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高考数学——数列求和


高考数学快速提升成绩题型训练——数列求和
1. 求数列
1 3 5 7 2n ? 1 , , , , ??? , n 2 4 8 16 2

的前 n 项和.

2 已知 log

3

x ?

?1 log
2

,求 x ?

x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和.
2 3 n

3

3. 求数列 a,2a2,3a3,4a4,?,nan, ?(a 为常数)的前 n 项和。

4. 求证: C n ? 3 C n ? 5 C n ? ? ? ? ? ( 2 n ? 1) C n ? ( n ? 1) 2
0 1 2 n

n

5. 求数列

1 1? 3



1 2?4



1 3?5

,?,

1 n(n ? 2)

,?的前 n 项和 S

6. 数列{an}: a 1 ? 1, a 2 ? 3 , a 3 ? 2 , a n ? 2 ? a n ? 1 ? a n ,求 S2002.

7. 求数 5,55,555,?,55?5 的前 n 项和 Sn

8.

已知数列 ?a n ? 是等差数列,且 a 1 ? a 5 ? a 9 ? a 13 ? a 17 ? 117 ,求 a 3 ? a 15 的值.

9. 已知数列 ?a n ? 的通项公式为 a n ?

1 n ?1 ? n

求它的前 n 项的和.

10. 在数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1 , Sn 的表达式.

an ?

2S 2S n

? 1 ? ( n ? 2 ). 证明数列 ? ? 是等差数列,并求出 ?1 ? sn ?
2

11. 数列 ?a n ? 为正数的等比数列,它的前 n 项和为 80,前 2 n 项和为 6560,且前 n 项中 数值最大的项为 54. 求其首项 a1 及公比 q.

12. 已知数列 a n ?

1 2!

?

2 3!

?? ?

n ( n ? 1) !

求 a 2008 .

13. 设 ?a n ? 为等差数列,Sn 为数列 ?a n ? 的前 n 项和,已知 S7 = 7, S15 = 75. 记 Tn 为数列
?Sn ? ? ? 的前 n 项和,求 Tn . ? n ?

14. 求数列 1

1 2

,3

1 4

,5

1 8

? (2n ? 1 ?

1 2
n

) 的前项和

15. 已知: S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ? ? ( ? 1)

n ?1

? n .求 S n .

16. 求和 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 99 ? 100 .
2 2 2 2 2 2

17. S n ?

1 1? 2 ? 3

?

1 2? 3? 4

?

1 3? 4? 5

?? ?

1 n ? n ? 1? ? n ? 2 ?

,求 S n 。

18. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1,n =1,2,3,?. (Ⅰ)求 a1,a2; (Ⅱ) n}的通项公式。 {a

19. 已知数列 { a n } : a n ?

8 ( n ? 1)( n ? 3 )

,求 ? ( n ? 1 )( a n ? a n ? 1 ) 的值。
n ?1

?

2 n 20. 求和: ? x ? ? ? ? x ? 2 ? ? ? ? ? x ? n ? ? x ? 0 , x ? 1, y ? 1 ? ? ? ? ? ? ? y? ? y ? y ? ? ?

?

1 ?

?

1 ?

?

1 ?

21. 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 a

? 4,

1 a
2

? 7,? , a

1
n ?1

? 3n ? 2,?

22. 求数列 { n ( n ? 1)( n ? 2 )} 的前 n 项和。

23. 求证: C n ? 3 C n ? 5 C n ? ? ? ? ? ( 2 n ? 1) C n ? ( n ? 1) 2
0 1 2 n

n

24. 求 sin 1 ? ? sin
2

2

2 ? ? sin

2

3 ? ? ? ? ? ? sin

2

88 ? ? sin

2

89 ? 的值。

25. 已知数列 { a n } 的通项公式 a n ?

(2n)

2

( 2 n ? 1)( 2 n ? 1)

,求它的前 n 项和.

26. 已知数列 { a n } 的通项公式 a n ?

2n ? 1 [ n ( n ? 1 )]
2

, 求它的前 n 项和.

27. 求和: S n ? 1 ? n ? 2 ? ( n ? 1) ? 3 ? ( n ? 2 ) ? ? ? n ? 1;

28. 已知数列 a n ? ( n ? 1) ? (

9 10

) , 求 { a n }的前 n 项和 S n .

n

29. 求和 W ? C n ? 4 C n ? 7 C n ? 10 C n ? ? ? ( 3 n ? 1) C n
0 1 2 3

n

30. 解答下列问题: (I)设 f ( x ) ?
x
2

? 9 ( x ? ? 3 ),
?1

(1)求 f ( x ) 的反函数 f (2)若 u 1 ? 1, u n ? ? f (3)若 a k ?
1 u k ? u k ?1

( x );

?1

( u n ? 1 ), ( n ? 2 ), 求 u n ;

, k ? 1, 2 , 3 , ? , 求数列 { a n }的前 n 项和 S n ;

31. 设函数 f ( x ) ?

2x ? 3 3x

, 作数列 { b n } : b 1 ? 1, b n ? f (

1 b n ?1

)( n ? 2 ),

求和: W n ? b1 b 2 ? b 2 b 3 ? b 3 b 4 ? ? ? ( ? 1)

n ?1

? b n b n ?1 .

32. 已知数列 { a n } 的各项为正数,其前 n 项和 S n 满足 S n ? (

an ? 1 2

) ,

2

(I)求 a n 与 a n ? 1 ( n ? 2 ) 之间的关系式,并求 { a n } 的通项公式;

(II)求证

1 S1

?

1 S2

?? ?

1 Sn

? 2.

33.已知数列{ a n }的各项分别为 1, a ? a , a ? a ? a , a ? a ? a ? a , ? ? , 求 { a n } 的
2 2 3 4 3 4 5 6

前 n 项和 S n .

34.已知数列{ a n }满足: a 1 ? 3 a 2 ? ? ? ( 2 n ? 1) a n ? ( 2 n ? 3 ) ? 2
S n ? 2n
2

n ?1

, 数列 { b n } 的前 n 项和

? n ? 2 .求数列 { a n ? b n }的前 n 项和 W n .

35.设数列{ a n }中, a n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ( n ? N ), 将 { a n } 中 5 的倍数的项依次记为
b1 , b 2 , b 3 , ? ? ,

?

(I)求 b 1 , b 2 , b 3 , b 4 的值. (II)用 k 表示 b 2 k ? 1 与 b 2 k ,并说明理由. (III)求和: b1 ? b 2 ? b 3 ? ? ? b 2 n ? 1 ? b 2 n .

36.数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且满足 a 1 ? 1, 2 S n ? ( n ? 1) a n , (I)求 a n 与 a n ? 1 的关系式,并求{ a n }的通项公式; (II)求和 W n ?
1 a2 ? 1
2

?

1 a3 ? 1
2

?? ?

1 a n ?1 ? 1
2

.

37. 将等差数列{ a n }的所有项依次排列, 并如下分组: a 1 ) a 2 , a 3 ) a 4 , a 5 , a 6 , a 7 ) ?, ( , ( , ( , 其中第 1 组有 1 项,第 2 组有 2 项,第 3 组有 4 项,?,第 n 组有 2 组中各项的和,已知 T3=-48,T4=0, (I)求数列{ a n }的通项公式; (II)求数列{Tn}的通项公式; (III)设数列{ Tn }的前 n 项和为 Sn,求 S8 的值.
n ?1

项,记 Tn 为第 n

38. 设数列 ?a n ? 是公差为 d ,且首项为 a 0 ? d 的等差数列, 求和: S n ? 1 ? a 0 C n ? a 1 C n ? ? ? a n C n
0 1 n

39. (1)设 a 1 , a 2 , ? , a n 是各项均不为零的 n ( n ≥ 4 )项等差数列,且公差 d ? 0 ,若将 此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列. (i)当 n ? 4 时,求
a1 d

的数值;

(ii)求 n 的所有可能值. (2)求证:对于给定的正整数 n ( n ≥ 4 ),存在一个各项及公差均不为零的等差数列
b1, b 2, , n ,其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列. ? b

40. 某企业进行技术改造,有两种方案,甲方案:一次性贷款 10 万元,第一年便可获利 1 万元, 以后每年比前一年增加 30%的利润; 乙方案: 每年贷款 1 万元, 第一年可获利 1 万元, 以后每年比前一年增加 5 千元;两种方案的使用期都是 10 年,到期一次性归还本息. 若银 行两种形式的贷款都按年息 5%的复利计算,试比较两种方案中,哪种获利更多? (取 1 . 05
10

? 1 . 629 ,1 . 3

10

? 13 . 786 ,1 . 5

10

? 57 . 665 )

答案: 1. 设 S n ?
1 2 ? 3 4 ? 5 8 ? 7 16 ? ??? ? 2n ? 1 2
n



1 2

Sn ?

1 4

?

3 8

?

5 16

? ??? ?

2n ? 3 2
n

?

2n ? 1 2
n ?1


1 2 Sn ? (


1 2 n? ? ?? ? n ) ? ? n ?1 2 2 2
n ?1


? 1 2 2 4 (? 2


? ??? ? 112 2 8 2
n ?1


?? ) 2n ? 1 1 2
n ?1

?

1 2 41

?

?

1 2

?

1 ? ?1? ?1 ? ? ? 2? ?2? ? 1? 1 2

? ? ? ?

?

2n ? 1 2
n ?1

?

?1? ?? ? 2 ?2? 3

n ?1

?

2n ? 1 2
n ?1

∴Sn

? 3?

2n ? 3 2
n

.

2. 解:由 log

3

x ?

?1 log
2

? log 3

3

x ? ? log

3

2 ? x ?

1 2

由等比数列求和公式得
1 2 1? 1 2 1 2
n

Sn ? x ? x

2

? x ? ??? ? x
3

n



x (1 ? x )
n

1? x



(1 ?

)

=1-

1 2
n

3. 解:若 a=0, 则 Sn=0 若 a=1, 则 Sn=1+2+3+?+n=
n ( n ? 1) 2

若 a≠0 且 a≠1 则 Sn=a+2a2+3a3+4a4+?+ nan ∴aSn= a2+2 a3+3 a4+?+nan+1
a ? a
n ?1

1? a

? na

n ?1

∴(1-a) Sn=a+ a2+ a3+?+an- nan+1=

∴Sn=

a?a

n ?1 2

(1 ? a )

?

na

n ?1

1? a

( a ? 1)

当 a=0 时,此式也成立。
n ( n ? 1) 2 ( a ? 1)
n ?1

∴Sn=

a?a

n ?1 2

(1 ? a )

?

na

1? a

( a ? 1)

解析:数列 ?na

n

? 是由数列 ?n ? 与 ?a ? 对应项的积构成的,此类型的才适应错位相减,
n

(课本中的的等比数列前 n 项和公式就是用这种方法推导出来的) ,但要注意应按以上三种 情况进行讨论,最后再综合成两种情况。

4. 证明: 设 S n ? C n ? 3 C n ? 5 C n ? ? ? ? ? ( 2 n ? 1) C n ………………………….. ①
0 1 2 n

把①式右边倒转过来得
S n ? ( 2 n ? 1) C n ? ( 2 n ? 1) C n
n n ?1

? ? ? ? ? 3C n ? C n
1

0

(反序)

又由 C n ? C n
m

n?m

可得
0 1 n ?1

S n ? ( 2 n ? 1) C n ? ( 2 n ? 1) C n ? ? ? ? ? 3 C n

? C n …………..…….. ②
n n ?1

① + ② 得

2 S n ? ( 2 n ? 2 )( C n ? C n ? ? ? ? ? C n
0 1

? C n ) ? 2 ( n ? 1) ? 2
n

n

(反序相加)

S n ? ( n ? 1) ? 2
n

5. 解:∵

1 n(n ? 2)

=

1 1 1 ( ? ) 2 n n? 2

Sn=

1 ? 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? ) ? 2 ? 3 2 4 n n? 2 ? ?

= =

1 2 3 4

(1 ? ?

1 2 1

?

1 n ?1 ?

? 1

1 n? 2

)

2n ? 2

2n ? 4

6. 解:设 S2002= a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? ? ? a 2002 由 a 1 ? 1, a 2 ? 3 , a 3 ? 2 , a n ? 2 ? a n ? 1 ? a n 可得
a 4 ? ? 1, a 5 ? ? 3 , a 6 ? ? 2 , a 7 ? 1, a 8 ? 3 , a 9 ? 2 , a 10 ? ? 1, a 11 ? ? 3 , a 12 ? ? 2 ,

??
a 6 k ? 1 ? 1, a 6 k ? 2 ? 3 , a 6 k ? 3 ? 2 , a 6 k ? 4 ? ? 1, a 6 k ? 5 ? ? 3 , a 6 k ? 6 ? ? 2

∵ a 6 k ?1 ? a 6 k ? 2 ? a 6 k ? 3 ? a 6 k ? 4 ? a 6 k ? 5 ? a 6 k ? 6 ? 0

(找特

殊性质项)
∴ S2002 =
a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? ? ? a 2002

(合并求和)

( a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? ? a 6 ) ? ( a 7 ? a 8 ? ? ? ? a 12 ) ? ? ? ? ? ( a 6 k ? 1 ? a 6 k ? 2 ? ? ? ? ? a 6 k ? 6 ) ? ? ? ? ? ( a 1993 ? a 1994 ? ? ? ? ? a 1998 ) ? a 1999 ? a 2000 ? a 2001 ? a 2002

= a 1999 ? a 2000 ? a 2001 ? a 2002

= a 6 k ?1 ? a 6 k ? 2 ? a 6 k ? 3 ? a 6 k ? 4 =5
5

7. 解: 因为 55?5=

(10 9 n

n

? 1)

所以 Sn=5+55+555+?+55?5 n =
5 9

?(10

? 1) ? (10

2

? 1) ? ? ? ? ? (10

n

? 1)

?

=

n ? 5 ? 10 (10 ? 1 ) ? n? ? 9 ? 10 ? 1 ?

=

50 81 1 2

? 10

n

?

5 9

n?

50 81 1 2 1 2
n

解析:根据通项的特点,通项可以拆成两项或三项的常见数列,然后再分别求和。 另外:Sn= 1
? 2 1 4 ?3 1 8 ? ???? n

可以拆成:Sn=(1+2+3+?+n)+(

?

1 4

?

1 8

? ????

1 2
n

)

8. ∵ ?a n ? 为等差数列,且 1+17=5+13, ∴ a 1 ? a 17 ? a 5 ? a 13 . 由题设易知 a 9 =117. 又 a 9 为 a 3 与 a 15 的等差中项,∴ a 3 ? a 15 ? 2 a 9 ? 234 .

9. a n ?

1 n ?1 ? n

?

n ?1 ?

n

(裂项)

于是有
? a1 ? ? ?a 2 ? ? ?? ? ?a n ? 2 ? 3 ? 1 2

n ?1 ?

n

方程组两边相加,即得
Sn ? n ?1 ? n

10. 【证明】∵ a n ? S n ? S n ? 1 , ∴. S n ? S n ? 1 ? 化简,得 Sn-1-Sn= 2 Sn Sn-1
1 Sn ? 1 S n ?1

2S n

2

2S n ? 1

( n ? 2 ).

两边同除以. Sn Sn-1,得

? 2 ( n ? 2 ).

∴数列 ?

? 1 ? 1 1 ? ? 1 为首项,2 为公差的等差数列. ? 是以 a1 S1 ?Sn ?



1 Sn

? 1 ? ( n ? 1 ) 2 ? 2 n ? 1,

∴Sn ?

1 2n ? 1

.

11. ∵ S 2 n ? S n ? 6560 ? 80 ? 80 ,

∴此数列为递增等比数列. 故 q ≠ 1.

? a 1 (1 ? q n ) ? 80 , ? ? 1? q ? a (1 ? q 2 n ) ? 依题设,有 ? 1 ? 6560 , 1? q ? ? a q n ? 1 ? 54 . ? 1 ? ?



② ③

②÷①,得 ④代入①,得 ⑤代入③,得 ④代入⑥,得
q
n ?1

1? q

n

? 82 , q

n

? 81 .

④ ⑤ ⑥ q = 3.

a1 ? q ? 1 .
q
n

?q

n ?1

? 54 .

? 27 , 再代入③,得 a1 =2, 再代入⑤,得

12. 令 b n ?

n ( n ? 1) !

?

1 n!

?

1 ( n ? 1) !

(裂项)

a n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n ? ( ?1? 1 ( n ? 1) !
1 2009 !

1 1!

?

1 2!

)?(

1 2!

?

? 1 ? 1 ) ? ? ? ?( ? )? 3! ? n ! ( n ? 1) ! ? 1

故有 a 2008 = 1 ?

.

13. 设等差数列 ?a n ? 的公差为 d,则 S n ? na 1 ? ∵ S 7 ? 7 , S 15 ? 75 , 解得 a 1 ? ? 2 , 代入(I)得
d ? 1.
Sn n S n ?1 n ?1 Sn n 1 2

1 2

n ( n ? 1) d .

(I)
? a 1 ? 3 d ? 1, 即? ? a1 ? 7 d ? 5 .

∴?

? 7 a 1 ? 21 d ? 7 , ?15 a 1 ? 105 d ? 75 ,

? a1 ?

( n ? 1) d ? ? 2 ?

1 2

( n ? 1 ).

(II)



?

?

1 2

,

∴数列 ?

1 1 2 9 ?Sn ? ? 是首项为 -2,公差为 的等差数列,∴ T n ? n ? n . 2 4 4 ? n ?

14. 解: Sn= 1 1
2

? 3

1 4

? 5

1 8

? ? ? (2n ? 1 ?

1 2
n

)

? (1 ? 3 ? 5 ? ? ? 2 n ? 1 ) ? (

1 2

?

1 4

?

1 8

?? ?

1 2
n

)

1 ? 1 n? 1? ( ) ? ? (1 ? 2 n ? 1 ) n 1 2 ? 2 ? 2 ? ? ? n ?1? n 1 2 2 1? 2

S n ? (1 ? 2 ) ? ( 3 ? 4 ) ? ? ? [( n ? 2 ) ? ( n ? 1 )] ? n

15. 当 n 为正奇数时,

? ?

n ?1 2

? n ?

n ?1 2

S n ? (1 ? 2 ) ? ( 3 ? 4 ) ? ? ? [( n ? 1 ) ? n ]

当 n 为正偶数时,

? ?

n 2

综上知 S n

?n ?1 ( n 为正奇数 ) ? 2 ? ,注意按 n 的奇偶性讨论! ? ? n ? ? ( n 为正偶数 ) ? 2 ?

原式 ? (1 ? 2 )( 1 ? 2 ) ? ( 3 ? 4 )( 3 ? 4 ) ? ? ? ( 2 n ? 1 ? 2 n )( 2 n ? 1 ? 2 n ) ?

16. ? ? ( 99 ? 100 )( 99 ? 100 ) ? ? 3 ? 7 ? 11 ? ? ? ( 4 n ? 1) ? ? ? 199
?- 50 3+199 ) ( =- 5050 2

17. 解:因为 a n ?

1 n ? n ? 1? ? n ? 2 ?

?

? 1 ? 1 1 ? ? ? 2 ? n ? n ? 1? ? n ? 1? ? n ? 2 ? ?

所以 S n

?

? 1 ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 ?1 ? 2 2 ? 3 2 ? 3 3 ? 4 n ? n ? 1? ? n ? 1? ? n ? 2 ? ? ? 1 ?1 1 ? ? ? 2 ? 2 ? n ? 1? ? n ? 2 ? ?

?

?

n ?n ? 3? 4 ? n ? 1? ? n ? 2 ?

18. 解:(Ⅰ)当 n=1 时,x -a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1-1,

2

1 于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得 a1=2. 1 当 n=2 时,x2-a2x-a2=0 有一根为 S2-1=a2-2, 1 1 1 于是(a2-2)2-a2(a2-2)-a2=0,解得 a1=6. (Ⅱ)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0, 即 Sn2-2Sn+1-anSn=0. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,代入上式得 Sn-1Sn-2Sn+1=0 ① 1 1 1 2 由(Ⅰ)知 S1=a1=2,S2=a1+a2=2+6=3. 3 由①可得 S3=4. 由此猜想 Sn= n ,n=1,2,3,?. n+1

下面用数学归纳法证明这个结论. (i)n=1 时已知结论成立. (ii)假设 n=k 时结论成立,即 Sk= k , k+1

当 n=k+1 时,由①得 Sk+1= 故 n=k+1 时结论也成立. 综上,由(i)、(ii)可知 Sn=

k+1 1 ,即 Sk+1= , 2-Sk k+2

n 对所有正整数 n 都成立. n+1 n-1 n 1 - n = , n+1 n(n+1)

于是当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=

1 1 又 n=1 时,a1=2= ,所以 1×2 {an}的通项公式 an= n ,n=1,2,3,?. n+1
1 ( n ? 1 )( n ? 3 ) ? 1 ( n ? 2 )( n ? 4 ) ]

19. 解:∵

( n ? 1 )( a n ? a n ? 1 ) ? 8 ( n ? 1 )[ ? 8 ?[
? 4?(

? 1

] (找通项及特征)

1 ( n ? 2 )( n ? 4 )
1 n? 2 ? 1 n? 4

( n ? 3 )( n ? 4 )
1 n?3
?

(设制分组)
)

) ? 8(

?

1 n? 4

(裂项)
) (分组、裂项求和)



?
n ?1

?

( n ? 1 )( a n ? a n ? 1 ) ? 4 ? (
n ?1

?

1 n? 2
? 1 4

?

1 n? 4
1 4

) ? 8? (
n ?1

1 n?3

?

1 n? 4

? 4?(

1 3

)?8?

?

13 3

20. 解:原式= ? x ? x ? x ? ? ? x
2 3

n

??? ?

?1 ? y

?

1 y
2

?? ?

1 ? ? n ? y ?

=

x 1? x 1? x

?

n

?

1 ? 1 ? ?1 ? n ? ? ? y? y ? ? 1 1? y
y y
n

=

x? x

n ?1

1? x

?

?1 ? y
n

n ?1

21. 解:设 S n ? (1 ? 1) ? (

1 a

? 4) ? (

1 a
2

? 7) ? ? ? ? ? ( a

1
n ?1

? 3n ? 2)

将其每一项拆开再重新组合得

S n ? (1 ?

1 a

?

1 a
2

? ????

当 a ? 1 时, S n ? n ?
1? 1

) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3 n ? 2 ) n ?1 a ( 3 n ? 1) n ( 3 n ? 1) n

1



2

2
1? n

当 a ? 1 时, S n ?
1?

n a?a a ? ( 3 n ? 1) n = 1 2 a ?1

?

( 3 n ? 1) n 2

a

22. 解:设 a k ? k ( k ? 1)( 2 k ? 1) ? 2 k ? 3 k ? k
3 2



Sn ?

? k (k
k ?1 n

n

? 1)( 2 k ? 1) = ? ( 2 k ? 3 k
3 k ?1

n

2

? k)

将其每一项拆开再重新组合得
S n ? 2? k
k ?1
3 3

3

? 3? k
k ?1

n

2

?
3

?
k ?1

n

k
2 2

? 2 (1 ? 2 ? ? ? ? ? n ) ? 3 (1 ? 2
? ? n ( n ? 1)
2 2

? ? ? ? ? n ) ? (1 ? 2 ? ? ? ? ? n )
2

?

n ( n ? 1 )( 2 n ? 1 ) 2

?

n ( n ? 1) 2

2 n ( n ? 1) ( n ? 2 )
2

2

23. 证明: 设 S n ? C n ? 3 C n ? 5 C n ? ? ? ? ? ( 2 n ? 1) C n ………………………….. ①
0 1 2 n

把①式右边倒转过来得
S n ? ( 2 n ? 1) C n ? ( 2 n ? 1) C n
n n ?1

? ? ? ? ? 3 C n ? C n (反序)
1 0 n ?1

又由 C n ? C n
m

n?m

可得
0 1

S n ? ( 2 n ? 1) C n ? ( 2 n ? 1) C n ? ? ? ? ? 3 C n

? C n …………..…….. ②
n n

①+②得

2 S n ? ( 2 n ? 2 )( C n ? C n ? ? ? ? ? C n
0 1

n ?1

? C n ) ? 2 ( n ? 1) ? 2 (反序相加)
n


2 ?

S n ? ( n ? 1) ? 2
2 ?

n

24. 解:设 S ? sin 1 ? sin 2 ? sin 将①式右边反序得
S ? sin
2

2

3 ? ? ? ? ? sin
2 ?

?

2

88

?

? sin
2 ?

2

89 …………. ①
2 ?

?

89

?

? sin
?

2

88

?

? ? ? ? ? s i n 3 ? s i n 2 ? s i n 1 ……② (反序)
2

又? sin x ? cos( 90 ? x ), sin ①+②得
2 S ? (sin
2

x ? cos 2 ? cos
?

2

x ?1

(反序相加)
2 2

1 ? cos

?

2

1 ) ? (sin

?

2 ) ? ? ? ? ? (sin

?

2

89

?

? cos

2

89 ) ? 89

?



S ? 44 . 5
n 2n ? 1 1 3 n 2n ? 1 2 3 ?

25. ? a n ?

?

, 2 5 )?? ? ( n ?1 2n ? 3 ? n ?1 2n ? 1 )?( n 2n ? 1 ? n 2n ? 1 ),

? S n ? (1 ?

)? (

=1 ? ( =

1 3

?

2 3

)?(

2 5

?

3 5

)?? ? (

n ?1 2n ? 1

?

n 2n ? 1

)?

n 2n ? 1

? n?

n 2n ? 1

2 n ( n ? 1) 2n ? 1

26. ? a n ?

( n ? 1) ? n
2

2

n ? ( n ? 1)
2

2

?

1 n
2

?

1 ( n ? 1)
2

,

? S n ? (1 ? ?1? 1 ( n ? 1)

1 2
2

)?(

1 2
2

?

1 3
2

)?? ? (

1 ( n ? 1)
2

?

1 n
2

)?(

1 n
2

?

1 ( n ? 1)
2

)

2

.

27. 注意:数列的第 n 项“n·1”不是数列的通项公式,记这个数列为 { a n } , ∴其通项公式是
a k ? k ? [ n ? ( k ? 1)] ? kn ? k
2

? k ( k ? 1, 2 , 3 , ? , n ),
2 2 2 2

? S n ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ) ? n ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ) ? n ( n ? 1)
2

?

n ( n ? 1)( 2 n ? 1) 6

?

n ( n ? 1) 2

?

n ( n ? 1)( n ? 2 ) 6

.

2

28. ? a n ? n ? 1为等差数列
? Sn ? 2? ? 9 10 9 10 9 10 1 10 ? 9 5 ? 81 10 ? [1 ? ( Sn ? 9 10 9 10 ) .
n n 2

, bn ? (

9 10

) 为等比数列,∴应运用错位求和方法:

n

? 3? (

9 10

) ? ? ? ( n ? 1) ? (
2

9 10

) ; 9 10
n ?1

n

Sn ? 2? ( :

) ? 3? ( 9 5

9 10

) ? ? ? ( n ? 1) ? (
3

) 9 10

, 9 10
n ?1

两式相减得

? [(

9 10

) ? (
2

9 10

) ?? ? (
3

) ] ? ( n ? 1) ? (
n n ?1

)

) ] ? ( n ? 1) ? (

9 10

)

n ?1

?

99 10

?(

9 10

)

( n ? 10 ),

? S n ? 99 ? 9 ( n ? 10 ) ? (

29. ? a n ? 3 n ? 1为等差数列 而C n ? C n
k 0 n?k

,? a 0 ? a n ? a 1 ? a n ? 1 ? ? ,

,? 运用反序求和方法是比较好的想法,
1 2 n ?1

? W ? C n ? 4 C n ? 7 C n ? ? ? (3 n ? 2 )C n ? ( 3 n ? 1) C n ? ( 3 n ? 2 ) C n
n n ?1

? ( 3 n ? 1) C n ①,
n n?2

? (3 n ? 5 )C n

? ? ? 4C n ? C n
1

0

? W ? ( 3 n ? 1) C n ? ( 3 n ? 2 ) C n ? ( 3 n ? 5 ) C n
0 1 0 1 2

n?2

? ? ? 4 C n ? C n ②,
1 0 n n

①+②得 2W ? ( 3 n ? 2 )( C n ? C n ? C n ? ? ? C n ) ? ( 3 n ? 2 ) ? 2 ,
? W ? (3 n ? 2 ) ? 2
n ?1

.

30. (1) f (2)? ?

?1

(x) ? ?

x

2

?9

?u1 ? 1 ? u n ? u n ? 1 ? 9 ( n ? 2 ),
2 2

? { u n } 是公差为 9 的等差数列,
2

? u n ? 9 n ? 8,
2

? u n ? 0,
1

? un ?
1 9

9k ? 8 ,

(3) a k ?

9k ? 8 ?

9k ? 1

?

( 9k ? 1 ?

9 k ? 8 ),

? Sn ? ? 1 9

1 9

[( 10 ? 1 ) ? ( 19 ?

10 ) ? ? ? ( 9 n ? 1 ?

9 n ? 8 )]

( 9 n ? 1 ? 1 );

31. ? b n ?

2 3

? b n ? 1 ,? b n ?
4 9
2

2n ? 1 3
2

,? b n b n ? 1 ?
2 2

1 9

(4n

2

? 8 n ? 3 ),
2 2

①当 n 为偶数时 W n ?
? 8 9 ? ? 4 9

{( 1 ? 2 ) ? ( 3 ? 4 ) ? ? ? [( n ? 1) ? n ]}

{( 1 ? 2 ) ? ( 3 ? 4 ) ? ? ? [( n ? 1 ) ? n ]} [ 3 ? 7 ? 11 ? ? ? ( 2 n ? 1 )] ?
1 2 n 2 4 9 4 9
2 2

8 9

?

n 2
2

=?

4 9

?

?[

( 2 n ? 2 )] ?

n ? ?

1 9

(2n

? 6 n );
2 2 2

②当 n 为奇数时 W n ?
? ? ? 8 9 4 9 4 9 [? 1 2 ? n ?1 2

{( 1 ? 2 ) ? ? ? [( n ? 2 ) ? ( n ? 1) ] ? n }

{( 1 ? 2 ) ? ( 3 ? 4 ) ? ? ? [( n ? 2 ) ? ( n ? 1)] ? n } ? { ? [ 3 ? 7 ? 11 ? ( 2 n ? 3 )] ? n } ?
2

1 3

8 9

[? ?

n ?1 2

? n] ?
2

1 3

? 2n ? n ] ?
2

8 9

?

n ?1 2

1 3

?

1 9

(2n

? 6 n ? 7 ).

32. (I)? 4 S n ? ( a n ? 1) ①,而 4 S n ? 1 ? ( a n ? 1 ? 1) ②,
2 2

①—②得 a n ? a n ? 1 ? 2 ( a n ? a n ? 1 ) ? 0 ? ( a n ? a n ? 1 )( a n ? a n ? 1 ? 2 ) ? 0 ,
2 2

? a n ? 0 ,? a n ? a n ? 1 ? 2 ( n ? 2 ), ? { a n }是公差 d ? 2 的等差数列, 而 4 a 1 ? ( a 1 ? 1)
2

? a 1 ? 1,
1 S1 1 S2

? a n ? 2 n ? 1;
1 Sn 1 1
2

(II)? S n ? n ,?
2

?

?? ?

?

?

1 2
2

?? ?

1 n
2

? ?

1 n 1 S1
2

? ? 1 n

1 n ( n ? 1) 1 S2 ? 2.

?

1 n ?1 1

?

1 n

( n ? 2 ), 1 2 )?( 1 2 ? 1 3 )?? ? ( 1 n ?1 ? 1 n

?? ?

? 1 ? (1 ?

)

Sn

? 2?

33.? a n ? a

n ?1

? a

n

?? ? a

2n?2

,
n ( n ? 1) 2
n

(1) 当 a ? 1时 a n ? n ,? S n ? (2)当 a ? 1时 a n ?
? Sn ? 1 1? a
a
n ?1

;
? a
2 n ?1

(1 ? a )

1? a
2

?

a

n ?1

1? a

,

[( 1 ? a ? a

?? ? a
1? a
n

n ?1

) ? (a ? a
2n 2

3

?? ? a

2 n ?1

)],

① 当 a ? ? 1时 , S n ?

1 1? a

[

1? a

?

a (1 ? a 1? a

)

];

②当 a ? ? 1 时,1)当 n 为奇数时 S n ? 2)当 n 为偶数时 S n ? 34.当 n ? 2时 , ( 2 n ? 1) ? a n ? ( 2 n ? 3 ) ? 2
n ?1

1? n 2 n 2 .

;

? (2 n ? 5) ? 2

n

? 2 ( 2 n ? 1),
n

?a n ? 2 n (n ? 2) n ? a n ? 2 ; 而 a1 ? ? 4, 得 ? . ? a1 ? ? 4 当 n ? 2 时 , b n ? S n ? S n ? 1 ? 4 n ? 1;

而 b 1 ? 1, 得 ?

? b1 ? 1 ? b n ? 4 n ? 1( n ? 2 )

.

? W n ? ? 4 ? [ 2 ? 7 ? 2 ? 11 ? ? ? 2 ( 4 n ? 1 )],
2 3 n

记 s ? 2 ? 7 ? 2 ? 11 ? 2 ? 15 ? ? ? 2 ( 4 n ? 1 ) ①
2 3 4 n

? 2 s ? 2 ? 7 ? 2 ? 11 ? ? ? 2 ( 4 n ? 5 ) ? 2
3 4 n

n ?1

( 4 n ? 1) ②, ( 4 n ? 1)

①-②得 ? s ? 28 ? 4 ( 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? 2
3 4 n

n ?1

? 28 ? 32 ( 2 ? s ? 4? 2

n?2

? 1) ? 2

n ?1

( 4 n ? 1) ? ? 4 ? 2
n ?1

n ?1

( 5 ? 4 n ),

n ?1

( 4 n ? 5 ), 得 W n ? 2

( 4 n ? 5 ).

35. (I) b1 ? a 4 ? 10 , b 2 ? a 5 ? 15 , b 3 ? a 9 ? 45 , b 4 ? a 10 ? 55 ; (II)? a n ?
n ( n ? 1) 2 ? 5 m ( m ? N ? ), ? n ? 5 k 或 n ? 1 ? 5 k ( k ? N ? ),

即 n ? 5 k ? 1或 n ? 5 k ,? b 2 k ? 1 ? b 2 k ,? b 2 k ? 1 ? a 5 k ? 1 ? b2k ? a 5k ? 5 k ( 5 k ? 1) 2
2

5 k ( 5 k ? 1) 2

,

;
25 6

(III)? b 2 n ? 1 ? b 2 n ? 25 n ,? b 1 ? b 2 ? ? ? b 2 n ?

n ( n ? 1)( 2 n ? 1).

36. (I)? ?

? 2 S n ? ( n ? 1) a n ? 2 S n ? 1 ? na
an a n ?1
1 1?3
n ?1

, 两式相减得

an ?

n n ?1
2 1

a n ? 1 ( n ? 2 ),

?

an a1

?

?

a n ?1 a n?2

?? ?

a2 a1

?

n

n ?1 n ? 2
1

?

n ?1

?? ?

? n ,? a n ? n ;

(II) W n ?
1 3 1 5

?

1 2?4

?

1 3?5

?? ?

n(n ? 2)

?

1 2

[( 1 ?

1 3

)? (

1 2

?

1 4

)]

? (

?

)?? ? (

1 n

?

1 n? 2

)] ?

1 3 1 1 [ ? ? ]. 2 2 n ?1 n ? 2

37. (I)设{ a n }的公差为 d,则 T 3 ? 4 a 7 ? 6 d ? ? 48 ①,T 4 ? 8 a 7 ? 36 d ? 0 ②,解①、② 得 d ? 2 , a 7 ? ? 9 ,? a n ? 2 n ? 23 ; (II)当 n ? 2 时,在前 n-1 组中共有项数为 1 ? 2 ? ? ? 2
n ?1 n ?1
n?2

? 2

n ?1

? 1,

∴第 n 组中的 2

项的和 T n ? ( 2

n

? 23 ) ? 2

?

2

n ?1

(2

n ?1

? 1)

?2

2

? 3? 2

2n?2

? 24 ? 2

n ?1

; ? S 8 ? 59415 .

(III) S 8 为 { a n }的前 255 项 ,

38. 解析:因为 S n ? 1 ? a 0 C n ? a 1 C n ? ? ? a n C n ,
0 1 n

S n ? 1 ? a n C n ? a n ?1 C n
n

n ?1

? ? ? a 0 C n ? a n C n ? a n ?1 C n ? ? ? a 0 C n ,
0 0 1 n
1 n

? 2 S n ? 1 ? ( a 0 ? a n ) C n ? ( a1 ? a n ?1 ) C n ? ? ? ( a n ? a 0 ) C n
0

? ( a 0 ? a n )( C n ? C n ? ? ? C n ) ? ( a 0 ? a n ) 2
0 1 n

n

? S n ?1 ? ( a 0 ? a n ) ? 2

n ?1



39. (1)①当 n=4 时, a 1 , a 2 , a 3 , a 4 中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成 等比数列,则推出 d=0。 若删去 a 2 , a 3 ?a 1 a?4 则
2 2

, ( a 1 ?2 d) 即

2

?a 1? a 1?3 d) (

化简得 a 1 ? 4 d ? 0 , 得

a1 d a1 d

? ?4 ?1

若删去 a 3 ,则 a 2 ? a 1 ? a 4 ,即 ( a 1 ? d ) ? a 1 ? ( a 1 ? 3 d ) 化简得 a 1 ? d ? 0 ,得
2

综上,得

a1 d

? ?4 或

a1 d

? 1。

②当 n=5 时, a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 中同样不可能删去 a 1 , a 2 , a 4 , a 5 ,否则出现连续三项。 若删去 a 3 ,则 a 1 ? a 5 ? a 2 ? a 4 ,即 a 1 (a 1 ? 4d ) ? ( a 1 ? d ) ?( a 1 ?3 d ) 为 d ? 0 ,所以 a 3 不能删去; 当 n≥6 时,不存在这样的等差数列。事实上,在数列 a 1 , a 2 , a 3 , ? , a n ? 2 , a n ? 1 , a n 中, 由于不能删去首项或末项,若删去 a 2 ,则必有 a1 ? a n ? a 3 ? a n ? 2 ,这与 d ? 0 矛盾;同样若删 去 a n ? 1 也有 a1 ? a n ? a 3 ? a n ? 2 ,这与 d ? 0 矛盾;若删去 a 3 , ? , a n ? 2 中任意一个,则必有
a 1 ? a n ? a 2 ? a n ? 1 ,这与 d ? 0 矛盾。(或者说:当 n≥6 时,无论删去哪一项,剩余的项中必

化简得 3 d ? 0 ,因
2

有连续的三项) 综上所述, n ? 4 。 (2)假设对于某个正整数 n,存在一个公差为 d 的 n 项等差数列 b1 , b 2 ,...... b n ,其中
b x ? 1 , b y ? 1 , b z ? 1 ( 0 ? x ? y ? z ? n ? 1 )为任意三项成等比数列,则 b ( b1 ? y d ) ? ( b1 ? x d ) ? ( b ? z d ),化简得 ( y ? xz ) d 1
2 2
2

2 y ?1

? b x ? 1 ? b z ? 1 ,即

2

? ( x ? z ? 2 y ) b1 d

(*)

由 b1 d ? 0 知, y ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时为 0 或同时不为 0 当 y ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时为 0 时,有 x ? y ? z 与题设矛盾。
2

故 y ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时不为 0,所以由(*)得
2

b1 d

?

y ? xz
2

x ? z ? 2y
b1 d

因为 0 ? x ? y ? z ? n ? 1 ,且 x、y、z 为整数,所以上式右边为有理数,从而

为有理数。

于是, 对于任意的正整数 n ( n ? 4 ) , 只要

b1 d

为无理数, 相应的数列就是满足题意要求的数列。

例如 n 项数列 1,1 ? 2 , 1 ? 2 2 ,??,1 ? ( n ? 1) 2 满足要求。

40. 解析:甲方案是等比数列,乙方案是等差数列, ①甲方案获利: 1 ? (1 ? 30 %) ? (1 ? 30 %) 元) , 银行贷款本息: 10 (1 ? 5 %)
10
2

? ? ? (1 ? 30 %)

9

?

1 .3

10

?1

? 42 . 63 (万

0 .3

? 16 . 29 (万元) ,

故甲方案纯利: 42 . 63 ? 16 . 29 ? 26 . 34 (万元) , ②乙方案获利: 1 ? (1 ? 0 . 5 ) ? (1 ? 2 ? 0 . 5 ) ? ? ? (1 ? 9 ? 0 . 5 ) ? 10 ? 1 ?
? 32 . 50 (万元) ;

10 ? 9 2

? 0 .5

银行本息和: 1 . 05 ? [1 ? (1 ? 5 %) ? (1 ? 5 %)
1 . 05
10

2

? ? ? (1 ? 5 %) ]
9

? 1 . 05 ?

?1

? 13 . 21 (万元)

0 . 05

故乙方案纯利: 32 . 50 ? 13 . 21 ? 19 . 29 (万元) ; 综上可知,甲方案更好。


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