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高中数学必修5精品课件3.1.2两角和与差的正弦(1)


3.1.2两角和与差的正弦、正切

1

一、复习:

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? sin ? sin ?

sin(? ? ? ) ? ?

sin(? ? ? ) ? ?
2

二、公式的推导

sin ?? ? ? ?
?? ? ? cos ? ? ?? ? ? ? ? ?2 ?

?? ? ? ? ? cos?? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 ?

?? ? ?? ? ? cos? ? ? ? cos ? ? sin? ? ? ? sin ? ?2 ? ?2 ?

? sin ? cos ? ? cos? sin ?
3

?? ? ? cos? ? ?? ? ? ?? ?2 ? ?? ? ? ? ? cos?? ? ? ? ? ? ?

sin ?? ? ? ?
?? 2 ?

?? ? ?? ? ? cos? ? ? ? cos ? ? sin? ? ? ? sin ? ?2 ? ?2 ?

?

? sin ? cos ? ? cos? sin ?

用 ? ? 代?
sin(? ? ? ) ? sin[? ? (?? )] ? sin ? cos(?? ) ? cos? sin(?? )

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
4

两角和与差的正弦公式
1、两角和的正弦公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
简记: S (? ? ? ) 2、两角差的正弦公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
简记: S (? ? ? )
5

三、 公 式 应 用

例1、求值:
(1)sin 75
。 。

(2)sin195
。 。

(3)sin72 cos 42 ? cos 72 sin 42 ; (4) cos 20 cos 70。? sin 20。sin 70。 ;



(5)cos79 cos56 ? cos11 cos34
6

3 ? 例2:已知 sin a ? ? , ? 是第四象限的角,求 sin( ? ? ), 5 4 ? ? cos( ? ? ), tan(? ? )的值。 4 4
3 解:由sin? =- , ? 是第四象限的角,得 5 4 2 3 2 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? (? 5 ) ? , 5 sin ? 3 所以 tan ? ? ?? cos ? 4
于是有 sin(

?
4

? ? ) ? sin

?

4 4 2 4 2 3 7 2 ? ? ? ? (? ) ? ; 2 5 2 5 10

cos ? ? cos

?

sin ?

7

cos(

?
4

? ? ) ? cos

?
4

cos ? ? sin

?
4

sin ?

2 4 2 3 7 2 ? ? ? ? (? ) ? ; 2 5 2 5 10

tan(? ?

?
4

)?

sin(? ? cos(? ?

? ?
4 4

) )

? ?7

8

5 ? 例3:已知 sin a ? ? , 求 sin( ? ? ), 13 6 cos(

?

6

? ? )的值。



提示:注意角的范围

9

复习

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ?

sin ? sin ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

10

两角和的正切公式:

tan(?

sin(α+β) ? ?) ? cos(α+β)

sinαcosβ+ cosαsinβ ? cosαcosβ- sinαsinβ

分子分母同时除以cos ? cos ? 当cos ? cos ? ? 0时,

tanα+ tanβ tan(α+β)= 1 - tanαtanβ

记:T(? + ? )

11

tanα+ tanβ tan(α+β)= 1 - tanαtanβ
上式中以??代?得
tanα- tanβ tan ? ? tan(? ? ) = tan[? ? (? ? )] ? 1 ? tan ? tan(? ? ) 1+ tanαtanβ

tanα- tanβ ∴tan(α-β)= 1+ tanαtanβ

记T(? - ? )

12

两角和与差的正切公式
tanα+ tanβ tan(α+β)= 记: T (? + ? ) 1 - tanαtanβ
tanα- tanβ tan(α-β)= 1+ tanαtanβ

记:T(? - ? )

注意:

1?必须在定义域范围内使用上述公式。

即:tan?,tan?,tan(?±?)只要有一个不存在就 不能使用这个公式,只能(也只需)用诱导公式来 ? tan( ? ? )不能用 T(? ? ? ) 解。如:已知tan ? =2,求
2

2?注意公式的结构,尤其是符号。

13

例1

1: 求tan165?和tan285?的值:
2、化简: (1)tan(α+β)(1 - tanαtanβ) tan(α-β)+ tanβ (2) 1 - tan(α-β)tanβ 答案:

(1)tanα+ tanβ

(2)tanα
3、求值: (1) tan71 - tan26 1+ tan71o tan26o 答案: (1) 1
o o

1- 3tan75 (2) o 3 + tan75
(2) -1

o

14

练习

1.求下列各式的值:

1 ? tan 75 (1) 1 ? tan 75
(2) tan17?+tan28?+tan17?tan28?

(3)tan 20 ? tan 40?? 3 tan 20? tan 40
15

小结
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
tan(α+β)= tanα+ tanβ 1 - tanαtanβ

tanα- tanβ tan(α-β)= 1+ tanαtanβ

变形:

tanα+ tanβ= tan(α+β)(1- tanαtanβ)
tanα- tanβ= tan(α-β)(1+ tanαtanβ)
tan? ? tan? (1 tanαtanβ)= tan(? ? ? )
16

作业
1、P131 2.3.4.5 2、P137 6.7.8.9 3、活页P88

17


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