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三角函数模块专题复习学生版


三角函数模块专题复习 ——任意角的三角函数及诱导公式 一.要点精讲 1.任意角的概念 旋转开始时的射线 OA 叫做角的始边, OB 叫终边,射线的端点 O 叫做叫 ? 的顶点。 规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一

条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
2.终边相同的角、区间角与象限角 3.弧度

制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角,记作 1 rad ,或 1 弧度,或 1(单位可 以省略不写)。角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分. 角 ? 的弧度数的绝对值是: ? ? 所对的弧长, r 是半径。 角度制与弧度制的换算主要抓住 180 ? ? rad 。
?

l ,其中,l 是圆心角 r

a的终边
P(x,y )) O

y

弧度与角度互换公式:1rad= 180 °
?

1°= ? (rad) 。
180

弧长公式: l ?| ? | r ( ? 是圆心角的弧度数) , 扇形面积公式: S ? 4.三角函数定义 利用单位圆定义任意角的三角函数,设 ? 是一任意角,它的终边与单位圆交于 P ( x, y ) ,则: (1) y 叫做 ? 的正弦,记做 sin ? ,即 sin ? ? y ; (2) x 叫做 ? 的余弦,记做 cos ? ,即 cos? ? x ; (3) 叫做 ? 的正切,记做 tan ? ,即 tan ? ? 5.三角函数线 6.同角三角函数关系式 (1)平方关系: sin ? ? cos ? ? 1,1 ? tan ? ? sec ? ,1 ? cot ? ? csc ?
2 2 2 2 2 2

x

1 1 l r ? |? | r2。 2 2

y x

y ( x ? 0) 。 x

(2)倒数关系:sin ? csc ? =1,cos ? sec ? =1,tan ? cot ? =1, (3)商数关系: tan ? ?

sin ? cos ? , cot ? ? cos ? sin ?

几个常用关系式:sinα +cosα ,sinα -cosα ,sinα ·cosα ;(三式之间可以互相表示)
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7.诱导公式 可用十个字概括为“奇变偶不变,符号看象限” 。 诱导公式一: sin(? ? 2k? ) ? sin ? , cos(? ? 2k? ) ? cos ? ,其中 k ? Z 诱导公式二: sin(180 ? ? ) ? ? sin ? ;
?
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c o s ( 1 ?8? 0? ? )?c o s ?

诱导公式三: sin(?? ) ? ? sin ? ;
?

cos(?? ) ? cos ?
?
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诱导公式四: sin(180 ? ? ) ? sin ? ; cos(180 ? ? ) ? ? cos ? 诱导公式五: sin(360 ? ? ) ? ? sin ? ; cos(360 ? ? ) ? cos ?
? ?

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-? sin cos -sin ? cos ?

? ??
sin ? -cos ?

? ??
-sin ? -cos ?

2? ? ?
-sin ? cos ?

2k? ? ? ?k ? Z ?
sin ? cos ?

?
2

??

cos ? sin ?

注意: sin ? x ? 四.典例解析 题型 1:象限角

? ?

??

?? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? cos ? ? x ? ? cos ? x ? ? ; cos ? x ? ? ? sin ? ? x ? 。 4? 4 4 4 4 ? ? ? ? ? ? ? ?

例 1.已知角 ? ? 45? ; (1)在区间 [?720 ?, 0? ] 内找出所有与角 ? 有相同终边的角 ? ; (2) 集合 M ? ? x | x ?

? ?

k k ? ? ? ? 180 ? ? 45?, k ? Z ? , N ? ? x | x ? ? 180 ? ? 45?, k ? Z ? 则两集合关系怎样? 2 4 ? ? ?

例 2.若 sinθ cosθ >0,则θ 在( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第一、四象限 D.第二、四象限 例 4.已知“ ? 是第三象限角,则

? 是第几象限角? 3

题型 2:三角函数定义 例 5.已知角 ? 的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求 ? 的四个三角函数值。 例 6.已知角 ? 的终边上一点 P (? 3, m) ,且 sin ? ? 题型 3:诱导公式
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2m ,求 cos ? ,sin ? 的值。 4

例 7. ? tan x ? (A) tan x

? ?

1 ? 2 ? cos x ? ( tan x ?

) (C) cos x (D) cot x

(B) sin x

【突破】 :熟悉三角公式,化切为弦;以及注意 sin 2 x ? cos 2 x ? 1, tan x ? 例 8.化简:

sin x . cos x

? sin(180? ? ? ) ? sin(?? ) ? tan(360? ? ? ) sin(? ? n? ) ? sin(? ? n? ) (1) ; (2) (n ? Z ) 。 ? ? tan(? ? 180 ) ? cos(?? ) ? cos(180 ? ? ) sin(? ? n? ) cos(? ? n? )
题型 4:同角三角函数的基本关系式 例 9.已知

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ? ?2 tan ? ,试确定使等式成立的角 ? 的集合。 1 ? sin ? 1 ? sin ?

例 10. (1)证明: 课堂练习:

2?cos? ? sin ? ? cos? sin ? ; ? ? 1 ? sin ? ? cos? 1 ? sin ? 1 ? cos?
?

1、在 ?ABC 中,若 ?B ? 60 , AC ? 3, AB ? 2、cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为

6 ,则 ?A ?
.
1 2

. 75

?

3. 锐角△ ABC 中, A ≥ B ,且 tan A ? 3tan B ,则 A ? B 的最大值为 4. 设 sin ? ?

. .

7 3 ? 1 ( ? ? ? ? ), tan(? ? ? ) ? , 则 tan(? ? 2? ) 的值等于__ 24 5 2 2

? 6

5. 在△ABC 中,BC=1, ?B ?

?

3

,当△ABC 的面积等于 3 时, tan C ? __

?2 3

.

6. 若△ ABC 的三个内角的正弦值分别等于△ A?B?C? 的三个内角的余弦值, 则△ ABC 的三个内 角从大到小依次可以为 (写出满足题设的一组解) .

?? ? ,另两角不惟一,但其和为 4 4 7. 在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,给出下列结论: ①若 A>B>C,则 sin A ? sin B ? sin C ;
②若 a ? b ? c, 则 cos A ? cos B ? cosC ; ③必存在 A、B、C,使 tan A tan B tan C ? tan A ? tan B ? tan C 成立; ④若 a ? 40, b ? 20, B ? 25? ,则△ABC 必有两解. 其中,真命题的编号为 .(写出所有真命题的编号)①④
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8、 求证:

cos x 1 ? sin x 。 ? 1 ? sin x cos x
三角函数的图象与性质

一.要点精讲 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1 y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -? -2? -3? 2 -

? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2

4?

x

y

y

y=tanx

y=cotx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

2?

x

2.三角函数的单调区间:

? ?? ? 3? ? ? ? 2k? ? ? (k ? Z ) ,减区间是 ?2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) ; y ? sin x 的增区间是 ?2k? ? , 2 2? 2 2? ? ?
2k? ? (k ? Z ) ,递减区间是 ?2k?, 2k? ? ? ? (k ? Z ) , y ? cos x 的递增区间是 ?2k? ? ?,

? ?? ? y ? tan x 的递增区间是 ? k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) , 2 2? ?
(其中A ? 0,? ? 0) 3.函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B
最大值是 A ? B ,最小值是 B ? A ,周期是 T ?

2?

?

,频率是 f ?

? ,相位是 ?x ? ? , 2?

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初相是 ? ;其图象的对称轴是直线 ?x ? ? ? k? ?

?
2

(k ? Z ) ,凡是该图象与直线 y ? B 的交点

都是该图象的对称中心。 4.由 y=sinx 的图象变换出 y=sin(ω x+ ? )的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途 径,才能灵活进行图象变换。 5.由 y=Asin(ω x+ ? )的图象求其函数式: 给出图象确定解析式 y=Asin(ω x+ ? )的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(- 作为突破口,要从图象的升降情况找准 第一个零点的位置。 .. 6.对称轴与对称中心:

? ,0) ?

y ? sin x 的对称轴为 x ? k? ? ? 2 ,对称中心为 (k? ,0)

k ?Z ;

y ? cos x 的对称轴为 x ? k? ,对称中心为 (k?
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?? 2 ,0) ;

7.求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意 A、 ? 的正负 利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间; 8.求三角函数的周期的常用方法:
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经过恒等变形化成“ y ? A sin(? x ? ? ) 、 y ? A cos(? x ? ? ) ”的形式,在利用周期公式, 另外还有图像法和定义法。 四.典例解析 题型 1:三角函数的图象 例 1.函数 y=-xcosx 的部分图象是(



例 2.函数 y=x+sin|x|,x∈[-π ,π ]的大致图象是(



题型 2:三角函数图象的变换
1 π 例 3.试述如何由 y= sin(2x+ )的图象得到 y=sinx 的图象。 3 3
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例 4.把曲线 y cos x ? 2 y ? 1 ? 0 先沿 x 轴向右平移 位,得到的曲线方程是( ) A. (1-y)sinx+2y-3=0 C. (y+1)sinx+2y+1=0 题型 3:三角函数图象的应用

? 2

个单位,再沿 y 轴向下平移 1 个单

B. (y-1)sinx+2y-3=0 D.-(y+1)sinx+2y+1=0

I
300

例 5.已知电流 I 与时间 t 的关系式为 I ? A sin(?t ? ? ) 。 (1)右图是 I ? A sin(?t ? ? ) (ω >0, | ? |?

?
2

-

1 900

o

1 180

t


-300

在一个周期内的图象,根据图中数据求 I ? A sin(?t ? ? ) 的解析式; (2)如果 t 在任意一段

1 秒的时间内,电流 I ? A sin(?t ? ? ) 都能取得最大值和最小 150

值,那么ω 的最小正整数值是多少? 例 6. (1)已知函数 f(x)=Asin(ω x+ ? ) (A>0,ω >0,x∈R)在一个周期内的图象如图所 示,求直线 y=

3 与函数 f(x)图象的所有交点的坐标。

图 (2)在(0,2π )内,使 sinx>cosx 成立的 x 取值范围为( A. ( ) D. (

? ?

5? , ) ? (? , ) 4 2 4

B. (

?
4

,? )

C. (( ,

? 5?
4 ) 4

?
4

,? ) ? (

5? 3? , ) 4 2

题型 4:三角函数的定义域、值域 例 7. (1)已知 f ( x) 的定义域为 ? 0,1? , 求 f (cos x) 的定义域; (2)求函数 y ? lgsin(cos x) 的定义域;

6cos 4 x ? 5cos 2 x ? 1 例 8.已知函数 f ( x) ? , 求 f ( x) 的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域。 cos 2 x
题型 5:三角函数的单调性 例 9.求下列函数的单调区间: (1)y=
1 π 2x π sin( - ) ; (2)y=-|sin(x+ )|。 2 4 4 3
第 6 页 共 22 页

例 10.函数 y=2sinx 的单调增区间是( A. [2kπ -

) B. [2kπ +

? 2

,2kπ +

? 2

] (k∈Z)

? 2

,2kπ +

3? ] (k∈Z) 2

C. [2kπ -π ,2kπ ] (k∈Z) 题型 6:三角函数的奇偶性

D. [2kπ ,2kπ +π ] (k∈Z)

例 11.判断下面函数的奇偶性:f(x)=lg(sinx+ 1 ? sin 2 x ) 。 例 12.关于 x 的函数 f(x)=sin(x+ ? )有以下命题: ①对任意的 ? ,f(x)都是非奇非偶函数;②不存在 ? ,使 f(x)既是奇函数,又是偶函 数;③存在 ? ,使 f(x)是奇函数;④对任意的 ? ,f(x)都不是偶函数。 其中一个假命题的序号是_____.因为当 ? =_____时,该命题的结论不成立。 题型 7:三角函数的周期性 例 13.求函数 y=sin6x+cos6x 的最小正周期,并求 x 为何值时,y 有最大值。 例 14.设 f ( x) ? a sin ?x ? b cos?x(? ? 0) 的周期 T ? ? ,最大值 f ( (1)求 ? 、 a 、 b 的值;

?
12

) ? 4,

(2) 若?、、?为方程f ( x) ? 0的两根,?、、?终边不共线,求tan(? ? ? )的值 。 题型 8:三角函数的最值 例 15.设 M 和 m 分别表示函数 y=

1 cosx-1 的最大值和最小值,则 M+m 等于( 3
C.-



A.

2 3

B.-

2 3

4 3


D.-2

例 16.函数 y=

1 的最大值是( 2 ? sin x ? cos x
B.

A.
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2 -1 2
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2 +1 2
)
y

C.1-

2 2

D.-1-

2 2

课堂练习 1 函数 y=-x·cosx 的部分图象是(
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y o x

y o x

y
o x

o

x

A

B

C
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D

2

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函数 f(x)=cos2x+sin(
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? +x)是( 2
B
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)
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A C 3 4
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非奇非偶函数 仅有最大值的偶函数 函数 f(x)=(

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仅有最小值的奇函数 D 既有最大值又有最小值的偶函数
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1 |cosx| ) 在[-π ,π ]上的单调减区间为_________ 3

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设ω >0, 若函数 f(x)=2sinω x 在 [-

5 β )≤0 (1)求证 b+c=-1; (2)求证 c≥3; (3)若函数 f(sinα )的最大值为 8,求 b,c 的值 6 用一块长为 a,宽为 b(a>b)的矩形木板,在二面角为α 的墙角处围出一个直三棱柱的 谷仓,试问应怎样围才能使谷仓的容积最大?并求出谷仓容积的最大值 7 有一块半径为 R,中心角为 45°的扇形铁皮材料,为了获取面积最大的矩形铁皮,工 人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上,然后作其最大内接矩形,试问 工人师傅是怎样选择 矩形的四点的?并求出最大面积值
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] 上单调递增, 则ω 的取值范围是_________ , , 3 4 设二次函数 f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知不论α 、β 为何实数恒有 f(sinα )≥0 和 f(2+cos
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? ?

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8 9

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? ? ≤x≤ ,求函数 y=log2(1+sinx)+log2(1-sinx)的最大值和最小值 6 4 5 3 ? 是否存在实数 a,使得函数 y=sin2x+a·cosx+ a- 在闭区间[0, ]上的最大值是 8 2 2
设-
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1?若存在,求出对应的 a 值;若不存在,试说明理由

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三角恒等变形及应用 一.要点精讲 1.两角和与差的三角函数

sin(? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ; cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 。 1 ? tan ? tan ?

2.二倍角公式

sin 2? ? 2 sin? cos? ; cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ;
tan 2? ? 2 tan ? 。 1 ? tan 2 ?
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3.三角函数式的化简

常用方法: ①直接应用公式进行降次、 消项; ②切割化弦, 异名化同名, 异角化同角; ③ 三 角公式的逆用等。 (2)化简要求:①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项 数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数。 (1)降幂公式

sin ? cos? ?

1 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 ; cos ? ? 。 sin 2? ; sin 2 ? ? 2 2 2

(2)辅助角公式(万能公式)

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 ? sin ? x ? ? ? ,

其中sin ? ?

b a 2 ? b2

, cos ? ?

a a 2 ? b2



4.三角函数的求值类型有三类 (1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三 角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题; (2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键 在于“变角” ,如 ? ? ( ? ? ? ) ? ? , 2? ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) 等,把所求角用含已知角的式子表 示,求解时要注意角的范围的讨论; (3)给值求角:实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所求角的 范围及函数的单调性求得角。 5.三角等式的证明 (1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、 左右同一等方法,使等式两端化“异”为“同” ; (2)三角条件等式的证题思路是通过观察,发现已知条件和待证等式间的关系,采用代入 法、消参法或分析法进行证明。 四.典例解析 题型 1:两角和与差的三角函数

(? ? ?)的值 。 例 1.已知 sin? ? sin ? ? 1 , cos? ? cos ? ? 0 ,求 cos
tan ? 是方程x ? 5 x ? 6 ? 0的两个实根根, 例 2.已知 tan ?,
2

求 2sin

2

?? ? ? ? ? 3sin ?? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos2 ?? ? ? ?的值 。

题型 2:二倍角公式 例 3.化简下列各式:

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? 1 1 1 1 ? 3? ?? ? ? cos 2? ? ? ?? , 2? ? ? (1) (2) ? ?, 2 2 2 2 ? 2 ?? ?

cos2 ? ? sin 2 ? 。 ?? ? ? 2?? 2 cot? ? ? ? cos ? ? ? ? ?4 ? ?4 ?

例 4.若 cos? 题型 3:辅助角公式

7 sin 2 x ? 2 cos2 x ?? ? 3 17 ? x? ? , ? ? x ? ? ,求 的值 。 4 1 ? tan x ?4 ? 5 12

5 ? tan 8? ,求 b 的值 。 15 a a cos ? b sin 5 5 ? ? 例 6.若函数 y ? cos(? x ? )(? ? 0) 最小正周期为 ,则 ? ? ▲ 5 6
例 5.已知正实数 a,b 满足

a sin

?

5

? b cos

?

?

?

.

题型 4:三角函数式化简 例 7.求 sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值。

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 . 例 8.已知函数 f ( x) ? cos x
(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)设 ? 的第四象限的角,且 tan ? ? ? 题型 5:三角函数求值 例 9. 设函数 f(x)= 3 cos2cos+sin ? rcos ? x+a(其中 ? >0,a ? R),且 f(x)的图象在 y 轴右侧的 第一个高点的横坐标为

?

4 ,求 f (? ) 的值。 3

x 。 6
? ? 5? ? , ? 上的最小值为 3 ,求 a 的值。 ? 3 6 ?

(Ⅰ)求ω 的值; (Ⅱ)如果 f(x)在区间 ? ? 例 10.求函数 y =2 cos(x ? 题型 6:三角函数综合问题

?
4

) cos(x ?

?
4

) + 3 sin 2 x 的值域和最小正周期。

例 11.已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ? (I)若 a ? b, 求 ? ;

?

?

?
2

?? ?

?
2

.

?

?

(II)求 a ? b 的最大值。

? ?

题型 7:三角函数的应用
第 10 页 共 22 页

例 13.有一块扇形铁板,半径为 R,圆心角为 60°,从这个扇形中切割下一个内接矩形, 即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上,求这个内接矩形的最大面积. 分析:本题入手要解决好两个问题, (1)内接矩形的放置有两种情况,如图 2-19 所示,应该分别予以处理; (2)求最大值问题这里应构造函数,怎么选择便于以此表达矩形面积的自变量。

学生巩固练习 1
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已知方程 x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根均 tanα 、 tanβ , 且α , β ∈(- )

? ?
2 2 ,

), 则 tan

???
2

的值是( A 2
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1 2
已知 sinα =

B

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-2

C

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4 3

D

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1 或-2 2
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3 ? 1 ,α ∈( ,π ),tan(π -β )= ,则 tan(α -2β )=______ 5 2 2 ? 3? ? ? 3 3? 5 3 设α ∈( , ) , β ∈ (0 , ) , cos( α - )= , sin( + β )= ,则 sin( α + 5 4 13 4 4 4 4 β )=_________
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4

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不查表求值:

2 sin130? ? sin100?(1 ? 3 tan 370?) 1 ? cos10?

.

5 6

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已知 cos(

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? 3 17? 7? sin 2 x ? 2 sin 2 x +x)= ,( <x< ),求 的值 1 ? tan x 5 4 4 12 8 1 ? cos(? ? ? ) ? ? 已知α -β = π ,且α ≠kπ (k∈Z) 求 ? 4 sin 2 ( ? ) 的最大值及最 ? ? 3 4 4 csc ? sin 2 2
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大值时的条件 7 如右图,扇形 OAB 的半径为 1,中心角 60°,四边形 PQRS 是扇形的内接矩形,当其 面积最大时,求点 P 的位置,并求此最大面积 B
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Q

P

8

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已知 cosα +sinβ = 3 ,sinα +cosβ 的取值范围是 D,x∈D,求函数
O R S A

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y= log 1
2

2x ? 3 的最小值,并求取得最小值时 x 的值 4 x ? 10

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第三讲:三角函数单元部分易错题解析 1. 弧长公式:已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。 2. 任意角的三角函数的定义: (1)已知角 ? 的终边经过点 P(5,-12),则 sin ? ? cos? 的值为 __; ( 2 ) 设 ? 是第三、四象限角, s in? ?

2m ? 3 ,则 m 的取值范围是 _______; ( 3) 若 4?m

| sin ? | cos? ? ? 0 ,试判断 cot(sin? ) ? tan(cos? ) 的符号 sin ? | cos? |
3.特殊角的三角函数值: 30° 45° 60° 0° 90° 180° 270° 15° 75°

sin ?

1 2
3 2 3 3

2 2 2 2
1

3 2

0

1

0

-1

6? 2 4 6? 2 4
2- 3

6? 2 4 6? 2 4
2+ 3

cos?
tan ?

1 2
3

1

0

-1

0

0

0

4. 同角三角函数的基本关系式: (1)函数 y?

sin ?? ta ?n 的 值 的 符 号 为 ____ ; ( 2 ) 若 0 ? 2x ? 2? , 则 使 co? s ? c? ot

1 ? sin 2 2 x ? cos 2 x 成立的 x 的取值范围是____;
( 3 ) 已 知 s in ??

m?3 4 ? 2m ? , cos? ? (4)已知 ? = ____ ; ( ?? ??) , 则 t a n m?5 m?5 2 tan ? sin ? ? 3 cos? 2 =____; sin ? ? sin ? cos? ? 2 =_________ ? ?1 ,则 tan ? ?1 sin ? ? cos?
? ?

(5)已知 sin 200 ? a ,则 tan160 等于

第 12 页 共 22 页

A、 ?

a 1? a2

B、

a 1? a2

C、 ?
?

1? a2 a

D、

1? a2 ; a

(6)已知 f (cos x) ? cos3x ,则 f (sin 30 ) 的值为______ 5.三角函数诱导公式(

符号看象限(看原函数,同时可把 ? 看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的三角函数值, 其一般步骤: (1)负角变正角,再写成 2k ? + ? , 0 ? ? ? 2? ;(2)转化为锐角三角函数。 (1) cos

k , ? ? ? )的本质是:奇变偶不变(对 k 而言,指 k 取奇数或偶数) 2

2 3 9? 7? ? ) ; ? tan(? ) ? sin 21? 的值为________(答: 2 3 4 6
?

( 2 ) 已知 sin(540 ? ? ) ? ?

4 ( ? 270? ) ? ______ ,若 ? 为第二象限角,则 ,则 co s ? 5

[sin(180 ? ? ? ) ? cos( ? ? 360 ? )] 2 ? ________ tan(180 ? ? ? )
6、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式: (1)下列各式中,值为

1 的是 2
B、 cos 2

A、 sin15? cos 15?

?
12

? sin 2

?
12

C、

tan 22.5? 1 ? tan 2 22.5?

D、

1 ? cos 30? 2

(2)命题 P: tan( A ? B ) ? 0 ,命题 Q: tan A ? tan B ? 0 ,则 P 是 Q 的 A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

(3)已知 sin( ? ? ? )cos ? ? cos( ? ? ? )sin ? ?

3 ,那么 cos 2 ? 的值为____; 5

(4)

1 3 ? 的值是______; ? sin 10 sin 80?
0
0

(5)已知 tan110 ? a ,求 tan50 的值(用 a 表示)甲求得的结果是

a? 3 ,乙求得的结果是 1 ? 3a

1 ? a2 ,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______ 2a
7. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先观 察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看函数
第 13 页 共 22 页

名称之间的关系,通常“切化弦” ;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: (1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角 与其和差角的变换. 如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ? ? ? 2 ?

??? ? , , ? ?? ? ? ? ? 等) 2 2 2 2 2 ? 1 ? (1)已知 tan(? ? ? ) ? , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是_____ 5 4 4 4 ? ? 1 ? 2 (2)已知 0 ? ? ? ? ? ? ? ,且 cos( ? ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,求 cos( ? ? ?) 2 2 9 2 3
(3)已知 ? , ? 为锐角, sin ? ? x,cos ? ? y , cos(? ? ? ) ? ?

? ??

?

??

?

的值;

3 ,则 y 与 x 的函数关系 5

为______ (2)三角函数名互化(切割化弦), (1)求值 sin 50 (1 ? 3 tan10 ) ;
? ?

(2)已知

sin ? cos ? 2 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? ,求 tan(? ? 2? ) 的值 1 ? cos 2? 3

(3)公式变形使用( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? 。如(1)已知 A、B 为 锐角,且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ?1 ,则 cos( A ? B) =_____;(2)设 ?ABC 中,

tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B , sin Acos A ?
(4)三角函数次数的降升(降幂公式: cos ? ?
2
2 2

3 ,则此三角形是____三角形 4

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? 与升幂公 2 2

式: 1 ? cos 2? ? 2cos ? , 1 ? cos 2? ? 2sin ? )。 1)若 ? ? ( ? , ? ) ,化简

3 2

1 1 1 1 ? ? cos 2? 为_____; 2 2 2 2
2

(2)函数 f ( x ) ? 5 sin x cos x ? 5 3 cos x ?

5 3( x ? R ) 的单调递增区间为________ 2

(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。

第 14 页 共 22 页

1 ? tan sin ? ? tan ? 1 ? sin ? 2; (1) tan ? (cos ? ? sin ? ) ? ; (2)求证: ? ? ? cot ? ? csc ? 1 ? 2sin 2 1 ? tan 2 2 1 2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ? 2 (3)化简:

?

2 tan( ? x) sin 2 ( ? x) 4 4
8、 辅助角公式中辅助角的确定:a sin x ? b cos x ? 限由 a, b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? ?

?

?

a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? (其中 ? 角所在的象

b 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 a

(1)若方程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解,则 c 的取值范围是___________. (2)当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是____; (3)如果 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2cos( x ? ? ) 是奇函数,则 tan ? = (4)求值: ;

3 1 ? ? 64 sin 2 20? ? ________ 2 sin 20? cos 20?
2

9、正弦函数 y ? sin x( x ? R) 、余弦函数 y ? cos x( x ? R) 的性质: (1)定义域:都是 R。 ( 2 )值域 :都是 ? ?1,1? ,对 y ? sin x ,当 x ? 2 k? ?

?
2

? k ? Z ? 时, y 取最大值

1 ;当

x ? 2k? ?

3? ? k ? Z ? 时, y 取最小值-1;对 y ? cos x ,当 x ? 2k ? ?k ?Z ? 时, y 取最大值 2

1,当 x ? 2k? ? ? ? k ? Z ? 时, y 取最小值-1。 (1)若函数 y ? a ? b sin(3x ?

?

3 1 ) 的最大值为 ,最小值为 ? ,则 a ? __, b ? _; 2 2 6

(2)函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ( x ? [?

? ?

, ] )的值域是____; 2 2

(3)若 2? ? ? ? ? ,则 y ? cos ? ? 6 sin ? 的最大值和最小值分别是____ 、_____ (4)函数 f ( x) ? 2cos x sin( x ? ) ? 3sin x ? sin x cos x 的最小值是_____,此时 x =___;
2

? 3

(5)己知 sin ? cos ? ?

1 ,求 t ? sin ? cos? 的变化范围; 2
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(6)若 sin ? ? 2 sin ? ? 2 cos? ,求 y ? sin ? ? sin ? 的最大、最小值
2 2 2 2

(3)周期性:① y ? sin x 、 y ? cos x 的最小正周期都是 2 ? ;② f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 和

f ( x) ? A cos(? x ? ? ) 的最小正周期都是 T ?
(1)若 f ( x) ? sin

2? 。 |? |

?x
3

,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2003) =___;
4

(2) 函数 f ( x) ? cos x ?2sin x cos x ? sin x 的最小正周期为____;
4

(3) 设函数 f ( x) ? 2 sin(

?

x ? ) ,若对任意 x ? R 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立,则 2 5

?

| x1 ? x2 | 的最小值为____
(4)奇偶性与对称性:正弦函数 y ? sin x( x ? R) 是奇函数,对称中心是 ? k? , 0 ?? k ? Z ? , 对 称 轴 是 直 线 x ? k? ?

?
2

? k ? Z? ; 余 弦 函 数 y ? cos x( x ? R) 是 偶 函 数 , 对 称 中 心 是

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? Z ? ,对称轴是直线 x ? k? ? k ? Z ? (正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或 2 ? ?
最低点且垂直于 x 轴的直线,对称中心为图象与 x 轴的交点) 。 (1)函数 y ? sin ?

? 5? ? ? 2 x ? 的奇偶性是______; ? 2 ?
3

(2)已知函数 f ( x ) ? ax ? b sin x ? 1( a,b 为常数) ,且 f ( 5 ) ? 7 ,则 f ( ?5 ) ? ______; (3)函数 y ? 2 cos x(sin x ? cos x) 的图象的对称中心和对称轴分别是________、___; (4)已知 f ( x ) ? sin( x ? ? ) ? 3 cos( x ? ? ) 为偶函数,求 ? 的值。 ( 5 ) 单 调 性 : y ? sin x在 ? 2k? ?

? ?

?
2

, 2k? ?

??
2? ?

?k ? Z ?

上 单 调 递 增 , 在

? 3? ? ? 2k? ? , k2 ? ? ? ?k ? Z ? ? 2 2 ? ?











在 y ?c o x s
Y 2 3

第 16 页 共 22 页

2? 9 X

-2 23题 图

? 2k? , 2k? ? ? ? ? k ? Z ? 上单调递减,在 ? 2k? ? ? , 2k? ? 2? ? ? k ? Z ? 上单调递增。
10、形如 y ? A sin(? x ? ? ) 的函数: (1)几个物理量:A―振幅; f ?

1 ―频率(周期的倒数) ; ? x ? ? ―相位; ? ―初相; T

(2)函数 y ? A sin(? x ? ? ) 表达式的确定:A 由最值确定; ? 由周期确定; ? 由图象上 的特殊点确定, 如 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0 , | ? |?

?
2

则 f ( x) =_____; ) 的图象如图所示,

(3)函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的画法:①“五点法”――设 X ? ? x ? ? ,令 X =0,

?
2

,? ,

3? , 2? 求出相应的 x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是 2

作函数简图常用方法。 (4)函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象与 y ? sin x 图象间的关系:①函数 y ? sin x 的图 象纵坐标不变,横坐标向左( ? >0)或向右( ? <0)平移 | ? | 个单位得 y ? sin ? x ? ? ? 的图象; ②函数 y ? sin ? x ? ? ? 图象的纵坐标不变, 横坐标变为原来的

1

?

, 得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的

图象;③函数 y ? sin?? x ? ? ? 图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,得到函数 ④函数 y ? A sin(? x ? ?) 图象的横坐标不变, 纵坐标向上 (k ? 0) y ? A sin(? x ? ? ) 的图象; 或向下( k ? 0 ) ,得到 y ? A sin ?? x ? ? ? ? k 的图象。要特别注意 ,若由 y ? sin ?? x ? 得到

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象,则向左或向右平移应平移 |

? | 个单位, ?

(1)若函数 f ? x ? ? cos x ? sin x x ? ? 0, 2? ? 的图象与直线 y ? k 有且仅有四个不同的 交点,则 k 的取值范围是 (2)函数 y ? sin( ?2 x ?

?

?

?
3

) 的递减区间是______
?
2 ?? ?
2? ? 的图象关于直线 对称, x? )

(3)设函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,? 它的周期是 ? ,则 A、 f ( x)的图象过点(0, )

2

3

1 2

B、 f ( x) 在区间 [

5? 2? , ] 上是减函数 12 3

C、

第 17 页 共 22 页

f ( x)的图象的一个对称中心是(

5? ,0) 12

D、 f ( x) 的最大值是 A;

(4)对于函数 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? 象关于直线 x ? 图像向左平移

? ?

??

? 给出下列结论:①图象关于原点成中心对称;②图 3?

?
12

成轴对称;③图象可由函数 y ? 2sin 2 x 的图像向左平移

? 个单位,即得到函数 y ? 2cos 2 x 的图像。其中正确结论是_______; 12

? 个单位得到;④ 3 ? , 3

(5)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 图象与直线 y ? 1 的交点中,距离最近两点间的距离为 那么此函数的周期是_______ 11、正切函数 y ? tan x 的图象和性质: (1)定义域: {x | x ?

?
2

? k? , k ? Z } 。遇到有关正切函数问题时,你注意到正切函数的

定义域了吗? (2)值域是 R,在上面定义域上无最大值也无最小值; (3)周期性:是周期函数且周期是 ? ,绝对值或平方对三角函数周期性的影响:一般说 来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是:弦减半、切不变.既为周期函数又是 偶函数的函数自变量加绝对值, 其周期性不变, 其它不定。 如 y ? sin 2 x, y ? sin x 的周期都是 ? , 但 y ? sin x ? cos x 的 周 期 为

? ? 1 , 而 y ?| 2 s i n x ( ?3 ? ) y ?|, 2 6 2

| 2 ? xs i n ?( 3 , 6

?

)

2

y ?| tan x | 的周期不变;
(4)奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是 ?

? k? ? , 0 ? ? k ? Z ? ,特别提醒:正切型函数 ? 2 ?

的对称中心有两类:一类是图象与 x 轴的交点,另一类是渐近线与 x 轴的交点,但无对称轴, (5)单调性:正切函数在开区间 ? ? 12. 三角形中的有关公式: (1)内角和定理:

? ? ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 内都是增函数。 2 ? 2 ?

? b ? c ? 2R (R 为三角形外接圆的半径).注意:①正弦定理 sin B sin C a b 的一些变式: ? i ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C ; ? ii ? sin A ? ,sin B ? ,sin C 2R 2R sin A
第 18 页 共 22 页

(2)正弦定理: a

?

c ;? iii ? a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, b ? 2 R sin C ;②已知三角形两边一对角,求解三角形 2R
(3)余弦定理: a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A,cos A ? b ? c ? a 等,常选用余弦定理鉴定三
2 2 2

时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解.

2bc

角形的形状. (4)面积公式: S ? 1 aha ? 1 ab sin C ? 1 r (a ? b ? c) (其中 r 为三角形内切圆半径).

2

2

2

如 ?ABC 中,若 sin A cos B ? cos A sin B ? sin C ,判断 ?ABC 的形状。
2 2 2 2 2

(1) ?ABC 中,A、B 的对边分别是 a、b ,且 A=60 , a ? 6 , b ? 4 ,那么满足条件的
?

?ABC

A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定; (2)在 ?ABC 中,A>B 是 sin A ? sin B 成立的_____条件;

(3)在 ?ABC 中, ( 1 ? tan A )( 1 ? tan B ) ? 2 ,则 log 2 sinC =_____;

, c (4)在 ?ABC 中 , a , b 分 别 是 角
( ? a ? b

A 、 B 、 C

所 对 的 边 , 若

___ ; n? C 3 s )i n ,则 a s Ci = n B c ) (? s ? i sn i A B ?

(5)在 ?ABC 中,若其面积 S ?

a 2 ? b2 ? c 2 ,则 ?C =____; 4 3

? (6)在 ?ABC 中,A ? 60 , b ? 1 , 这个三角形的面积为 3 , 则 ?ABC 外接圆的直径是____;

(7)在△ABC 中, a、 b、 c 是角 A、 B、 C 的对边, a ? 3, cos A ? 的最大值为 ; (8)在△ABC 中 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是
?

1 B?C = , 则 cos 2 3 2

b ?c ,
2

2



(9)设 O 是锐角三角形 ABC 的外心,若 ?C ? 75 ,且 ?AOB, ?BOC, ?COA 的面积满足关 系式 S?AOB ? S?BOC ? 3S ?COA ,求 ?A . 13、求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选择,其标准 有二:一是此三角函数在角的范围内具有单调性;二是根据条件易求出此三角函数值) 。 1)若 ? , ? ? (0, ? ) ,且 tan ? 、 tan ? 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两根,则求 ? ? ? 的值______;
2

(2) ?ABC 中, 3sin A ? 4cos B ? 6, 4sin B ? 3cos A ? 1,则 ?C =_______;

第 19 页 共 22 页

(3)若 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? 且 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0 ,cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0 , 求 ? ?? 的值. 基础练习题 1、在?ABC 中,2sinA+cosB=2,sinB+2cosA= 3 ,则?C 的大小应为( A.
? 6

)

B.

? 3
2

C.

? 5 或 ? 6 6

D.

? 2? 或 3 3

2、已知 tan? tan?是方程 x +3 3 x+4=0 的两根,若?,??(A.
? 3

? ?

, ),则?+?=( 2 2



B.

? 2 或- ? 3 3

C.-

? 2 或 ? 3 3

D.- ? )

2 3

3、在 ? 中, 3 ,则 ? s i n A ? 4 c o s B ? 6 , 3 c o s4 A ? s i n B ? 1 A B C C的大小为( A.

? 6

B.

4、函数 y ? 2 sin( A. [0,

?
6

5 ? 6

C.

? 5 或 ? 6 6

D.

? 2 或 ? 3 3
)

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是?????? (
B. [

?
3

]

?

12

,

7? ] 12

C. [

?
3

,

5? ] 6

D. [ )

5? , ?] 6

5、△ABC 中,已知 cosA= A、

16 65

5 3 ,sinB= ,则 cosC 的值为( 13 5 56 16 56 B、 C、 或 65 65 65

D、 ?

16 65


6、在△ABC 中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则∠C 的大小为( A、

7、已知 sin ? ?

m?3 4 ? 2m ? , cos? ? ( ?? ?? ) ,则 tan? ? (C) m?5 m?5 2 4 ? 2m 5 m?3 3 5 A、 B、 ? C、 ? D、 ? 或 ? m?3 12 4 ? 2m 4 12


? 6

B、

5? 6

C、

5? ? 或 6 6

D、

2? ? 或 3 3

8、在△ABC 中, 3 sin A ? 4 cos B ? 6,4 sin B ? 3 cos A ? 1, 则∠C 的大小为 ( A、30°
2

B、150°
2

C、30°或 150°
2 2

D、60°或 150°

9、已知 5 cos ? ? 4 cos ? ? 4 cos? ,则 cos ? ? cos ? 的取值范围是_______________. 10、设ω >0,函数 f(x)=2sinω x 在 [?

? ?

, ] 上为增函数,那么ω 的取值范围是_____ 3 4
第 20 页 共 22 页

11、已知奇函数 f ?x ?在?? 1 , 0?上为 单调减函数,又α ,β 为锐角三角形内角,则(



A、f(cosα )> f(cosβ ) B、f(sinα )> f(sinβ ) C、f(sinα )<f(cosβ ) D、f(sinα )> f(cosβ )

? 5 ,α 是第二象限角,则 tan =__________ 2 13 2 13、已知函数 f(x)=- sin x+sinx+a, ( 1)当 f(x)=0 有实数解时,求 a 的取值范围; ( 2)若 x 17 ∈R,有 1≤f(x)≤ ,求 a 的取值范围。 4 2 ? ? 2 14、 已知定义在区间[-?, ? ]上的函数 y=f(x)的图象关于直线 x= - 对称, 当 x?[- , ? ]
12、若 sin ? ?
3 6
6

3









f(x)=Asin(?x+?)(A>0,

?>0,-

? ? <?< ),其图象如图所示。 2 2
2 3

(1)求函数 y=f(x)在[-?, ? ]的表达式; (2)求方程 f(x)= 一.填空题: ? 1.函数 f(x)= 3sin x +sin( +x)的最大值是 2 2.已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=( 3 ,?1 ) ,n=(cosA,sinA). 若 m⊥n,且 acosB+bcosA=csinC,则角 B= 3. f ? x ? ? cos ? ? x ? . .
2 的解。 2

? ?

??

? 的最小正周期为 ,其中 ? ? 0 ,则 ? = 6? 5

?

4.已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x , x ? R ,则 f ( x) 的最小正周期是 5.已知 f ( x) ? sin ? ? x ?



? ?

?? ?? ?? ??? ? ?? ? (? ? 0),f ? ? ? f ? ? ,且 f ( x) 在区间 ? , ? 有最小值,无 3? ?6 3? ?6? ? 3?

最大值,则 ? =__________. 二.解答题: 1.设 △ABC 的内角 A ,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? b cos A ? (Ⅰ)求 tan A cot B 的值; (Ⅱ)求 tan( A ? B) 的最大值. 2.在 △ABC 中, cos B ? ?

3 c. 5

5 4 , cos C ? . 13 5
第 21 页 共 22 页

(Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)设 △ABC 的面积 S△ ABC ? 3.已知函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ?
2

33 ,求 BC 的长. 2

? ?

π? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . 2?

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ? 0, ? 上的取值范围. 3 4.(四川卷 17) .求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x 的最大值与最小值。
2 4

? 2π ? ? ?

5.已知函数 f ( x) ? 2cos ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1 ( x ? R, ? ? 0 )的最小值正周期是
2

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最大值,并且求使 f ( x) 取得最大值的 x 的集合. 6.已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

? . 2

?

) ? 2sin( x ? )sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [?

, ] 上的值域 12 2

? ?

?x ? ? )(0 ? ? ? π , ? ? 0) 为偶函数,且函数 y=f(x)图 7.已知函数 f(x)= 3 sin(?x ? ? ) ? cos(
象的两相邻对称轴间的距离为 (Ⅰ)求 f(

π . 2

π )的值; 8 π 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原 6

(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向右平移

来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间.

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