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2010年新罗区录取保送生加试数学试题及答案


2010 年 新 罗 区 录 取 保 送 生 加 试

数 学 试 题
(满分:120 分 考试时间:120 分钟)
友情提示:请将答案填写在答题卷中,写在试卷上不得分。 一、选择题(每小题 3 分,共 8 题,在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知函数 y1 ? x( x ? 0), y 2 ?

1

6 ( x ? 0) ,有下列结论:①两函数图象交点的坐标为 (4,4) ; x

②当 x ? 4 时, y2 ? y1 ;③当 x 逐渐增大时, y1 随着 x 的增大而增大, y 2 随着 x 的增大而 减小.其中正确结论的个数是( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 2.如图所示,在 ?ABC 中, AB ? AC ,M、N 分别是 AB、AC 的中点,D、E 为 BC 上的点, 连接 DN 、EM ,若 AB ? 10cm, BC ? 16cm, DE ? 8cm ,则图中阴影部分的面积为( A. 4 cm
2



B. 6 cm

2

C. 8 cm

2

D. 12 cm

2

第 2 题图 第 4 题图 3. 如图, 水平地面上有一面积为

15 ? cm 2 的扇形 AOB , 半径 OA ? 3 cm , 且 OA 与地面垂直. 在 2 没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至与三角块 BDE 接触为止,此时,扇形与地面的接触点
为 C ,已知 ?BCD ? 30 ,则 O 点移动的距离为(
o

) D. 5? cm

A. 3? cm

B. 4? cm

C.

9 ? cm 2

第 3 题图

数学试题

第 1 页(共八页)

4.一张等腰三角形纸片,底边长 13cm,底边上的高长为 32.5cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽 度均为 5cm 的矩形纸条,如图所示(图在第 1 页) ,已知剪得的纸条中有一张是正方形,则这 张正方形纸条是( ) A. 第 3 张 B. 第 4 张 C. 第 5 张 D. 第 6 张 5.对于任意的两个实数对 ( a, b) 和 (c, d ) , 规定:① (a, b) ? (c, d ) ,当且仅当 a ? c, b ? d ; ②运算“ ? ”为: (a, b) ? (c, d ) ? (ac ? bd, bc ? ad) ; ③运算“ A. (?2,?2) ”为: B. (3,4) C. (2,1) . ( ) D. (?1,?2) 设 p, q ? R ,若 (1,2) ? ( p, q) ? (11 ,2) ,则 6.如图,平面中两条直线 l1 和 l 2 相交于点 O,对于平面上 任意一点 M,若 p 、 q 分别是 M 到直线 l1 和 l 2 的距离, 则称有序非负实数对 ( p ,q ) 是点 M 的 “距离坐标” . 根 据上述定义,有以下几个结论: ①“距离坐标”是(0,1)的点有 1 个; ②“距离坐标”是(5,6)的点有 4 个; ③“距离坐标”是 ( a, a ) ( a 为非负实数)的点有 4 个;其中正确的有(

l1
M ( p ,q )

l2

O

第 6 题图 )

A.0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 7 .父亲每天都爱带报纸去上班,父亲离开家的时间记为 x ,送报人来的时间记为 y ,若

7 : 00 ? x ? 8 : 00 , 7 : 00 ? y ? 8 : 00,则父亲能拿到报纸上班的概率为(
A.



1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

8.现有 1、2、3、4、5 共五个数,从中取若干个数分给 A、B 两组,两组都不能放空,要使得 B 组中最小的数比 A 组中最大的数都大,则有( )种分配方法. A.44 B.49 C.51 D.32 二、填空题(每小题 4 分,共 8 小题) 9.若 x, y 为实数,且

x x ? tan600 ? y ? 3 ? 0 ,则 ( ) 2011 ? ________________. y

10.若 x ?

1 x2 ? 4 ,则 4 2 ? _____________________. x x ?x ?1
2 x ?1

11.满足 2

? 3 ? 2 x ?1 ? 4 ? 0 的 x 的值为_____________________.
ax ? 1 ? 1 ? 0 的解为正数,则 a 的取值范围是______________. x ?1

12.若关于 x 的方程

数学试题

第 2 页(共八页)

13.有一组数满足 a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? a1 ? 0, a4 ? a2 ? 2, a5 ? a3 ? 0, a6 ? a4 ? 2, ?, 按此规律进行下去,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? _____________________. 14.五个学生每人写了一张贺卡,交给老师,老师将这五张贺卡随机分给这五个学生,若大家拿 到的贺卡都不是自己写的,则有____________种不同的分法. 15.二次函数 y ? x 2 ? 2ax ? a 在 ? 1 ? x ? 2 上有最小值 ? 4 ,则 a 的值为___________. 16.三张卡片的正反面上分别写有数字 0 与 2,3 与 4,5 与 6,把这三张卡片拼在一起表示一个 三位数,则这个三位数是偶数的概率是____________. 三、解答题(共 6 小题,共 64 分) 17. (本题 8 分)先化简,再求值:

x?5 x2 ? ( ? x ? 1) ,其中 x ? 2 ? 3 . x 2 ? 3x ? 2 x ? 1

18. (本题 8 分)某商场将进价为 2600 元的彩电以 3000 元售出,平均每天能销售出 6 台.为了配 合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:这种彩电的售 价每降低 50 元,平均每天就能多售出 3 台. (1)商场要想在这种彩电销售中每天盈利 3600 元,同时又要使百姓得到最大实惠,每台彩 电应降价多少元? (2)每台彩电降价多少元时,商场每天销售这种彩电的利润最高?最高利润是多少?

19. (本题 10 分)根据有理数的除法符号法则“两数相除,同号得正,异号得负” ,求不等式

2x ? 1 ? 0 的解集. 2?3x

20. (本题 12 分)已知二次函数 y ? x ? 2mx ? m ? 4 的图象与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在
2 2

点 B 的左边) ,且与 y 轴交于点 D . (1)当点 D 在 y 轴正半轴时,是否存在实数 m ,使得 ?BOD 为等腰三角形?若存在,求 出 m 的值;若不存在,请说明理由;
2 2 (2)当 m ? ?1 时,将函数 y ? x ? 2mx ? m ? 4 的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折,

图象的其余部分保持不变, 得到一个新的图象 ? . 当直线 y ? 公共点时,求实数 b 的取值范围.
数学试题 第 3 页(共八页)

1 x ? b 与图象 ? 有两个 2

21 . (本题 12 分)如图,在 Rt ?ABC 中, ?C ? 900 , ?ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D ,

DE ? DB 交 AB 于点 E ,设⊙ O 是 ?BDE 的外接圆. (1)求证: AC 是⊙ O 的切线;
(2)若 DE ? 2, BD ? 4, 求 AE 的长.

22 . ( 本 题 14 分 ) 直 线 y ? x ? 10 与 x 轴 交 于 A 点 , 点 B 在 第 一 象 限 , 且 AB ? 3 5 ,

cos?OAB ?

2 5 . 5

(1)若点 C 是点 B 关于 x 轴的对称点,求过 O、C、A 三点的抛物线的表达式. (2)在(1)中的抛物线上是否存在点 P ( P 点在第一象限) ,使得以点 P、O、C、A 为 顶点的四边形是梯形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3)若将点 O、A 分别变换为点 Q(?4m,0)、R(6m,0) ( m ? 0 且为常数) ,设过 Q、R 两 点且以 QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线(开口向上)与 y 轴的交点为 N ,其顶点 为 M ,记 ?QNM 的面积为 S ?QNM , ?QNR 的面积为 S ?QNR ,求 S ?QNM :S ?QNR 的值.

数学试题

第 4 页(共八页)

2010 年 新 罗 区 录 取 保 送 生 加 试

数学试题答题卷
一、选择题(每小题 3 分,共 8 题,在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

二、填空题(每小题 4 分,共 8 小题) 9. 13. ;10. ;14. ;11. ;15. ;12. ;16. ; 。

三、解答题(共 6 小题,共 64 分) 17. (本题 8 分)先化简,再求值:

x?5 x2 ? ( ? x ? 1) ,其中 x ? 2 ? 3 . x 2 ? 3x ? 2 x ? 1

18. (本题 8 分)某商场将进价为 2600 元的彩电以 3000 元售出,平均每天能销售出 6 台.为了配 合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:这种彩电的售 价每降低 50 元,平均每天就能多售出 3 台. (1)商场要想在这种彩电销售中每天盈利 3600 元,同时又要使百姓得到最大实惠,每台彩 电应降价多少元? (2)每台彩电降价多少元时,商场每天销售这种彩电的利润最高?最高利润是多少?

数学试题

第 5 页(共八页)

19. (本题 10 分)根据有理数的除法符号法则“两数相除,同号得正,异号得负” ,求不等式

2x ? 1 ? 0 的解集. 2?3x

20. (本题 12 分)已知二次函数 y ? x 2 ? 2mx ? m 2 ? 4 的图象与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在 点 B 的左边) ,且与 y 轴交于点 D . (1)当点 D 在 y 轴正半轴时,是否存在实数 m ,使得 ?BOD 为等腰三角形?若存在,求 出 m 的值;若不存在,请说明理由; (2)当 m ? ?1 时,将函数 y ? x 2 ? 2mx ? m 2 ? 4 的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折, 图象的其余部分保持不变, 得到一个新的图象 ? . 当直线 y ? 公共点时,求实数 b 的取值范围.

1 x ? b 与图象 ? 有两个 2

y

O

x

数学试题

第 6 页(共八页)

21 . (本题 12 分)如图,在 Rt ?ABC 中, ?C ? 900 , ?ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D ,

DE ? DB 交 AB 于点 E ,设⊙ O 是 ?BDE 的外接圆. (1)求证: AC 是⊙ O 的切线;
(2)若 DE ? 2, BD ? 4, 求 AE 的长.

数学试题

第 7 页(共八页)

22 . ( 本 题 14 分 ) 直 线 y ? x ? 10 与 x 轴 交 于 A 点 , 点 B 在 第 一 象 限 , 且 AB ? 3 5 ,

cos?OAB ?

2 5 . 5

(1)若点 C 是点 B 关于 x 轴的对称点,求过 O、C、A 三点的抛物线的表达式. (2)在(1)中的抛物线上是否存在点 P ( P 点在第一象限) ,使得以点 P、O、C、A 为 顶点的四边形是梯形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3)若将点 O、A 分别变换为点 Q(?4m,0)、R(6m,0) ( m ? 0 且为常数) ,设过 Q、R 两 点且以 QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线(开口向上)与 y 轴的交点为 N ,其顶点 为 M ,记 ?QNM 的面积为 S ?QNM , ?QNR 的面积为 S ?QNR ,求 S ?QNM :S ?QNR 的值. y

O

x

2010 年 新 罗 区 录 取 保 送 生 加 试

数学试题参考答案
一、选择题(每小题 3 分,共 8 题,在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 题号 答案 1 C 2 B 3 B 4 B 5 A 6 B 7 C 8 B

二、填空题(每小题 4 分,共 8 小题) 9. ? 1 ; 10.

1 ; 11.1 或 0; 19

12. a ? 1 且 a ? ?1 ;

13.2600;

14.44; 15.5 或

7 1 ? 17 ; 16. . 10 2

三、解答题(共 6 小题,共 64 分)

数学试题

第 8 页(共八页)

17.解:原式=

x ?5 x 2 ? ( x ? 1)(x ? 1) x ? 5 ? ? ( x ? 1)(x ? 2) x ?1 x?2
2 ?3 ? 4?3 2 . 2 ?1

???????4 分

?

???????8 分

18.解:设每台彩电降价 x 元( 0 ? x ? 400 ) ,商场销售这种彩电平均每天的利润为 y 元,

x 3 ) ? ? ( x 2 ? 300 x ? 40000 ) ??2 分 50 50 3 2 ( x ? 300 x ? 40000 ) ? 3600 (1)因为要每天盈利 3600 元,则 y ? 3600,即 ? 50
则有 y ? (3000 ? 2600 ? x)( 6 ? 3 ?
2 所以 x ? 300x ? 20000? 0 解得 x ? 100或x ? 200 ,

又因为要使百姓得到最大实惠,则每台要降价 200 元. ???????5 分 (2)∵ y ? ?

3 2 3 ( x ? 300 x ? 40000 ) ? ? ( x ? 150 ) 2 ? 3750 50 50

∴当 x ? 150 时, y 取得最大值为 3750 , 所以每台彩电降价 150 元时,商场的利润最高为 3750 元. ?????8 分 19.解:依题意得 ?

?2 x ? 1 ? 0 ?2 ? 3 x ? 0

或?

?2 x ? 1 ? 0 ?2 ? 3 x ? 0

??????3 分

1 1 ? ? ?x ? ? 2 或 ? ?x ? ? 2 ? ?? ? ?x ? 2 ?x ? 2 ? ? 3 3 ? ?

???????5 分

解得 x ?

2 2 1 或? ? x ? ? . 3 3 2

???????10 分

2 2 20.解:令 y ? 0 得 x ? 2mx ? m ? 4 ? 0 ,解得 x1 ? m ? 2 , x2 ? m ? 2 ,

∴ A(m ? 2,0), B(m ? 2,0), D(0, m ? 4)
2

???2 分

2 (1)∵点 D 在 y 轴正半轴,∴ m ? 4 ? 0 ,设存在实数 m ,使得 ?BOD 为等腰三角形,

2 则 BO ? OD ,即 m ? 2 ? m ? 4 ,
2 ①当 m ? 2 ? 0 时, m ? 4 ? m ? 2 ,解得 x ? 3 或 x ? ?2 (舍去) ; 2 ②当 m ? 2 ? 0 时, m ? 4 ? m ? 2 ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? ?2 (都舍去) ;

数学试题

第 9 页(共八页)

③当 m ? 2 ? 0 时,点 O、B、D 重合,不合题意,舍去; 综上所述, m ? 3 . ???????6 分 (2)当 m ? ?1 时, y ? x 2 ? 2 x ? 3 ,则 A(?3,0), B(1,0) 顶点为 (?1,?4)

1 x ? b 与图象 ? 有两个公共点, 2 1 3 则当直线 y ? x ? b 过 A点 时 b ? , 2 2 1 1 当直线 y ? x ? b 过 B(1,0) 时, b ? ? , 2 2 1 73 b? 当直线 y ? x ? b 与 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 只有一个公共点时, , 2 16 1 3 73 根据图像,可得 ? ? b ? 或b ? . ????12 分 2 2 16 21. (1)证明:∵ DE ? DB ,⊙ O 是 ?BDE 的外接圆, ∴ BE 是直径,点 O 是 BE 的中点,
因为直线 y ? ∵ ?C ? 900 , ∴ ?DBC ? ?BDC ? 900 , 又 BD 为 ?ABC 的平分线,∴ ?ABD ? ?DBC, ∵ OB ? OD, ∴ ?ABD ? ?ODB, 则 ?ODB ? ?BDC ? 90 即 ?ODC ? 90
0 0

又∵ OD 是⊙ O 的半径,∴ AC 是⊙ O 的切线.(方法不唯一,参照给分)????4 分 (2)解:∵ DE ? DB , DE ? 2, BD ? 4, ∴ BE ? 2 5, OE ? 5 , ∴ ?ABD ? ?ADE ,又 ? A 为公共角, ∴ ?ADB ∽ ?AED ,则有

AE ED 2 ? ? ,∴ AD ? 2 AE , AD DB 4

2 2 2 在 Rt ?AOD 中, AO ? OD ? AD ,即 ( 5 ? AE) 2 ? ( 5) 2 ? (2 AE) 2 ,

解得 AE ?

2 2 5 或 AE ? 0 (舍去) 5 .???????12 分 ,所以 AE ? 3 3

22.解: (1)如图所示,点 A(10,0) , 过 B 作 BD ? x 轴于点 D , 则在 Rt ?ABD 中, cos ?OAB ?

AD , AB

∴ AD ? 6, OD ? 4 ,∴ B(4,3) ,则 C (4,?3),
数学试题 第10 页(共八页)

设过 O、C、A 三点的抛物线表达式为

y ? ax( x ? 10) ,将点 C (4,?3) 代入得 a ?
∴所求抛物线的表达式是 y ?

1 , 8

1 2 5 x ? x .??????3 分 8 4 (2) 设存在第一象限的点 P , 使得以点 P、O、C、A 为顶点的四边形是梯形, 则 CA // PO , 1 由 A(10,0) 和 C (4,?3) 可求得直线 CA 的表达式为 y ? x ? 5 , 2 1 则直线 PO 的表达式为 y ? x , 2
? y? ? 联立 ? ? ?y ? ? ? 1 x ?x ? 0 ? x ? 14 2 ,解得 ? (舍去)或 ? ,则 P(14,7) , 1 2 5 ?y ? 0 ?y ? 7 x ? x 8 4

此时 PO ? 245, CA ? 45, OP ? CA ,所以存在点 P(14,7) 使得四边形 POCA 为梯形.8 分 ( 3 ) 依 题 意 可 设 抛 物 线 表 达 式 为 y ? b( x ? 6m)(x ? 4m) , 则 N (0,?24m 2 b) ,

M (m,?25m 2b) , S ?QNR ?

1 ? 10 m ? 24 m 2 b ? 120 m 3 b ,设抛物 2

线的对称轴与 x 轴的交点为 G ,则 S ?QNM ? S ?OQN ? SONMG ? S ?QGM

?

1 1 1 ? 4m ? 24 m 2b ? ? m ? (24 m 2b ? 25m 2b) ? ? 5m ? 25m 2b ? 10 m3b 2 2 2

∴ S ?QNM : S ?QNR =1:12. ??????14 分

数学试题

第11 页(共八页)


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