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等比数列教师用


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等比数列和求和

知识聚焦: 1.等比数列的定义和通项公式. 定义

a n ?1 =q(q 是一个不为零的常数,叫公比),公比 q 可以是正数,也可以是负数,但不为零, an

且首项 a1≠0
?a1 ? 0 ?a1 ? 0 或? ? {an}递增 ? ?q ? 1

?0 ? q ? 1 ?a1 ? 0 ?a1 ? 0 或? ? {an}递减 ? ?0 ? q ? 1 ? q ? 1

q=1 ? {an}为常数列 q<0 ? {an}是摆动数列 通项公式:an=a1qn-1 2.等比中项 若 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫 a 与 b 的等比中项,且 G2=ab,G=± ab .只有同号的两个数才有 等比中项,等比中项有二个,它们互为相反数,这一点与等差中项不同 . G2=ab 仅是 a,G,b 成等比数列的必要条件,不是充分条件. 对连续奇数个项成等比数列且积一定可设为…,
x ,x,xq,…公比为 q. q x x , ,xq,xq3…公比 q2>0. 3 q q

对同号连续偶数个项成等比数列且积一定,可设为:…

3.等比数列的判定方法: ①an+1=anq(q 是不为 0 的常数 n∈N+) ? {an}是等比数列. ②an=cqn(c,q 均不是为 0 的常数 n∈N+) ? {an}是等比数列. ③a2n+1=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N+) ? {an}是等比数列. 4.等比数列 a1,a2,a3,…an,…的性质. ①an=am·qn-m; ②若 m+n=p+q,则 am·an=ap·aq; ③每隔 k 项(k∈N+)取出一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列; ④a1·a2,a3·a4,a5·a6,…,仍成等比数列; ⑤在等比数列中,从第二项起,每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项.

a1 (1 ? q n ) 4.前 n 项和 Sn= 1? q
经典例题: 例 1 等比数列{an}的前 n 和等于 2,紧接其后的 2n 项和等于 12,再紧接其后的 3n 项和为 S,求 S. 分析 本题主要考查等比数列前 n 项和公式的应用.本题实际为已知 Sn=2,S3n-Sn=12,要求 S6n-S3n 的 值.由等比数列知,前 n 项成等比数列,紧接其后的 2n 项也成等比数列,再紧接的 3n 项也成等比数列, 可分别求和列方程. 解:在等比数列中,依次每 k 项之和仍成等比数列.设前 n 项和为 S1,第 2 个 n 项和为 S2=S1q,

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由②式得 q+q2=6,所以 q=2 或 q=-3. 将 q=2 代入③式得 S=112,将 q=-3 代入③式得 S=-378. 例2 分析 解:∵ 设等比数列{an}的公比与前 n 项和分别为 q 与 Sn,且 q≠1,S10=8.求

S 20 的值. 1 ? q 10

一个条件不能确定 a1 与 q.不妨将 S10 与 S20 用 a1、q 表示出来,进行对比,兴许有点门道.
a1 (1 ? q10 ) =8, 1? q



S 20 a 1 (1 ? q 20 ) = =8. 1 ? q 10 (1 ? q 10 )(1 ? q)

?1? 例 3 等比数列 ?an ? 前 n 项和与积分别为 S 和 T,数列 ? ? 的前 n 项和为 S ' , ? an ? ?S ? 求证: T 2 ? ? ' ? ?S ?
n

证:当 q ? 1 时, S ? na1 , T ? a1 , S ' ?
n

n

n , a1

?S? ∴? ?S ? ? ? 1?

n

? ? ? ? na1 ? 2n ? (成立) ? ? a1 ? T 2 , ? n ? ? ? ? a1 ?
?n ?1?n a1 1 ? q n a 1 ? q ?n qn ?1 , , T ? a1q 2 ,S' ? 1 ? 1? q 1 ? q ?1 a1q n?1 ?q ? 1?
1
n n ? n ?1? ? ? n 1 2 ? ?a1 q 2 (成立) ? ?T , ? ? 2

当 q ? 1 时, S ?
?S? 2 n ?1 ? ' ? ? a1 q ?S ?
n

?

?

?1

?

?

?

?

综上所述:命题成立。 例 4 设首项为正数的等比数列,它的前 n 项之和为 80,前 2n 项之和为 6560,且前 n 项中数值最大的项为 54,求此数列。

? a1 1 ? q n ? 80 ?1? ? ? 1? q 解: ? ? 1 ? q n ? 82 ? q n ? 81 2n a 1 ? q ? 1 ? 6560 ?2? ? ? 1? q

?

?

?

?

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代入(1) , a1 1 ? q n ? 80?1 ? q? ,得: a1 ? q ? 1 ? 0 ,从而 q ? 1 , ∴ ?an ? 递增,∴前 n 项中数值最大的项应为第 n 项。 ∴ a1q
n?1

?

?

? 54 ,∴ ?q ? 1?q

n ?1

? q ?q
n

n ?1

? 54, q

n ?1

qn ? 81? 54 ? 27, q ? n?1 ? 3 , q

∴ a1 ? 2 ,∴此数列为 2,6,18,54,162?? 基础演练: 1、数列{an}前 n 项的和 Sn=3n+b(b 是常数),若这个数列是等比数列,那么 b 为( (A)3 (B) 0 (C)-1 (D)1 1 2、lg x , ,lgy 成等比数列,且 x>1,y>1,则 xy 的最小值为( B ) 2 (A)100 (B)10
2

C

)

(C)10

(D)5 ( B )

3、已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn=3n+k(k 为常数),那么下列结论正确的是 (A)k 为任意实数时, ?a n ? 为等比数列 (C)k=0 时, ?a n ? 为等比数列

(B)k= -1 时, ?a n ? 为等比数列 (D) ?a n ? 不可能为等比数列 A )

4、设 za=3,zb=6,zc=12,则数 a、b、c ( (A)是等差数列,但不是等比数列 (B)是等比数列,但不是等差数列 (C)既是等差数列,又是等比数列 (D)既不是等比数列,又不是等差数列

5.若{an}(an>0)成等比数列且 a1a100=64,则 log2a1+log2a2+…+log2a100=__300____. 6.若 a,b,c 成等差数列,同时又成等比数列,则 a,b,c 间的关系为_ a=b=c _____. 7. 若{an}为等比数列,且 a1a100=64,则 log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a100= 300_

8.有四个数,前三个数成等比数列,其积为 216,后三个数成等差数列,其和为 12,则此四数是__9, 6,4,2.____. 能力提升 1、下列命题中正确的是 ( (A)若 a,b,c 是等差数列,则 log2a,log2b,log2c 是等比数列 (B)若 a,b,c 是等比数列,则 log2a,log2b,log2c 是等差数列 (C)若 a,b,c 是等差数列,则 2a,2b,2c 是等比数列 (D)若 a,b,c 是等比数列,则 2a,2b,2c 是等差数列 2、已知自然数 m,n,p,r 满足 m+n=p+r,则等比数列{an}必定满足( (A)

C

)

A

)

am ar a a = ;(B) m ? r ; (C)am+an=ap+ar ; ; (D) am-an=ap-ar; ap an an a p D )

3、等比数列{an}中,已知对任意自然数 n,a1+a2+a3+…+an=2n-1,则 a12+a22+a32+…+an2 等于 (

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(A) (2 n ? 1) 2

1 (B) (2 n ? 1) 3

(C) 4 n ? 1

(D)

1 n (4 ? 1) 3

4、在等比数列{an }中,若 a3 –a1 =8, 5、已知等比数列{an},公比 q=

a4 – a3 =18, 则 a2 = ___ 3 或

96 __________ 7

1 且 a1+a3+…+a49=30,则 a1+a2+a3+…+a50=__ 45 ______ 2

6、设{an}是由正数组成的等比数列,公比 q=2,且 a1a2a3…a30=230,则 a3a6a9…a30 等于___220____ 7.在数列{an}中,前 n 项和 Sn=an2+bn,其中 a>0,a+b>1, 数列. 解.可求得{an}是以 a+b 为首项,公差为 2a 的等差数列.

∴是递减数列. 个性天地: 1.设{an}是等比数列,公比为 q>0,q≠1,若 A=a1+a2+…+an,

综上可得

当 a1>0 时 2BnC2>An

当 a1<0 时

n 为偶数时

2BnC2>An

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n

n 为奇数时 2B C2<An.
1 2、已知等比数列{an}的通项公式 a n ? 3 ? ( ) n ?1 且: bn ? a3n?2 ? a3n?1 ? a3n , 2 求证:{bn}成等比 1 证:∵ a n ? 3 ? ( ) n ?1 2 1 1 1 ∴ bn ? a3n?2 ? a3n ?1 ? a3n ? 3( ) 3n ?3 ? 3( ) 3n ?2 ? 3( ) 3n?1 2 2 2 1 1 1 21 1 ? 3( ) 3n?3 (1 ? ? ) ? ( ) 3n ?3 2 2 4 4 2



bn?1 1 ? ( )3 bn 2

∴{bn}成等比

3.是否存在数列{an},其前项和 Sn 组成的数列{Sn}也是等比数列,且公比相同? 解:设等比数列{an}的公比为 q,如果{Sn}是公比为 q 的等比数列,则:

S n ? S1q

n ?1

? a1q

n ?1

? na1 ? 而S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? ? 1? q
Sn na1

q ?1 q ?1

S n ?1 (n ? 1)a1 n ? 1 ∴ q ? 1 时, S n ? a1 q n ?1 ? na1 即: ? ? ? q ? 1 得n ? 1 ? n(矛盾) n
q ? 1 时, S n ? a1 q n ?1 ? S a ( 1? q 1 1? q ) 即: n ?1 ? ? q ? q ? 1 (矛盾) 1? q Sn 1? q n
n n ?1

所以,这样的等比数列不存在。


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