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灰色系统建模3333


1.3 灰色关联分析法
灰色关联分析是灰色系统理论的一个分 支.应用灰色关联分析方法对受多种因 素影响的事物和现象从整体观念出发进 行综合评价是一个被广为接受的方法.

1.2.5灰色系统的应用范畴
灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面: (1)灰色关联分析。 (2)灰色预测:人口预测;初霜预测; 灾变预测….等等。 (3)灰色决策。 (

4)灰色预测控制。

灰色系统的基本概念
我们将信息完全明确的系统称为白色系 统,信息未知的系统称为黑色系统,部 分信息明确、部分信息不明确的系统称 为灰色系统。 灰数:指信息不完全的数。例如这位同 学身高大约165厘米,体重49千克左右。

1.3.1灰色关联分析法的建模过 程和机理为
利用灰色关联分析进行综合评价的步骤 是: 1.根据评价目的确定评价指标体系,收 集评价数据。

设n个数据序列形成如下矩阵:
? ? x 1 ?1 ? ? ? ? x1 ?2 ? ? X 1? , X 2? ? , X n? ? ? ? ? ? ? x ? ?m ? ? 1 ? x 2 ?1 ? ? x 2 ?2 ? ? ? x 2 ?m ? ? ? ? ?
T

? x n ?1 ? ? ? ? x n ?2 ? ? ? ? ? ? x n ?m ? ? ?
, i ?1, 2 ,? , n

X 其中m 为指标的个数,. ? ? ? x ? ?1 ? , x ? ?2 ? , ? , x ? ? m ? ?
i i i i

3.对指标数据进行无量纲化 无量纲化后的数据序列形成如下矩阵:
?X 0
, X1 ,? , X

n

?

? x 0 ?1 ? ? ? x 0 ?2 ? ? ? ? ? ? x ?m ? ? 0

x 1 ?1 ? x1 ?2 ? ? x1 ?m ?

? ? ? ?

x n ?1 ? ? ? x n ?2 ? ? ? ? ? x n ?m ? ? ?

2.确定参考数据列 参考数据列应该是一个理想的比较标准, 可以以各指标的最优值 (或最劣值)构 成参考数据列,也可根据评价目的选择 其它参照值.记作
? X 0 ? ? ? x 0 (1) ? ? , x 0 ?2 ? , ? , x 0 ?m ?

?

常用的无量纲化方法有均值化法(见 (12-3)式)、初值化法(见(12-4) 式)等.
x i ?k ? ? x i? ? k ? 1 m x i ?k ? ?

? x ? ?k ?
i k ?1

m

(12 ? 3 )

x i? ? k ? x i? ?1 ?

(12 ? 4 )

i ? 0 , 1 , ? , n ; k ? 1 , 2 , ? , m.

或采用内插法使各指标数据取值范围 (或数量级)相同. 例如,某地县级医院病床使用率最高为 90%,最低为60%,我们可以将90%转化10, 60%转化为1,其它可以通过内插法确定 其转化值.如80%转化为多少?可进行如 下计算:
10 ? 1 x ?1 ? 90 ? 60 80 ? 60

解之得,即80%转化为7.

4.逐个计算每个被评价对象指标序列 (比较序列)与参考序列对应元素的绝 对差值 即 x 0 ( k ) ? x i ( k ) ( k ? 1, ? , m i ? 1, ? , n, n 为被 评价对象的个数). 5.确定 min min x ( k ) ? x ( k )
n m i ?1 k ?1 0 i

n

m k ?1



max max x 0 ( k ) ? x i ( k )
i ?1

6.计算关联系数 由(12-5)式,分别计算每个比较序列 与参考序列对应元素的关联系数.
? i (k ) ?
m in m in x 0 ( k ) ? x i ( k ) ? ? ? m a x m a x x 0 ( k ) ? x i ( k )
i k i k

x0 ( k ) ? xi ( k ) ? ? ? m ax m ax x0 ( k ) ? xi ( k )
i k

(1 2 ? 5 )

k ? 1, ? , m
式 中 ?为 分 辨 系 数 , 在 ( 0, 1) 内 取 值 , 若 ? 越 小 , 关 联 系 数 间 差 异 越 大 , 区 分 能 力 越 强 。 通 常 ? 取 0 .5

当用各指标的最优值 (或最劣值),构 成参考数据列计算关联系数时,也可用 改进的更为简便的计算方法:
? i (k ) ?
? ? min x 0 ( k ) ? x i? ( k ) ? ? ? max x 0 ( k ) ? x i? ( k )
i i

? ? x 0 ( k ) ? x i? ( k ) ? ? ? max x 0 ( k ) ? x i? ( k )
i

k ? 1, ? , m

改进后的方法不仅可以省略第三步,使 计算简便,而且避免了无量纲化对指标 作用的某些负面影响.

如 果 { x 0 ( k )}为 最 优 值 数 据 列 , ? i ( k ) 越 大 , 越 好 ; 如 果 { x 0 ( k )}为 最 劣 值 数 据 列 , ? i ( k ) 越 大 , 越 不 好 。

7.计算关联序 对各评价对象(比较序列)分别计算其 个指标与参考序列对应元素的关联系数 的均值,以反映各评价对象与参考序列 的关联关系,并称其为关联序,记为:
r0 i ?

?? m
k ?1

1

m

i

(k )

8.如果各指标在综合评价中所起的作用 不同,可对关联系数求加权平均值即
r0?i ? 1 m

?W
k ?1

m

k

?? i (k )

( k = 1 ,? , m)

式 中 W k为 各 指 标 权 重 。

9.依据各观察对象的关联序,得出综 合评价结果.

2.灰色关联分析的应用举例
例1:利用灰色关联分析对6位教师工作 状况进行综合评价 1.评价指标包括:专业素质、外语水平、 教学工作量、科研成果、论文、著作与 出勤.

3.确定参考数据列:
{ x 0 } ? {9, 9, 9, 9, 8, 9, 9}

4.计算
编号 1 2 3 4 5 6 专业 1 2 0 3 1 1

x0 ( k ) ? xi ( k )
外语 0 1 2 1 3 0 教学 量 1 2 0 1 3 4

, 见下表
科研 2 4 3 1 0 2 论文 3 1 2 4 0 2 著作 7 6 5 6 6 5 出勤 0 1 2 3 1 1

2.对原始数据经处理后得到以下数值, 见下表
编号 专业 外语 教学 科研 论文 著作 出勤 量 1 2 3 4 5 6 8 7 9 6 8 8 9 8 7 8 6 9 8 7 9 8 6 5 7 5 6 8 9 7 5 7 6 4 8 6 2 3 4 3 3 4 9 8 7 6 8 8

5.求最值
n i ?1 m k ?1

m in m in x 0 ( k ) ? x i ( k ) ? m in (0 ,1, 0 ,1, 0 , 0 ) ? 0
n i ?1 m k ?1

m a x m a x x 0 ( k ) ? x i ( k ) ? m a x (7 , 6 , 5, 6 , 6 , 5 ) ? 7

? 6.依据(12-5)式,= 0 .5 取计算,得
? 1 (1) ?
0 ? 0 .5 ? 7 1 ? 0 .5 ? 7 ? 0 .7 7 8,

? 1 (2) ?

0 ? 0 .5 ? 7 0 ? 0 .5 ? 7

? 1 .0 0 0

? 1 (3)= 0 .7 7 8, ? 1 ( 4 )= 0 .6 3 6, ? 1 (5)= 0 .4 6 7, ? 1 (6 )= 0 .3 3 3 ? 1 (7 )= 1 . 0 0 0 ,

同理得出其它各值,见下表
编号 1 2
? i (1)
? i (2 )

? i (3)

? i (4 )

? i (5)

? i (6 )

? i (7 )

0.778 1.000 0.778 0.636 0.467 0.333 1.000 0.636 0.778 0.636 0.467 0.636 0.368 0.778

3
4 5 6

1.000 0.636 1.000 0.538 0.538 0.412 0.636
0.538 0.778 0.778 0.778 0.412 0.368 0.538 0.778 0.538 0.538 1.000 0.778 0.368 0.778 0.778 1.000 0.467 0.636 0.538 0.412 0.778

7.分别计算每个人各指标关联系数的均 值(关联序):
r01 ? 0 . 778 ? 1 . 000 ? 0 . 778 ? 0 . 636 ? 0 . 467 ? 0 . 333 ? 1 . 000 7 ? 0 . 713

r0 2 ? 0 .6 1 4, r0 3 ? 0 .6 8 0, r0 4 ? 0 .5 9 9, r0 5 ? 0 .6 8 3, r0 6 ? 0 .6 5 8

8.如果不考虑各指标权重(认为各指标 同等重要),六个被评价对象由好到劣 依次为1号,5号,3号,6号,2号,4 号. ? r ? r ? r ? r ? r r 即
01 05 03 06 02 04


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