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5-逆矩阵的概念与方程组


逆矩阵的概念

例题1、
? 对于下列给出的变换矩阵A,是否存在矩阵B 使得连续进行两次变换(先TA后TB)的结果与 恒等变换的结果相同?

(1) 以x轴为反射轴作反射变换; (2) 绕原点逆时针旋转600作旋转变换; (3) 横坐标不变,沿y轴方向将纵坐标伸为原来的 2倍作伸压变换; (4) 沿y轴方向,向x 轴作投影变换;

(5) 纵坐标y不变,横坐标依纵坐标的比例增加, 且(x, y) (x+2y, y) 的切变变换.

建构数学
对于二矩阵 A, B 若有 AB=BA=E 则称 A 是可逆的, B 称为A 的逆矩阵. 通常记 A的逆矩阵为 A-1 思考: A的逆矩阵有多少个? 逆矩阵的唯一性: 若二阶矩阵 A 存在逆矩阵 B, 则逆矩阵是唯一的.

例题2、
用几何的观点判断下列矩阵是否存在逆 矩阵,若存在把它求出来;若不存在,说明理由.
(1) ?0 1 ? A?? ? 1 0 ? ? ?1 (2) B ? ? 2 ? ?0 ?1 (4) D ? ? ?1 ? 0? ? 1? 0? 0? ?

?0 ?1? (3) C ? ? ? 1 0 ? ?

结论: 当一个矩阵表示的是平面上向量到向量 的一一映射时,它才是可逆的。 逆矩阵就是对原先变换实施的逆变换所对应的 矩阵。

例题3、

?5 1? 求矩阵 A ? ? 的逆矩阵. ? ?7 3?

一般化:
?a b ? 一般地, 对于二阶矩阵A= ? ,它的逆矩阵为: ? ?c d ? ?b ? ? d ? ad ? bc ad ? bc ? -1 A ?? ? ad-bc≠0 a ? ? ?c ? ? ad ? bc ad ? bc ? ?

二阶矩阵的乘法AB表示连续实施两 次几何变换。

问题:

那么连续实施两次几何变换的 逆变换是什么呢?

即:(AB)-1=?

建构数学
? 若二阶矩阵 A, B 均存在逆矩阵, 则 AB 也存 在逆矩阵, 且 (AB)-1=B-1A-1

例题4、 试从几何变换角度求矩阵AB的逆矩阵:
(1) ?1 0 ? A?? ? ?0 ?1? ?1 0 ? A?? ? ?0 2? ?0 ?1? B?? ? ?1 0 ? 1? ? 1 B?? 2? ? ? ?0 1 ?

(2)

对于二阶矩阵什么条件下可以满足消去律?
? 已知 A, B, C 为二阶矩阵, 且 AB=AC , 若矩阵 A 存在逆矩阵, 则 B = C

思考:若矩阵 A 存在逆矩阵, 且 BA=CA , 则一定有 B = C 吗?

二阶矩阵与二元 一次方程组

复习回顾
一、逆变换与逆矩阵
若逆矩阵存在,则可以证明其具有唯一性。

二、用几何变换的观点求解逆矩阵 三、用代数方法求解逆矩阵 四、从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵
若二阶矩阵A,B均可逆,则AB也可逆, 且(AB)-1=B-1 A-1

五、二阶矩阵满足消去律的条件
已知A, B, C为二阶矩阵, 且AB=AC. 若A可逆, 则B=C.

问题情境
消元法求解二元一次方程组

?ax ? by ? m ? ? cx ? dy ? n

md ? bn ? x? ? ? ad ? bc 当ad-bc≠0时,方程组的解为 ? ? y ? an ? cm ? ad ? bc ?

建构数学
a b 我们把 称为二阶行列式,它的运算结果 c d 是一个数值(或多项式),记为 a b det(A)= ? ad ? bc c d

?ax ? by ? m ? ? cx ? dy ? n

? ? ?x ? ? ? ? 解记为: ? ? ? ?y? ? ? ?

m

b

n d a b c d a m c n a b c d

a b m b a m 若记D ? ,Dx ? ,D y ? c d n d c n

? x? ? ? 则? ?y? ? ?

Dx D Dy D

数学运用

? 2x ? 3 y ?1 ? 0 例1 :利用行列式解方程组 ? ?4 x ? 5 y ? 6 ? 0

? 5 1? 例2:利用行列式的方法求解矩阵A ? ? ? 7 3 ? ? 的逆矩阵。

用逆矩阵的知识理解二元一次方程组的求解过程。

?ax ? by ? m ? ? cx ? dy ? n
? x? ?m? ?a b ? 记:X ? ? ? ,B ? ? ? , A ? ? 则 ? ?y? ?n? ?c d ?

AX ? B

左乘A-1

得到X ? A?1B
-b ? ad ? bc ? ? a ? ad ? bc ? ?

? d ? ad ? bc ?1 其中A ? ? ? -c ? ? ad ? bc

数学运用

用逆矩阵方法求二元一次方程组的解

? 2x ? 3 y ?1 ? 0 例3:利用逆矩阵求解二元一次方程组 ? ?4 x ? 5 y ? 6 ? 0
? 2x ? 3 y ?1 ? 0 ? 2x ? 3 y ? 1 ?? ? ?4 x ? 5 y ? 6 ? 0 ?4 x ? 5 y ? 6 ? 2 3? ? x ? ?1? ?? ?? ? ? ? ? ? 4 5? ? y ? ? 6 ?
? x ? ?2 ?? ??? ? y ? ?4 3? 5? ?
?1

?1? ? 6? ? ? ?

数学运用

1 ? ?x ? y ? 3 例4:试从几何变换的角度说明 ? 解的 2 ? ?y ? 2 存在性和唯一性。

数学运用

?1 0 ? 例5:已知二元一次方程组AX=B,A = ? , ? ?1 0 ? ? 2? B ? ? ? ,试从几何变换角度研究方程组解的情况。 ? 2?

课堂小结
一、消元法求解二元一次方程组 二、二阶行列式

应用:
一、用逆矩阵方法求二元一次方程组的解 二、用几何变换的观点讨论方程的解


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