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是点Q追点P


) 浙江省宁波市宁海县桃源初级中学 ( 3 1 5 6 0 0   郑旭常

在实际    追及问题是行程问题中的一部分 , 问题的思考过程中 , 学生往往会在究竟是 谁 追 谁的问题上出现判断错误 . 笔者以七年级 下 册 进 行 分 析, 以供 一份试卷中 的 一 道 习 题 为 例 , 大家参考 . 一、 例题 如 图 1, 已 知 在 △A B C 中

, A B =A C= 点 D 为A B C=8 c m, B 的中点 . 1 0 c m, ( ) 如果点 P 在 线 段 1 /秒 的 速 度 B C 上以3 c m 同时点 Q 由 B 向C 运动 , 在线 段 C A 上由C 向 A 运动 . ①若 点 Q 的 运 动 速 度与 点 P 的 运 动 速 度 相
图1

发, 点 P 以原来的运动 速 度 从 点 B 同 时 出 发 , 都逆 时 针 沿 △A 求经过多长时 B C 三 边 运 动, 间, 点 P 与 点 Q 第 一 次 在 △A B C 的哪条边上 相遇 ? 笔者在批 改 作 业 时 , 发现学生在第( 小 2) 题的解答过程中 , 有两种解答引人注目 : 5 解答一   由 ② 中 求 得 Q 的 运 动 速 度 为1 4 /秒 . 设经过t 秒 , 点 P 与点 Q 第一次相遇 . c m 1 5 3 2 解得   ∴  t -3 t =8, t = . 4 3 ∴   点 P 运动的路程 3 2 2. S t =3× =3 P =3 3 ∵  1 0+1 0+8=2 8, 而 4<8, ∴  3 2÷2 8=1……4, ∴  经过 3 2秒 , 点 P 与点Q 第一次在 3

等, 经过 1 秒 后 , PD 与 △C Q P 是 否 全 等, △B 请说明理由 . ② 若点 Q 的运动速 度 与 点 P 的 运 动 速 度 不相等 , 当点 Q 的 运动 速度为 多少 时, 运动到 某一时刻能够使 △B PD 与 △C Q P 全等 ? ( ) 若点 Q 以 ② 中的运动速度从点 C 出 2

B C 的B C 边上相遇 . △A
2秒 , 答: 经 过3 点 P 与点Q 第一次在 3

B C 的B C 边上相遇 . △A
( 下转第 1 9 页)

檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 ( 上接第 1 7 页) 3 a+3 a 槡 3 a+ a     槡 - =2 a. 2 2 从折叠 图 形 的 轴 对 称 性 可 知 , F E= ∠D 所以 , F E=4 5 ° . F G=E G. ∠G ∴  C F =C D -D F= ( 3 a+a) -2 a=   槡 设A 从 ∠A=6 可知 , E= a, 0 ° ′=6 0 ° . ∠A 从D ′ F ⊥C D, A B∥C D, A ′ E ∥D ′ F 可知 , 从而 B A ′ E ⊥A B. E=槡 3 a.   ∴  AD=A B=槡 3 a+ a=C D.   3 a+ a, 3 a+3 a     ∴  AH =槡 DH =槡 . 2 2 ∴  D F= HG=A G-AH =A E +E G- 3 a- a.   槡

C F 槡 3 a- a 槡 3-1   ∴  = = . F D 2 a 2 因此 , 本题选 ( A) .
从上面例题的求解中可以看 出 , 只要抓住 翻折图 形 的 轴 对 称 性 , 利用好图形本身的特 图形翻折问题便会迎刃而解 . 点, ( 责审   王敬庚 )

AH =A E+F G-AH =A E+DH -AH = a+

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思路与方法

( 上接第 1 8 页) 5 解答二   由 ② 中 求 得 Q 的 运 动 速 度 为1 4 /秒 . 设经过t 秒 , 点 P 与点 Q 第一次相遇 . c m 8 0 1 5 解得   ∴  t -3 t =1 0+1 0, t = . 4 3 8 0 ∴  S t =3× =8 0. P =3 3 ∵  1 0+1 0+8=2 8, ∴  8 0÷2 8=2……2 4, 而  2 4=8+1 0+6, 8 0秒 , 点 P 与点Q 第一次在 ∴  经过 3

前面的 , 它们的路程之差等于它们之间的路 否则它们就不会相遇 . 如图 2, 已知 A、 程, B两 地的路程为s 千 米 , 甲、 乙 两 人 分 别 从 A、 B两 地同时出发 , 沿折线l 同向而行 . 甲的速度为 a , 千米/小时 , 乙 的 速 度 为 b 千 米/小 时 ( a>b) 则经过t 小时 , 甲、 乙两 人 相 遇 . 可 列 方 程 为a t - b t = s .

图2

B C 的A B 边上相遇 . △A
0秒 , 答 :∴   经过8 点 P 与点Q 第一次在 3

类型二   沿环形路线运动 , 是速度快的追 速度慢的 , 它们的路程之差等于速度快 的 起 点 与速度慢的起点之间 的 路 程 . 如 图 3, 已知 A B 之间的 路 程 为s 千 米 , A C B 之间的路程为m 千米 , 甲、 乙 两 人 分 别 从 A、 B 两 地 同 时 出 发,

B C 的A B 边上相遇 . △A 分析   以上两种解答过程 , 关键 在 于 它 们
的路程之差是等 于 B C 还 是 等 于C A +A B的 问题 , 即涉及到是点 P 追 点 Q , 还是点 Q 追点 5 由 于1 显然是点 Q 追点P 的 P 的问题 , >3, 4 问题 , 所以解答二正确 . 二、 产生错误的原因分析 受定向思维的影响 . 在他们的 思 维 中 已 1. 经形成一种观点 “ 追及问题就是后面的追前 面 , 所以就出现解答一的思考过程 , 即从 B 点 的” 出发的去追从 C 点出发的 , 导致它们的路程之 差等于 B 其 实, 在环形路径“ 前 面” C 的 长 度. 和“ 后面 ” 是相对 . 他们的思考过程恰恰忽视 了 一个常识问 题 , 即 在 追 及 的 问 题 中, 永远是速 度快的追速度慢的 . 缺少检验 . 只要对解答一的结 果 检 验 一 2. 2秒 , 下即 可 发 现 : 经 过3 点 Q 比点P 多走 3 , 点 Q 仍在点 P 前面 ( 比原来 离 得 8 c m, 1 6 c m) 更远 , 答案错了 . 三、 小结 行程问题 中 的 追 及 问 题 永 远 是 速 度 快 的 运动路线大致涉及到两种类型 . 追速度慢的 . 类型一   沿不封闭路径运动 , 是后面的追

图3

都按逆时针方向沿封闭曲线同向而行 . 甲的速 乙 的 速 度 为 b 千 米/小 时 , 度为 a 千 米/小 时 , 则经过t 小 时 , 甲、 乙 两 人 相 遇. 可 列 方 程 为, ; 当 a> 则a 当 a< 则b b时, t - b t = s b 时, t - a t =m. ( 责审   王敬庚 )

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智慧窗 《 趣换数字 》 参考答案

2 2 2 2 2 2 2 2 1 +7 +1 2 +1 3 +1 4 +1 5 +1 6 +1 7 + 2

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2 1 8 +1 9 =2 0 1 4.

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