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导 数


导 数
考试内容: 导数的背影. 导数的概念. 多项式函数的导数. 利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值. 考试要求: (1)了解导数概念的某些实际背景. (2)理解导数的几何意义. (3)掌握函数,y=c(c 为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式,会求多项式函数的导数. (4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区

间、 极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值. (5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值.

§ 导 数 知 识 要点 14.
导数的概念 导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数 导 数 导数的运算 导数的运算法则 函数的单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值
1. 导数(导函数的简称)的定义:设 x 0 是函数 y ? f (x) 定义域的一点,如果自变量 x 在 x 0 处 有 增 量 ?x , 则 函 数 值 y 也 引 起 相 应 的 增 量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; 比 值
?y f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) 称为函数 y ? f (x) 在点 x 0 到 x0 ? ?x 之间的平均变化率;如果极限 ? ?x ?x
?x ?0

lim

f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) ?y 存在,则称函数 y ? f (x) 在点 x 0 处可导, 并把这个极限叫做 ? lim ?x ?0 ?x ?x
?x ?0

记作 f ' ( x 0 ) 或 y ' | x ? x0 , f ' ( x 0 ) = lim 即 y ? f (x) 在 x 0 处的导数,

f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) ?y . ? lim ?x ?x?0 ?x

注:① ?x 是增量,我们也称为“改变量”,因为 ?x 可正,可负,但不为零. ②以知函数 y ? f (x) 定义域为 A , y ? f ' ( x) 的定义域为 B ,则 A 与 B 关系为 A ? B . 2. 函数 y ? f (x) 在点 x 0 处连续与点 x 0 处可导的关系:

⑴函数 y ? f (x) 在点 x 0 处连续是 y ? f (x) 在点 x 0 处可导的必要不充分条件. 可以证明,如果 y ? f (x) 在点 x 0 处可导,那么 y ? f (x) 点 x 0 处连续. 事实上,令 x ? x0 ? ?x ,则 x ? x0 相当于 ?x ? 0 . 于是 lim f ( x) ? lim f ( x 0 ? ?x) ? lim [ f ( x ? x 0 ) ? f ( x 0 ) ? f ( x 0 )]
x ? x0 ?x ?0 ?x ?0

? lim [
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ?x ? f ( x0 )] ? lim ? lim ? lim f ( x0 ) ? f ' ( x0 ) ? 0 ? f ( x0 ) ? f ( x0 ). ?x?0 ?x?0 ?x ?0 ?x ?x
?y | ?x | ,当 ?x >0 时, ? ?x ?x

⑵如果 y ? f (x) 点 x 0 处连续,那么 y ? f (x) 在点 x 0 处可导,是不成立的. 例: f ( x) ?| x | 在点 x 0 ? 0 处连续,但在点 x 0 ? 0 处不可导,因为
?y ?y ?y 不存在. ? 1 ;当 ?x <0 时, ? ?1 ,故 lim ?x ?0 ?x ?x ?x

注:①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义: 函数 y ? f (x) 在点 x 0 处的导数的几何意义就是曲线 y ? f (x) 在点 ( x0 , f ( x)) 处的切线的斜率, 也 就 是 说 , 曲 线 y ? f (x) 在 点 P ( x0 , f ( x)) 处 的 切 线 的 斜 率 是 f ' ( x 0 ) , 切 线 方 程 为
y ? y 0 ? f ' ( x)(x ? x 0 ).

4. 求导数的四则运算法则:
(u ? v) ' ? u ' ? v ' ? y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? ... ? f n ( x) ? y ' ? f1' ( x) ? f 2' ( x) ? ... ? f n' ( x)

(uv) ' ? vu ' ? v ' u ? (cv) ' ? c ' v ? cv ' ? cv ' ( c 为常数)
vu ' ? v ' u ?u? (v ? 0) ? ? ? v2 ?v?
'

注:① u, v 必须是可导函数. ②若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、 积、商不一定不可导. 例如:设 f ( x) ? 2 sin x ?
f ( x ) ? g ( x) ?

2 2 , g ( x) ? cos x ? ,则 f ( x), g ( x) 在 x ? 0 处均不可导,但它们和 x x

sin x ? cos x 在 x ? 0 处均可导.

5. 复合函数的求导法则: f x ' (? ( x)) ? f ' (u )? ' ( x) 或 y ' x ? y ' u ? u ' x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性: ⑴函数单调性的判定方法: 设函数 y ? f (x) 在某个区间内可导, 如果 f ' ( x) >0, y ? f (x) 为 则 增函数;如果 f ' ( x) <0,则 y ? f (x) 为减函数. ⑵常数的判定方法;

如果函数 y ? f (x) 在区间 I 内恒有 f ' ( x) =0,则 y ? f (x) 为常数. 注:① f ( x) ? 0 是 f(x)递增的充分条件,但不是必要条件,如 y ? 2x 3 在 (??,??) 上并不是 都有 f ( x) ? 0 ,有一个点例外即 x=0 时 f(x) = 0,同样 f ( x) ? 0 是 f(x)递减的充分非必 要条件. ②一般地,如果 f(x)在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负) ,那么 f(x) 在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的. 7. 极值的判别方法: (极值是在 x 0 附近所有的点,都有 f (x) < f ( x 0 ) ,则 f ( x 0 ) 是函数 f (x) 的极大值,极小值同理) 当函数 f (x) 在点 x 0 处连续时, ①如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) >0,右侧 f ' ( x) <0,那么 f ( x 0 ) 是极大值; ②如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) <0,右侧 f ' ( x) >0,那么 f ( x 0 ) 是极小值. 也就是说 x 0 是极值点的充分条件是 x 0 点两侧导数异号,而不是 f ' ( x) =0 . 此外,函数不 可导的点也可能是函数的极值点 . 当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确 定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同). 注①: 若点 x 0 是可导函数 f (x) 的极值点,则 f ' ( x) =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函 数,其一点 x 0 是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零. 例如:函数 y ? f ( x) ? x 3 , x ? 0 使 f ' ( x) =0,但 x ? 0 不是极值点. ②例如:函数 y ? f ( x) ?| x | ,在点 x ? 0 处不可导,但点 x ? 0 是函数的极小值点. 8. 极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进 行比较. 注:函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数: I. C ' ? 0 ( C 为常数)
② ①

(sin x) ' ? cos x

(arcsin x) ' ?

1 1? x 2

( x n ) ' ? nx n ?1 ( n ? R )

(cos x) ' ? ? sin x

(arccosx) ' ? ?

1 1? x 2

II. (ln x) ' ?

1 x

(loga x) ' ?

1 log a e x

(arctanx) ' ?

1 x ?1
2

(e x ) ' ? e x
III. 求导的常见方法: ①常用结论: (ln | x |) ' ?
1 . x

(a x ) ' ? a x ln a

(arc cot x) ' ? ?

1 x ?1
2

②形如 y ? ( x ? a1 )(x ? a 2 )...(x ? a n ) 或 y ? 求代数和形式.

( x ? a1 )(x ? a 2 )...(x ? a n ) 两边同取自然对数,可转化 ( x ? b1 )(x ? b2 )...(x ? bn )

③无理函数或形如 y ? x x 这类函数,如 y ? x x 取自然对数之后可变形为 ln y ? x ln x ,对两边

y' 1 ? ln x ? x ? ? y ' ? y ln x ? y ? y ' ? x x ln x ? x x . 求导可得 y x

高中数学第十五章 复数 考试内容: 复数的概念. 复数的加法和减法. 复数的乘法和除法. 数系的扩充. 考试要求: (1)了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义. (2)掌握复数代数形式的运算法则,能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、 除法运算. (3)了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想.


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