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2011版高三数学一轮精品复习学案:第八章


2011 版高三数学一轮精品复习学案:第八章 平面解析几何
第二节
【考纲知识梳理】
一、圆的方程 1.圆的定义 (1)在平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 (2)确定一个圆的要素是圆心和半径。 2.圆的方程 圆的标准方程 方程 圆心坐 标 半径 r 圆的一般方程

直线与圆

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (r ? 0)
(a,b)

x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
? D F? ?? ,? ? 2? ? 2
1 D2 ? E 2 ? 4F 2

2 2 注:方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的充要条件是 D ? E ? 4F ? 0

3.点与圆的位置关系 已知圆的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,点 M ( x0 , y0 ) 。则: (1)点在圆上: ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ; (2)点在圆外: ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ; (3)点在圆内: ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 。 4.确定圆的方程方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于 a,b,r 或 D、E、F 的方程组; (3)解出 a,b,r 或 D、E、F 代入标准方程或一般方程。 注:用待定系数法求圆的方程时,如何根据已知条件选择圆的方程?(当条件中给出的是圆上几点坐标, 较适合用一般方程,通过解三元方程组求相应系数;当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某条直线上、圆的切线 方程、 圆弦长等条件, 适合用标准方程。 对于有些题, 设哪种形式都可以, 这就要求根据条件具体问题具体分析。 ) 二、直线、圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系

位置关系 公共点个数 几何特征(圆心到直线的距离 d ,半 径r) 代数特征(直线与圆的方程组成的方 程组)

相离 0个

相切 1个

相交 2个

d ?r

d ?r

d ?r

无实数解

有两组相同实数 解

有两组不同实数解

注:在求过一定点的圆的切线方程时,应首先判断这点与圆的位置关系,若点在圆台上,则该点为切点, 切线只有一条;若点在圆外,切线应有两条,谨防漏解。 2.圆与圆的位置关系 位置关系 公共点个数 几何特征( 圆 心距 d ,两圆 半径 R , r , 外离 0 外切 1 相交 2 内切 1 内含 0

d ? R?r

d ? R?r

R?r ? d ? R?r

d ? R?r

d ? R?r

R ? r)
代数特征( 两 个圆的方程 组 成的方程组) 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解

【热点难点精析】
一、圆的方程(一)圆的方程的求法 ※相关链接※ 1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法。如果选择标准方程,即列出关于 a、b、r 的方程组,求 a、b、 r 或直接求出圆心(a,b)和半径 r. 2.如果已知条件中圆心的位置不能确定,则选择圆的一般方程。圆的一般方程也含有三个独立的参数,因 此,必须具备三个独立的条件,才能确定圆的一般方程,其方法仍采用待定系数法。设所求圆的方程为:

x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0(D2 ? E 2 ? 4F ? 0), 由三个条件得到关于 D、E、F 的一个三元一次方程组,解方程
组确定 D、E、F 的值。

3.以

为直径的两端点的圆的方程为

( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0
注:在求圆的方程时,常用到圆的以下必修性质: (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在任一弦的中垂直上; (3)两圆心或外切时,切点与两圆圆心三点共线。 ※例题解析※ 〖例〗求与 x 轴相切,圆心在直线 3x-y=0 上,且被直线 x-y=0 截得的弦长为 2 7 的圆的方程。

(二)与圆有关的最值问题 ※相关链接※

1. 求与圆有关的最值问题多采用几何法, 就是利用一些代数式的几何意义进行转化。 如 (1) 形如 m= 的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; (2)形如 t=ax+by 的最值问题,可转化为直线在 y 轴上的截距的 最值问题; (3)形如 m= 2.特别要记住下面两个代数式的几何意义: 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的直线斜率, ※例题解析※ 〖例〗已知实数 x 、 y 满足方程 x2 ? y 2 ? 4x ? 1 ? 0 。 (1)求 表示点(x,y)与原点的距离。 的最值问题,可转化为两点间的距离平方的最值问题。

y 的最大值和最小值; (2)求 y - x 的最大值和最小值; x
2 2

(3)求 x ? y 的最大值和最小值。 思路解析:化 x , y 满足的关系为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 ? 理解 义分别求之。 (三)与圆有关的轨迹问题 ※相关链接※ 1.解决轨迹问题,应注意以下几点: (1)求方程前必须建立平面直角坐标系(若题目中有点的坐标,就无需建系) ,否则曲线就不可转化为方程。 (2)一般地,设点时,将动点坐标设为(x,y) ,其他与此相关的点设为 ( x0 , y0 ) 等。 (3)求轨迹与求轨迹方程是不同的,求轨迹方程得出方程即可,而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲

y 2 2 , y - x , x ? y 的几何意义 ? 根据几何意 x

线是什么图形。 2.求轨迹方程的一般步骤: (1)建系:设动点坐标为(x,y) ; (2)列出几何等式; (3)用坐标表示得到方程; (4)化简方程; (5)除去不合题意的点,作答。 ※例题解析※ 〖例〗设定点 M(-3,4) ,动点 N 在圆 x2 ? y 2 ? 4 上运动,以 OM、ON 为两边作平行四边形 MONP,求 点 P 的轨迹。 思路解析:先设出 P 点、N 点坐标,根据平行四边形对角线互相平分,用 P 点坐标表示 N 点坐标,代入圆 的方程可求。 解答:如图所示,

二、直线、圆的位置关系 (一)直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系的判定有两种方法 (1)第一种方法是方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立组成方程组,转化为一元二次方程,再利 用判别式⊿来讨论位置关系,即 ⊿>0 ? 直线与圆相交;⊿=0 ? 直线与圆相切;⊿<0 ? 直线与圆相离. (2)第二种方法是几何的观点,即将圆心到直线的距离 d 与半径 r 比较来判断,即 d<r ? 直线与圆相交;d>r ? 直线与圆相切;d=r ? 直线与圆相离。 ※例题解析※ 〖例〗已知圆 x2 ? y 2 ? 6mx ? 2(m ?1) y ? 10m2 ? 2m ? 24 ? 0(m ? R). (1)求证:不论 m 为何值,圆心在同一直线上; (2)与 l 平行的直线中,哪些与圆相交、相切、相离; (3)求证:任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。 思路解析:用配方法将圆的一般方程配成标准方程,求出圆心坐标,消去 m 就得关于圆心的坐标间的关系, 就是圆心的轨迹方程;判断直线与圆相交、相切、相离,只需比较圆心到直线的距离 d 与圆半径的大小即可;证 明弦长相等时,可用几何法计算弦长。 (二)圆与圆的位置关系

※相关链接※ 1.判断两圆的位置关系常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系,一般不采用代数法; 2.若两圆相交,则两圆公式弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x 2 , y 2 项即可得到; 3.两圆公切线的条数(如下图)

O1

O2

O1

O2

O1

O2

O1

O2

O1

O2

(1)两圆内含时,公切线条数为 0; (2)两圆内切时,公切线条数为 1; (3)两圆相交时,公切线条数为 2; (4)两圆外切时,公切线条数为 3; (5)两圆相离时,公切线条数为 4。因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系,反过来知道两 圆公切线的条数,也可以判断出两圆的位置关系。 ※例题解析※ 〖例〗求经过两圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 13 和 x2 ? ( y ? 3)2 ? 37 的交点,且圆心在直线 x-y-4=0 上的圆的方程 思路解析:根据已知,可通过解方程组 ?
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特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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?( x ? 3) 2 ? y 2 ? 13 ? 得圆上两点,由圆心在直线 x-y-4=0 上,三个 2 2 ? ? x ? ( y ? 3) ? 37

独 立 条 件 , 用 待 定 系 数 法 求 出 圆 的 方 程 ; 也 可 根 据 已 知 , 设 所 求 圆 的 方 程 为

( x ? 3)2 ? y 2 ?13 ? ? ( x2 ? ( y ? 3)2 ? 37) ? 0 ,再由圆心在直线 x-y-4=0 上,定出参数λ ,得圆方程
(三)圆的切线及弦长问题 ※相关链接※ 1.求圆的切线的方法 (1)求圆的切线方程一般有两种方法: ①代数法: 设切线方程为 然后令判别式⊿=0 进而求得 k。 ②几何法:设切线方程为 然后令 d=r,进而求出 k。 两种方法,一般来说几何法较为简洁,可作为首选。 注:在利用点斜式求切线方程时,不要漏掉垂直于 x 轴的切线,即斜率不存在时的情况。 (2)若点 M ( x0 , y0 ) 在圆 x ? y ? r 上,则 M 点的圆的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2 。
2 2 2

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与圆的方程组成方程组, 消元后得到一个一元二次方程,

利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离 d,

2.圆的弦长的求法

(1)几何法:设圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 L,则 (2)代数法:设直线与圆相交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,解方程组 ? 关于 x 的一元二次方程,从而求得 x1 ? x2 , x1 , x2 , 则弦长为



? y ? kx ? b
2 2 2 ?( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ? r

消 y 后得

| AB |? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ](k为直线斜率) 。

【感悟高考真题】
1.8.直线 y ? kx ? 3 与圆 ? x ? 3 ? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 M,N 两点,若 MN ? 2 3 ,则 k 的取值范围是
2 2

? 3 ? ? , 0? ? 4 ? ? A.

? 3 3? 3? ? , ? ?? ?? , ? ? 0 , ? ? ? ? ? ? 3 3 ? 4? B. ? C. ?

? 2 ? ? , 0? ? 3 ? ? D.

【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式,重点考察数形结合的运用.

29、动点 A? x, y ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋 旋转一周。 已知时间 t ? 0 时, 点 A 的坐标是 ( ,

转,12 秒

1 3 则当 0 ? t ? 12 ), 2 2

时,动点

A 的纵坐标 y 关于 t (单位:秒)的函数的单调递增区间是
A、 ?0,1? B、 ?1,7? C、 ?7,12? D、 ?0,1? 和 ?7,12?

3. (2010 全国卷 2 文数) (16)已知球 O 的半径为 4,圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆, AB 为圆 M 与圆 N 的 公共弦, AB ? 4 ,若 OM ? ON ? 3 ,则两圆圆心的距离 MN ?
2



4.设平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数 f ? x ? ? x ? 2x ? b ? x ? R ? 的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三 个交点的圆记为 C.求: (Ⅰ)求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)求圆 C 的方程; (Ⅲ)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论. 一、选择题

? x ? 1? ? y 2 ? 1 相切,则 a 的值为( 1.直线 ax ? y ? 1 ? 0 与圆
2



A 0

B. 1

C.2

D. ?1

2.已知圆 C 与圆(x-1)2+y2=1 关于直线 y=-x 对称,则圆 C 的方程为()

A.(x+1)2+y2=1 C.x2+(y+1)2=1

B.x2+y2=1 D.x2+(y-1)2=1

3.已知圆 x 2 ? y 2 ? 1 与 x 轴的两个交点为 A 、 B ,若圆内的动点 P 使 | PA | 、 | PO | 、 | PB | 成等比数列,则

PA ? PB 的取值范围为--------------( )
(A) ? 0, ? 2

? ?

1? ?

B) ? ? ,0 ?

? 1 ? 2

? ?

(C) (? ,0)

1 2

(D) [?1, 0)

4. 已知 AC , BD 为圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 的两条互相垂直的弦, AC , BD 交于点 M 1, 2 ,则四边形 ABCD 面积 的最大值为-----( ) A 4 B5
2

?

?

C 6

D 7 ( )

5.直线 x+y+1=0 与圆 ?x ? 1? ? y 2 ? 2 的位置关系是 A.相交 B.相离 C 相切

D.不能确定

答案:C 提示:圆心 ?1,0?, d ?

1? 0 ?1 2

? 2 ? r,
) D.内含

? x ? ?3 ? 2cos ? ? x ? 3cos ? 与? 6.两圆 ? 的位置关系是( ? y ? 4 ? 2sin ? ? y ? 3sin ?

A.内切

B.外切

C.相离

7.已知点 P(x,y)是直线 kx + y + 4 = 0(k > 0)上一动点,PA、PB 是圆 C: x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的两条切线,A、 B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为( ) A.3 答案:D 8.经过圆 C : ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的圆心且斜率为 1 的直线方程为() A x? y ?3? 0 B. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 3 ? 0 B.
21 2

C. 2 2

D.2

9. 已知圆的方程为 x2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 0 , 设圆中过点 (2,5) 的最长弦与最短弦分别为 AB 、CD , 则直线 AB 与

CD 的斜率之和为()
(A) ?1 B 0 (C) 1 (D) ?2 10.已知圆的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,且与直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 相切,则圆的方程是( ) A. x ? y ? 4 x ? 0
2 2

B. x ? y ? 4 x ? 0
2 2

C. x ? y ? 2 x ? 3 ? 0
2 2

D. x ? y ? 2 x ? 3 ? 0
2 2

11.若直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=1 相交于 P、Q 两点,且∠POQ=120° (其中 O 为原点),则 k 的值为()

1 A、± 2

B、±

3 2

C、±

3 3

D、± 3

12.如图,点 P(3,4)为圆 x 2 ? y 2 ? 25 上的一点,点 E,F 为 y 轴上的两点,△PEF 是以点 P 为顶点的等腰三 角形,直线 PE,PF 交圆于 D,C 两点,直线 CD 交 y 轴于点 A,则 sin∠DAO 的值为 ( )

A.

2 5

B.

3 5

C.

4 5

D.

3 4

二、填空题

? x ? 1 ? cos ? , ? y ? sin ? . 13 .圆 C: ? ( ? 为参数)的圆心坐标是
为 .

;若直线 ax ? y ? 1 ? 0 与圆 C 相切,则 a 的值

14.如图,点 A、B、C 是圆 O 上的点,且 AB=4, ?ACB ? 30 ,则圆 O 的面积等于
o

15.已知实数 a, b, c 成等差数列,点 P(?1,0) 在直线 ax ? by ? c ? 0 上的射影是 Q,则 Q 的轨迹方程是______。 16.已知直线 l : ax ? by ? c ? 0 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 相交于 A 、 B 两点, | AB |? 三、解答题 17.已知 A 是圆 x ? y ? 4 上任一点,AB 垂直于 x 轴,交 x 轴于点 B.以 A 为圆心、AB 为半径作圆交已知圆于
2 2

3 ,则 OA · OB =

C、D,连结 CD 交 AB 于点 P. (1)求点 P 的轨迹方程; (2)若(1)所求得的点 P 的轨迹为 M,过点 Q( ? 3 ,0)作直线 l 交轨迹 M 于 E、G 两点,O 为坐标原点,求△EOG 的面积的最大值,并求出此时直线 l 的倾斜角.


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