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2014届高考数学(文)一轮复习单元测试(配最新高考+模拟)第三章导数及其应用 Word版含答案]


2014 届高考数学(文)一轮复习单元测试 第三章导数及其应用
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题中只有一项符合题 目要求)
1 、 【 云 南 师 大 附 中 2013 届 高 三 高 考 适 应 性 月 考 卷 ( 四 ) 文 】 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数

f ( x) ? ex ?

x2 ? x ? sin x ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程是
A. y ? 2 x ? 1 B. y ? x ? 1 C. y ? 3 x ? 2 D. y ? ?2 x ? 3

2、【云南省昆明一中 2013 届高三第二次高中新课程双基检测数学文】设 f ( x) ? 3x2ex ,则 f ?(2) = A.12e B.12e2 C.24e D.24e2 3 . (2013 年高考浙江卷 (文 8) ) 已知函数 y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数 y=f’(x) 的图像如右图所示,则该函数的图像是

A

B

C

D

4. 【贵州省遵义四中 2013 届高三第四月考文】 曲线 y ? 3x ? x3 上切点为 P(2, ?2) 的切线方程是 ( ) (A) y ? ?9 x ? 16 (B) y ? 9 x ? 20 (C) y ? ?2
2

(D) y ? ?9 x ? 16 或 y ? ?2

5 .(2013 惠州 4 月模拟)设 P 为曲线 C: y ? x ? 2 x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜 角的取值范围为 ? 0,

? ?? ,则点 P 横坐标的取值范围为 ( ? 4? ?
C. ? 0,1? D. ? ,1?
2

)

A. ? ?1, ? ? 2

? ?

1? ?

B. ? ?1, 0?

?1 ? ?2 ?

6 .(广东中山市 2013 届高三上学期期末)函数 f ( x) ? x ? bx ? a 的图象如图所示,则函数

g ( x) ? ln x ? f ?( x) 的零点所在的区间是(
A. ( , ) C.(1,2)



1 1 4 2

B. ( ,1) D. (2,3)

1 2

x 7、(广州市 2013 届高三上学期期末)已知 e 为自然对数的底数,函数 y ? x e 的单调递增区间是

A . ?? ? 1,??

?

B. ??, ?1? ?

?

C. ? ?1,??

?

D. ??,1? ?

?

8 .(2013 年高考福建卷(文))设函数 f ( x) 的定义域为 R , x0 ( x0 ? 0) 是 f ( x) 的极大值点,以下 结论一定正确的是( ) B. ? x0 是 f (? x) 的极小值点 D. ? x0 是 ? f (? x) 的极小值点

A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ? x0 是 ? f ( x) 的极小值点

9.家电下乡政策是应对金融危机,积极扩大内需的重要举措.我市某家电制造集团为尽快实现家电 下乡提出四种运输方案,据预测,这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预期运输任务 Q0,各种方 案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如下图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量) 逐步提高的是( )

10. (2013 年高考课标Ⅱ卷 (文 11) ) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c , 下列结论中错误的是 ( (A) ?x0 ? R , f ( x0 ) ? 0 (B)函数 y ? f ( x) 的图象是中心对称图形 (C)若 x0 是 f ( x ) 的极小值点,则 f ( x ) 在区间 (??, x0 ) 单调递减 (D)若 x0 是 f ( x ) 的极值点,则 f '( x0 ) ? 0



11、(2013 安徽安庆三模) 三次函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d (b, c, d ? R ) 在区间 [?1, 2] 上是减函
3 2

数,那么 b ? c 的取值范围是

A. ? ? ?,

? ?

15 ? ? 2?

B.? ? ?, ? B. ? ? ? ? ?

? ?

15 ? ? 2?

C. ? ? ? ,

? ?

15 ? 2? ?
D.

D. ? ? ?, ?

? ?

15 ? 2? ?

A. ? ? ? ? ?

C. ? ? ? ? ?

? ?? ??
f ( x) ? xn?1 (n ? N*) 的

12.【北大附中河南分校 2013 届高三第四次月考数学(文)】已知函数

图象与直线 x ? 1 交于点 P,若图象在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 x n ,则 log2013 x1 +

log2013 x2 +…+ log2013 x2012 的值为(
A.-1 B. 1-log20132012

) C.-log20132012 D.1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上)
13 . ( 2013 年 高 考 广 东 卷 ( 文 ) ) 若 曲 线 y ? ax2 ? ln x 在 点 (1,a )处 的 切 线 平 行 于 x 轴 , 则

a ? ____________.
14 、 【 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 诊 断 性 测 试 文 】 已 知 f ( x) ? x 2 ? 2xf ' (1) , 则

f ' (0) ?

.

15. 【北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 12 月综合练习(一)数学文】设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f '( x) ? 0 ,且 f (? ) ? 0 ,则不等式

1 2

f ( x) ? 0 的解集为__________.
16、函数 f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 对于 x ?? ?1,1? 总有 f ? x ? ≥0 成立,则 a =
3



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分 10 分) 【北京市东城区 2013 届高三上学期期末统一练习数学文】(本小题共 13 分)

? 已知函数 f ( x)

1 3 x ? mx 2 ? 3m 2 x ? 1 , m ? R . 3

(Ⅰ)当 m ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)若 f ( x) 在区间 (?2,3) 上是减函数,求 m 的取值范围.

18.(本题满分 12 分) (2013 年高考浙江卷(文))已知 a∈R,函数 f(x)=2x -3(a+1)x +6ax (Ⅰ)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (Ⅱ)若|a|>1,求 f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.

3

2

19.(本题满分 12 分)某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造成本是 0.8πr2 分,其中 r 是瓶子的半径,单位是 cm,已知每出售 1 mL 饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商制作的瓶子的 最大半径为 6 cm. 试求出瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大或最小. 20. (本题满分 12 分). 【贵州省遵义四中 2013 届高三第四月考文】 设函数 f ( x ) ? 2 ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (II)若关于 x 的方程 f ? x ? ? x2 ? 3x ? a ? 0 在区间 ? 2, 4? 内恰有两个相异的实根,求实数 a 的取值 范围.

22.(本题满分 12 分) (2013 年高考陕西卷(文))已知函数 f ( x) ? e x , x ? R . (Ⅰ) 求 f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; 1 (Ⅱ) 证明: 曲线 y = f (x) 与曲线 y ? x2 ? x ? 1 有唯一公共点. 2 f (b) ? f (a) ?a?b? (Ⅲ) 设 a<b, 比较 f ? 的大小, 并说明理由. ?与 b?a ? 2 ?

参考答案
1、【答案】B 【解析】令 x ? 0 ,解得 f (0) ? 1. 对 f ( x) 求导,得 f ?( x) ? e x +2x?1+cosx,令 x ? 0 ,解得 f ?(0) ? 1 , 故切线方程为 y ? x ? 1 .选 B. 2、【答案】D 【解析】 函数的导数为 f '( x) ? 6 xe ? 3x e , 所以 f '(2) ? 6 ? 2e ? 3? 2 e ? 12e ? 12e ? 24e ,
x 2 x

2

2 2

2

2

2

选 D.
3、【答案】B 【解析】由导函数图像可知函数的函数值在[-1,1]上大于零,所以原函数递增,且导函数值在[-1,0]递

增,即原函数在[-1,1]上切线的斜率递增,导函数的函数值在[0,1]递减,即原函数在[0,1]上切线的斜 率递减,所以选 B 4、【答案】A

【解析】导数 y ' ? 3 ? 3x2 则切线斜率 k ? 3 ? 3 ? 22 = ? 9 ,所以切线方程为 y ? (?2) ? ?9( x ? 2) , 即切线为 y ? ?9 x ? 16 选 A. 5、答案:A

y? ? 2 x ? 2 , 【解析】 设 P ( x0 , y0 ) , 倾斜角为 ? , 则 k ? tan ? ? 2 x0 ? 2 ? ?0,1 ? ,解得 x0 ? ? ?1, ? ? , 2
?
故选 A
6、B 7、B 8、【答案】D 【解析】本题考查的是函数的极值.函数的极值不是最值,A 错误;因为 ? f ( ? x) 和 f ( x) 关于原点

? ?

1?

对称,故 ? x0 是 ? f (? x) 的极小值点,D 正确.

y?

1 2 1 x ? ln x,? y? ? x ? ,由y?≤0,解得-1≤x≤1,又x ? 0,? 0 ? x≤1,故选 B 2 x

9、【答案】B 解析 由题意可知,运输效率越来越高,只需曲线上点的切线的斜率越来越大即可,观察图形 可知,选项 B 满足条件,故选 B. 10、【答案】C

) 【 解 析 】 若 c ? 0 则 有 f ( 0?

0 所 以 A 正 确 。 由 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 得 ,

f ( x) ? c ? x3 ? ax2 ? bx , 因 为 函 数 y ? x3 ? ax2 ? bx 的 对 称 中 心 为 ( 0,0 ) , 所 以 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的对称中心为 (0, c) ,所以 B 正确。由三次函数的图象可知,若 x0 是 f(x)
的极小值点,则极大值点在 x0 的左侧,所以函数在区间(-∞, x0 )单调递减是错误的,D 正确。 选 C. 11、

12、 【答案】A
n 【解析】函数的导数为 f '( x)=(n ? 1) x ,所以在 x ? 1 处的切线斜率为 k ? f '(1)=n ? 1 ,所以切线

斜率为 y ? 1 ? (n ? 1)( x ? 1) ,令 y ? 0 得 xn ?

n ,所以 n ?1

x1 x2

1 2 x2012 ? ? ? 2 3

?

2012 1 = ,所以 2013 2013 1 ? ?1 ,选 A. 2013

log 2013 x1 ? log 2013 x2 ?

log 2013 x2012 ? log 2013

二、填空题
13、【答案】

1 2
'

【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意 y ? 2ax ?

1 1 ' , y x ?1 ? 2a ? 1 ? 0, 所以 a ? 。 2 x

14、【答案】-4

? 2 f '(1) 【解析】函数的导数为 f '( x ) ? 2x? 2 f '(1) ,所以 f '(1)? 2 ,解得 f '(1)? ? 2,所以

f ( x) ? x2 ? 4 x,所以 f '( x) ? 2 x ? 4 ,所以 f '(0) ? ?4 。
15、【答案】 ( ??, ? )

1 2

1 (0, ) 2

【解析】 因为函数 f ( x ) 为奇函数。 当 x ? 0 时,f '( x) ? 0 , 函数单调递增, 所以 f (? ) ? f ( ) ? 0 ,

1 2

1 2

由图象可知 式的解集为 ( ??, ? ) 16、答案:4

,不等式 f ( x) ? 0 的解为 x ? ?

1 1 或 0 ? x ? ,即不等 2 2

1 2

1 (0, ) 。 2

【解析】本小题考查函数单调性的综合运用.若 x=0,则不论 a 取何值, f ? x ? ≥0 显然成立;当 x

3 1 ? x 2 x3 3 ?1 ? 2 x ? 3 1 ? 1? ?1 ? ' 设 g ? x ? ? 2 ? 3 ,则 g ? x ? ? , 所以 g ? x ? 在区间 ? 0, ? 上单调递增,在区间 ? ,1? 4 x x x ? 2? ?2 ? ?1? 上单调递减,因此 g ? x ?max ? g ? ? ? 4 ,从而 a ≥4; ?2? 3 ?1 ? 2 x ? 3 1 ' 3 ?0 当 x<0 即 ? ?1,0? 时, f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 ≥0 可化为 a ? 2 ? 3 , g ? x ? ? x x x4 g ? x ? 在区间 ? ?1,0? 上单调递增,因此 g ? x ?ma n ? g ? ?1? ? 4 ,从而 a ≤4,综上 a =4
>0 即 x ?? ?1,1? 时, f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 ≥0 可化为, a ?
3

三、解答题 17、解:(Ⅰ)当 m ? 1 时, f ( x) ?
2

1 3 x ? x 2 ? 3x ? 1 , 3

又 f '( x) ? x ? 2 x ? 3 ,所以 f '(2) ? 5 .

又 f (2) ?

5 , 3 5 ? 5( x ? 2) ,即 15x ? 3 y ? 25 ? 0 . 3

所以所求切线方程为 y ?

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 15x ? 3 y ? 25 ? 0 . (Ⅱ)因为 f ' ( x) ? x 2 ? 2mx ? 3m 2 , 令 f '( x) ? 0 ,得 x ? ?3m 或 x ? m . 当 m ? 0 时, f '( x) ? x2 ? 0 恒成立,不符合题意. 当 m ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间是 (?3m, m) ,若 f ( x ) 在区间 (?2,3) 上是减函数, 则?

??3m ? ?2, 解得 m ? 3 . ?m ? 3.

当 m ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间是 (m, ?3m) ,若 f ( x ) 在区间 (?2,3) 上是减函数, 则?

?m ? ?2, ,解得 m ? ?2 . ??3m ? 3.

综上所述,实数 m 的取值范围是 m ? 3 或 m ? ?2 .

18 、 解 :(Ⅰ) 当

a ?1

时,

f ( x) ? 2 x3 ? 6 x 2 ? 6 x ? f (2) ? 16 ? 24 ? 12 ? 4

,所以

f ?( x)? 62 x?

12 ? x ? 6 ? f ?( 2 ) ? 2? 4 ?2 4 6 y ?6f ( x) 在 (2, f (2)) 处的切线 , 所以

方程是: y ? 4 ? 6( x ? 2) ? 6 x ? (Ⅱ)因为 ①当 a 以当

y ?8 ? 0;

f ?( x) ? 6 x 2 ? 6(a ? 1) x ? 6a ? 6[ x 2 ? (a ? 1) x ? a ] ? 6( x ? 1)( x ? a )

? 1 时, x ? (??,1] [a, ??) 时, y ? f ( x) 递增, x ? (1, a) 时, y ? f ( x) 递减,所

x ?[0,2 | a |] 时 , 且 2 | a |? 2
时, y ? ② 当

,

x ?[0,1] [a,2 | a |] 时 , y ? f ( x) 递 增 , x ? (1, a)

f ( x) 递减,所以最小值是 f (a ) ? 2a3 ? 3(a ? 1)a 2 ? 6a 2 ? 3a 2 ? a 3 ;
时 , 且

a ? ?1

2 | a |? 2

, 在

x ?[0,2 | a |]

时 ,

x ? (0,1)

时 ,

y ? f ( x)



减, x ?[1,2 | a |] 时, y ? 综上所述:当 a

f ( x) 递增,所以最小值是 f (1) ? 3a ? 1 ;

? 1时,函数 y ? f ( x) 最小值是 3a2 ? a3 ;当 a ? ?1 时,函数 y ? f ( x) 最小

值是 3a ? 1; 19、解析 由于瓶子的半径为 r,所以每瓶饮料的利润是 4 y=f(r)=0.2× πr3-0.8πr2 3 r3 2 =0.8π( -r ),0<r≤6. 3 f′(r)=0.8π(r2-2r), 当 r=2 时,f′(r)=0. 当 r∈(0,2)时,f′(r)<0;当 r∈(2,6)时,f′(r)>0. 因此, 当半径 r>2 时, f′(r)>0, 它表示 f(r)单调递增, 即半径越大, 利润越高; 半径 r<2 时, f′(r)<0, 它表示 f(r)单调递减,即半径越大,利润越低. 所以半径为 2 cm 时,利润最小,这时 f(2)<0,表示此种瓶装饮料的利润还不够瓶子的成本,此 时利润是负值.半径为 6 cm 时,利润最大. 1 1 21. (本题满分 12 分) 【北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学文】 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 2 与函数 g ( x ) ? a ln x 在点 (1,0) 处有公共的切线,设 F ( x ) ? f ( x ) ? mg ( x) ( m ? 0) . (I) 求 a 的值 (Ⅱ)求 F ( x ) 在区间 [1,e] 上的最小值. 20、(1)函数 f ? x ? 的定义域为 ?1, ?? ? , ∵ f ?( x) ? 2 ?

2x ? x ? 2? ? 1 ? , ? ? x ? 1?? ? ? x ?1 ? x ?1 ?

∵ x ? 1 ,则使 f ?( x) ? 0 的 x 的取值范围为 ?1, 2 ? , 故函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ?1, 2 ? . (2)方法 1:∵ f ( x ) ? 2 ln ? x ?1 ? ? ? x ? 1 ? ,
2

∴ f ( x) ? x ? 3x ? a ? 0 ? x ? a ? 1 ? 2ln ? x ?1? ? 0 .
2

令 g ? x ? ? x ? a ? 1 ? 2ln ? x ?1? , ∵ g ?( x) ? 1 ?

2 x ?3 ? ,且 x ? 1 , x ?1 x ?1

由 g ?( x) ? 0得x ? 3,g ?( x) ? 0得1 ? x ? 3 . ∴ g ( x) 在区间 [2,3] 内单调递减,在区间 [3, 4] 内单调递增,

? g (2) ? 0, ? 2 故 f ( x) ? x ? 3x ? a ? 0 在区间 ? 2, 4? 内恰有两个相异实根 ? ? g (3) ? 0, ? g (4) ? 0. ?

?a ? 3 ? 0, ? 即 ? a ? 4 ? 2 ln 2 ? 0, 解得: 2ln 3 ? 5 ? a ? 2ln 2 ? 4 . ?a ? 5 ? 2 ln 3 ? 0. ?
综上所述, a 的取值范围是 ? 2ln3 ? 5, 2ln 2 ? 4? . 21、解:(I)因为 f (1) ? g (1) ? 0, 所以 (1,0) 在函数 f ( x ), g ( x ) 的图象上 又 f '( x) ? x, g '( x) ? 所以 a ? 1 (Ⅱ)因为 F ( x) ?

a ,所以 f '(1) ? 1, g '(1) ? a x

1 2 1 x ? ? m ln x ,其定义域为 {x | x ? 0} 2 2 2 m x2 ? m m x ?m ?0, F '( x ) ? x ? ? 当 m ? 0 时, F '( x ) ? x ? ? x x x x

所以 F ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增 所以 F ( x ) 在 [1,e] 上最小值为 F (1) ? 0 当 m ? 0 时,令 F '( x ) ? x ?

m x2 ? m ? ? 0 ,得到 x1 ? m ? 0, x2 ? ? m ? 0 (舍) x x

当 m ? 1 时,即 0 ? m ? 1 时, F '( x ) ? 0 对 (1,e) 恒成立, 所以 F ( x ) 在 [1,e] 上单调递增,其最小值为 F (1) ? 0 当 m ? e 时,即 m ? e2 时, F '( x ) ? 0 对 (1,e) 成立, 所以 F ( x ) 在 [1,e] 上单调递减, 其最小值为 F (e) ? e2 ?

1 2

1 ?m 2

当 1 ? m ? e ,即 1 ? m ? e 2 时, F '( x ) ? 0 对 (1, m ) 成立, F '( x ) ? 0 对 ( m ,e) 成立 所以 F ( x ) 在 (1, m ) 单调递减,在 ( m ,e) 上单调递增 其最小值为 F ( m ) ? 综上,当 m ? 1 时,

1 1 1 1 m m ? ? m ln m ? m ? ? ln m 2 2 2 2 2

F ( x ) 在 [1,e] 上的最小值为 F (1) ? 0

当 1 ? m ? e 2 时, F ( x ) 在 [1,e] 上的最小值为 F ( m ) ? 当 m ? e2 时,
22、解:(Ⅰ)

1 1 m m ? ? ln m 2 2 2 1 1 F ( x ) 在 [1,e] 上的最小值为 F (e) ? e2 ? ? m . 2 2

f (x)的反函数 g ( x) ? ln x ,则 y=g(x)过点(1,0)的切线斜率 k= g' (1) .

g' (x) ?

1 ? k ? g' (1) ? 1 .过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 x

(Ⅱ) 证明曲线 y=f(x)与曲线 y ?

1 2 x ? x ? 1 有唯一公共点,过程如下. 2 1 1 令h( x) ? f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ? e x ? x 2 ? x ? 1, x ? R, 则 2 2

h' ( x) ? e x ? x ? 1, h' ( x)的导数h' ' ( x) ? e x ? 1, 且h(0) ? 0,h' (0) ? 0, , h' ' (0) ? 0
因 此,

当x ? 0时h' ' ( x) ? 0 ? y ? h' ( x)单调递减 ;当x ? 0时h' ' ( x) ? 0 ? y ? h' ( x)单调递增

? y ? h' ( x) ? h' (0) ? 0, 所以y ? h( x)在R上单调递增,最多有一 个零点x ? 0
所以,曲线 y=f(x)与曲线 y ?

1 2 x ? x ? 1 只有唯一公共点(0,1).(证毕) 2

(Ⅲ) 设

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) (b ? a ? 2) ? f (a) ? (b ? a ? 2) ? f (b) ? ? 2 b?a 2 ? (b ? a)

(b ? a ? 2) ? e a ? (b ? a ? 2) ? e b (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? e b?a a ? ? ?e 2 ? (b ? a) 2 ? (b ? a)
令 g ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e x , x ? 0, 则g ' ( x) ? 1 ? (1 ? x ? 2) ? e x ? 1 ? ( x ? 1) ? e x .

g ' ( x)的导函数g ' ' ( x) ? (1 ? x ? 1) ? e x ? x ? e x ? 0, 所以g ' ( x)在( 0, ? ?)上单调递增 , 且
g ' (0) ? 0.因此g ' ( x) ? 0,g ( x)在(0,??)上单调递增 , 而g (0) ? 0,
所以在(0,??)上g ( x) ? 0 .

?当x ? 0时,g ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e x ? 0且a ? b,
? (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? e b ? a a ?e ? 0 2 ? (b ? a)

所以 当a < b时,

f (a ) ? f (b) f (b) ? f (a) ? 2 b?a


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