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山东省莱芜市凤城高级中学2016届高三上学期1月段考数学(理)试卷


凤城高中 2013 级高三模拟考试

数学试题(理科)
2016.01 命题人:陈中星 注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。 2.答卷前,考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、座号用 0.5mm 黑色签字笔和 2B 铅笔分别涂写在答题卡上。 3.选择题每小题选出答案后,

用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题直 接答在答题卡相应的区域,不能答在试卷上;试题不交,请妥善保存,只交答题卡。

第 I 卷(选择题
一项是正确的。 1.复数 A. ?i

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有

1? i ? 1? i
B.i

C. ?2i

D.2i

2.已知全集 U=R,集合 A ? x x 2 ? 2 x ? 0 , B ? x x ? 1 ? 0 , 则A ? ? CU B ? ? A.

?

?

?

?

? x 0 ? x ? 1?

B.

? x x ? ??

C.

? x x ? ??

D.

? x ? ? x ? 2?

3.下列函数中,在 ? 0, ?? ? 内单调递减,并且是偶函数的是 A. y ? x
2

B. y ? ? x ? 1

C. y ? ?1g x

D. y ? 2

?x

4.数列 ?an ? 中,已知 s1 ? 1, s2 ? 2, 且sn ?1 ? 2 sn ?1 ? 3sn , n ? 2且n ? N ? ,则此数列为 A.等差数列 C.从第二项起为等差数列 B.等比数列 D.从第二项起为等比数列

?

?

5.下列函数中,对于任意 x ? R ,同时满足条件 f ? x ? ? f ? ? x ? 和f ? x ? ? ? ? f ? x ? 的函数是 A. f ? x ? ? sin x C. f ? x ? ? cos x
2 2

B. f ? x ? ? sin x cos x D. f ? x ? ? cos x ? sin x
2 2
2 2 2 2 2

6.用数学归纳法证明 1 ? 2 ? ??? ? ? n ? 1? ? n ? ? n ? 1? ? ??? ? 2 ? 1 ? n=k 的假设到证明 n ? k ? 1 时,等式左边应添加的式子是 A.

n ? 2n 2 ? 1? 3

时,由

? k ? 1?

2

? 2k 2

B.

? k ? 1?

2

? k2
1

C.

? k ? 1?

2

D.

1 2 2 ? k ? 1? ? 1? ? k ? 1? ? ? ? 3

7.在空间给出下面四个命题(其中 m、n 为两条不同的直线, ?、? 为两个不同的平面) ① m ? ? , n / /? ? m / / n ③ m / / n, n ? ? , m / /? ? ? ? ? 其中正确的命题个数为 A.1 B.2 8.如图,设区域 D ? 在阴影区域 M ? ② m / / n, n / /? ? m / /? ④ m ? n ? A, m / /? , m / / ? , n / /? , n / / ? ? ? / / ?

C.3

D.4

?? x, y ? 0 ? x ? 2, ?1 ? y ? 3? ,向区域 D 内任投一点,记此点落
2

?? x, y ? 0 ? x ? 2, ?1 ? y ? x ? 1? 的 概 率 为
B.必要不充分条件 C.充要条件

p,则 a ? p 是函数

y ? ax 2 ? 2 x ? 1 有两个零点的
A.充分不必要条件 D.非充分非必要条件

?x ? y ? 2 ? 0 ? 9.若 a、y 满足 ? kx ? y ? 2 ? 0, 且z ? y ? x 的最小值为 ?4 ,则 k 的值为 ?y ? 0 ?
A.1
2

B. ?1

C.

1 2

D. ?

1 2

10.抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 的焦点为 F,A、B 为抛物线上的两个动点,且满足 ?AFB ? 60o . 过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则

MN AB

的最大值为

A.

3 3

B.

2 3 3

C.1

D.2

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共计 25 分。

1? ? 11.在 ? x 2 ? ? 的展开式中,x 的系数为__________. x? ?
12.直线 y ? x ? 1 被圆 x ? 2 x ? y ? 3 ? 0 所截得的弦长等于_________.
2 2

5

13. 设 O 是 ?ABC 的重心, a, b, c 分别为角 A,B,C 的对边,已知 b ? 2,c ?

7 ,则

uuu r uuu r BC ? AO ? __________.

2

14.已知四面体 S ? ABC 中, SA ? SB ? 2, 且SA ? SB, BC ? 外接球的表面积为_________.

5, AC ? 3 ,则该四面体的

15.已知偶函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 1? ? f ? x ? 1? ,且当 x ? ? 0,1?时,f ? x ? ? x ,若关于 x 的
2

方程 f ? x ? ? log a x ? a ? 0, a ? 1? 在 ? ?2, 3? 上有 5 个根,则 a 的取值范围是________. 三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。 16.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ? 2 cos x, ? cos ? x ?

? ?

? ?

? ? ?? ? ? ? , n ? ? cos x, 2sin ? x ? ? ? ,记 f ? x ? ? m ? n . 12 ? ? 12 ? ? ? ?

? ??

(I)求函数 f ? x ? 的最小正周期和单调递减区间; (II) 在 ?ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c , 若f? 值.

? A? 求 sin C 的 ? ? 1, a ? 2, b ? 3 , ?2?

17. (本小题满分 12 分) 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面 ABC 为正三角形, A1 在底面 ABC 上的射影是棱 BC 的中 点 O, OE ? AA1 于 E 点. (I)证明 OE ? 平面 BB1C1C ; (II)若 AA1 ? 3 AB ,求 AC 与平面 AA1 B1 B 所成角的正弦值.

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? x ? 5 . (I)证明: ?3 ? f ? x ? ? 3 ; (II)求不等式 f ? x ? ? x ? 8 x ? 15 的解集.
2

19. (本小题满分 12 分)

3

已知函数 y ? 3 x ?

13 的图象上有一点到 P 1 ? x1 , y1 ? , P 2 ? x2 , y2 ? , ???, P n ? xn , yn ? ,其中数列 4 7 13 ? xn ? 为等差数列,满足 x2 ? ? , x5 ? ? . 2 2

(I)求点 Pn 的坐标; (II)若抛物线列 C1 , C2 , ???, Cn 分别以点 P 且任意一条的对称轴均平行于 1, P 2 , ???, P n 为顶点, y 轴, Cn与y 轴的交点为 An 0, n 2 ? 1 ,记与抛物线 Cn 相切于点 An 的直线的斜率为 kn ,求 数列 ?

?

?

? 1 ? ? 前 n 项的和 S n . ? kn ?1kn ?

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 . ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 经过点 2, 2 ,且离心率为 2 a b 2

?

?

(I)求椭圆 C 的方程; (II)设经过椭圆 C 左焦点的直线交椭圆于 M、N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于 点 P ? 0, m ? ,求 m 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 已 知 函 数

f ? x ? ? ax2 ? 4 ln ? x ? 1?
. (I)当 a ? 1 时, 求 f ? x? 的 单 调 区间; ( II ) 若 对 一 切

x ? ? 2, e ? 1? , f ? x ? ? 4
恒成立, 求实数 a 的取值范围.

4

5

6


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