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§24.3解直角三角形及其应用(3)


§24.3解直角三角形及其应用
(第三课时)

例5 如图,为测量当地电视塔高AB,因为不能直接到 达塔底B处,我们采用在发射台院外与电视塔底B成一 直线的C、D两处地面上,用测角器测得电视塔顶部 A的仰角分别为45°和30°,同时量得CD=50m,测 角器高1m,由此求电视塔的高(精确到1m) A

D1 D

/>C 30° 1 45° 50 C B

B1

例6 如图,一船以20n mile/h的速度向正东航行,在 A处测得灯塔C在北偏东60°,继续航行1h到达B处, 再测得灯塔C在北偏东30°。已知灯塔C四周10n mile 内有暗礁。问这船继续向东航行是否安全?

分析:这船继续向东航行是否安全,取决于灯塔C到 AB航线的距离是否大于10n mile。

30° B D C

60°

A



例5 如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80海里 的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东 34°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确 到0.01海里)? 解:如图 ,在Rt△APC中, A 65° PC=PA· cos(90°-65°) P =80×cos25° C ≈80×0.91 =72.8 在Rt△BPC中,∠B=34°
? sin B ? PC PB

34°

? PB ?

PC sin B

?

72.8 sin 34
?

?

72.8 0.559

B
? 130.23

当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时,它距离灯塔P大约130.23海里.

化整为零,积零为整,化曲为直,以直代曲的解决问题的策略
解直角三角形有广泛的应用,解决问题时,要根据实际情况灵活运用 相关知识,例如,当我们要测量如图所示大坝的高度h时,只要测出仰 角a和大坝的坡面长度l,就能算出h=lsina,但是,当我们要测量如图所 示的山高h时,问题就不那么简单了,这是由于不能很方便地得到仰角a 和山坡长度l

l
α

l

h
α

h

与测坝高相比,测山高的困难在于;坝坡是“直”的,而山坡是“曲” 的,怎样解决这样的问题呢?

我们设法“化曲为直,以直代曲”. 我们可以把山坡“化 整为零”地划分为一些小段,图表示其中一部分小段,划分小 段时,注意使每一小段上的山坡近似是“直”的,可以量出这 段坡长l1,测出相应的仰角a1,这样就可以算出这段山坡的高度 h1=l1sina1. l α h

在每小段上,我们都构造出直角三角形,利用上面的方法分别算 出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”,把 h1,h2,…,hn相加,于是得到山高h. 以上解决问题中所用的“化整为零,积零为整”“化曲为直,以直代曲” 的做法,就是高等数学中微积分的基本思想,它在数学中有重要地位,在 今后的学习中,你会更多地了解这方面的内容.

练习 1. 海中有一个小岛A,它的周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向到航 行,在B点测得小岛A在北偏东60°方向上,航行12海里到达D点,这时测 得小岛A在北偏到30°方向上,如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有 触礁的危险? 解:由点A作BD的垂线 交BD的延长线于点F,垂足为F,∠AFD=90° A 由题意图示可知∠DAF=30° 设DF= x , AD=2x 60° 则在Rt△ADF中,根据勾股定理
AF ? AD ? DF
2 2

?

? 2x ?
AF BF

2

?x ?
2

3x

B

D

F 30°

在Rt△ABF中,
tan ?ABF ?

tan 30 ?

?

3x 12 ? x

解得x=6

AF ? 6 x ? 6 3 ? 10.4

10.4 > 8没有触礁危险

2. 如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD(图中i=1:3是指坡面的铅直高 度DE与水平宽度CE的比),根据图中数据求:
(1)坡角a和β; (2)坝顶宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m) 解:(1)在Rt△AFB中,∠AFB=90° A D i=1:3 β F E C

ta n ? ?

AF BF

? i ? 1:.5 1
B
?

i=1:1.5

6m

α

? ? 3 3 .7

在Rt△CDE中,∠CED=90°
ta n ? ? DE CE ? i ? 1:3
?

? ? 1 8 .4

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角 三角形的问题); (2)根据条件的特点,适当选用锐角三角形函数等去解直角三角 形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案.


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