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2011中考数学复习课件:第19讲 三角形与全等三角形122


第 19 讲

三角形与全等三角形

考点一 三角形的概念与分类 1.由三条线段首尾顺次相接所围成的平面图形,叫做三角形. 2.三角形按边可分为:不等边三角形和等腰三角形;按角可分为锐角三角形、钝角三角 形和直角三角形.
考点二 三角形的性质 1.三角形的内角和是 180° ,三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,三角形的

外角大于任何一个和它不相邻的内角. 2.三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边. 3.三角形中的重要线段 (1)角平分线:三角形的三条角平分线交于一点,这点叫做三角形的内心,它到三角形各 边的距离相等. (2)中线:三角形的三条中线交于一点,这点叫做三角形的重心. (3)高:三角形的三条高交于一点,这点叫做三角形的垂心. (4)三边垂直平分线:三角形的三边垂直平分线交于一点,这点叫做三角形的外心,外心 到三角形三个顶点距离相等. (5)中位线:三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

考点三 全等三角形的概念与性质 1.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2.全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边、对应角分别相等; (2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高)相等、周长相等、面积相等.
考点四 全等三角形的判定 1.一般三角形全等的判定 (1)如果两个三角形的三条边分别对应相等,那么这两个三角形全等,简记为(SSS); (2)如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等,那么这两个三角形全等,简记为 (SAS); (3)如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等,那么这两个三角形全等,简记为 (ASA); (4)如果三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等,那么这两个三角形全等,简记为 (AAS). 2.直角三角形全等的判定 (1)两直角边对应相等的两个直角三角形全等; (2)一边一锐角对应相等的两个直角三角形全等; (3)如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等,那么这两个直角三角形全 等.简记为(HL).

3.证明三角形全等的思路

?找夹角 ? (1)已知两边 ?找直角 ?找另一边 ?
(2)已知一边一角

? ?找夹角的另一边 ?边为角的邻边时?找夹边的另一角 ? ?找边的对角 ? ?
边为角的对边时,找另一角

?找夹边 (3)已知两角 ? ?找任意一边 ?1?判定三角形全等必须有一组对应边相等; ..... ?2?判定三角形全等时不能错用“SSA”“AAA”来判定.

考点五 定义、命题、定理、公理 有关概念 (1)定义是能明确指出概念含义或特征的句子,它必须严密. (2)命题:判断一件事情的语句. ①命题由题设和结论两部分组成. ②命题的真假:正确的命题称为真命题;错误的命题称为假命题. ③互逆命题:在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命 题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题称为互逆命题.每一个命题都有逆命题. (3)定理:经过证明的真命题叫做定理.因为定理的逆命题不一定都是真命题,所以不是 所有的定理都有逆定理. (4)公理:有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的,并把它们作为判断其 他命题真伪的原始依据,这样的真命题叫公理.

考点六 证 明 1.证明:根据题设、定义、公理及定理,经过逻辑推理来判断一个命题是否正确,这一 推理过程称为证明. 2. 证明的一般步骤: ①审题, 找出命题的题设和结论; ②由题意画出图形, 具有一般性; ③用数学语言写出已知、求证;④分析证明的思路;⑤写出证明过程,每一步应有根据,要 推理严密.

(1)(2010· 山西)现在四根木棒,长度分别为 4 cm、6 cm、8 cm、10 cm,从中任取三 根木棒,能组成三角形的个数为( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

(2)(2009· 锦州)如图,∠BDC=98° ,∠C=38° ,∠B=23° ,∠A 的度数是( A.61° B.60° C.37° D.39°

)

例 1(2)题

例 1(3)题

(3)(2010· 昆明)如图,在△ABC 中,CD 是∠ACB 的平分线,∠A=80° ,∠ACB=60° , 那么∠BDC=( ) A.80° B.90° C.100° D.110°

(4)(2010· 广州)在△ABC 中,D、E 分别是边 AB、AC 的中点,若 BC=5,则 DE 的长是 ( ) A.2.5 B.5 C.10 D.15

(5)(2010· 济宁)若一个三角形三个内角度数的比为 2∶3∶4,那么这个三角形是( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形

)

【点拨】本组题主要考查三角形的有关概念和性质.

【解答】(1)根据“两边之和大于第三边”得 4、6、8;6、8、10;4、8、10 能组成三角 形,故选 C. (2)如图, 延长 BD 交 AC 于 E.因为∠BDC=∠C+∠BEC, 而∠BEC=∠A+∠B, ∴∠BDC =∠C+∠A+∠B,∴∠A=∠BDC-∠C-∠B=98° -38° -23° =37° ,故选 C. (3)∵∠ACB=60° ,CD 是∠ACB 的平分线. ∴∠ACD=30° ,∴∠BDC=∠A+∠ACD=80° +30° =110° ,故选 D. (4)∵D、E 是 AB、AC 的中点 1 1 ∴DE= BC= ×5=2.5,故选 A. 2 2 4 (5)∵最大角为 180° =80° ∴该三角形为锐角三角形,故选 B. × 9

(1)(2009· 成都)如图,在△ABC 与△DEF 中,已有条件 AB=DE,还需添加两个条 件才能使△ABC≌△DEF,不能添加的一组条件是( ) ..

A.∠B=∠E,BC=EF B.BC=EF,AC=DF C.∠A=∠D,∠B=∠E D.∠A=∠D,BC=EF

(2)(2010· 滨州)下列命题中,错误的是( ) A.三角形两边之差小于第三边 B.三角形的外角和是 360° C.三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分 D.等边三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形

【点拨】判断一个命题是假命题,可采用举反例的方法.
【解答】(1)D (2)D

(1)(2010· 昆明)如图,点 B、D、C、F 在一条直线上,且 BC=FD,AB=EF. ①请你只添加一个条件(不再加辅助线),使△ABC≌△EFD,你添加的条件是________; ②根据所添加的条件,证明△ABC≌△EFD.

(2)(2010· 苏州)如图,C 是线段 AB 的中点,CD 平分∠ACE,CE 平分∠BCD,CD=CE. ①求证:△ACD≌△BCE; ②若∠D=50° ,求∠B 的度数

【点拨】 (1)属于“条件”开放型试题, 题目已知条件中只给出三角形的两组边对应相等, 可添加第三组边对应相等,利用“SSS”判定全等,也可添加夹角相等,利用“SAS”判定全等. (2)本题综合考查三角形的全等及性质,利用“SAS”判定△ACD≌△BCE 后,再利用性质 可得到∠E=50° ,从而求出∠B.
【解答】(1)①∠B=∠F(或 AB∥EF 或 AC=ED),答案不唯一. ②证明:当∠B=∠F 时 在△ABC 和△EFD 中,AB=EF,∠B=∠F,BC=FD. ∴△ABC≌△EFD(SAS). (2)①证明:∵C 是线段 AB 的中点,∴AC=BC. ∵CD 平分∠ACE,CE 平分∠BCD, ∴∠1=∠2,∠2=∠3,∴∠1=∠3. 又∵CD=CE,∴△ACD≌△BCE(SAS). ②证明:∵∠1=∠2,∠2=∠3,∴∠1=∠2=∠3,∴∠3=60° . 由△ACD≌△BCE,得∠D=∠E. ∵∠D=50° ,∴∠E=50° . 则∠B=180° -∠E-∠3=180° -50° -60° =70° .

1.下列长度的三条线段能组成三角形的是( D ) A.1 cm,2 cm,3.5 cm B.4 cm,5 cm,9 cm C.5 cm,8 cm,15 cm D.6 cm,8 cm,9 cm
2.一个三角形三个内角的度数之比为 2∶3∶7,这个三角形一定是( A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 D )

3.下面的命题中,真命题的是( D ) A.有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等 B.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 C.有一条边对应相等的两个等腰三角形全等 D.有一条高对应相等的两个等边三角形全等
4.如图,在△ABC 中,AC=DC=DB,∠ACD=100° ,则∠B 等于( D )

A.50° B.40° C.25° D.20°

5.现有 2 cm、4 cm、5 cm、8 cm 长的四根木棒,任意选取三根组成一个三角形,那么 可以组成三角形的个数为( B ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
6.如图,已知 AB=AC,AD=AE,求证:BD=CE.

证明: ∵AB=AC, ∴∠B=∠C.又∵AD=AE, ∴∠ADE=∠AED, ∴∠BAD=∠CAE, ∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE(全等三角形对应边相等)

考点训练 19

三角形与全等三角形 角形与全等三角形 ?训练时间:60分钟 分值: ?训练时间:60分钟 分值:100分?

一、选择题(每小题 4 分,共 48 分)
1.(2010· 义乌)下列长度的三条线段能组成三角形的是( A.1,2,3.5 B.4,5,9 C.20,15,8 D.5,15,8 )

【解析】只要较小两数的和大于最大数,就能构成三角形. 【答案】C

2.(2010· 义乌)如图,直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线,P 为直线 CD 上的一点,已知 线段 PA=5,则线段 PB 的长度为( ) A.6 B.5 C.4 D.3

【解析】线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,∴PA=PB=5. 【答案】B

3.(2009 中考变式题)

如图,为估计池塘岸边 A、B 的距离,小方在池塘的一侧选取一点 O,测得 OA=15 米, OB=10 米,A、B 间的距离不可能是( ) ... A.20 米 B.15 米 C.10 米 D.5 米

【解析】由三角形关系得 5<AB<25. 【答案】D

4.(2009 中考变式题)到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的( A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点

)

【解析】因为角平分线上的点到角两边的距离相等,故选 C. 【答案】C
5.(2009 中考变式题)两根木棒的长分别为 5 cm 和 7 cm,要选择第三根木棒,将它 们钉成一个三角形,如果第三根木棒的长为偶数,那么第三根木棒的选取情况有( ) A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种

【解析】由三角形三边关系得 2 cm<第三根棒长<12 cm.因为第三根棒长为偶数,∴第三 根棒的取值可以是 4 cm、6 cm、8 cm 和 10 cm 共 4 种.

【答案】B

6.(2011 中考预测题)如图,OP 平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为 A、B, 下列结论中不一定成立的是( ) ...

A.PA=PB B.PO 平分∠APB C.OA=OB D.AB 垂直平分 OP

【解析】依据角平分线的性质和全等三角形的判定性质得 D 不一定成立. 【答案】D

7.(2011 中考预测题)如图,点 P 是 AB 上任意一点,∠ABC=∠ABD,还应补充一个条 件, 才能推出△APC≌△APD.从下列条件中补充一个条件, ... 不一定能推出△APC≌△APD 的 是( ) A.BC=BD C.∠ACB=∠ADB B.AC=AD D.∠CAB=∠DAB

【解析】依据 A 条件先证△ABC≌△ABD(SAS),再推出△APC≌△APD.依据 C 条件先 证△ABC≌△ABD(AAS),再推出△APC≌△APD;依据 D 条件先证△ABC≌△ABD(ASA), 再推出△APC≌△APD,而 B 的条件不能推出.

【答案】B

8.(2011 中考预测题)用边长为 1 的正方形纸板,制成一副七巧板,如图所示,将它拼成 “小天鹅”图案,其中阴影部分的面积为( )

A.

1 7 B. 2 16

C.

3 3 D. 8 4

3 【解析】注意观察图形的变化过程,易得 S 阴影= . 8

【答案】C

9.(2011 中考预测题)如图,△ACB≌△A′CB′,∠BCB′=30° ,则∠ACA′的度数 为( ) A.20° B.30° C.35° D.40°

【解析】 ∵△ACB≌△A′CB′, ∴∠ACB=∠A′CB′, ∴∠ACA′=∠BCB′=30° . 【答案】B

10.(2010· 温州)如图,AC、BD 是矩形 ABCD 的对角线,过点 D 作 DE∥AC 交 BC 的 延长线于 E,则图中与△ABC 全等的三角形共有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

【解析】与△ABC 全等的有 4 个,分别是△CDA、△BAD、△DCB、△DEC. 【答案】D

11. (2009 中考变式题)如果, 已知∠1=∠2, AC=AD, 增加下列条件: ①AB=AE, ②BC =ED,③∠C=∠D,④∠B=∠E,其中能使△ABC≌△AED 的条件是( ) A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.4 个

【 解 析 】 增 加 ①AB = AE , 则 △ABC≌△AED(SAS) ; 增 加 ③∠C = ∠D , 则 △ABC≌△AED(ASA);增加④∠B=∠E,则△ABC≌△AED(AAS).

【答案】A

12.(2009 中考变式题)已知在△ABC 中, 1 (1)如图①,若 P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点,则∠P=90° ∠A; + 2 (2)如图②,若 P 点是∠ABC 和外角∠ACE 的角平分线的交点,则∠P=90° -∠A; 1 (3)如图③,若 P 点是外角∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点,则∠P=90° ∠A. - 2

上述说法中真命题的有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

1 【解析】①③是真命题,②是假命题,正确的是∠P= ∠A. 2

【答案】C

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分)
13.(2011 中考预测题)如图所示,将△ABC 沿着 DE 翻折,B 点落到了 B′点处.若∠1 +∠2=80° ,则∠B′=________.

【解析】由外角定理可得∠1+∠2=2∠B′,∴∠B′=40° . 【答案】40°

14.(2009 中考变式题)如图,D 是 AB 边上的中点,将△ABC 沿过点 D 的直线折叠,使 点 A 落在 BC 边上的 F 处,若∠B=50° ,则∠BDF=________.

【解析】由折叠得 AD=DF,又 AD=BD,∴BD=DF,又∠B=50° ,∴∠BDF=180° -50° ×2=80° .

【答案】80°

15.(2010· 天津)如图,已知 AC=FE,BC=DE,点 A、D、B、F 在一条直线上,要使 △ABC≌△FDE,还需添加一个条件,这个条件可以是________.

【解析】答案不唯一. 【答案】∠C=∠E(或 AB=FD 等)

16.(2009 中考变式题)如下图,观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律,则 第 5 个大三角形中白色三角形有________个.

【解析】第 1 个图中 1 个,第 2 个图中 4 个,第 3 个图中 13 个,第 4 个图中 40 个,第 5 个图中 121 个.

【答案】121

17.(2011 中考预测题)如图,△ABC 与△AEF 中,AB=AE,BC=EF,∠B=∠E,AB 交 EF 于 D,给出下列结论:①∠AFC=∠C;②DF=CF;③△ADE∽△FDB;④∠BFD= ∠CAF.其中正确的结论是________(填写所有正确结论的序号).

【解析】∵AB=AE,∠B=∠E,BC=EF,∴△AEF≌△ABC,∴AF=AC,∴∠AFC = ∠C , 即 ① 正 确 ; ∵∠ADE = ∠FDB , ∠E = ∠B , ∴△ADE∽△FDB , ∴③ 正 确 ; ∵△ADE∽△FDB,∴∠BFD=∠EAD.∵△AEF≌△ABC,∴∠EAF=∠BAC,∴∠EAD= ∠CAF,∴∠BFD=∠CAF,∴④正确.

【答案】①③④

三、解答题(共 32 分)

18.(8 分)(2010· 武汉)如图,点 B、F、C、E 在同一条直线上,点 A、D 在直线 BE 的两 侧,AB∥DE,AC∥DF,BF=CE. 求证:AC=DF.
证明:∵AB∥DE,∴∠ABC=∠DEF. ∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE.∵BF=EC,∴BC=EF. ∴△ABC≌△DEF(ASA).∴AC=DF.

19.(10 分)(2011 中考预测题)如图,已知△ABC 为等边三角形,点 D、E 分别在 BC、 AC 边上,且 AE=CD,AD 与 BE 相交于点 F.

(1)求证:△ABE≌△CAD; (2)求∠BFD 的度数.
(1)证明:∵△ABC 为等边三角形,∴∠BAC=∠C=60° ,AB=CA.在△ABE 和△CAD 中,AB=CA,∠BAE=∠C,AE=CD,∴△ABE≌△CAD(SAS). (2)解:∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,又△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD,∴∠BFD =∠CAD+∠BAD=∠BAC=60° .

20.(14 分)(2011 中考预测题)如图,已知△ABC 中,AB=AC=10 厘米,BC=8 厘米, 点 D 为 AB 的中点. (1)如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动, 同时, Q 在线段 CA 点 上由 C 点向 A 点运动.①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,经过 1 秒后,△BPD 与△CQP 是否全等,请说明理由;②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等,当点 Q 的运动速度为多少时,能够使△BPD

与△CQP 全等. (2)若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发,点 P 以原来的运动速度同时从点 B 出发,都 逆时针沿△ABC 三边运动,求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在△ABC 的一条边上相遇?

解:(1)①∵t=1 秒,∴BP=CQ=3×1=3.∵AB=10,点 D 为 AB 的中点,∴BD=5, 又 ∵PC= BC- BP, BC= 8, ∴PC= 8- 3= 5.∴PC= BD.又 ∵AB= AC, ∴∠B= ∠C, ∴△BPD≌△CQP(SAS);②∵vP≠vQ,∴BP≠CQ.又∵△BPD≌△CPQ,∠B=∠C,则 BP BP 4 CQ 5 15 =PC=4,CQ=BD=5.∴点 P 和点 Q 运动的时间 t= = 秒,∴vQ= = = (厘米/ 3 3 t 4 4 3 秒). 15 80 (2)设经过 x 秒后点 P 与点 Q 第一次相遇,由题意,得 x=3x+2×10,解得 x= (秒), 4 3 80 ∴点 P 共运动了 ×3=80(厘米). 3 80 ∵80=2×28+24,∴点 P、点 Q 在 AB 边上相遇,∴经过 秒点 P 与点 Q 第一次在 AB 3 边上相遇.


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