2013 年全国高考理科数学分类汇编 3:三角函数
一、选择题 1 . (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理) )已知 ? ? R, sin ? ? 2 cos? ?
10 ,则 tan 2? ? 2
3 4 D. ? 4 3 2 . (2013 年高考陕西卷 (理) ) 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形状为
A.
4 3
B.
3 4
C. ?
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定
3 . (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学 (理) ) 在△ABC 中, ?ABC ?
?
4
, AB ? 2, BC ? 3, 则 sin?BAC
= (A)
10 10
(B)
10 5
(C)
3 10 10
(D)
5 5
4 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理) )将函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图象沿 x 轴向左平移
单位后,得到一个偶函数的图象,则 ? 的一个可能取值为
5 . (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理) )在 ?ABC ,内角 A, B, C 所对的边长分别为
? 个 8
1 a, b, c. a sin B cos C ? c sin B cos A ? b, 且 a ? b ,则 ?B ? 2 ? ? 2? 5? A. B. C. D. 3 6 6 3
6 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理) )已知函数
f ? x ? =cos x sin 2x ,下列结论中错误的
是 (A) y ? f ? x ? 的图像关于 ?? ,0? 中心对称 (B) y ? f ? x ? 的图像关于直线 x ? (C) f ? x ? 的最大值为
?
2
对称
3 2
(D) f ? x ? 既奇函数,又是周期函数
7 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理) )函数 y ? x cos x ? sin x 的图象大致为
8 . (2013 年高考四川卷(理) )函数 f ( x ) ? 2sin(? x ? ? ), (? ? 0,?
?
2
?? ?
?
2
) 的部分图象如图所示,则
? , ? 的值分别是(
)
(A) 2, ?
?
3
(B) 2, ?
?
6
(C) 4, ?
?
6
(D) 4,
? 3
)
? ) 上单调递减的函数是( 9 . (2013 年上海市春季高考数学试卷)既是偶函数又在区间 (0,
(A) y ? sin x (B) y ? cos x (C) y ? sin 2 x (D) y ? cos 2 x
0 0
10. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理) ) 4cos50 ? tan 40 ?
(
)
A. 2
B.
2? 3 2
C. 3
D. 2 2 ?1
11 .( 2013 年 高 考 湖 南 卷 ( 理 )) 在 锐 角 中 ?ABC , 角 A, B 所 对 的 边 长 分 别 为 a , b . 若
2a sin B ? 3b, 则角A等于
A.
? 12
B.
? 6
C.
? 4
D.
? 3
12. (2013 年高考湖北卷(理) )将函数 y
? 3 cos x ? sin x ? x ? R ? 的图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个长度单位
)
后,所得到的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A.
?
12
B.
?
6
C.
?
3
D.
5? 6
二、填空题
13 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理) ) ?ABC 中 , ?C ? 90 , M 是 BC 的中点 , 若
0
sin ?BAM ?
1 ,则 sin ?BAC ? ________. 3
14. (2013 年高考新课标 1(理) )设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2cos x 取得最大值,则 cos ? ? ______ 15 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 福 建 数 学 ( 理 ) )如图
?ABC 中 , 已 知 点 D 在 BC 边
上,AD ? AC, sin ?BAC ?
2 2 , AB ? 3 2, AD ? 3 则 BD 的长为_______________ 3
16. (2013 年上海市春季高考数学试卷)函数 y
? 2sin x 的最小正周期是_____________
17. (2013 年高考四川卷(理) )设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? ( 18 .( 2013
?
2
, ? ) ,则 tan 2? 的值是_________.
年 高 考 上 海 卷 ( 理 )) 若 cos x cos y ? sin x sin y ?
1 2 ,sin 2 x ? sin 2 y ? , 则 2 3
sin( x ? y) ? ________
19( .2013 年高考上海卷 (理) ) 已知△ABC 的内角 A、 B、 C 所对应边分别为 a、 b、 c,若 3a ? 2ab ? 3b ? 3c ? 0 ,
2 2 2
则角 C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)
20 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 大 纲 版 数 学 ( 理 ) ) 已 知 ? 是 第 三 象 限 角 , sin a ? ?
1 ,则 3
cot a ? ____________.
21. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) ) 函数 y ? 3 sin( 2 x ?
?
4
) 的最小正周期为
___________
B、 C 所 对 边 长 分 别 为 a、、 b c ,若 22 . ( 2013 年 上 海 市 春 季 高 考 数 学 试 卷 () ) 在 ?ABC 中 , 角 A、
a ? 5, b ? 8, B ? 60 ,则 b= _______
23. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理) )设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c .
若 b ? c ? 2a ,则 3sin A ? 5sin B, 则角 C ? _____.
24. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯) )设 ? 为第二象限角,若 tan(?
则 sin ? ? cos ? ? ________.
25. (2013 年高考江西卷(理) )函数 y ? sin 2 x ? 2
? 1 ? )? , 4 2
3sin 2 x 的最小正周期为 T 为_________.
26. (2013 年上海市春季高考数学试卷())函数 y ? 4sin x ? 3cos x 的最大值是_______________ 三、解答题 27. (2013 年高考北京卷(理) )在△ABC 中,a=3,b=2
6 ,∠B=2∠A.
(I)求 cosA 的值;
(II)求 c 的值.
b. 28. (2013 年高考陕西卷(理) )已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a·
1 2
(Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期. ? ?? (Ⅱ) 求 f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?
29. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理) )在 ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且
a 2 ? b2 ? 2ab ? c2 .
(1)求 C ; (2)设 cos A cos B ?
3 2 cos ?? ? A? cos ?? ? B ? 2 ,求 tan ? 的值. , ? 2 5 cos ? 5
30 . ( 2013
年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 天 津 数 学 ( 理 )) 已 知 函 数
?? ? f ( x) ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 6sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1, x ? R . 4? ?
(Ⅰ) 求 f(x)的最小正周期; ? ?? (Ⅱ) 求 f(x)在区间 ? 0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?
31 . ( 2013
年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 辽 宁 数 学 ( 理 )) 设 向 量
a?
?
? ?? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sinx ? , x ? ?0, ? . ? 2?
?
(I)若 a ? b .求x的值;
(II)设函数 f ? x ? ? a b, 求f ? x ?的最大值.
32. (2013 年高考上海卷(理))已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 ;
(1)若 y ? f ( x) 在 [ ?
? 2?
4 , 3
] 上单调递增,求 ? 的取值范围;
(2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移
? 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图像, 6
区间 [ a, b] ( a, b ? R 且 a ? b )满足: y ? g ( x) 在 [ a, b] 上至少含有 30 个零点,在所有满足上述条件的 [ a, b] 中,求 b ? a 的最小值.
33 . ( 2013 年普 通高等学 校招生 统一 考试大 纲版数 学(理 ) ) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为
a, b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac .
(I)求 B (II)若 sin A sin C ?
3 ?1 ,求 C . 4
34 .( 2013 年 高 考 四 川 卷 ( 理 )) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且
A? B 3 cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) ? ? . 2 5 (Ⅰ)求 cos A 的值; 2 cos 2
(Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.
35. (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理) )设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,
且 a ? c ? 6 , b ? 2 , cos B ? (Ⅰ)求 a , c 的值;
7 . 9
(Ⅱ)求 sin( A ? B) 的值.
36. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 (理) ) 已知函数
?? ? f ( x) ? 4cos? x ? sin ?? x ? ? (? ? 0) 的 4? ?
最小正周期为 ? . (Ⅰ)求? 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 在区间 ? 0, 2? 上的单调性.
37. (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理) )已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 的
周期为 ? ,图像的一个对称中心为 ( 标不变),在将所得图像向右平移
?
4
, 0) ,将函数 f ( x) 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐
?
2
个单位长度后得到函数 g ( x) 的图像.
(1)求函数 f ( x) 与 g ( x) 的解析式; (2)是否存在 x0 ? (
? ?
, ) ,使得 f ( x0 ), g ( x0 ), f ( x0 ) g ( x0 ) 按照某种顺序成等差数列 ?若存在,请确定 x0 的 6 4
个数;若不存在,说明理由 (3)求实数 a 与正整数 n ,使得 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个零点.
38 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 招 生 考 试 江 苏 卷 ( 数 学 ) ) 本 小 题 满 分 14 分 . 已 知
a=( c o ? s , s? i n, b) ?
(? cos ? , s, i0 n? ? ) ?? ?? .
(1)若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ;(2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值.
39. (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷)已知函数
? ? ? f ( x) ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . ? 12 ?
(Ⅰ) 求 f ? ?
? ?? ? 的值; ? 6?
(Ⅱ) 若 cos ? ?
3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?
?? ? f ? 2? ? ? . 3? ?
40. (2013 年高考湖南卷(理) )已知函数 f ( x) ? sin( x ?
?
? x ) ? cos( x ? ).g ( x) ? 2sin 2 . 6 3 2
(I)若 ? 是第一象限角,且 f (? ) ?
3 3 .求 g (? ) 的值; 5
(II)求使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值集合.
41. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) )本小题满分 16 分.如图,游客从某旅游景区
的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C ,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然 后从 B 沿直线步行到 C .现有甲.乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m / min .在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B ,在 B 处停留 1 min 后,再从匀速步行到 C .假设缆车匀速直线运动的速度为
130 m / min ,山路 AC 长为 1260 m ,经测量, cos A ?
12 3 , cos C ? . 13 5
(1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? A B
C
42 . ( 2013 年 高 考 湖 北 卷 ( 理 ) ) 在 ?ABC 中 , 角 A ,
B , C 对应的边分别是 a , b , c .已知
cos 2 A ? 3cos ? B ? C ? ? 1.
(I)求角 A 的大小; (II)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值.
43. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯) )△ ABC 在内角 A, B, C 的对边分别为
a, b, c ,已知 a ? b cos C ? c sin B .
(Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 ,求△ ABC 面积的最大值.
44. (2013年高考新课标1(理) )如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°
1 (1)若 PB= ,求 PA;(2)若∠APB=150°,求 tan∠PBA 2
[
45. (2013 年上海市春季高考数学试卷)本题共有 2 个小题,第一小题满分 4 分,第二小题满分 9 分.
在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在 y 轴正半轴上,点 Pn 在 x 轴上,其横坐标为 xn ,且 {xn } 比为 2 的等比数列,记 ?P n AP n ?1 ? ?n , n ? N .
?
是首项为 1、公
(1)若 ?3 ? arctan
1 ,求点 A 的坐标; 3
(2)若点 A 的坐标为 (0, 8 2) ,求 ? n 的最大值及相应 n 的值. y A
0
P1 P2 P3
P4
x
46( .2013 年高考江西卷 (理) ) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cosC+(conA-
sinA)cosB=0.
(1) 求角 B 的大小;若 a+c=1,求 b 的取值范围