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重庆市第一中学2017级高二数学上学期期末试题 文


2016 年重庆一中高 2017 级高二上期期末考试 数 学 试 题 卷(文科)
数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用

0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 试卷Ⅰ(共 60 分) 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
2 1. 设集合 x x ? 3x ? 4 ? 0 , N ? ??2, ?1,0,1,2? , 则 M ? N =(

?

?



A. ??1,0?

B. ??2, ?1,0?

C. ?0,1? )

D. ?0,1, 2?

2. 已知命题 p : ?x ? R , 2 x 2 ? 1 ? 0 ,则 ? p 是(

2x 2 ? 1 ? 0 A. ?x ? R, 2x 2 ? 1 ? 0 C. ?x ? R,

2x 2 ? 1 ? 0 B. ?x ? R, 2x 2 ? 1 ? 0 D. ?x ? R,
)

3. 下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( ①y=cosx(x∈R)是三角函数;②三角函数是周期函数;

③y=cosx(x∈R)是周期函数.

A.①②③

B.②①③

C.②③①

D.③②①

4. 已知等比数列 {an } 的公比为 2,则

2a1 ? a2 =( 2a3 ? a4
C.
1 4



A.

1 16

B.

1 8

D.

1 2

5. 在 ?ABC 中, D 为 AB 的中点,设 CA ? a, CB ? b ,则 CD ? ( )
1 ? ? A. (a ? b) 2

??? ?

? ??? ?

?

??? ?

B.

1 ? ? (a ? b) 2

? ? C. a ? b

? ? D. a ? b

1

6.已知函数 f ( x) ? x2 ? 6 x ? 4ln x ,则函数 f ( x ) 的增区间为( A. (??,1),(2, ??) B. (??,0),(1,2) C. (0,1),(2, ??) )

) D. (1, 2)

7. “ sin ? ? cos ? ”是“ cos 2? ? 0 ”的(

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8. 已知 x, y 的值如表所示,若 x, y 呈线性相关,且回归直线方程为 y ? bx ? ( )

7 ,则 b ? 2

x
y
A. ?

2 5

3 4

4 6 D.

1 2

B.

1 2

C. ?

1 10

1 10

9.在 ? ABC 中, A ? 60? , AB ? 2, S? ABC ?

3 ,则边 BC 的长为( 2

)

A. 3

B.3

C. 7

D.7

?y ? 1 ? 10.动点 P ( x, y ) 满足 ? x ? 2 y ? 5 ,点 Q 为 (1,?1) , O 为原点, ? | OQ |? OP ? OQ ,则 ? ?x ? y ? 3 ?
的最大值是( A. ?1 ) B. 1 C. 2 D. 2

11.过抛物线 y ? x 2 的焦点 F 作直线交抛物线于 P, Q ,若线段 PF 与 QF 的长度分别为

m, n ,则 2m ? n 的最小值为( )

A.

3 2

B. 2

C.

3? 2 2 4

D.

2 2

12.已知函数 y ? f ( x) 的定义域内任意的自变量 x 都有 f (

?
2

? x) ? f (

?
2

? x) ,且对任意的

, ) ,都有 f ?( x) ? f ( x) tan x ? 0 (其中 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数) ,设 2 2 4? 2? 1 a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f (0) ,则 a, b, c 的大小关系为( ) 3 3 2 x ? (?
2

? ?

A. a ? c ? b

B. c ? a ? b

C. c ? b ? a

D. b ? a ? c

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分). 13. 若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线经过双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的一个焦点,则 p ? 14.曲线 y ? ? x3 ? 3x2 在点 (1, 2) 处的切线方程为 15. 某高校“统计初步”课程的教师为了检验主修统计专业是否与性别有关系, 随机调查了 选该课的学生人数情况, 具体数据如右表, 则大约有 性别有关系.参考公式: ? 2 ? %的把握认为主修统计专业与 .

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
P( ? 2 ? x0 )
0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

非统计专业 男 女 15 5

统计专业 10 20

x0

16.已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? 5bx ,若 a , b 是从 3
.

集合 ?1,2,3,4? 中任取两个不同的数,则使函数 f ( x ) 有极值点的概率为 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.) 17. (本题满分 10 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a3 ? 5, S15 ? 150 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记 bn ?

1 an ? 2 , {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . 4

18.(本题满分 12 分) 已知圆 Q : x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 经过点 (0,5), (1, ?2), (1, 6) ,且直线 l :
2 2

(2m ? 1) x ? (m ? 1) y ? 7m ? 6 ? 0 与圆 Q 相交于 C , D

(1)求圆 Q 的方程. (2)若 ? QCD 的周长为 18,求 m 的值.

3

19.(本小题满分 12 分)

在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a ? cos C ? c ? cos A ? 2b ? cos A . (1)求角 A 的大小; (2)求函数 y ?

3 sin B ? sin(C ?

?
6

) 的值域.

20. (本题满分 12 分) 某校学生依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核。 每个项目只有一次补考机会, 补 考不合格者不能进入下一个项目的训练及考核,若每个学生身体体能考核合格的概率是 外语考核合格的概率是

1 , 2

2 ,若每一次考试是否合格互不影响。 3

(1)求学生甲体能考核与外语考核都合格的概率.

(2)设学生甲不放弃每一次考核的机会,求学生甲恰好补考一次的概率。

21. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 2 3 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 A(? , ) ,且短轴两个顶点与一个焦点恰好 a b 2 2
为直角三角形. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)是否存在以原点为圆心的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 C 恒有两个交点 P, Q , 且 OP ? OQ ?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.

??? ?

????

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

x ?1 g ( x) ? xf ( x) ? (1 ? tx)e? x , t ? R x , e

(1)求函数 f ( x) 的极大值; (2)若存在 a, b, c ? [0,1] 满足 g (a) ? g (b) ? g (c) ,求实数 t 的取值范围.

4

2016 年重庆一中高 2017 级高二上期期末考试 数 学 答 卷(文科)2016.1 二.填空题.(每题 5 分,共 20 分) — — — — — — — — — — — — —密— — — — — — — — — — —封 — — — — — — — — — —线— — — — — — — — — — — — 题号 答案 三.解答题.(共 70 分) 17.(10 分) 13 14 15 16

顺序号

考号

18.(12 分)

班次

姓名

在在在在

是在

5

19.(12 分)

20.(12 分)

6

21.(12 分)

7

22.(12 分)

8

2016 年重庆一中高 2017 级高二上期期末考试 数学参考答案(文科) 一.选择题:DDBCAC BBADCA 二.填空题: 13. 2 2 14. y ? 3x ? 1 15. 99.5 16.

1 3

17.解: (1)根据已知条件,先设 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d , 则 a2 ? a1 ? 2d ? 5, S15 ? 15a1 ? 15 ? 7d ? 150 ,得 a1 ? 3, d ? 1, ? an ? n ? 2 ???5 分 (2)易知: bn ?

1 n?2 ? 2 ? 2n ,则有 4

?Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? 21 ? 22 ? ? ? ? ? 2n ? 2n?1 ? 2 ?10 分
? 5 E ? F ? ?25 ? D ? ?8 ? ? 18. 解 : ( 1 ) 解 : 由 题 意 得 : ? D ? 2 E ? F ? ?5 ? ? E ? ?4 ? D ? 6 E ? F ? ?37 ? F ? ?5 ? ?
,则圆方程为

x2 ? y 2 ? 8x ? 4 y ? 5 ? 0 ????6·?
(2)弦CD的长度为 8,则 d ?

3m (2m ? 1) ? (m ? 1)
2 2

? 3 ? 2m2 ? 3m ? 1 ? 0 ,则

1 m ? ?1, m ? ? ??12 分 2 19.解: (1) 2sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C 即: 2sin B cos A ? sin( A ? C ) ? sin B
?? B ?????????????????????à sin B ? 0 ?à cos A ? (2) ?? A ?

1 ? , A ? ????6·? 2 3

?
3

?à B ? C ?

2? 2? ? ? B ,?? y ? 3 sin B ? sin(C ? ) ?? ,C ? 3 3 6

C?

2? ? ? B ???? y ? 3 sin B ? cos B ? 2sin( B ? ) ,??10·? 3 6

?? 0 ? B ?

2? ?? ?à y ? ?1, 2? ????12·? 3
1 2 1 ? ? 2 3 3

20.解:(1)正面: ①两个项目都不补考能通过概率: P 1 ?

②两个项目中有一个项目要补考才能通过的概率: P2 ?

1 1 2 1 1 2 5 ? ? ? ? ? ? 2 2 3 2 3 3 18

9

③两个项目都要补考才能通过的概率: P2 ? (1 ? ) ?

1 2

1 2 1 ? (1 ? ) ? , 2 3 18

P?P 1 ? P 2 ? P 3 ?

2 3

反面:被淘汰的概率: P 1 ?

1 1 1 1 2 1 1 1 2 ? ? ? ( ) ? ( )2 ? ( )2 ? , P ? 1 ? P ????6·? 1 ? 2 2 2 3 2 3 3 3 1 1 1 1 1 1 2 7 ? ? ? ? ? ? ? ????12·? 2 2 2 3 2 2 3 12

(2)恰好补考一次记为 ? ? 1 ,则 P(? ? 1) ?

21.解:(1)由题意得: a ?

2b,

1 3 ? 2 ? 1 ? b ? 1, a ? 2 ,椭圆 C 的方程为 2 2a 4b

x2 ? y 2 ? 1 ?5 分 2
(2)假设满足条件的圆存在,其方程为: x2 ? y 2 ? r 2 (0 ? r ? 1)

当直线 P, Q 的斜率存在时,设直线方程为 y ? kx ? m ,由 ?

? y ? kx ? m 得: 2 2 ?x ? 2 y ? 2

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 ,令 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则有:
2m 2 ? 2 4km x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ????8 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
,∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? 0 .





(1 ? k 2 )(2m2 ? 2) 4k 2 m2 ? ? m2 ? 0 ,∴ 3m2 ? 2k 2 ? 2 .????10 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

因为直线 PQ 与圆相切,

∴r ?
2

m2 2 2 ? ,所以存在圆 x 2 ? y 2 ? 2 3 3 1? k
2 . 3

2 2 当直线 PQ 的斜率不存在时,也适合 x ? y ?

10

2 2 综上所述,存在圆心在原点的圆 x ? y ?

2 满足题意.????12 分 3

22.解: (Ⅰ) f ?( x) ?

当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在区间 [0, ??) 上为减函数, 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在区间 (??, 0] 上为增函数, 所以 f ( x)极大值 ? f (0) ? 1 (Ⅱ)因为 g ( x) ? ????5 分 ???6 分

?x , ex

x 2 ? (1 ? t ) x ? 1 ?( x ? t )( x ? 1) 所以 g ?( x) ? x ex e

设 g ( x) 在 [0,1] 上的最大值为 M ,最小值为 N ,则 2 N ? M ①当 t ? 1 时, g ?( x ) ? 0 , g ( x) 在 [0,1] 上单调递减,由 2 N ? M , 所以 2 g (1) ? g (0) ,即

2?

3?t e ? 1 ,得 t ? 3 ? ???8 分 e 2

②当 t ? 0 时, g ?( x ) ? 0 , g ( x) 在 [0,1] 上单调递增,所以 2 g (0) ? g (1) 即 2 ?

t ? 3 ? 2e ??10 分

3?t ,得 e

? ③当 0 ? t ? 1 时,在 x ? [0,t ), g ( x) ? 0 , g ( x) 在 [0, t ] 上单调递减,在 x ? (t ,1],

g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 [t ,1] 上单调递增 ,所以 2 g (t ) ? g (0), 且 2 g (t ) ? g(1)} ,即 2 ? t ? 1 ? 1, et t ?1 t ?1 3 ? t t ?1 4 且2? t ? ,由(Ⅰ)知 f (t ) ? t 在 t ? (0,1) 上单调递减,故 2 ? t ? ? 1 , e e e e e 3?t 3 4 e ? ? ,所以无解,综上所述, t ? (??,3 ? 2e) ? (3 ? , ??) .????12 分 而 e e e 2

11


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