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广东2011年中考数学试题分类解析汇编专题10:四边形


广东 2011 年中考数学试题分类解析汇编 专题 10:四边形
一、选择题 1. (佛山 3 分)依次连接菱形的各边中点,得到的四边形是 A、矩形 【答案】A。 【考点】菱形的性质,矩形的判定,三角形中位线定理,平行线的性质。 【分析】如图,E、F、G、H 是菱形 ABCD 四边的中点,根据三角形中位线定理, HE 和 GH 平行且等于 DB 的一半, 所以 HE 和

GH 平行且相等, 所以四边形 EFGH 是平行四边形。 又因为 EG=AD, HF=AB, 而由菱形的性质 AB=AD, 所以 EG=HF, 所以根据对角线相等的平行四边形是矩形的判定定理知道,四边 形 EFGH 是矩形。故选 A。 [来源:Z|xx|k.Com] 2.(广州 3 分)已知 ? ABCD 的周长为 32,AB=4,则 BC= A、4 【答案】B。 【考点】平行四边形的性质。 【分析】根据平行四边形的性质得到 AB=CD,AD=BC,由已知 ? ABCD 的周长为 32, AB=4 可得 2(AB+BC)=32,即 2(4+BC)=32,BC=12。故选 B。 3.(茂名 3 分)如图,两条笔直的公路 l1、l2 相交于点 O,村庄 C 的村民在公路 的旁边建三个加工厂 A、B、D,已知 AB=BC=CD=DA=5 公里,村庄 C 到公路 l1 的距离为 4 公里,则村庄 C 到公路 l2 的距离是 A、3 公里 【答案】B。 【考点】角平分线的性质,菱形的性质。 【分析】 根据菱形的对角线平分对角, 作出辅助线, 即可求得: 连接 AC, CF⊥l1, 作 CE⊥l2; ∵AB=BC=CD=DA=5 公里,∴四边形 ABCD 是菱形, ∴∠CAE=∠CAF, ∴CE=CF=4 公里。故选 B。 4.(清远 3 分)如图,若要使平行四边形 ABCD 成为菱形,则需要添加的条件是 B、4 公里 C、5 公里 D、6 公里 B、12 C、24 D、28 B、菱形 C、正方形 D、梯形

A.AB=CD 网] 【答案】C。

B.AD=BC

C.AB=BC

D.AC=BD[来源:学*科*

【考点】菱形的判定。[来源:学#科#网] 【分析】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形的定义,直接得出结果。故选 C。 二、填空题 1. (佛山 3 分)在矩形 ABCD 中, 两条对角线 AC、 相交于点 O, AB=OB=4, AD= BD 若 则 ▲ ;

【答案】 4 3 。 【考点】矩形的性质,勾股定理。

, ? 8 ? R 【 分 析 】 如 图 , ? O BO ? 4 ? B D 。 在 t ?

A中D 应 用 勾 股 定 理 得 B ,
C

AD ? 82 ? 42 ? 4 3 。
2.(清远 3 分)如图,在 ? ABCD 中,点 E 是 CD 的中点,AE、BC 的延 长线交于点 F. 若△ECF 的面积为 1, 则四边形 ABCE 的面积为 _ 【答案】4。 【考点】平行四边形的性质,相似三角形的判定和性质,全等三角形的判 定和性质。 ▲ .

【分析】 根据平行四边形对边平行和相等的性质易证△ECF∽△ABF, 且对应边的比是 1: 2, 从而面积比是对应边的比的平方,故△ABF 的面积是 4。另一方面△ECF≌△EDA,因此四 边形 ABCE 的面积等于△ABF 的面积,为 4。 3.(珠海 4 分)在 ? ABCD 中,AB=6cm,BC=8 cm,则 ? ABCD 的周 长为_ 源:学科网 ZXXK][来源:学&科&网] 【答案】28。 【考点】平行四边形的性质。 【分析】根据平行四边形对边相 等的性质,直接得出结果: ▲ cm.[来

? ABCD 的周长为=2(AB+BC)=2(6+8)=28。
三、解答题 1.(河源 9 分) 如图,等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=BC。 将△ACD 沿对角线 AC 翻折后,点 D 恰好与边 AB 的中点 M 重合.

(1)点 C 是否在以 AB 为直径的圆上?请说明理由; (2)当 AB=4 时,求此梯形的面积. 【答案】解:(1) 点 C 在以 AB 为直径的圆上。理由如下: 连接 CM。这样△ACM 是△ACD 翻折后得到的,∴△ACM≌△ACD。 ∴∠DAC=∠MAC,AM=AD。 又∵AB∥CD,∴∠DCA=∠MAC。 ∴∠DAC=∠DCA。∴AD=DC。 ∴四边形 AMCD 是菱形。 ∴AM=CM。 ∠ACM=∠CAM。 又∵AD=BC,AM=BM,∴CM==BM=BC。 ∴△CBM 是等边三角形。 ∴∠BCM=∠BMC=600。 又∵∠BMC=∠ACM+∠CAM,∴∠ACM=300。 ∴∠BCA=∠ACM+∠BCM=900。 ∴点 C 在以 AB 为直径的圆上。 (2)过 C 作 CE⊥AB 于 E。 ∵AB=4,∴DC=CM=2, ∴在 Rt△MCE 中,CE=CM· sin∠BMC=2 sin600= 2 ? ∴梯形的面积=

3 ? 3. 2

DC ? AB 2?4 ? CE ? 3 ?3 3。 2 2

【考点】翻折对称,全等三角形的性质,平行的性质,菱形的判定和性质,等边三角形的判 定和性质,三角形外角和定理,直径所对圆周角的的判定,解直角三角形。 【分析】 (1)要证点 C 在以 AB 为直径的圆上, 只要证∠BCA=900 即可。 要证∠BCA=900, 连 接 CM,证∠BCA∠BCA=∠ACM+∠BCM=900 即可。考虑到已知的△ACM≌△ACD, AB∥CD,AD=BC 和 AM=AD 就易证得△CBM 是等边三角形。从而得证。 (2)要求梯形的面积,即要求出它的上下底和高。由(1)知上底等于下底的一半; 作高线 CE,在 Rt△MC E 中利用正弦函数即可求得。 2. 清远 8 分) ( 如图, 在矩形 ABCD 中, 是 BC 边上的点, E AE=BC, DF⊥AE, 垂足为 F,连接 DE. (1)求证:AB=DF; (2)若 AD=10,AB =6,求 tan∠EDF 的值.

【答案】 (1) 解: 在矩形 ABCD 中, AD∥BC, AD=BC, ∠ABE=90? ∴∠DAE=∠AEB。 , 又∵AE=BC , ∴AE=AD。 又∵DF⊥AE ,∴ ∠AFD=90? 。 ∴∠AFD=∠ABE。∴△ABE≌△DFA(AAS)。∴AB=DF。 (2)∵△ABE≌△DFA ,∴AB=DF =6 ,AE=AD=10。 在 Rt△ADF 中, AD=10 , DF=6 , ∴AF= 102 ? 62 = 8 在 Rt△DFE 中,tan∠EDF= EF 2 1 = 。 DF 6 = 3 , ∴EF=10-8=2。

【考点】矩形的性质,平行和垂直的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,解直角三 角形。 【分析】(1)根据矩形、平行和垂直的性质可以证明△ABE≌△D FA,从而根据全等三角 形对应边相等的性质得到 AB=DF。 (2)要求 tan∠EDF 的值,即要求 EF 和 DF。一方面由于△ABE≌△DFA,可求得 DF=AB =6;另一方面 EF=AE-AF,AE 也可由△ABE≌△DFA 得到 AE=AD=10,AF 可 在 Rt△ADF 中应用勾股定理求得。从而得解。 3.(深圳 8 分)如图 1,一张矩形纸片 ABCD,其中 AD=8cm, AB=6cm,先沿对角线 BD 折叠,点 C 落在点 C′的位置,BC′交 AD 于点 G. (1)求证:AG=C′G; (2)如图 2,再折叠一次,使点 D 与点 A 重合,得折痕 EN,EN 交 AD 于 M,求 EM 的长. 【答案】解:(1)证明:由对折和图形的对称性可知, CD=C′D,∠C=∠C′=90° 。 在矩形 ABCD 中,AB=CD,∠A=∠C=90° ∴AB=C′D,∠A=∠C′。 , 在△ABG 和△C’DG 中,∵AB=C′D,∠A=∠C′,∠AGB=∠C′GD , ∴△ABG≌△C′DG(AAS)。 ∴AG=C′G。 (2)如图 2,设 EM=x,AG=y,则有: C′G=y,DG=8-y, DM=

1 AD=4 。 2

在 Rt△C’DG 中,∠DC′G=90° ,C′D=CD=6, ∴ C?G 2 ? C?D2 ? DG 2 。

7 7 25 。∴C′G= ,DG= 。 4 4 4 4 x DM ME 7 又∵△DME∽△DC′G,∴ , 即: ? , 解得: x ? 。 ? 7 6 DC? C?G 6 4 7 即:EM= 。[来源:学|科|网] 6
即: y 2 ? 62 ? (8 ? y) 2 。 解得: y ?

∴所求的 EM 长为

7 cm。 6

【考点】轴对称的性质,矩形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,相似三角形的 判定和性质。 【分析】(1)要证 AG=C′G,只要证明它们是全等三角形的对应边即可。由已知的矩形和 轴对称性易证△ABG≌△C’DG。 (2)考虑 Rt△DME 和 Rt△DC′G。△DC’G 中 DC′(=6)已知,DG=AD(=8)-AG, 而由(1)AG=C′G,从而应用勾股定理可求得 C′G。而△DME 中 DM=DM= 由 Rt△DME∽Rt△DC′G 得到对应边的比相等可求 EM 的长。 4.(台山 10 分)如图,正方形 ABCD 和正方形 EFGH 的边长分别为 2 2和 2 ,对角线 BD、 FH 都在直线 L 上,O1、O2 分别是正方形的中心,线段 O1O2 的长叫做两个正方形的中心距。 当中心 O2 在直线 L 上平移时,正方形 EFGH 也随平移,在平移时正方形 EFGH 的形状、大小 没有改变。 (1)计算:O1D= ,O2F= 。

1 AD=4,从而 2

A E


(2)当中心 O2 在直线 L 上平移到两个正方 形只有一个公共点时,中心距 O1O2=

B

O1 C

D

(3)随着中心 O2 在直线 L 上的平移,两个正方形的公共

F O2 G

H

L

点的个数还有哪些变化?并求出相对应的中心距的值或取 值范围(不必写出计算过程)。 【答案】解:(1)2,1。 (2)3。 (3)当 0≤O1O2<2 时,两个正方形无公共点; 当 O1O2=2 时,两个正方形有无 数公共点;当 2<O1O2<3 时,两个正方形有两个公共点;当 O1O2=3 时,两个正方形有一 个 公共点;当 O1O2>3 时,两个正方形无公共点。 【考点】勾股定理,图形的平移。 【分析】(1)根据勾股定理易求 O1D 和 O2F 的长。 (2)当两个正方形只有一个公共点时,中心距 O1O2=O1D+O2F =3。 (3)根据图形的平移的性质,结合图形的特点,可得出结论。 5.(肇庆 7 分)如图,在一方形 ABCD 中.E 为对角线 AC 上一点,连接 EB、ED, (1)求证:△BEC≌△DEC:

(2)延长 BE 交 AD 于点 F,若∠DEB=140° .求∠AFE 的度数. 【答案】解:(1)证:∵四边形 ABCD 是正方形,∴CD=CB。 ∵ AC 是正方形的对角线和正方形的四角都是 900,∴∠DCA=∠BCA=450。 又∵CE=CE,∴△BEC≌△DEC(SAS)。 (2)∵△BEC≌△DEC,∴∠DEC=∠BEC。 又∵∠DEB=140° ,∴∠BEC=70° 。 又∵AC 是正方形的对角线,∴∠BCA=450。 又∵四边形 ABC D 是正方形,∴DA∥CB。 ∴∠AFE=∠CBE=1800—∠BEC—∠BCA=1800—70° —450=650。 【考点】正方形的性质,全等三角形的判定和性质,平行的性质,三角形内角和定理。 【分析】(1)根据正方形四边 相等和对角线平分对角(易证)的性质可以证明。 (2)要求∠AFE 的度数,只要求与它相等的∠CBE 即可,而由三角形内角和定理 知只要求得∠BEC 和∠BCA 即可,由已知和(1)易求二者。 6.(肇庆 8 分) 如图.矩形 ABCD 的对角线相交于点 0.DE∥AC,CE∥BD. (1)求证:四边形 OCED 是菱形; (2)若∠ACB=30° ,菱形 OCED 的而积为 8 3 , 求 AC 的长. 【答案】解:(1)证:∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形 OCED 是平行四边形。 ∵四边形 ABCD 是矩形,∴AO=OC=BO=OD ∴四边形 OCED 是菱形。 (2)∵∠ACB=30° ,∴∠DCO=90° —30° =60° 。 又∵OD=OC,∴△OCD 是等边三角形。[来源: 学|科|网] 过 D 作 DF⊥OC 于 F,则 CF=

1 OC。设 CF= x ,则 OC=2 x ,AC=4 x 。 2

在 Rt△ODFC 中,DF=CF· tan∠DCO= x · tan600= 3x 。[来源:Zxxk.Com] ∵菱形 OCED 的而积为 8 3 ,∴OC· 8 3 ,即 2 x · 3x = 8 3 。 DF= 解之,得 x =2 ∴AC=4 x =4× 2=8。

【考点】菱形的判定和性质,等边三角形的判定,特殊角三角函数。 【分析】 (1)根据一组邻边相等的平行四边形的定义,易证明。 (2)由已知菱形 OCED 的而积可求出 OC 长,从而求出 AC 长。 7.(珠海 6 分)如图,在正方形 ABC1D1 中,AB=1.连接 AC1,以 AC1 为边作第二个正方形 AC1C2D2;连接 AC2,以 AC2 为边作第三个 正方形 AC2C3D3. (1)求第二个正方形 AC1C2D2 和第三个正方形的边长 AC2C3D3; (2)请直接写出按此规律所作的第 7 个正方形的边长. 【答案】解:(1)∵四 边形 ABC1D1 是正方形,[来源:Z.xx.k.Com] D3 A B D2 D1 C1 C3 C2

∴∠B=90° BC1=AB=1; , ∴AC1= AB2 ? AC12 ? 2 。 [来源:Z。 k.Com] xx。 又∵四 边形 AC1C2D2 是正方形, ∴∠AC1C2=90° ,AC1=C1C2= 2 ;∴AC1= AC12 ? C1C2 2 ? 2 。 ∴第二个正方形 AC1C2D2 和第三个正方形 AC2C3D3 的边长分别为 2 和 2。 (2)请按此规律所作的第 7 个正方形的边长为 8。 【考点】正方形的性质,勾股定理,分类归纳。 【分析】(1)根据正方形四条边相等,四个角都是直角的性质,应用勾股定理即可求得第 二个正方形 AC1C2D2 和第三个正方形 AC2C3D3 的边长。 (2)找出规律知,第二个正方形边长是

? 2?

2 ?1

? 2 ,第三个正方形边长是

? 2?

3?1

? 2 ,第七个正方形边长是

? 2?

7 ?1

?8。


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