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高中数学竞赛训练题二


数学训练题(二)
一、选择题 2、满足 y ? ( x ? 3 ? x ? 2007的正整数数对(x,y) )

(A)只有一对 (B)恰有有两对 (C)至少有三对 (D)不存在 3、设集合 M={-2,0,1},N={1,2,3,4,5},映射 f:M ?N 使对任意的 x∈M,都有 3 是奇数,则这样的映射 f 的个数是( ) (A)45 (B)27 (C)15 (D)11 4、设方程
x2 y2 ? ? 1 所表示的曲线是( sin(192007 ) ? cos(192007 ) ?



(A)双曲线 (B)焦点在 x 轴上的椭圆 (C)焦点在 y 轴上的椭圆 (D)以上答案都不正确 5、将一个三位数的三个数字顺序颠倒,将所得到的数与原数相加,若和中没有一个数字是 偶数,则称这个数为“奇和数” 。那么,所有的三位数中,奇和数有( )个。 (A)100 (B)120 (C)160 (D)200 6、函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 有相同的定义域,且对定义域中的任何 x ,有。若 g ( x) ? 1

的解集是 {x | x ? 0} ,则函数 F ( x ) ? A、奇函数 C、既是奇函数又是偶函数

2 f ( x) ? f ( x ) 是( g( x ) ? 1



B、及函数 D、既不是奇函数又不是偶函数
个。

二、填空题 7、边长均为整数且成等差数列,周长为 60 的钝角有
2 2

已知关于 x 的实系数方程 x ? 2 x ? 2 ? 0 和 x ? 2mx ? 1 ? 0 的四个不同的根在复平面上 对应的点,则 m 的取值范围是
? ? ? ? ?


? ? ? ? ?
? ?

10、设平面上的向量 a , b , x , y 满足关系 a ? x ? y, b ? 2 x ? y ,又设 a 与 b 的模为 1,且互 相垂直,则 x 与 y 的夹角为
?

?



11、设函数 f 0 ( x) ?| x |, f1 ( x) ?| f 0 ( x) ? 1 |, f 2 ( x) ?| f1 ( x) ? 2 | ,则函数 f 2 ( x) 的图象与 x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是 。 12、若正整数 n 恰有 4 个正约数,则称 n 为奇异数,例如 6,8,10 都是奇异数,那么在 27, 42,69,111,125,137,343,899,3599,7999 这 10 个正整数中奇异数有 个。 三、的答题 13、已知△ABC 的三边长分别为 b、c,且满足 abc= 2(a ? 1)(b ? 1)(c ? 1). (1)是否存在边长均为整数的△ABC?若存在,求出三边长;若不存在,说明理由。 (2)若 a>1,平>1,c>1,求出△ABC 周长的最小值。

1

14、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 过达到 A(1,0) ,且焦点在 x 轴上,椭圆与曲线|y|=x 的交点为 a 2 b2
2 ? e 2 ? 1 时,求实数 m 的取值范围。 3

B、C。现有以 A 为焦点,过点 B、C 且开口向左的抛物线,抛物线的顶点坐标为 M(m,0) 。 当椭圆的离心率 e 满足

答案:
1. (A) 解:
1? x 3 1 3 27 1 =5? ? 3 ? 5 ? ( ) 5 ,等号当且仅当 ? 3 x ? 3 3 ,即 x ? (1 ? log 3 2) 时成立, 5 2 4 4

1

2

5

27 故 f(x,y)的最小值是 5 ? ( ) 5 4

1

2

2、 ( B ) 解 : 设 a 2 ? x ? 3, b 2 ? x ? 2007 , 其 中 a , b 均 为 自 然 数 , 则 y=a+b ,

b2 ? a 2 ? (b ? a)(b ? a) ? 2004? 22 ? 3 ?167 。因为 b+a 与 b-a 有相同的奇偶性,且
b+a>b-a,所以 ?

?b ? a ? 1002 ?b ? a ? 334 ?a ? 500 ?a ? 164 或? 解得 ? 或? ? b?a ?2 ? b?a ?6 ?b ? 502 ?b ? 170

3、 (A) 解:当 x=-2 时,x+f(x)+xf(x)=-2-f(-2)为奇数,则 f(-2)可取 1,3,5, 有三种取法;当 x=0 时,x+f(x)+xf(x)=f(0)为奇数,则 f(0)可取 1,3,5,有 3 种取法;当 x=1 时,x+f(x)+xf(x)=1+2f(1)为奇数,则 f(1)可取 1,2,3,4,5, 有 5 种取法。由乘法原理知,共有 3×3×5=45 个映射。 4、 (C) 解: 192007 ? 19 ? (192 )1003 ? 19 ? (360 ? 1)1003 ? 19(360n ? 1)(n ? N ? ) 于是, sin(192007 )? ? sin(360? 19n ? 19)? ? sin 19? ,同理 cos( 192007 )? ? cos19? 。 因为 cos19 ? sin 19 ? 0 ,故应选(C)
? ?

5、 (A) 解: 设三位数是 a1a2 a3 , 则 a1a2 a3 + a3a2 a1 ? 100 (a1 ? a3 ) ? 10(a2 ? a2 ) ? (a1 ? a3 ) 。 若 a1 ? a3 不进位,则和数的十位数必为偶数,不符合题意,所以 a1 ? a3 =11,13,15,17。
2 因 11=9+2=8+3=7+4=6+5,所以 a1, a3 取值有 4 A2 种可能; 2 因 13=9+4=8+5=7+6,所以 a1, a3 取值有 3 A2 种可能; 2 因 15=9+6=8+7,所以 a1, a3 取值有 2 A2 种可能; 2 因 17=9+8,所以 a1, a3 取值有 A2 种可能;

由于 a2 ? a2 不能进位,所以 a2 只能取 0,1,2,3,4。 因此,满足条件的数共有:5( 4 A2 + 3 A2 + 2 A2 + A2 )=100(个) 6、 (B) 解:由 a1 ? 6 ? 5 ? 2
1?1 2 2 2 2

? 1, a2 ? 11 ? 5 ? 22?1 ? 1,? ? ?, 猜想:

an ? 5 ? 2n?1 ? 1。由已知递推关系式,易用数学归纳法给予证明(略)
于是,当 n>1 时, an ? 1(mod10). 故 a1 ? a2 ? ? ? ? ? a2007 ? 6 ? 2006? 2(mod10) 因此,应选(B) 7. (20,60,100) 解:记方程组中的两个方程为(1) , ( 2) ,消去 x 得
3

5 y 2 ? 8 yz ? 3z 2 ? 0 ,即 (5 y ? 3z)( y ? z) ? 0
所以 5 y ? 3z ? 0 , 或 (3) (4)

y ? z ? 0,

由(1) 、 (3)得 y ? 3x, z ? 5 x ,即 x:y:z=1:3:5,于是,由已知条件,必有 x=20, y=60,z=100; 由(1) (4) ,得 x=-y=-z,与已知条件矛盾。 8.{m|-1<m<1 或 m=-3/2} 解:易知方程 x ? 2 x ? 2 ? 0 的两根为 x1 ? 1 ? i, x2 ? 1 ? i.
2 2 2 当 ? ? 4m ? 4 ? 0 , 即 ? 1 ? m ? 1 时, 方程 x ? 2mx ? 1 ? 0 有两个共轭的虚根 x3, x4 ,

且 x3, x4 的实部为 ? m ? 1 ,这时 x1 , x2 , x3 , x4 在复平面内对应的点构成等腰梯形或矩形,它 们共圆。
2 2 当 ? ? 4m ? 4 ? 0 ,即 m ? ?1 或 m ? 0 时,方程 x ? 2mx ? 1 ? 0 有两个不等的实根

x3, x4 ,则 x1 , x2 对应的点在以 x3, x4 对应的点为直径端点的圆上,该圆的方程为
即 x 2 ? y 2 ? ( x3 ? x4 ) x ? x3 x4 ? 0 , 将 x3 ? x4 ? ?2m, x3 x4 ? 1 ( x ? x3 )(x ? x4 ) ? y 2 ? 0 , 及 x1 , x2 对应点的坐标(1,±1)代入方程,即得 m ? ? 故 m 的取值范围是{m|-1<m<1 或 m=-3/2} 9、 ? ? arccos(

3 。 2

10 ) 10
? ? a?b b ? 2a ,y? , 设 x 与 y 的 夹 角 为 ? , 则 3 3

解 : 由 已 知 , 得 x?
? ?

cos? ?
10、 7

x? y

| x |?| y |

?

?

??

10 10 ,所以 ? = ? ? arccos( ) 10 10

解:函数 y ? f 2 ( x) 的图象如图的实线部分所示。所求的封闭部分的面积为

S 梯形ABCD ? S ?CDE ?
11、 y ?

1 1 (2 ? 6) ? 2 ? ? 2 ? 1 ? 7 2 2
y D2
4

6 6 ? 2 3? x
A -3 -2

C B 1 2 3 x

1E -1 O

解:当 AQ=x 时,设 GQ 与面 BDE 交于 点 N,作 NM⊥BD 于点 M,联结 QM 交直 线 BC 于点 P ,取点 P 为点 P,知此时 y=|MN|最小。 建立如图 1 的空间直角坐标系,则 Q(0,x,1)且△BDE 所在平面上的点(x,y,z)满 足 x+y=z,故可令 N ( x0 , y0 , x0 ? y0 ) 。 由点 N 在 QG 上,知在(0,1)内存在λ 使 QN=λ QG。 代入消去λ 得 2x0 ? y0 ? 1, x0 ( x ? 1) y0 ? x. B G Q E B G Q A z Q M Q P C D Q N
' '

1? x 1? x , y0 ? 从而, x0 ? 3? x 3? x 1? x 1? x 2 , , ). 于是, N ? ( 3? x 3? x 3? x
而点 M 在 BD 上,故可令 M ( x1 ,1 ? x1 ,1). 由 MN ? BD ? 0 ,知 x1 ? 于是, y ?| MN |? 12、 40122007 解:设 xi ?
2007 1 ? xi 2 ,则 ai ? 2 ? ,且 ? xi ? 1,所以 2 ? ai xi i ?1

H Q G Q

y

3 1? x ( ). 2 3? x

F G x Q

6 1? x 6 6 ( )? ? . 2 3? x 2 3? x

a1a 2 ? ? ? a 2007 ? 2 2007 ? 1 ? ( x2 ? x3 ? ? ? ? ? x2007 ) ? ( x1 ? x3 ? ? ? ? ? x2007 ) ? ? ? ( x1 ? x2 ? ? ? ? ? x2006 ) x1 x2 ? ? ? x2007
1 ? 2006? 2006 x2 x3 ? ? ? x2007 ? 2006? 2006 x1 x3 ? ? ? x2007 ? ? ? 2006? 2006 x1 x2 ? ? ? x2006 x1 x2 ? ? ? x2007

? 2 2007 ?
=2
2007

? 20062007 ? 40122007
1 1 1 1 ? ? ? . a b c 5 1 1 1 1 4 ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? ( ) 3 。 2 a b c 5

13 解: (1)不妨设整数 a≥b≥c,显然 c≥2。 若 c≥5,这时

由 abc ? 2(a ? 1)(b ? 1)(c ? 1) ,可得 矛盾,故 c 只可能取 2,3,4。

当 c=2 时, ab ? (a ? 1)(b ? 1) ,有 a ? b ? 1.

5

又 a≥b≥2,故无解。

) 当 c=3 时, 3ab ? 4(a ? 1)(b - 1 ,即 (a ? 4)(b ? 4) ? 12
又 a≥b≥3,故

?a ? 4 ? 12 ?a ? 4 ? 6 ?a ? 4 ? 4 或? 或? ? ? b ? 4 ? 1 ?b ? 4 ? 2 ?b ? 4 ? 3
解得 ?

?a ? 16 ?a ? 10 ?a ? 8 或? 或? ? b ? 5 ? b ? 6 ?b ? 7

能构成三角形的只有 a=8,b=7,c=3。 当 c=4 时,同理解得 a=9,b=4 或 a=6,b=5。 能构成三角形的只有 a=6,b=5,c=4。 故存在三边长均为整数的△ABC,其三边长分别为 4,5,6 或 3,7,8 (2)由 abc ? 2(a ? 1)(b ? 1)(c ? 1) ,可得

1 1 1 (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) 1 1 1 1 a b c ]3 ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? [ 2 a b c 3
所以,

1 1 1 2 ? ? ? 3? 3 a b c 2
1 1 1 9 9 33 2 ? ? ) ? 9 ,则有 a ? b ? c ? ? ?3 1 1 1 2 a b c 2 ?1 ? ? 3? 3 a b c 2

(a ? b ? c)( 又

故△ABC 的周长最小值为

33 2
3

2 ?1

,当且仅当 a ? b ? c ?

3 3

2

2 ?1

时,取得此最小值。

14. 解:椭圆过定点 A(1,0) ,则 a=1,c= 1 ? b 2 , e ? 1 ? b 2 ∵

2 3 ? e 2 ? 1 ,∴ 0 ? b ? ,由对称性知,所求抛物线只要过椭圆与射线 y=x(x≥0) 3 3

的交点,就必过椭圆与射线 y=-x(x≥0)的交点

? y ? x ( x ? 0) b ? 解方程组 ? 2 y 2 ,得 x ? y ? x ? 2 ?1 1 ? b2 ? b ?
∵ b ? (0,

1 3 ) ,∴ 0 ? x ? 2 3
2

设抛物线方程为: y ? ?2 p( x ? m), p ? 0, m ? 1,

6

又∵

p ? m ? 1 ,∴ y 2 ? 4(1 ? m)(x ? m), m ? 1 . 2 1 y ? x, x ? (0, ) 得 x 2 ? 4(m ? 1) x ? 4m(m ? 1) ? 0 . 2
2

令 f ( x) ? x ? 4(m ? 1) x ? 4m(m ? 1), (m ? 1,0 ? x ?

1 ), 2

1 2 f (0) ? ?4m(m ? 1) ? 0 ? ? ∴? 1 1 f ( ) ? ? 2(m ? 1) ? 4m(m ? 1) ? 0 ? 4 ? 2
∵ f ( x)在(0, ) 内有根且单调递增,

m ? 1或m ? 0 ? 3? 2 ? ∴ ?3 ? 2 3 ? 2 ,故 1 ? m ? ?m? 4 ? 4 ? 4

7


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