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2005年高考理科数学上海卷试题及答案.doc


2005年高考理科数学 上海卷 试题及答案
布谷鸟
一、填空题( 4 ? 12 ? 48 )
x x

1.函数 f ?x ? ? log 4 ?x ? 1? 的反函数 f

?1

?x ? ? ________________
王新敞
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>王新敞
奎屯

新疆

2.方程 4 ? 2 ? 2 ? 0 的解是___________________ 程是______________
10

3.直角坐标平面 xOy 中,若定点 A ?1, 2 ? 与动点 P ?x, y ? 满足 OP ? OA ? 4 ,则点P的轨迹方
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??? ? ??? ?

4.在 ?x ? a ? 的展开式中, x 的系数是15,则实数 a ? ______________
7

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5.若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3 x ,它的一个焦点是 6.将参数方程 ? 7.计算: lim

? 10, 0?,则双曲线的方程是____
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? x ? 1 ? 2 cos ? ( ? 为参数)化为普通方程,所得方程是______ ? y ? 2sin ?
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3n ?1 ? 2n ? ______________ n ?? 3n ? 2 n ?1

8.某班有50名学生,其15人选修A课程,另外35人选修B课程 从班级中任选两名学生,他们 是选修不同课程的学生的概率是____________ (结果用分数表示) ? 9.在 ?ABC 中,若 ?A ? 120 , AB ? 5 , BC ? 7 ,则 ?ABC 的面积S=_________
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10.函数 f ?x ? ? sin x ? 2 sin x

x ? ?0, 2? ? 的图像与直线 y ? k 又且仅有两个不同的交点
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,则 k 的取值范围是____________

2 11.有两个相同的直三棱柱,高为 ,底面三 a 角形的三边长分别为 3a 、 4a 、 5a ?a ? 0 ?
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用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可 能的情形中,全面积最小的一个是四棱柱, 则 a 的取值范围是_______ 12.用n个不同的实数 a1 , a2 ,? , an 可得到 n ! 个
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2 a

4a 5a
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3a

2 a

4a 5a

3a

不同的排列,每个排列为一行写成一个 n ! 行的数阵 对第 i 行 ai1 , ai 2 ,? , ain , 记 bi ? ? ai1 ? 2ai 2 ? 3ai 3 ? ? ? ??1? nain
n

?i ? 1, 2,3,? , n !? 例如:用1,2,3可得数阵如下,由于此数阵中每一列各数
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之和都是12,所以, b1 ? b2 ? ? ? b6 ? ?12 ? 2 ? 12 ? 3 ? 12 ? ?24 那么,在用
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1,2,3,4,5形成的数阵中, b1 ? b2 ? ? ? b120 ? ___________________ 二、选择题( 4 ? 4 ? 16 ) 13.若函数 f ?x ? ?

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?1 ? ?1 ?2 ? ?2 ?3 ? ?3 ?

2 3? ? 3 2? 1 3? ? 3 1? 1 2? ? 2 1? ?

1 ,则该函数在 ???, ?? ? 上是 2 ?1
x

(A)单调递减无最小值 (B)单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D)单调递增有最大值 14.已知集合 M ? x x ? 1 ? 2, x ? R , P ? ? x (A) x 0 ? x ? 3, x ? Z

?

?

?

5 ? ? 1, x ? Z ? ,则 M ? P 等于 ? x ?1 ? x 0 ? x ? 3, x ? Z ? (B) ?

?

?

(C) x ?1 ? x ? 0, x ? Z
2

?

?

(D) x ?1 ? x ? 0, x ? Z

?

?

15.过抛物线 y ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于 5,则这样的直线 (A)又且仅有一条 (B)有且仅有两条 (C)有无穷多条 (D)不存在 16.设定义域为为R的函数 f ?x ? ? ?

? lg x ? 1 , x ? 1 ? ? ? 0, x ?1

,则关于 x 的方程

f 2 ?x ? ? bf ?x ? ? c ? 0 有7个不同的实数解得充要条件是
(A) b ? 0 且 c ? 0 (B) b ? 0 且 c ? 0 (C) b ? 0 且 c ? 0 (D) b ? 0 且 c ? 0 三、解答题 17.已知直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 2 ,底面

ABCD 是直角梯形, ?A ? 90? , AB // CD , AB ? 4 , AD ? 2 , DC ? 1 ,求异面直线 BC1 与 DC 所成的角的大小
(结果用反三角函数表示)

D1
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C1 B1

A1

D A
18.证明:在复数范围内,方程 z ? ?1 ? i ? z ? ?1 ? i ? z ?
2

C B

5 ? 5i ( i 为虚数单位)无解 2?i

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x2 y 2 ? ? 1 长轴的左、右焦点,点F是椭圆的右焦点 点P在椭圆上, 36 20 且位于x轴上方, PA ? PF
19.点A、B分别是椭圆
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(1)求P点的坐标; (2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于 MB ,求椭圆上的点到点M的 距离d的最小值
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y
3 2

P

1

A

o
-1 -2

M

F

B x

-3

20.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房 预计在今后的若 干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%,另外,每年新建住房中,中低价房 的面积均比上一年增加50万平方米 那么,到那一年底, (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万 平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
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21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题 满分6分
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对定义域是 D f . D g 的函数 y ? f ( x) . y ? g ( x) ,

? f ( x) g ( x), 当x ? D f 且x ? D g ? 规定:函数 h( x) ? ? f ( x), 当x ? D f 且x ? D g ? g ( x), 当x ? D 且x ? D f g ?
(1)若函数 f ( x) ?

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1 2 , g ( x) ? x ,写出函数 h( x) 的解析式; x ?1

(2)求问题(1)中函数 h( x) 的值域;

0, ? ?,请设计一个定义域为R的 (3)若 g ( x) ? f ( x ? ? ) ,其中 ? 是常数,且 ? ? ?
函数 y ? f ( x) ,及一个 ? 的值,使得 h( x) ? cos 4 x ,并予以证明
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22.在直角坐标平面中,已知点 P 1, 2 ? , P2 2, 2 1?
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?

2

?, P ?3, 2 ?,?, P ?n, 2 ?,其中n是
3 n 3 n

正整数 对平面上任一点 A0 ,记 A1 为 A0 关于点 P 1 的对称点, A2 为 A 1 关于点 P 2 的对称点,

? , An 为 An ?1 关于点 Pn 的对称点 ????? ? (1)求向量 A0 A2 的坐标;

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(2)当点 A0 在曲线C上移动时,点 A2 的轨迹是函数 y ? f ?x ? 的图像,其中 f ?x ? 是以3 位周期的周期函数,且当 x ? ?0,3?时, f ?x ? ? lg x 求以曲线C为图像的函数在 ?1, 4?上的
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解析式; ????? ? (3)对任意偶数n,用n表示向量 A0 An 的坐标

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2005年高考理科数学 上海卷 试题及答案
参考答案
1. 4 ? 1
x

2.

x=0

3. x+2y-4=0

4. -

1 2

5. x ?
2

y2 ?1 9

6. ( x ? 1) ? y ? 4
2 2

7. 3

8.

3 7

9.

15 3 4

10. 1 ? k ? 3

11. 0 ? a ?

15 3
2 a 4a 5a 3a 2 a 4a 5a 3a

解析:①拼成一个三棱柱时,只有一种一种情况,就 是将上下底面对接,其全面积为

1 4 S三棱柱表面=2? ? 3a ? 4a ? (3a ? 4a ? 5a ) ? ? 12a 2 ? 48 2 a
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②拼成一个四棱柱,有三种情况,就是分别让边长为 3a, 4a,5a 所在的侧面重合,其 上下底面积之和都是 2? 2?

1 ? 3a ? 4a ? 24a 2 ,但侧面积分别为: 2 2 2 2 2(4a ? 5a ) ? ? 36, 2(3a ? 5a ) ? ? 32, 2(3a ? 4a ) ? ? 28 , a a a 1 2 S四棱柱表面=2? 2? ? 3a ? 4a ? 2(3a ? 4a ) ? ? 24a 2 ? 28 2 a

显然,三个是四棱柱中全面积最小的值为:
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由题意,得         24a ? 28 ? 12a ? 48
2 2
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解得    0 ? a ?

15 3

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12.-1080 13. A 14. B 15. B 16.C 17. [解]由题意AB∥CD,∴∠C1BA是异面直线BC1与DC
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D1 A1

C1 B1

所成的角.连结AC1与AC,在Rt△ADC中,可得AC= 5 . 又在Rt△ACC1中,可得AC1=3. 在梯形ABCD中,过C作CH∥AD交AB于H, 得∠CHB=90°,CH=2,HB=3, ∴CB= 13 .

D A
H

C B

又在Rt△CBC1中,可得BC1= 17 ,

在△ABC1中,cos∠C1BA=

3 17 3 17 ,∴∠C1BA=arccos 17 17 3 17 17
D1 A1 D C

异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos

另解:如图,以D为坐标原点,分别以DA、DC、DD1所在 直线为x、y、z轴建立直角坐标系. 则C1(0,1,2),B(2,4,0), ∴ BC1 =(-2,-3,2),

z

C1 B1

CD =(0,-1,0),设 BC1 与 CD 所成的角为θ,
则cosθ=

y
B

BC1 ? CD BC1 ? CD

=

3 17 3 17 ,θ= arccos . 17 17 3 17 17

x

A

异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos 18. [解] 原方程化简为 z
2

? ( z ? z )i ? 1 ? i ,

设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i, ∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-

3 1 且y=± , 2 2

∴原方程的解是z=-

3 1 ± i. 2 2

19. [解](1)由已知可得点A(-6,0),F(0,4) 设点P(x,y),则 AP ={x+6,y}, FP ={x-4,y},

? x2 y 2 ?1 ? ? 由已知可得    ? 36 20 ?( x ? 6)( x ? 4) ? y 2 ? 0 ?
则2x2+9x-18=0,解得x=

3 或x=-6. 2

由于y>0,只能x=

5 3 3 ,于是y= . 2 2

∴点P的坐标是(

3 5 3 , ) 2 2

(2) 直线AP的方程是x- 3 y+6=0.

设点M(m,0),则M到直线AP的距离是

m?6 2

.

于是

m?6 2

= m ? 6 ,又-6≤m≤6,解得m=2.

椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有

d2=(x-2)2+y2=x-4x2+4+20- x2=
由于-6≤m≤6, ∴当x=

5 9

4 9 (x- )2+15, 9 2

9 时,d取得最小值 15 2

20. [解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列, 其中a1=250,d=50, 则Sn=250n+

n(n ? 1) ? 50 =25n2+225n, 2

令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10. ∴到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,其中b1=400,q=1.08, 则bn=400·(1.08)n-1. 由题意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85. 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6. ∴到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.

? x2 x ? (??,1) ? (1, ??) ? 21. [解] (1) h( x) ? ? x ? 1 ?1 x ?1 ?
(2) 当x≠1时, h(x)=

x2 1 =x-1+ +2, x ?1 x ?1

若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立 若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立 ∴函数h(x)的值域是(-∞,0]∪{1}∪[4,+∞) (3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α= 则g(x)=f(x+α)= sin2(x+

?

?
4

4

)+cos2(x+

?
4

)=cos2x-sin2x,

于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x. 另解令f(x)=1+ 2 sin2x, α=

?

2

,

g(x)=f(x+α)= 1+ 2 sin2(x+π)=1- 2 sin2x,
于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+ 2 sin2x)( 1- 2 sin2x)=cos4x.

22. [解](1)设点A0(x,y), A0为P1关于点的对称点A0的坐标为(2-x,4-y), A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y), ∴ A0 A2 ={2,4}. (2) ∵ A0 A2 ={2,4}, ∴f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到. 因此, 曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(-2,1]时,g(x) =lg(x+2)-4.于是,当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4. 另解设点A0(x,y), A2(x2,y2),于是x2-x=2,y2-y=4, 若3< x2≤6,则0< x2-3≤3,于是f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3). 当1< x≤4时, 则3< x2≤6,y+4=lg(x-1). ∴当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4. (3) A0 An = A0 A2 ? A2 A4 ? ? ? An ? 2 An , 由于 A2 k ? 2 A2 k ? 2 P2 k ?1 P2 k ,得

A0 An =2( P1 P2 ? P3 P4 ? ? ? Pn ?1 Pn )
=2({1,2}+{1,23}+┄+{1,2n-1})=2{

4(2 n ? 1) n 2(2 n ? 1) , }={n, } 3 3 2


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