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23个典型的数列专题2^0


23 个典型的数 列专题 — tobeenough2.0

23 个典型的数列专题

1 、等差数列 ?an ? 中,前三项依次为

1 5 1 , , ,求: a105 ? ? x?1 6x x

2 、前 100 个自然数( 1 到 100 )中,除以 7 余 2 的所有数之和 S ? ? 3、

在等差数列 ?an ? 中, 前 n 项和为 Sn . 若 a1 ? 0 ,S16 ? 0 ,S17 ? 0 , 则 Sn 最大时,n ? ? 4 、数列 ?an ? 的通项公式 an ?
1 n?1 ? n

,若它的前 n 项和 Sn ? 9 ,求: n ? ?

5 、等差数列 ?an ? ,其公差 d ? 0 ,其中, a2 、 a3 、 a6 依次构成等比数列,求公比 q ? ? 6 、已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,且 a1 ? 1 , S11 等比数列,并求其前 n 项和 Tn . 7 、若 x ? y ,且两个数列: x, a1 , a2 , y 和 x, b1 , b2 .b3 , y 均为等差数列,求:
? 1? n ? 33 . 设 bn ? ? ? ,求证:?bn ? 是 ?2?
a

a1 ? x ?? y ? b3

8 、 已 知正 项 数 列 ?an ? 的前 n 项 和 Sn 满 足 : 10Sn ? an2 ? 5an ? 6 , 且 a1 、 a3 、 a15 成 等 比数列,求数列 ?an ? 的通项 an ? ? 9 、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ?
? 1? 1 n( n ? 1)( n ? 2 ) , 试求数列 ? ? 的前 n 项和 Tn ? ? 3 ? an ?

10 、 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 其首项 a1 ? 1 , 且满足 3Sn ? (n ? 2)an , 求通项 an ? ? 11 、如果数列 ?an ? 中 , 相邻两项 an 和 an? 1 是二次方程 xn2 ? 3nxn ? cn ? 0 ( n ? 1, 2, 3, ...) 的 两个根 , 当 a1 ? 2 时 , 试求 c100 ? ? 12 、 有 两 个 无 穷 的 等 比 数 列 ?an ? 和 ?bn ? , 其 公 比 的 绝 对 值 都 小 于 1 , 其 各 项 和 分 别 是
Sn ?

k ?1

? ak ? 1 和 Tn ?

?

k ?1

? bk ? 2 , 对一切自然数都有:an2 ? bn ,求这两个数列的首项
1 ,当 n ? 2 时,满足: an ? 2Sn Sn?1 ? 0 ; 求 2

?

和公比 . 13 、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ?



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? 1 ? 证:数列 ? ? 为等差数列;并求 ? Sn ? 的通项公式 Sn ? ? ? Sn ?

14 、已知等比数列 ?an ? 的首项 a1 ?

1 ,且满足: 210 S30 ? ( 210 ? 1) S20 ? S10 ? 0 . 2

( 1 )求 ?an ? 的通项; ( 2 )求 ?nSn? 的前 n 项和 Tn . 15 、若等差数列 ?log2 xn? 的第 m 项等于 k ,第 k 项等于 m ( 其中 m ? k ) ,求数列 ? xn ? 的 前 m ? k 项的和 . 16 、如果数列 ?an ? 中 , a1 ?
5 1 ? 1? , a n ? 1 ? an ? ? ? 6 3 ?2?
n? 1

,求通项 an ? ?

17 、设数列 ?an ? , a1 ? 4 ,且当 n ? 2 时满足: an ? 3an?1 ? 2n ? 1 ,求通项 an ? ? 18 、设数列 ?an ? , a1 ? 1 , a2 ? 2 ,且满足: an? 2 ? 3an?1 ? 2an , (n ? N * ) ,求通项 an ? ? 19 、已知正项数列 ?an ? , a1 ? 1 ,且满足: an? 1 ? 20 、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,且满足: an? 1 ? 21 、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,且满足: an? 1 ? 22 、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 5 ,且满足: an? 1 ? 23 、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 4 ,且满足: an? 1 ?
1 a ( 4 ? an ) ,求通项 an ? ? 2 n

2an ? 1 , (n ? N * ) ,求通项 an ? ? 4an ? 6 4an ? 2 ,求通项 an ? ? an ? 1
2an ? 3 ,求通项 an ? ? an a ?2 an 2 , bn ? n ,求通项 bn ? ? an 2(an ? 1)

23 个典型的数列专题解答

1 、等差数列 ?an ? 中,前三项依次为 解析:由等差数列中项公式得: 2 ?

1 5 1 , , ,求: a105 ? ? x?1 6x x

5 1 1 ? ? ,则: x ? 2 . 6x x x?1

首项为: a1 ?

1 1 1 5 1 1 ? ,公差为: d ? ? ? ? ; x?1 3 x 6 x 6 x 12
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则数列通项为: an ? a1 ? ( n ? 1)d ?
n ? 3 105 ? 3 ? ? 9. 12 12

1 n?1 n? 3 ? ? . 3 12 12

故: a105 ?

求等差数列通项公式就可以通解 . 2 、前 100 个自然数( 1 到 100 )中,除以 7 余 2 的所有数之和 S ? ? 解析:这些数构成的数列为: an ? 7 (n ? 1) ? 2 ? 7n ? 5 ; 在 100 之内, n 的最大数 m 为: 100 ? 7 m ? 5 ,即 m ? 15 ;
15 ? (1 ? 15 ) ? 15 ? 这些数之和 S 为: S ? ? (7 n ? 5 ) ? 7 ? ? ? 5 ? 15 ? 765 2 ? ? k ?1

数列的 n 是从 1 开始计数,而余数的 n 是从 0 开始计数,本题是计算余数 . 故在采用数列方法时带入 n ? 1 . 余数是常数的问题要转化为等差数列问题 . 3、 在等差数列 ?an ? 中, 前 n 项和为 Sn . 若 a1 ? 0 ,S16 ? 0 ,S17 ? 0 , 则 Sn 最大时,n ? ? 解析:等差数列通项为: an ? a1 ? (n ? 1)d ,求和公式为: Sn ? na1 ? 则依题意: S16 ? 0 ,即: S16 ? 16a1 ? 即: a1 ?
16 ? 15 d ? 0, 2
n( n ? 1) d; 2

15 d ? 0 , a1 ? 7d ? 0 ,即: a8 ? 0 ; 2 17 ? 16 d ?0, 2

以及: S17 ? 0 ,即: S17 ? 17a1 ? 即: a1 ? 8d ? 0 ,即: a9 ? 0 .

故 Sn 求和累加时,加到 a8 时在增加,加到 a9 时开始减小,则最大时, n ? 8 . 通项公式和求和公式都要很熟啊 . 4 、数列 ?an ? 的通项公式 an ? 解析:通项: an ?
1 n?1 ? n 1 n?1 ? n

,若它的前 n 项和 Sn ? 9 ,求: n ? ?

? n?1 ? n ;



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则: Sn ? ?
k ?1

n

?

k ? 1 ? k ? n ? 1 ? 1 ? 9 ,于是: n ? 99

?

相当于裂项法 . 5 、等差数列 ?an ? ,其公差 d ? 0 ,其中, a2 、 a3 、 a6 依次构成等比数列,求公比 q ? ? 解析:等差数列通项: an ? a1 ? (n ? 1)d ,则: a3 ? a2 ? d , a6 ? a2 ? 4d ,

a2 、 a3 、 a6 依次构成等比数列,
2 则由比例中项公式得: a3 ? a2a6 ,即: (a2 ? d )2 ? a2 (a2 ? 4d ) ; 2 2 即: a2 ? 2a2d ? d 2 ? a2 ? 4a2d ,即: d 2 ? 2a2 d

因为 d ? 0 ,故上式得: d ? 2a2 ; 所以: q ?

a3 a2 ? d 3a2 ? ? ? 3. a2 a2 a2

由比例中项直接列式,导出 d 与 a2 的关系 .
? 1? n 6 、已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,且 a1 ? 1 , S11 ? 33 . 设 bn ? ? ? ,求证:?bn ? 是 ?2?
a

等比数列,并求其前 n 项和 Tn . 证明:通项: an ? a1 ? (n ? 1)d ,求和公式: Sn ? na1 ? 则: S11 ? 11 ?
n( n ? 1) d; 2

11 ? 10 2 d ? 33 ,即: 11 ? 55d ? 33 ,故: d ? . 2 5 2 2n ? 3 2 带入通项公式得: an ? 1 ? ( n ? 1) ? 5 5 5
2n? 3 5

于是,将 a1 ? 1 , d ?

? 1? 则: bn ? ? ? ?2?

an

? 1? ?? ? ?2?

, bn? 1
? 1 ?5 ?? ? ?4?
a1
2

? 1? ?? ? ?2?

a n? 1

? 1? ?? ? ? 2?

2 ( n ? 1 )? 3 5

b ? 1? 故: n? 1 ? ? ? bn ?4?

2 ( n ? 1 ) ? 3 2n ? 3 ? 5 5

? 1? 当 n ? 1 时,数列首项 b1 ? ? ? ?2?

?

1 2
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? 1 ?5 1 故 ?bn ? 是首项为 b1 ? ,公比为 q ? ? ? 的等比数列, 4 ?4? ? 1? 其通项为: bn ? ? ? ?4?
2n ? 3 5

2

.
2 n

? 1 ?5 1?? ? n 1? q 1 ? 1 4? ? 1? ? 其求和公式 : Tn ? b1 ? ? ?? ? ? ? 1 ? 4n 1 1? q ? 4 ? 3 ? 1? ? 25 4

? ? ? ?

7 、若 x ? y ,且两个数列: x, a1 , a2 , y 和 x, b1 , b2 .b3 , y 均为等差数列,求: 解析:设两个等差数列的公差分别为: d1 和 d 2 , 则 : a1 ? x ? d 1 ?
y? x y? x , y ? b3 ? d 2 ? . 3 4

a1 ? x ?? y ? b3

1 a1 ? x 3 ( y ? x ) 4 故: ? ? y ? b3 1 3 ( y ? x) 4
利用等差数列的等差性质来求本题 . 8 、 已 知正 项 数 列 ?an ? 的前 n 项 和 Sn 满 足 : 10Sn ? an2 ? 5an ? 6 , 且 a1 、 a3 、 a15 成 等 比数列,求数列 ?an ? 的通项 an ? ? 解析:由已知: 10Sn ? an2 ? 5an ? 6
2 10Sn?1 ? an ? 1 ? 5an? 1 ? 6 2 2 由② - ①: 10an?1 ? (an ? 1 ? an ) ? 5(an? 1 ? an ) 2 2 移项合并: (an ? 1 ? an ) ? 5(an? 1 ? an ) ? 0 ,即: (an? 1 ? an )(an? 1 ? an ? 5 ) ? 0

① ②

由于正项数列 (an? 1 ? an ) ? 0 ,所以: an?1 ? an ? 5 ? 0 ,即: an?1 ? an ? 5 ; 由此得到 ?an ? 是公差为 5 的等差数列 . 设: an ? a1 ? 5(n ? 1) ,则: a3 ? a1 ? 10 , a15 ? a1 ? 70 ;
2 由 a1 、 a3 、 a15 成等比数列得: a3 ? a1a15 ,即: (a1 ? 10)2 ? a1 (a1 ? 70) ;



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2 2 即: a1 ? 20a1 ? 100 ? a1 ? 70a1 ,故: a1 ? 2 .

所以: an ? 2 ? 5(n ? 1) ? 5n ? 3 本题由等式条件得出公差是 5 ,由等比条件确定首项 . 9 、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ?
? 1? 1 n( n ? 1)( n ? 2 ) , 试求数列 ? ? 的前 n 项和 Tn ? ? 3 ? an ?

解析:由已知: Sn ? 及: ? k 2 ?
k ?1 n

1 1 1 1 n( n ? 1)( n ? 2 )= n( n ? 1)( 2n ? 4 )= n( n ? 1)( 2n ? 1) ? n( n ? 1) 3 6 6 2

n 1 1 n( n ? 1)( 2n ? 1) 和: ? k ? n( n ? 1) 6 2 k ?1

得到上面求和公式可分成两部分,一个 an ? n2 求和,一个 an ? n 求和 . 故: an ? n2 ? n ? n(n ? 1) . 那么:

1 1 1 1 ; ? ? ? an n( n ? 1) n n ? 1

n 1 1 1 n 所以: Tn ? ? ( ? . ) ? 1? ? k?1 n?1 n?1 k ?1 k

要熟悉一些基本的求和公式,还有裂项求和方法 . 10 、 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 其首项 a1 ? 1 , 且满足 3Sn ? (n ? 2)an , 求通项 an ? ? 解析:由已知: 3Sn ? (n ? 2)an ① ②

3Sn?1 ? (n ? 1)an?1

由①-②: 3an ? (n ? 2)an ? (n ? 1)an?1 ; 移项合并: (n ? 1)an ? (n ? 1)an?1 ,即: an ? 由此递推得:
n?1 a n ? 1 n? 1

? n?1? ? n ? 1 ?? n ? ? n ? 1 ?? n ? ? k ? 2 ? an ? ? an? 1 ? ? an? 2 ? ... ? ? ? ?? ? ?? ? ... ? ? ak ? n?1? ? n ? 1 ?? n ? 2 ? ? n ? 1 ?? n ? 2 ? ? k ?
? ? n ? 1? ? n ? 1 1 n( n ? 1) n( n ? 1) ? ? ak ? a1 ? k?1 k 2 2

将递推进行到底 !
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11 、如果数列 ?an ? 中 , 相邻两项 an 和 an? 1 是二次方程 xn2 ? 3nxn ? cn ? 0 ( n ? 1, 2, 3, ...) 的 两个根 , 当 a1 ? 2 时 , 试求 c100 ? ? 解析:由韦达定理: an ? an? 1 ? ?3n ①

an ? an? 1 ? cn

② ③

由①式可得: (an?1 ? an? 2 ) ? (an ? an?1 ) ? ?3 ,即: an? 2 ? an ? ?3

③式表明: a1 , a3 , a5 ,..., a2k ?1 和 a2 , a4 , a6 ,..., a2k 都是公差为 ? 3 的等差数列 . 又因 a1 ? 2 ,代入①式可得: a2 ? ?5 ,于是得到等差数列为:

a2k ?1 ? a1 ? (k ? 1)(?3) ? 2 ? 3k ? 3 ? 5 ? 3k ; a2k ? a2 ? (k ? 1)(?3) ? ?5 ? 3k ? 3 ? ?2 ? 3k .
那么: a100 ? ?2 ? 3 ? 50 ? ?152 , a101 ? 5 ? 3 ? 51 ? ?148 代入②式得: c100 ? a100 ? a101 ? (?152) ? (?148) ? 22496 本题由韦达定理得出 ?an ? 为等差数列,算出首项得到 an ,再计算出 cn . 12 、 有 两 个 无 穷 的 等 比 数 列 ?an ? 和 ?bn ? , 其 公 比 的 绝 对 值 都 小 于 1 , 其 各 项 和 分 别 是
Sn ?

k ?1

? ak ? 1 和 Tn ? ? bk ? 2 , 对一切自然数都有:an2 ? bn ,求这两个数列的首项
k ?1

?

?

和公比 . 解析:由 S ?
b a1 ? 1 和 T ? 1 ? 2 得: a1 ? 1 ? q ,及 b1 ? 2(1 ? r ) . 数列的首项 1? r 1? q

设这两个等比数列的通项公式分别为:

an ? a1qn?1 ? (1 ? q)qn?1 bn ? b1r n?1 ? 2(1 ? r )r n?1

① ②

2 将①②两式代入 an ? bn ,并采用赋值法,分别令 n ? 1 和 n ? 2 得: 2 a1 ? b1 ,即: (1 ? q)2 ? 2(1 ? r ) 2 a2 ? b2 ,即: (1 ? q)2 q2 ? 2(1 ? r )r

③ ④

由③④得: r ? q 2



将⑤式代入③式得: (1 ? q)2 ? 2(1 ? q 2 )
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因为: q ? 1 ,则上式化简为: 1 ? q ? 2(1 ? q ) ,即: q ? ?
1 1 代入⑤式得: r ? 这是这两个数列的公比 . 9 3 1 1 和 r ? 分别代入①式和②式得: 9 3
n? 1

1 3

将q??

将q??

an ? (1 ? q)q

4 ? 1? ? ??? ? 3 ? 3?

n? 1

4 n? 1 ? 1? ? ?4 ? ? ? ? ? ?1? ? n ; 3 ? 3?
n? 1

n

8 ? 1? bn ? 2(1 ? r )r n? 1 ? 2 ? ? ? ? 9 ?9?
本题采用赋值法求解 .

?

16 9n

13 、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ?

1 ,当 n ? 2 时,满足: an ? 2Sn Sn?1 ? 0 ; 求 2

? 1 ? 证:数列 ? ? 为等差数列;并求 ? Sn ? 的通项公式 Sn ? ? ? Sn ?

解析:由 an ? 2Sn Sn?1 ? 0 得: Sn ? Sn?1 ? 2Sn Sn?1 ? 0 ,即:

1 Sn ? 1

?

1 ? 2 ? 0, Sn

则:

1 1 1 1 ? ? 2, ? ? 2. Sn Sn? 1 S 1 a1

? 1 ? 上式表明: ? ? 是一个首项为 2 ,公差为 2 的等差数列 . ? Sn ?

则:

1 1 1 , Sn? 1 ? ; ? 2 ? 2( n ? 1) ? 2n ,即: S n ? 2n 2( n ? 1) Sn
1 1 1 ? ?? 2n 2(n ? 1) 2n(n ? 1)

于是: an ? Sn ? Sn? 1 ?

?1 ( n ? 1) ? ?2 故: an ? ? 1 ?? ? ? 2n( n ? 1)

(n ? 2)

注意求和化通项的方法 .
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14 、已知等比数列 ?an ? 的首项 a1 ?

1 ,且满足: 210 S30 ? ( 210 ? 1) S20 ? S10 ? 0 . 2

( 1 )求 ?an ? 的通项; ( 2 )求 ?nSn? 的前 n 项和 Tn .

1 ? q 30 1 ? q 20 1 ? q 10 解析:将 S30 ? a1 、 S20 ? a1 、 S10 ? a1 代入 1? q 1? q 1? q

210 S30 ? ( 210 ? 1) S20 ? S10 ? 0 得:
210 (1 ? q30 ) ? ( 210 ? 1)(1 ? q20 ) ? (1 ? q10 ) ? 0
化简得: 210 (1 ? q10 ? q20 ) ? ( 210 ? 1)(1 ? q10 ) ? 1 ? 0 即: 210 (1 ? q10 ) ? 210 q20 ? 210 (1 ? q10 ) ? (1 ? q10 ) ? 1 ? 0 整理得: 210 q 20 ? q10 ? 0 ,即: q ? ?
1 2
n? 1

则: an ? a1q

n? 1

1 ? 1? ? ?? ? 2 ?2?

n? 1

1 1 ? 1? ? n 或 an ? a1q n?1 ? ? ? ? ? 2 2 ? 2?

? (?1)n?1

1 2n

注意求和化通项的方法 . 第 14 题第 (2) 问解答:
1 1 2n ? 1 ? 1 (2)A. 对于等比数列: a ? 1 ,其求和公式为: S ? ? n 2 1 n 2n 2n 1? 2 1?
n n n n ? k ? 1 )? ? k? ? ? 故: T ? ? kS ? ? k (1 ? ? n k k 2k k?1 k?1 k?1 k ? 1? 2 ?

1>

n n( n ? 1) ? k? 2 k?1 n ? k Rn ? ? ? k k ? 1? 2 ? 1 2 3 n ? ? ? 2 ? 3 ? ... ? n 2 2 ? 2 2

2>



n ? k ? 2 3 4 n 则: 2Rn ? 2 ? ? ? ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ... ? n? 1 k 2 2 2 2 k ? 1? 2 ?



由② - ①得:
2 1 3 2 4 3 n n?1 n Rn ? 1 ? ( ? ) ? ( 2 ? 2 ) ? ( 3 ? 3 ) ? ... ? ( n? 1 ? n? 1 ) ? n 2 2 2 2 2 2 2 2 2
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? 1?

1 2 3 1 n ? 2 ? 3 ? ... ? n? 1 ? n 2 2 2 2 2

1 2 n ? n ? 2( 1 ? 1 ) ? n ? 2 ? 2 ? n ? 1 2n 2n 2n 2n 1? 2 1?
n n ? k 综合 1> 和 2> 得: T ? ? k ? ? ? n k k?1 k ? 1? 2 ? n( n ? 1) 2?n ?2? n ?? 2 2 ?

(2)B. 对于等比数列: an ? ( ?1)n? 1 1n
2

1 n 1 1 ? (? 2 ) 1 1 1 1 ( ?1)n 其求和公式为: S ? ? ? ? [1 ? ( ?1)n ]? ? ? n 2 1 3 3 3 2n 2n 1 ? (? ) 2
n n k n k 1 n ? k ? 1 k ? [1 ? ( ?1)k ]? ? ? 故: T ? ? kS ? ? ? ( ?1) ? ? n k 2k ? 2k ? k?1 k?13 k ?13 3k ?1

1>

n k n( n ? 1) ? ? 3 6 k?1 ? k ? 1? 1 2 1 n 3 k n n ? ? ( ?1) ? ? ? ? ? ? 2 ? 3 ? ... ? ( ?1) n ? 3k ?1 2 2 ? ? 2k ? 3 ? 2 2

2> U n ?



则: 2U n ?

1? 1 2 3 n ? ? ? 1 ? 2 ? ... ? (?1)n n? 1 ? ? 3? 1 2 2 2 ?



由③ + ④得:

3U n ? ?

1? 2 1 3 2 n n?1 n? ?1 ? ( 1 ? ) ? ( 2 ? 2 ) ? ... ? (?1)n ( n? 1 ? n?1 ) ? (?1)n n ? ? 3? 2 2 2 2 2 2 2 ? 1? 1 1 1 n? ?1 ? ? 2 ? ... ? (?1)n n? 1 ? (?1)n n ? ? 3? 2 2 2 2 ? 1? 1 1 1 ? 1 n ?1 ? ? 2 ? ... ? (?1)n n? 1 ? ? ? (?1)n n ? 3? 2 2 2 ? 3 2

?

( ?1)n 1 ? 1 2 n ? 1 ? (?1)n n ?? ? 1 3 3 2n 1 ? (? ) 2
2 ( ?1)n 1 n ? ? ? [1 ? n ] ? ? ( ?1)n n 9 2 3 2
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故: U n ? ?

2 ( ?1)n 1 ( ?1)n n ? [1 ? n ] ? ? 27 2 3 2n

n k 1 n ? k ? n( n ? 1) 2 ( ? 1) n 1 ( ? 1) n n k ? ? ? [1 ? n ] ? ? 于是: T ? ? ? ( ?1) ? ?? n 6 27 2 3 2n ? 2k ? k ?13 3k ?1

15 、若等差数列 ?log2 xn? 的第 m 项等于 k ,第 k 项等于 m ( 其中 m ? k ) ,求数列 ? xn ? 的 前 m ? k 项的和 . 解析:等差数列通项为: log2 xn =log2 x1 +(n-1)d ; 则: log2 xm ? k ? log2 x1 ? (m ? 1)d ① ②

log2 xk ? m ? log2 x1 ? (k ? 1)d

由两式相减得: k ? m ? (m ? k )d ,故: d ? ?1 . 首项为: log2 x1 =m ? k ? 1 ,

?log2 xn ? 通项为: log2 xn =m ? k ? 1 ? (n ? 1) ? m ? k ? n ;
则 ? xn ? 的通项为: xn ? 2m? k ? n 前 m ? k 项求和: Sm ? k

1 1 ? m 1 2 ?k ? 2m?k ? 1 ? 1 ? 2m?k ? ? ? 1 2 2m?k ? 1? 2

? m?k ?1 ??2 ?

求公差和求首项是求通项的关键 .
5 1 ? 1? 16 、如果数列 ?an ? 中 , a1 ? , an? 1 ? an ? ? ? 6 3 ?2?
n? 1

,求通项 an ? ?

解析:整式递推数列用待定系数法 .
1 1 1 令: an? 1 ? ? ( )n? 1 ? [an ? ? ( )n ] , 2 3 2

则: an? 1 ?

1 ? 1 ? 1 1 ? 1 an ? ( )n ? ( ) n ? an ? ( ) n 3 3 2 2 2 3 6 2
n? 1

与 an? 1

1 ? 1? ? an ? ? ? 3 ? 2?

1 1 ? 1? ? an ? ? ? ? 比较得: ? ? ?3 3 2 ? 2?

n

1 1 1 5 3 2 令: bn? 1 ? an? 1 ? 3( )n? 1 ,则: bn ? an ? 3( )n , b1 ? a1 ? 3 ? ( )1 ? ? ? ? 2 2 2 6 2 3
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于是:

bn ? 1 1 2 1 ? , ?bn ? 是首项为 b1 ? ? ,公比为 q ? 的等比数列; 3 3 bn 3

2 1 2 其通项为: bn ? ( ? ) ? ( )n? 1 ? ? n 3 3 3 1 2 3 故: ?an ? 的通项为: an ? bn ? 3 ? ( )n ? ? n ? n 2 3 2

待定系数法确定新构建的等比数列通项 . 17 、设数列 ?an ? , a1 ? 4 ,且当 n ? 2 时满足: an ? 3an?1 ? 2n ? 1 ,求通项 an ? ? 解析:整式递推数列用待定系数法 . 令: an ? ? n ? c ? 3[an?1 ? ? (n ? 1) ? c] , 则: an ? 3an?1 ? 3? n ? 3? ? 3c ? ? n ? c ? 3an?1 ? 2? n ? 3? ? 2c 与 an ? 3an?1 ? 2n ? 1 比较得: ? ? 1 , c ? 1 . 令: bn ? an ? ? n ? c ? an ? n ? 1 ,则: bn?1 ? an?1 ? n , b1 ? a1 ? 1 ? 1 ? 6 故: ?bn ? 是首项为 b1 ? 6 ,公比为 3 的等比数列 .

bn ? b1 ? qn?1 ? 6 ? 3n?1 ? 2 ? 3n
于是: an ? bn ? n ? 1 ? 2 ? 3n ? n ? 1 待定系数法是如何构造等比数列的 ? 18 、设数列 ?an ? , a1 ? 1 , a2 ? 2 ,且满足: an? 2 ? 3an?1 ? 2an , (n ? N * ) ,求通项 an ? ? 解析:本题是二阶递推数列,且看如何解: 待定系数法:令: an? 2 ? ? an?1 ? ? (an?1 ? ? an ) 则: an? 2 ? ? an?1 ? ?? an ? ? an?1 ? ( ? ? ? )an?1 ? ?? an

?? ? ? ? 3 与 an? 2 ? 3an?1 ? 2an 比较系数得: ? ? ?? ? 2
若将 ? 、 ? 看成是一元二次方程的两个根,则又韦达定理得到这个方程为:
x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,而这正是采用特征根法的 特征方程 .

上述方程的解为: ? =1 , ? = 2 ,或 ? = 2 , ? = 1 ,这两组解推出的数列通项的结果
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是一样的 . 取 ? = 2 , ? = 1 令: bn ? an?1 ? an ,则 bn? 1 ? an? 2 ? an?1 , b1 ? a2 ? a1 ? 1 于是:

bn? 1 ? ? ? 2 , 则 ?bn ? 是 首 项 为 1 , 公 比 为 2 的 等 比 数 列 , 其 通 项 为 : bn

bn ? b1 ? qn?1 ? 2n?1 ,故: an?1 ? an ? bn ? 2n?1 ,即: an?1 ? an ? 2n?1
再用待定系数法,令: an?1 ? r ? 2n?1 ? p(an ? r ? 2n ) 则: an?1 ? pan ? pr ? 2n ? 2r ? 2n ? pan ? (2 pr ? 4r ) ? 2n?1 与 an?1 ? an ? 2n?1 比较得: p ? 1 , r ? ? 令: cn ? an ? r ? 2 n ? an ?
1 2

1 n ? 2 ? an ? 2 n? 1 ,则: c1 ? a1 ? 2n?1 ? 0 2

由于 p ? 1 ,于是: cn? 1 ? cn ? cn?1 ? ... ? c1 ? 0 即: an ? 2n?1 ? cn ? 0 ,故: an ? 2 n? 1 . 现在用特征根法求解: 特征方程: x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,其两个根为: x1 ? 1 , x2 ? 2
n n 代入特征根法的二异根解得: an ? c1 x1 ? c2 x2 ? c1 ? c2 ? 2n

用 a1 ? 1 , a2 ? 2 代入上式,以确定 c1 、 c2 则: a1 ? 1 ? c1 ? c2 ? 2 , a2 ? 2 ? c1 ? c2 ? 2 2 ,解得: c2 ?
n n 故: an ? c1 x1 ? c2 x2 ? c1 ? c2 ? 2n ? 2n?1

1 , c1 ? 0 2

对于二阶递推数列,采用特征根法比较简洁 . 19 、已知正项数列 ?an ? , a1 ? 1 ,且满足: an? 1 ? 解析: an? 1 ?
1 a ( 4 ? an ) ,求通项 an ? ? 2 n

1 1 1 an ( 4 ? an ) ? ? (an ? 2 )2 ? 2 ,则: an? 1 ? 2 ? ? (an ? 2 )2 2 2 2

2 令: bn? 1 ? an? 1 ? 2 ,则: bn ? an ? 2 , b1 ? a1 ? 2 ? ?1 , b1 ?1



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1 2 代入上式得: bn? 1 ? ? ? bn 2

1 ? 1? 2 于是: b2 ? ? ? ? b1 ?? ; 2 ? 2?

? 1? 2 ? 1? ? 1? ? 1? b3 ? ? ? ? b2 ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ; ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 1? 2 ? 1? ? 1? ? 1? b4 ? ? ? ? b3 ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ; ? 2? ? 2? ? 2? ? 2?
……;
? 1? 2 ? 1? bn ? ? ? ? bn ?1 ? ? ? ? ? 2? ? 2? ? 1? 故: an ? bn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ?2?
2 n? 1 2 n? 1 ? 1 2 n? 1

2

3

6

7

? 1? ? ?2 ? ? ? ?2?

这是递推数列的递推法 . 20 、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,且满足: an? 1 ? 解析:将 an? 1 ?

2an ? 1 , (n ? N * ) ,求通项 an ? ? 4an ? 6


2an ? 1 化简为: anan?1 ? 6an?1 ? 2an ? 1 ? 0 4an ? 6
2x ? 1 ; 4x ? 6

用不动点法解不动点方程: x ?

即: 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ,方程的根为二重根: x1 ? x2 ? ? 那么,二重根的不动点解为:

1 ; 2

1 1 ? ?c an? 1 ? x1 an ? x2

( c 为待定常数)



通分化简得: ? an ? x2 ? ? ? an?1 ? x1 ? ? c ? an ? x2 ?? an?1 ? x1 ? ;

1? ? 1? 1 ?? 1? ? ? 即: ? an ? ? ? ? an? 1 ? ? ? c ? an ? ? ? an? 1 ? ? ; 2? ? 2? 2 ?? 2? ? ?
即: 4canan?1 ? ? 2c ? 4 ? an?1 ? ? 2c ? 4 ? an ? c ? 0 将③式与①式对比得: c ? 1 .
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令: bn? 1 ?

1 ? a n ? 1 ? x1

1 an ? 1 ? 1 2

,则: bn ?

1 ? an ? x 2

1 an ? 1 2

, b1 ?

1 a1 ? 1 2

?

2 5

代入②式得: bn? 1 ? bn ? 1 即: ?bn ? 是一个首项为 故: bn ?
2 、公差为 1 的等差数列. 5

2 5n ? 3 ? ( n ? 1) ? . 5 5
1 an ? 1 2

代入: bn ?

,即: an ?

1 1 5 1 10 ? 5n ? 3 13 ? 5n ? ? ? ? ? bn 2 5n ? 3 2 10n ? 6 10n ? 6

不动点法根为二重根时,可构造等差数列解之 . 21 、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,且满足: an? 1 ? 解析:将 an? 1 ?

4an ? 2 ,求通项 an ? ? an ? 1


4an ? 2 化简为: anan?1 ? an?1 ? 4an ? 2 ? 0 an ? 1
4x ? 2 ; x?1

用不动点法解不动点方程: x ?

即: x 2 - 3x ? 2 ? 0 ,方程的根为二异根: x1 ? 1 , x2 ? 2 ; 设二异根解式满足:

an? 1 ? x1 a ? x1 a ?1 a ?1 ,即: n? 1 ?? n ?? n an? 1 ? x2 an ? x 2 an ? 1 ? 2 an ? 2



化简: ? 1 ? ? ? anan?1 ? ? ? ? 2 ? an?1 ? ? 2? ? 1? an ? 2 ? 1 ? ? ? ? 0 ; 即: an an? 1 ?

??2 2? ? 1 an ? 1 ? a ?2?0 1? ? 1? ? n
3 2



比较①③两式得: ? ?

令: bn? 1 ?

an? 1 ? x1 an? 1 ? 1 a ?1 a ?1 ,则: bn ? n , b1 ? 1 ? ?2 an ? 1 ? x 2 an ? 1 ? 2 an ? 2 a1 ? 2
3 b 2 n
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代入②式得: bn ? 1 ?

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于是: ?bn ? 是首项为 b1 ? 2 、公比为 ? ?

3 的等比数列, 2

? 3? 即: bn ? 2 ? ? ? ? 2?

n? 1

?

an ? 1 2bn ? 1 2 ? 3n?1 ? 2 n? 2 3n? 1 . 代入 得: b ? a ? ? n? 1 n n an ? 2 bn ? 1 3 ? 2 n? 2 2 n? 2

不动点法根为二异根时,可构造等比数列求之 . 22 、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 5 ,且满足: an? 1 ? 解析:将 an? 1 ?

2an ? 3 ,求通项 an ? ? an


2an ? 3 化简为: anan?1 ? 2an ? 3 ? 0 an
2x ? 3 ; x

用不动点法解不动点方程: x ?

即: x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,方程的二异根为: x1 ? ?1 , x2 ? 3 设二异根解式满足:

an? 1 ? x1 a ? x1 a ?1 a ?1 ,即: n? 1 ?? n ?? n an? 1 ? x2 an ? x 2 an ? 1 ? 3 an ? 3




化简: an an? 1 ?

??3 3? ? 1 an ? 1 ? a ?3?0 1? ? 1? ? n

比较①③两式得 : ? ? ?3 令: bn? 1 ?

an ? 1 ? 1 a ?1 a ?1 ,则: bn ? n , b1 ? 1 ?3 an? 1 ? 3 an ? 3 a1 ? 3

代入②式得: bn? 1 ? ?3bn 于是: ?bn ? 是首项为 b1 ? 3 、公比 ? ? ?3 的等比数列 . 故: bn ? 3 ? ? ?3 ?
n? 1

? ? ?1 ?

n? 1

? 3n
n? 1 n? 1

3 n ? 1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? 3 n ? 1 ? 1 an ? 1 3bn ? 1 代入 bn ? ,即: an ? 得: an ? 或 an ? n n? 1 n? 1 an ? 3 bn ? 1 3 ? ? ?1 ? ? ?1 ? 3 n ? 1

不动点法为二异根时,可构造等比数列求之 . 23 、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 4 ,且满足: an? 1 ? 解析:由 bn ?

a ?2 an 2 , bn ? n ,求通项 bn ? ? an 2(an ? 1)

an ? 2 2 1 1 ? bn 2 或 an ? ? 1 ? 得: ? an an an 2 1 ? bn
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代入 an? 1 ?

2 an 得: 2(an ? 1)
2

2 1 ? bn? 1

4 ? 2 ? 2 ? ? 1 ? bn ? 1 ? bn ? ? 2 2 ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 1 ? bn ? ? 1 ? bn ?? 1 ? bn ? 1 ? bn 2? ? 1? 2 ? ? ? 1 ? bn ? ? 1 ? bn ?

2 即: bn? 1 ? bn

则: b1 ?

a1 ? 2 4 ? 2 1 ? ? a1 4 2
2 2 1

? 1? b2 ? b ? ? ? ? 2? ? 1? b3 ? b ? ? ? ? 2?
2 2

4

……
bn ? b
2 n? 1

? 1? ?? ? ?2?

2 n? 1

?

1 2
2 n? 1

递推下去找规律 .



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