2013年全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数

2013 年全国高考理科数学分类汇编 3：三角函数
一、选择题 1 ． （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理） ）已知 ? ? R, sin ? ? 2 cos? ?

10 ,则 tan 2? ? 2

3 4 D. ? 4 3 2 ． （2013 年高考陕西卷 （理） ） 设△ABC 的内角 A, B, C 所对

的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形状为
A.

4 3

B.

3 4

C. ?

(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定
3 ． （2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学 （理） ） 在△ABC 中, ?ABC ?

?
4

, AB ? 2, BC ? 3, 则 sin?BAC

= (A)

10 10

(B)

10 5

(C)

3 10 10

(D)

5 5

4 ． （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理） ）将函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图象沿 x 轴向左平移

单位后,得到一个偶函数的图象,则 ? 的一个可能取值为
5 ． （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理） ）在 ?ABC ,内角 A, B, C 所对的边长分别为

? 个 8

1 a, b, c. a sin B cos C ? c sin B cos A ? b, 且 a ? b ,则 ?B ? 2 ? ? 2? 5? A. B. C. D. 3 6 6 3
6 ． （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理） ）已知函数

f ? x ? =cos x sin 2x ,下列结论中错误的

是 (A) y ? f ? x ? 的图像关于 ?? ,0? 中心对称 (B) y ? f ? x ? 的图像关于直线 x ? (C) f ? x ? 的最大值为

?
2

对称

3 2

(D) f ? x ? 既奇函数,又是周期函数

7 ． （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理） ）函数 y ? x cos x ? sin x 的图象大致为

8 ． （2013 年高考四川卷（理） ）函数 f ( x ) ? 2sin(? x ? ? ), (? ? 0,?

?
2

?? ?

?
2

) 的部分图象如图所示,则

? , ? 的值分别是(

)

(A) 2, ?

?
3

(B) 2, ?

?
6

(C) 4, ?

?
6

(D) 4,

? 3
)

? ) 上单调递减的函数是( 9 ． （2013 年上海市春季高考数学试卷）既是偶函数又在区间 (0，
(A) y ? sin x (B) y ? cos x (C) y ? sin 2 x (D) y ? cos 2 x
0 0

10． （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理） ） 4cos50 ? tan 40 ?

(

)

A. 2

B.

2? 3 2

C. 3

D. 2 2 ?1

11 ．（ 2013 年 高 考 湖 南 卷 （ 理 ）） 在 锐 角 中 ?ABC , 角 A, B 所 对 的 边 长 分 别 为 a , b . 若

2a sin B ? 3b, 则角A等于
A.

? 12

B.

? 6

C.

? 4

D.

? 3

12． （2013 年高考湖北卷（理） ）将函数 y

? 3 cos x ? sin x ? x ? R ? 的图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个长度单位
)

后,所得到的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A.

?
12

B.

?
6

C.

?
3

D.

5? 6

二、填空题

13 ． （ 2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理） ） ?ABC 中 , ?C ? 90 , M 是 BC 的中点 , 若
0

sin ?BAM ?

1 ,则 sin ?BAC ? ________. 3

14． （2013 年高考新课标 1（理） ）设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2cos x 取得最大值,则 cos ? ? ______ 15 ． （ 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 福 建 数 学 （ 理 ） ）如图

?ABC 中 , 已 知 点 D 在 BC 边

上,AD ? AC, sin ?BAC ?

2 2 , AB ? 3 2, AD ? 3 则 BD 的长为_______________ 3

16． （2013 年上海市春季高考数学试卷）函数 y

? 2sin x 的最小正周期是_____________

17． （2013 年高考四川卷（理） ）设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? ( 18 ．（ 2013

?
2

, ? ) ,则 tan 2? 的值是_________.

年 高 考 上 海 卷 （ 理 ）） 若 cos x cos y ? sin x sin y ?

1 2 ,sin 2 x ? sin 2 y ? , 则 2 3

sin( x ? y) ? ________

19（ ．2013 年高考上海卷 （理） ） 已知△ABC 的内角 A、 B、 C 所对应边分别为 a、 b、 c,若 3a ? 2ab ? 3b ? 3c ? 0 ,
2 2 2

则角 C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)
20 ． （ 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 大 纲 版 数 学 （ 理 ） ） 已 知 ? 是 第 三 象 限 角 , sin a ? ?

1 ,则 3

cot a ? ____________.
21． （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） ） 函数 y ? 3 sin( 2 x ?

?
4

) 的最小正周期为

___________

B、 C 所 对 边 长 分 别 为 a、、 b c ,若 22 ． （ 2013 年 上 海 市 春 季 高 考 数 学 试 卷 () ） 在 ?ABC 中 , 角 A、

a ? 5， b ? 8， B ? 60 ,则 b= _______

23． （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理） ）设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c .

若 b ? c ? 2a ,则 3sin A ? 5sin B, 则角 C ? _____.

24． （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理） （纯） ）设 ? 为第二象限角,若 tan(?

则 sin ? ? cos ? ? ________.
25． （2013 年高考江西卷（理） ）函数 y ? sin 2 x ? 2

? 1 ? )? , 4 2

3sin 2 x 的最小正周期为 T 为_________.

26． （2013 年上海市春季高考数学试卷()）函数 y ? 4sin x ? 3cos x 的最大值是_______________ 三、解答题 27． （2013 年高考北京卷（理） ）在△ABC 中,a=3,b=2

6 ,∠B=2∠A.

(I)求 cosA 的值;

(II)求 c 的值.

b. 28． （2013 年高考陕西卷（理） ）已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a·

1 2

(Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期. ? ?? (Ⅱ) 求 f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?
29． （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理） ）在 ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且

a 2 ? b2 ? 2ab ? c2 .
(1)求 C ; (2)设 cos A cos B ?

3 2 cos ?? ? A? cos ?? ? B ? 2 ,求 tan ? 的值. , ? 2 5 cos ? 5

30 ． （ 2013

年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 天 津 数 学 （ 理 ）） 已 知 函 数

?? ? f ( x) ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 6sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1, x ? R . 4? ?
(Ⅰ) 求 f(x)的最小正周期; ? ?? (Ⅱ) 求 f(x)在区间 ? 0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

31 ． （ 2013

年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 辽 宁 数 学 （ 理 ）） 设 向 量

a?

?

? ?? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sinx ? , x ? ?0, ? . ? 2?

?

(I)若 a ? b .求x的值；

(II)设函数 f ? x ? ? a b, 求f ? x ?的最大值.

32． （2013 年高考上海卷（理）)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 ;

(1)若 y ? f ( x) 在 [ ?

? 2?
4 , 3

] 上单调递增,求 ? 的取值范围;

(2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

? 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图像, 6

区间 [ a, b] ( a, b ? R 且 a ? b )满足: y ? g ( x) 在 [ a, b] 上至少含有 30 个零点,在所有满足上述条件的 [ a, b] 中,求 b ? a 的最小值.

33 ． （ 2013 年普 通高等学 校招生 统一 考试大 纲版数 学（理 ） ） 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为

a, b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac .
(I)求 B (II)若 sin A sin C ?

3 ?1 ,求 C . 4

34 ．（ 2013 年 高 考 四 川 卷 （ 理 ）） 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且

A? B 3 cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) ? ? . 2 5 (Ⅰ)求 cos A 的值; 2 cos 2
(Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.

35． （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理） ）设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

且 a ? c ? 6 , b ? 2 , cos B ? (Ⅰ)求 a , c 的值;

7 . 9

(Ⅱ)求 sin( A ? B) 的值.

36． （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 （理） ） 已知函数

?? ? f ( x) ? 4cos? x ? sin ?? x ? ? (? ? 0) 的 4? ?

最小正周期为 ? . (Ⅰ)求? 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 在区间 ? 0, 2? 上的单调性.

37． （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理） ）已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 的

周期为 ? ,图像的一个对称中心为 ( 标不变),在将所得图像向右平移

?
4

, 0) ,将函数 f ( x) 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐

?
2

个单位长度后得到函数 g ( x) 的图像.

(1)求函数 f ( x) 与 g ( x) 的解析式; (2)是否存在 x0 ? (

? ?

, ) ,使得 f ( x0 ), g ( x0 ), f ( x0 ) g ( x0 ) 按照某种顺序成等差数列 ?若存在,请确定 x0 的 6 4

个数;若不存在,说明理由 (3)求实数 a 与正整数 n ,使得 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个零点.

38 ． （ 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 招 生 考 试 江 苏 卷 （ 数 学 ） ） 本 小 题 满 分 14 分 . 已 知

a＝( c o ? s , s? i n， b) ?

(? cos ? , s, i0 n? ? ) ?? ?? .

(1)若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ;(2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值.

39． （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）已知函数

? ? ? f ( x) ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . ? 12 ?

(Ⅰ) 求 f ? ?

? ?? ? 的值; ? 6?

(Ⅱ) 若 cos ? ?

3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

?? ? f ? 2? ? ? . 3? ?

40． （2013 年高考湖南卷（理） ）已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?

? x ) ? cos( x ? ).g ( x) ? 2sin 2 . 6 3 2

(I)若 ? 是第一象限角,且 f (? ) ?

3 3 .求 g (? ) 的值; 5

(II)求使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值集合.

41． （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） ）本小题满分 16 分.如图,游客从某旅游景区

的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C ,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然 后从 B 沿直线步行到 C .现有甲.乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m / min .在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B ,在 B 处停留 1 min 后,再从匀速步行到 C .假设缆车匀速直线运动的速度为

130 m / min ,山路 AC 长为 1260 m ,经测量, cos A ?

12 3 , cos C ? . 13 5

(1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? A B

C

42 ． （ 2013 年 高 考 湖 北 卷 （ 理 ） ） 在 ?ABC 中 , 角 A ,

B , C 对应的边分别是 a , b , c .已知

cos 2 A ? 3cos ? B ? C ? ? 1.
(I)求角 A 的大小; (II)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值.

43． （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理） （纯） ）△ ABC 在内角 A, B, C 的对边分别为

a, b, c ,已知 a ? b cos C ? c sin B .
(Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 ,求△ ABC 面积的最大值.

44． （2013年高考新课标1（理） ）如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°

1 (1)若 PB= ,求 PA;(2)若∠APB=150°,求 tan∠PBA 2

[

45． （2013 年上海市春季高考数学试卷）本题共有 2 个小题,第一小题满分 4 分,第二小题满分 9 分.

在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在 y 轴正半轴上,点 Pn 在 x 轴上,其横坐标为 xn ,且 {xn } 比为 2 的等比数列,记 ?P n AP n ?1 ? ?n , n ? N .
?

是首项为 1、公

(1)若 ?3 ? arctan

1 ,求点 A 的坐标; 3

(2)若点 A 的坐标为 (0， 8 2) ,求 ? n 的最大值及相应 n 的值. y A

0

P1 P2 P3

P4

x

46（ ．2013 年高考江西卷 （理） ） 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cosC+(conA-

sinA)cosB=0.

(1) 求角 B 的大小;若 a+c=1,求 b 的取值范围