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[名校联盟]福建省莆田市第八中学高二数学必修5《简单的线性规划2》课件


2008、10、25

复习引入:

?x ? 4 y ? ?3 ? 若实数x , y满足 ?3x ? 5 y ? 25,求z=2x+y的取值范围. ? y ?x ? 1
6 5? 4 3 2 1 B 1 ? 2 ? C

(1)画出不等式组所表示的平面区域; x=1 (2)设z=2x+y,则式中 变量x,y满足的二元一次 不 等 式 组 叫 做 x,y 的 线性约束条件; z=2x+y 叫做 线性目标函数 ; 满足 线性约束条件 的解(x,y)都 叫做可行解;

?
x-4y+3=0 A

3x+5y-25=0

使z=2x+y取得最大值的可行 -1 O 解为 (5,2) , -1 且最大值为 12 ; 使z=2x+y取得最小值的可行解 (1, 1) , 且最小值为 3 ; 最优解 。

3

4

5

6

7

x

l0

l1

l

l2

这两个最值都叫做问题的

例1.若实数x ,

?x ? 4 y ? ?3 ? y满足 ?3x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?
y x=1
6 5? 4 3 C

求z=2x+y的取值范围

解:不等式组表示的平 面区域如图所示:

A(5,2), B(1,1),
C (1, 22 )。 5

?
x-4y+3=0 ? A

作斜率为-2的直线

l: ? y - z ? 0, 2x

使之与平面区域有公共点, 2
1 由图可知,当l过B(1,1)时z 的值最小,当l过A(5,2)时, z的值最大. -1 O B 1 ? 2

3x+5y-25=0

3

4

5

6

7

x

? zmin ? 2 ? 1 ? 1 ? 3 zmax ? 2 ? 5 ? 2 ? 12

-1

l0

l1

l

l2

变题:上例若改为求z=x-2y的最大值、最小值呢?
y 分析:目标函数变形为 1 1 y ? x? z x=1 2 2 6 把z看成参数,同样是一组平行 线,且平行线与可行域有交点。 5 ? 最大截距为过C (1, 22 ) C? 4 5 的直线 l1 3 l 最小截距为过A(5,2) 1

的直线 l 2

2 1 B

?

A

x-4y+3=0

? 注意:直线取最大截距 时,等价于 ? 1 z 2 -1 O 1 取得最大值,则z取 得最小值 l 0 l -1 22 39 2 z min ? 1 ? 2 ? ?? 5 5 同理,当直线取最小截距时,z有最大值

3x+5y-25=0 2

3

4

5

6

7

x

zmax ? 5 ? 2 ? 2 ? 1

变题:若改为求z=3x+5y的最大值、最小值呢?
解:不等式组表示的平 面区域如图所示: 作斜率为 ? 3
5
y x=1

zxxk

的直线

6 5? ? C

l: ? -3x ? z, 5y

本题以最大值解为坐 标的点落在线段AC上, 即线段AC上所有点的 坐标为最大值解

使之与平面区域有公共点, 4 由图可知,当 l 过B(1,1)时, z的值最小,当 l 22 过A(5,2)、C (1, )时, 5 z的值最小,

3 2 1 B ? 2 3 4 5 6 ? A

x-4y+3=0

3x+5y-25=0 7

z min ? 3 ? 1 ? 5 ? 1 ? 8 z max ? 3 ? 5 ? 5 ? 2 ? 25
z max

-1 O -1 或

1

22 ? 3 ?1 ? 5 ? ? 25 5

l0

l1

l

l2

x

例题分析:关于取整数解的问题
例2 要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格, 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 :
规格类型 钢板类型

A规格 2 1

B规格 1 2

C规格 1 3

第一种钢板 X张 第二种钢板 y张

今需要A,B,C三种规格的成品分别为15,18,27块,问 各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且使所 用钢板张数最少。 解:设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,则

{

2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0 y≥0

目标函数为 z=x+y
作出可行域(如图)

例题分析

{

2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N y≥0 y∈N

y
15

调整优值法

作出一组平行直线z=x+y,

10 B(3,9) C(4,8) 目标函数z= x+y 8 A(18/5,39/5) 6 x+y =0 4 2 0 2 4 6 8

12

2x+y=15

x+y=12 x+2y=18
作直线x+y=12

18

x

27
x+3y=27

当直线经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解.

解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们是最优解. 答(略)组卷网

例题分析
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*

y
15
B(3,9)
C(4,8)

{

打网格线法

目标函数t = x+y

9

A(18/5,39/5)

x+y =0

2 1 0 12

x 78
2x+y=15

18

27

作出一组平行直线t = x+y, 当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解,

x+2y=18 x+3y=27

在可行域内打出网格线, 将直线x+y=11.4继续向上平移,
经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)时,t=x+y=12是最优解.答:(略)

在可行域内找出最优解、线性规划整数 解问题的一般方法是:
1.若区域“顶点”处恰好为整点,那么它就是最优解;
(在包括边界的情况下) 2.若区域“顶点”不是整点或不包括边界时,应先求出 该点坐标,并计算目标函数值Z,然后在可行域内适当 放缩目标函数值,使它为整数,且与Z最接近,在这条 对应的直线中,取可行域内整点,如果没有整点,继续 放缩,直至取到整点为止。 3.在可行域内找整数解,一般采用平移找解法,即打网 络、找整点、平移直线、找出整数最优解;还可以用调 整最优值法。
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巩固练习1:
不等式组

?x ? 0 y 表示的平面区域内的整数点共有 ? ?y ? 0 4 ?4 x ? 3 y ? 12 ?
3 2



)个

1

0

1

2

3

4

x

4x+3y=12

练习2:求满足 | x | + | y | ≤4 的整点(横、 纵坐标为整数)的个数。

?4 ??? 共有: ???? 9 + 2 ( 7 + 5 + 3 + 1-4 ? ? ? ? ? ) ? ? ? ?o? ? = 41 ? ?? ?? ???? ??? -4?

y

? ? ? 4 ? ? ? ? ? ?

x

3.某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物资 的任务,该公司有8辆载重量为6吨的A型卡车和4辆载重量为10吨 的B型卡车,有10名驾驶员;每辆卡车每天往返的次数为A型卡车 4次,B型卡车3次,每辆卡车每天往返的成本费A型卡车为320元, B型卡车为504元,问如何安排车辆才能使该公司所花的成本费最 低,最低为多少元?(要求每型卡车至少安排一辆)

解:设每天调出的A型车x辆,
B型车y辆,公司所花的费用为 z元,则

y

4x+5y=30

x+y=10

x=8

{

x≤8 y≤4 x+y≤10 4x+5y≥30 x,y∈N* Z=320x+504y

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

y=4

X

作出可行域 作出可行域中的整点,

可行域中的整点(5,2)使Z=320x+504y取得最 小值,且Zmin=2608元

320x+504y=0

课后练习:

1.在x,y的值都是不小于0的整数点(x,y)中,

15 满足x + y ≤ 4的点的个数为_______
2. 设变量x, y满足条件
求S ? 5 x ? 4 y的最大值 。

?

3 x? 2 y?10 x ? 4 y ?11 x , y?Z x ?0 , y ?0

3.深圳市福田区水泥制品厂生产两种水泥,已知生产甲种水 泥制品1吨,需矿石4吨,煤3吨;生产乙种水泥制品1吨,需 矿石5吨,煤10吨,每1吨甲种水泥制品的利润为7万元,每1 吨乙种水泥制品的利润是12万元,工厂在生产这两种水泥制 品的计划中,要求消耗的矿石不超过200吨,煤不超过300吨, 甲乙两种水泥制品应生产多少,能使利润达到最大值?

y

A(2,4)

【练习4】

B(-1,2)

如图1所示,已知△ABC中的三顶点 A(2,4) ,B(-1,2),C(1,0),点P(x,y) 0 C(0,1) 在△ABC内部及边界运动, 请你探究并讨论以下问题: (图1) ① z=x+y 在_____处有最大值___,在____处有最小值____; ② z=x-y 在___处有最大值____,在____处有最小值____; ③ 你能否设计一个目标函数,使得其取最优解的 情况有无穷多个? ④ 请你分别设计目标函数,使得最值点分别 在A处、B处、C处取得? ⑤ (课后思考题)若目标函数是 z=x2+y2 , 你知道其几何意义吗?你能否借助其几何意义求得

x

zmin和zmax

y ?1 2y ? 3 或z? 呢? ?如果是 z ? x x ?1

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(如图2,①②问参考答案: ① z=x+y 在 在 点A 点C 处有最大值 6 ,在边界BC处有最小值 1 ;②z=x+y 处有最大值 1 ,在 点 B 处有最小值 -3)
x ? y ? ?3 A
(2 , 4)

y
B

A

y
(2 , 4)

( ?1 , 2)

x? y ?6

(?1, 2)

B

x ? y ?1

0

C (1 , 0)
x ? y ?1

x
( 图2 )

0

C

(1, 0)

x


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