BC 上取一点 M,连接 AM,旋转中发现:若 AD 平分∠BAM,则 AE 也平 分∠MAC.请你证明小敏发现的结论;【版权所有:21 教育】 (2)当 0° < ? ≤45°时,小敏在旋转中还发现线段 BD、CE、DE 之间存在如下等量关系: 得分 评卷人

BD2 ? CE 2 ? DE 2 .同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决:
小颖的想法:将△ ABD 沿 AD 所在的直线对折得到△ ADF,连接 EF(如图 2); 小亮的想法:将△ ABD 绕点 A 逆时针旋转 90° 得到△ ACG,连接 EG(如图 3); 请你从中任选一种方法进行证明. (3)小敏继续旋转三角板,请你继续研究:当 135° < ? <180° 时(如图 4),等量

BD2 ? CE 2 ? DE 2 是否仍然成立?请作出判断,不需要证明.21 教育名师原创作品

A D
图1 图2 图3 (第 23 题图)

B E
图4

C

6

得分

评卷人

(4, -1 ) 24.(本题满分 10 分)如图,在平面直角坐标系中,顶点为 的抛物
线交于 y 轴于 C 点, 交 x 轴于 A、B 两点 (点 A 在 B 的左侧) , 已知 C 点

(0,3) 坐标为 .21 世纪教育网版权所有
(1)求此抛物线的解析式; (2)过点 A 作线段 AC 的垂线交抛物线于点 D ,若以点 B 为圆心的圆与直线 AD 相切 于点 E,试判断抛物线的对称轴 l 与⊙ B 有怎样的位置关系,并 给出证明;21*cnjy*com (3)已知点 P 是抛物线上的一个动点,且位于 C、B 两点之 间.问: 当点 P 运动到什么位置时,?PBC 面积最大?并求出此时 点 P 的坐标和 ?PBC 的最大面积. E

第 24 题图

7

8


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