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高2015级第二次月考试卷


高 2015 级第二次月考试卷 数
一、选择题: 1. 设集合 M ? {x x ? 2}, N ? {x 1 ? x ? 3} ,则下列结论正确的是 (A) M ? N ? M (C) M ? N ? R 2.设 i 为虚数单位,则复数 z ? (A) (B) M ? N ? {x 2 ? x ? 3} (D) M

学(理工类)

/>N ? {x 1 ? x ? 2}

1 ? 2i 等于 2?i
(C)

?i

(B) i

1? i

(D) 1 ? i

3.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切,则 p 的值为 (A)

1 2

(B)1

(C)2

(D)4

4. 已知 p : ea ? eb , q : ln a ? ln b ,则 p 是 q 的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

5 .已知函数 y ? f ( x) 是定义在 (?2,2) 的奇函数,当 x ? (0,2) 时, f ( x) ? 2 x ? 1 ,则

1 f (log 2 ) 的值为 3
(A) 3 2 ? 1 (B) ?

2 3

(C)2

(D) ? 2

6.已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的 面积为 (A)

3 4

(B)

3 2

(C)

3 4

(D) 1

7.函数 y=esin x(-π≤x≤π)的大致图象为

1

8.数列 {an } 共有 5 项,a1 ? 0, | ak ?1 ? ak |? 1 ,k ? 1,2,3,4.则 a5 ? 2 时能组成的数列的个 数为 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

9.已知 A、B 是椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 长轴的两个端点,P、Q 是椭圆上关于 x 轴对 a2 b2

称的两点,直线 AP、BQ 的斜率分别为 k1,k2. 若 率为 (A)

1 1 的最小值为 4,则椭圆的离心 ? k1 k 2

1 2

(B)

3 3

(C)

3 2

(D)

6 3

10.已知平面向量 a 、 b 、 c ,满足: a ? 角为 45 ,则 c 的最大值等于 (A) 10 二、填空题 11. ( x ? (B) 2
?

2 , | b |? 1 , a ? b ? ?1, a ? c 与 b ? c 的夹

(C) 2

(D) 1

1 6 ) 展开式的常数项为 x

. .

12.已知程序框图如下,则输出的 i 的值是

开始

S ?1

i ?3

S ? 100?



S ? S *i

i ?i?2


输出i

结束

13. 点 P 是圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 上任意一点, 则点 P 在第一象限的概率为 14.已知 cos(

.

?
4

? x) ?

1 sin x ? ,则 2 1 ? tan x

.

15.已知实数 x , y , z ,给出下列命题: ①若 x ? 1 , y ? 1 ,且 ln x,1, 4 ln y 成等比数列,则 xy 有最小值 e ; ②若 x , y , z 为正实数,且满足 x ? y ? z ? 1,则
2 2 2

1 1 1 ? 2 ? 2 的最小值为 9; 2 x y z

③若 x 和 y 为正数, a ? x ? y , b ? 形的三边;

x 2 ? xy ? y 2 , c ? 2 xy ,则 a 、 b 、 c 可作三角

2

④若关于 x 方程

|x| ? kx 2 有 4 个不同的实数解,则 k ? (1,??) . x?4
(写出所有正确结论的编号)

其中正确命题的序号为: 三、解答题: 16. (本小题满分 12 分)

某校为了解学生的视力情况,随机抽查了一部分学生视力,将调查结果分组,分组区 间为(3.9,4.2], (4.2,4.5],… , (5.1,5.4].经过数据处理,得到如下频率分布表: 分组 (3.9,4.2] (4.2,4.5] (4.5,4.8] (4.8,5.1] (5.1,5.4] 合计 频数 1 5 9 y 1 n 频率 0.05 0.25 x z 0.05 1.00

(Ⅰ)求频率分布表中未知量 n、x、y、 z 的值; (Ⅱ)从样本中随机抽取 2 人, 其中视力超过 4.8 的人数记为 ? ,求 ? 的分布列及数学 期望.

17. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ( 3sin 2 x ? 2,cos x) , n ? (1,2cos x) ,设函数 f ( x) ? m ? n ? 3 . (Ⅰ)求 f(x)的单调增区间; (Ⅱ)在△ ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 f (A)=1, a ? 求△ ABC 的面积.

3 ,且 b ? c ? 3 ,

18. (本小题满分 12 分) 已知{ an }是公差为 d 的等差数列,它的前 n 项和为 s n , s 4 ? 2s 2 ? 4 . (Ⅰ)求公差 d 的值; (Ⅱ)若对任意的 n ?N*,都有 s n ? s8 成立,求 a1 的取值范围. 3

19. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都是 2,又 AA1⊥ 平面 ABC,D,E 分别是 AC、CC1 的中点. (Ⅰ)求证:AE⊥ 平面 A1BD; (Ⅱ)求二面角 D ? A1 B ? A 的余弦值.

20.(本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点为 2 a b

F1 (?1, 0) ,且点 P(

6 1 , ) 在椭圆 C 上. 2 2

(Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若过定点 A(? 2 ,0) 的直线 l1 交 y 轴于点 Q,交曲线 C 于点 R ,过坐标原点 O 作 直线 l 2 ,使得 l 2 // l1 ,且 l 2 交曲线 C 于点 S ,证明: AQ , 2 OS , AR 三个数值成等 比数列.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 ln x ? x ? ax.
2

? ?)上的单调性 ; (Ⅰ)当 a ? 3 时,讨论函数 f ( x)在[ ,
(Ⅱ)如果

1 2

x1,x2是函数f ( x)的两个零点,且 x1 ? x2 ? 4x1,f ?( x)是函数f ( x)的导函数,
用 x1,x2 表示 a 并证明: f ?(

2 x1 ? x 2 )?0. 3

4

2014 年秋期来复中学校高 2015 级第二次月考试卷 数
一、选择题:
1-5: 6-10:

学(理工类)
答题卡

二、填空题:

11、

12、

13、

14、

15、 三、解答题 16 题:

5

17 题:

18 题:

6

19 题:

20 题:

7

21 题:

8

2014 年秋期来复中学校高 2015 级第二次月考试卷 数
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)
题号 答案

学(理工类)
试题参考答案

1 B

2 A

3 C

4 B

5 D

6 C

7 D

8 B

9 C

10 A

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.15; 12.9; 13. 三、解答题(共 75) 16 解: (I)由表可知,样本容量为 n ,由

1 2 ; 14. ; 15.①②③. 6 4
1 ? 0.05 ,得 n ? 20 ………(2 分) n
………(4 分) ………………… (5 分) ………………… (6 分)

9 ? 0.45 n y ? 20 ? 1 ? 5 ? 9 ? 1 ? 4 , y 4 z? ? ? 0.20 . n 20 (II) ? 可以取的值为:0、1、2, x?

P( ? =0)= P ( ? =2)=

2 C15 21 = 2 C 20 38

P( ? =1)=

1 1 C5 C15 15 ? 2 38 C 20

C52 1 ? 2 C20 19 分布列如下表:
X P 0 21 38 1 15 38 2 1 19

………………… (9 分)

………(10 分)

E ? =0 ?

21 15 +1 ? +2 38 38

?

1 1 = 19 2

…………………………(12 分)

17.解: (Ⅰ)?m ? ( 3 sin 2x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x) ,

? ? f ( x) ? m ? n ? 3 ? 3 sin 2x ? 2 cos2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) .…………………(3 分) 6 ? ? ? 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z , 2 6 2 ? ? ? ? 得到: k? ? ? x ? k? ? , k ? Z ? f(x)的单调增区间为 [ k? ? , k? ? ] k ? Z (6 3 6 3 6
分) 9

(Ⅱ)由 f ( A) ? 1 得, 2sin(2 A ? 由余弦定理得 cos A ?

?
6

) ? 1 , 0 ? A ? ? ,? A ?

?
3

. ………(8 分)

b 2 ? c 2 ? a 2 ?b ? c ?2 ? 2bc ? a 2 ? 2bc 2bc 1 9 ? 2bc ? 3 因为 a ? 3 且 b+c=3,所以 ? ,解得 bc=2. 2 2bc
所以 S ?ABC ?

………(11 分)

1 3 . bc sin A ? 2 2

…………………(12 分)

18.解: (Ⅰ)∵S4 ? 2S2 ? 4 ,∴4a1 ? (Ⅱ)由 s n ? s8 成立, 有 sn ?

3? 4 d ? 2(2a1 ? d ) ? 4 ,解得 d ? 1 . ………(5 分) 2

1 2 1 1 1 1 1 n ? (a1 ? )n ? [n ? ( ? a1 )] 2 ? ( ? a1 ) 2 在 n ? 8 时取最小值, …(8 分) 2 2 2 2 2 2 15 1 17 ? n ?N*, ? ? ? a1 ? ,即: ? 8 ? a1 ? ?7 2 2 2

? a1 的取值范围是 [?8,?7]
?a8 ? 0 ?a1 ? 7d ? 0 ,? . ? ?a9 ? 0 ?a1 ? 8d ? 0
求得 ?8 ? a1 ? ?7 ,∴a1 的取值范围是 [ ?8, ?7]

…………………(12 分)

(Ⅱ)方法 2:由于等差数列{an}的公差 d ? 1 ? 0, Sn要取得最小值S8 ,必须有 …………………(10 分) …………………(12 分)

? BD ? ACC1 A1 ,又 AE ? 平面ACC1 A1 ,? AE ? BD .…………………(2 分) 在正方形 ACC1A1 中,因为 D、E 分别是 AC、CC1 的中点,所以 Rt? A 1 AD ? Rt? ACE . 于是 AE ? A1D , …………………(5 分) 又 BD ? A 1D ? D .
所以 AE⊥平面 A1BD. …………………(6 分) (Ⅰ)方法 2: 以 D 为原点,DA 所在直线为 x 轴,过 D 作 AC 的垂线为 y 轴,DB 所在直 线为 z 轴建立空间直角坐标系如图, ………………… (1 分) 则 A(1,0,0),C(-1,0,0),E(-1,-1,0), A1 (1,-2,0), C1 (-1,-2,0),B(0,0,错误!未找到引用源。), B1 (0,-2,错误! 未找到引用源。),

19. (I)证明:? BA ? BC ,D 为 AC 中点,? BD ? AC . ∵AA1⊥平面 ABC,BD 在平面 ABC 内,? BD ? AA 1 ,又 AC ? AA 1?A

AE =(-2 , -1 , 0) , 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 =(-1 , 2 , 0) , BD =(0 , 0 , ? 3 ). ∴

AE ? A1D =2-2+0=0, ∴AE⊥ A1 D,
同理 AE ? BD =0, ∴AE⊥BD .又 A1 D 与 BD 相交于 D,∴AE⊥平面 A1 BD. (Ⅱ)设平面 D A1 B 的一个法向量为 n1 =( x1 , y1 , z 1 ), 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。取 n1 =(2,1,0).

…………………(3 分) ……(5 分) ……(6 分)

……(8 分)

设平面 AB A1 的一个法向量为 n2 =( x2 ,y 2 ,z 2 ), 易得错误! 未找到引用源。 =(-1, 2, 3 ), 10

错误!未找到引用源。=(0,2,0), 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。取 n2 =(3 , 0 , 3 错误!未找到引用 源。), ) ……(10 分) cos< n1 , n2 > ?

15 15 , 故 二 面 角 D ? A1 B ? A 的 余 弦 值 为 错误!未找到引用 5 5

源。………………(12 分) 20.解: (Ⅰ)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1 (?1, 0) ,所以 c ? 1 ,…………(1 分)

x2 y 2 6 1 , ) 代入椭圆 2 ? 2 ? 1 ,得 4b 4 ? 3b 2 ? 1 ? 0 ,即 b ? 1 ,……(4 分) a b 2 2 2 2 2 x2 所以 a ? b ? c ? 2 ,所以椭圆 C1 的方程为 ? y 2 ? 1 . …(5 分) 2 (II)由题意可知直线 l1 和 l 2 的斜率都存在且相同,
点 P( 设直线 l1 : y ? k ( x ? 2 ) ,则 Q(0, 2k ) , 分) 又直线 OS : y ? kx ,代入 ……………(6

x2 ? y 2 ? 1 ,化简得: (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 2 2
2

2 所以: OS ? 1 ? k | x s ? 0 | ,从而: 2 OS

? 2( 1 ? k 2 | x s ? 0 |) 2 ?

4 ? 4k 2 …… (8 分) 1 ? 2k 2

x2 将 y ? k ( x ? 2 ) 代入 ? y 2 ? 1 ,化简得: (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4 2k 2 x ? 4k 2 ? 2 ? 0 2
所以: AR ? 1 ? k | x A ? x R |?
2

2 2 ? 2k 2 1 ? 2k 2

………(10 分) ……(11 分)

又有: AQ ?

2 ? 2k 2
2 2

? AQ ? AR ? 4 ? 4k
1 ? 2k
分)

? 2 OS

2

? AQ ,

2 OS , AR 三个数值成等比数列。 … (13

21.解: (Ⅰ)方法 1:由题得 f ?( x) ?

? (2 x 2 ? ax ? 2) 2 ( x ? 0) ……(2 分) ? 2x ? a = x x
(负根舍) …………………(3 分)

? a ? a 2 ? 16 令 f ?( x) ? 0 得 x ? 4
?a ? 3


? a 2 ? 16 ? a 2 ? 4a ? 4 ? a 2 ? 16 ? a ? 2 ? ?a ? a 2 ? 16 ? 2
…………………(5 分)

? a ? a 2 ? 16 1 ? 4 2 2 ? (2 x ? ax ? 2) ?1 ? ? 0 在 ? ,?? ? 上恒成立 f ?( x) ? x ?2 ? ?1 ? 故 f ( x) 在 ? ,?? ? 上单调递减 ?2 ?
方法 2: 由题得 f ?( x) ?

………(6 分)

2 ? 2x ? a x 2 1 f ?( x) ? ? 2 x ? a在[ , ? ?)上 单 减 , x 2
11

…………………(2 分)

1 1 ? x ?[ , ? ?)时, f ?( x) ? f ?( ) ? 3 ? a 2 2 1 1 ? a ? 3时, f ?( x) ? 0在[ , ? ?)上恒成立, ? f ( x)在[ , ? ?)上单减 . …(6 分) 2 2 (Ⅱ)∵ x1,x2是函数f ( x)的两个零点,
2 f ( x1 ) ? 2 ln x1 ? x12 ? ax1 ? 0 f ( x2 ) ? 2 ln x2 ? x2 ? ax2 ? 0 x 2 ln 2 x x1 2 ? 2 ln 2 ? ( x2 ? x12 ) ? a( x2 ? x1 ) ? 0 ? a ? ? ( x2 ? x1 ) ………(8 分) x1 x2 ? x1 2 x ? x2 2 6 2 ? f ?( x) ? ? 2 x ? a, ? f ?( 1 )? ? (2 x1 ? x 2 ) ? a x 3 2 x1 ? x 2 3 x 2 ln 2 x1 6 2 ?? ? ( x 2 ? x1 ) ? ? (2 x1 ? x 2 ) x 2 ? x1 2 x1 ? x 2 3 x 2 ln 2 x1 6 1 ?? ? ? ( x1 ? x 2 ) x 2 ? x1 2 x1 ? x 2 3 x 3 2 ?3 x x 2 1 ?? [ln 2 ? 1 ] ? ( x1 ? x 2 ) x x 2 ? x1 x1 3 2? 2 x1 x 3t ? 3 令t ? 2 ? (1, 4),? (t ) ? ln t ? , x1 t?2

1 9 t 2 ? 5t ? 4 (t ? 1)(t ? 4) ? (t ) ? ? ? ? ?0 t (t ? 2) 2 t (t ? 2) 2 t (t ? 2) 2
'

………(13 分)

?? (t )在(1,4)上单减, ?? (t ) ? ? (1) ? 0. 2 1 又? ? 0, ? ( x1 ? x2 ) ? 0 x2 ? x1 3 ? f ?( 2 x1 ? x2 )?0 3
………………………………(14 分)

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