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立体几何学案


第七章
考纲要求

立体几何

第1讲

空间几何体

(1)空间几何体 ① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ② 能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图 所表示的立体模型,会用斜二

侧法画出它们的直观图. ③ 会用平行投影与中心投影两种方法,画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形 式. ④ 会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式). (2)点、直线、平面之间的位置关系 ① 理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ◆公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点在此平面内. ◆公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. ◆公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ◆公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. ◆定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补. ② 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定. 理解以下判定定理. ◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. ◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. ◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. ◆如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理,并能够证明. ◆如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行. ◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行. ◆垂直于同一个平面的两条直线平行. ◆如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. ③ 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 空间向量与立体几何 (1)空间向量及其运算 ① 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. ② 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. ③ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. (2)空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量. ② 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. ③ 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理). ④ 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究几何 问题中的应用.

1、多面体的结构特征 (1)棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是 边 ,由这些面所围成的多面体叫做棱柱. (2)棱锥: (3)棱台: 2、旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由 绕其任一边所在直线旋转得到; (2)圆锥 (3)圆台 (4)球可以由半圆绕 所在直线旋转得到. 3、空间几何体的三视图 4、斜二测画法 5、旋转体的表(侧)面积 名 称 侧 面 积 表 面



并且每相邻两个四边形的公共



圆柱(底面积半径为 r ,母线 长为 l ) 圆锥(底面积半径为 r ,母线 长为 l ) 圆台(底面积半径为 r1 , r2 , 母线长为 l ) 球(半径为 R ) 6、空间几何体的体积( h 为高, s 为下底面积, s ? 为上底面积) (1) V柱体 ? (3) V台体 ? (2) V椎体 ? (4) V球 ?

考点热身 1、关于空间几何体的结构特征,下列说法不正确的是( ) A.棱柱的侧棱长都相等 B.棱锥的侧棱长都相等 C.三棱台的上、下底面是相似三角形 D.有的棱台的侧棱长都相等 2、如图,下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )

1

一、选择题 A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 3、若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图,则其侧面积是( ) A. 3 B.2 C. 2 3 D.6 ) 3 2 3 正视图 侧视图 1.如图,下列四个几何体中,它们各自的三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )

4、如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(

9 ? ? 12 2 C. 9? ? 42
A.

9 ? ? 18 2 D. 36? ? 18
B.

A.①②

B.①③

C.②③

D.①④

1 2.如图所示,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 ,则 2 俯视图 该几何体的俯视图可以是( )

考点训练 考点 1、空间几何体的三视图 1、某四面体的三视图如图所示, 该四面体四个面的面积中,最大的是( ) (A) 8 (B) 6 2 (C)10 (D) 8 2 3.设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( A.3π a
2

)

B.6π a

2

C.12π a

2

D.24π a

2

4.如图所示,已知三棱柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长均为 1,且 AA1⊥底面 ABC,则三棱锥 B1—ABC1 的体积为( 2、如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这 个多面体最长的一条棱的长为 考点 2、空间几何体的直观图 1、已知△ABC 的直观图△ A?B ?C ? 是边长为 a 的正三角形,求△ABC 的面积. A. 3 12 B. ) 3 6 C. 4 12 D. 6 4

5.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是个半圆,则该几何体的表面积为( 2.如图所示,用斜二测画法画一个水平放置的平面图形得到一个边长为 1 的正方形,则原来图形的形状是( ) 3 A. π 2 B.π + 3 3 C. π + 3 2 5 D. π + 3 2

)

6.如图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形, 等腰三角形和菱形,则该几何体体积为( 考点 3、求空间几何体的表面积体积 1、某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是 体积是 A.4 3 C.2 3 ) B.4 D.2

2、已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=6,BC=2 3,则棱锥

O—ABCD 的体积为________.
2

第2讲

空间点、直线、平面之间的位置关系
基础梳理

C.一条直线和一个点能确定一个平面

D.梯形一定是平面图形 ). D.不可能是相交直线

2.已知 a,b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a,那么 c 与 b( A.一定是异面直线 3.下列命题中错误的是( B.一定是相交直线 ). 1.平面的基本性质 (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. (2)公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. (3)公理 3:如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是 一条过这个公共点的直线. 推论 1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
? ?共面直线?平行 ? ? ?相交 ? ?异面直线:不同在任何一个平面内

C.不可能是平行直线

A.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B.如果平面 α 不垂直于平面 β,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β C.如果平面 α⊥平面 γ,平面 β⊥平面 γ,α∩β=l,那么 l⊥平面 γ D.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β

考向一

平面的基本性质

【例 1】正方体 ABCDA1B1C1D1 中,P、Q、R 分别是 AB、AD、B1C1 的中点,那么,正方体的过 P、Q、R 的截面图 形是( ). B.四边形 C.五边形 D.六边形

A.三角形

考向二 【例 2】如图所示,

异面直线

(2)异面直线所成的角 ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,把 a′与 b′所成的锐角或直角叫做 π 异面直线 a,b 所成的角(或夹角).②范围:?0,2?. ? ? 3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 5.平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 6.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点.问: (1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由.

两种方法 异面直线的判定方法: (1)判定定理:平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面. 三个作用 (1)公理 1 的作用:①检验平面;②判断直线在平面内;③由直线在平面内判断直线上的点在平面内. (2)公理 2 的作用:公理 2 及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法. (3)公理 3 的作用:①判定两平面相交;②作两平面相交的交线;③证明多点共线. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)下列命题是真命题的是( A.空间中不同三点确定一个平面 ).
3

考向三

异面直线所成的角

【例 3】?(2011· 宁波调研)正方体 ABCDA1B1C1D1 中. (1)求 AC 与 A1D 所成角的大小; (2)若 E、F 分别为 AB、AD 的中点,求 A1C1 与 EF 所成角的大小.

B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面

考向四 【例 4】?正方体

点共线、点共面、线共点的证明

D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面

ABCDA1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点.求证: (1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点.

6.过正方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l,使 l 与棱 AB,AD,AA1 所成的角都相等,这样的直 线 l 可以作( A.1 条 C.3 条 ). B.2 条 D.4 条

二、填空题 7.已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中(底面是正方形的直棱柱叫正四棱柱) AA1=2AB,E 为 AA1 中点,则异面直线 ,

BE 与 CD1 所成角的余弦值为________.
8. a,b,c 是空间中的三条直线,下面给出五个命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c;②若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c;③若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交;④若

a? 平面 ? ,b? 平面 β ,则 a,b 一定是异面直线;⑤若 a,b 与 c 成等角,则 a∥b.
上述命题中正确的命题是________(只填序号). 9.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论: 1.已知异面直线 a,b 分别在平面 ? ,β 内,且 ? ∩β =c,那么直线 c 一定( A.与 a,b 都相交 C.至少与 a,b 中的一条相交 B.只能与 a,b 中的一条相交 D.与 a,b 都平行 ) ①AB⊥EF; ③EF 与 MN 是异面直线; ②AB 与 CM 所成的角为 60°; ④MN∥CD.

以上四个命题中,正确命题的序号是________. 三、解答题 10.如图,三棱锥 P—ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E 是 PC 的中点.

2.如图, ? ∩β =l,A、B∈ ? ,C∈β ,且 C?l,直线 AB∩l=M,过 A、B、C 三点的平面记作 γ ,则 γ 与 β 的交线必通过( A.点 A C.点 C 但不过点 M ) B.点 B D.点 C 和点 M )

(1)求异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值; (2)求三棱锥 A—EBC 的体积.

3.下列四个命题中,真命题的个数为(

(1)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合; (2)两条直线可以确定一个平面; (3)若 M∈ ? ,M∈β , ? ∩β =l,则 M∈l; (4)空间中,相交于同一点的三直线在同一平面内. A.1 B.2 C.3 D.4 ( ) A. 1

4. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 过顶点 A1 与正方体其他顶点的连线与直线 BC1 成 60°角的条数为 B.2 C.3 D.4

5.l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 ( A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面
4

).

第3讲
【复习指导】

直线、平面平行的判定及其性质

2.平面 α∥平面 β,a?α,b?β,则直线 a,b 的位置关系是( A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 ).

).

3.(2012· 银川质检)在空间中,下列命题正确的是( A.若 a∥α,b∥a,则 b∥α C.若 α∥β,b∥α,则 b∥β

1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质,会把空间问题转化为平面问题,解答过程中叙述的步骤要完整, 避免因条件书写不全而失分. 2.学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化,牢记解决问题的根源在“定理”

B.若 a∥α,b∥α,a?β,b?β,则 β∥α D.若 α∥β,a?α,则 a∥β ).

基础梳理
1.平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况. 2.直线和平面平行的判定 (1)定义:直线和平面没有公共点,则称直线平行于平面;(2)判定定理:a?α,b?α,且 a∥b?a∥α; (3)其他判定方法:α∥β;a?α?a∥β. 3.直线和平面平行的性质定理:a∥α,a?β,α∩β=l?a∥l. 4.两个平面平行的判定 (1)定义:两个平面没有公共点,称这两个平面平行; (2)判定定理:a?α,b?α,a∩b=M,a∥β,b∥β?α∥β; (3)推论:a∩b=M,a,b?α,a′∩b′=M′,a′,b′?β,a∥a′,b∥b′?α∥β. 5.两个平面平行的性质定理 (1)α∥β,a?α?a∥β; (2)α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b?a∥b.

4.(2012· 温州模拟)已知 m、n 为两条不同的直线,α、β 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( A.m∥n,m⊥α?n⊥α C.m⊥α,m⊥n?n∥α B.α∥β,m?α,n?β?m∥n D.m?α,n?α,m∥β,n∥β?α∥β

5.(2012· 衡阳质检)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 是 DD1 的中点,则 BD1 与平面 ACE 的位置 关系为________.

考向一
【例 1】(2011· 天津改编)如图,

直线与平面平行的判定与性质

在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,O 为 AC 的中点,M 为 PD 的中点. 求证:PB∥平面 ACM.

6.与垂直相关的平行的判定 (1)a⊥α,b⊥α?a∥b; (2)a⊥α,a⊥β?α∥β.

一个关系 平行问题的转化关系:

考向二
两个防范 (1)在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误. (2)把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行.

平面与平面平行的判定与性质

【例 2】如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M、N、P 分别为所在边的中点. 求证:平面 MNP∥平面 A1C1B;

双基自测
1.(人教 A 版教材习题改编)下面命题中正确的是( ).

①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行; ②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行; ③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行; ④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,则这两个平面平行. A.①③ B.②④ C.②③④ D.③④
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考向三 【例

线面平行中的探索问题

6.如图,在四棱锥 PABCD 中,底面是平行四边形,PA⊥平面 ABCD,点 M、N 分别为 BC、PA 的中点.在线段 PD 上是否存在一点 E,使 NM∥平面 ACE?若存在,请确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由.

3】如图所示,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,A1A⊥平面 ABC,若 D 是棱 CC1 的中点,问在棱 AB 上是否存在一点 E,使 DE∥平面

AB1C1?若存在,请确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由.

1、若直线 a 不平行于平面 ? ,则下列结论成立的是( A. ? 内的所有直线都与直线 a 异面 C. ? 内的直线都与 a 相交

)

7.如图,在四棱台 ABCDA1B1C1D1 中,D1D⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是平行四边形,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD =60° .(1)证明:AA1⊥BD;(2)证明:CC1∥平面 A1BD.

B. ? 内可能存在与 a 平行的直线 D.直线 a 与平面 ? 没有公共点 )

2、 .若直线 m? 平面 ? ,则条件甲:直线 l∥ ? ,是条件乙:l∥m 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 3、已知不重合的直线 a, b 和平面 ? ①若 a // ? , b ? ? , 则 a // b ③若 a // b, b ? ? , a ? ? 则 a // ? 上面命题中正确的是 ②若 a // ? , b // ? , 则 a // b ④若 a // b, a // ? , 则 b // ? 或 b ? ?

D.既不充分也不必要条件

4. 如图,若 PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是矩形,E、F 分别是 AB、PD 的中点,求证:AF∥平面 PCE.

8.如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90° ,BF=FC, H 为 BC 的中点. (1)求证: FH∥平面 EDB; (2)求证: AC⊥平面 EDB; (3)求四面体 BDEF 的体积. 5. 如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AC,A1B1,A1C1 的中点,求证: (1)B,C,H,G 四点共面;(2)平面 EFA1∥平面 BCHG.

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第4讲
【复习指导】

直线、平面垂直的判定及其性质

①线面垂直的定义:a 与 α 内任何直线都垂直?a⊥α;②判定定理 1: ③判定定理 2:a∥b,a⊥α?b⊥α;

? m、n?α,m∩n=A? ??l⊥α; ? l⊥m,l⊥n ?

④面面平行的性质:α∥β,a⊥α?a⊥β;

1.垂直是立体几何的必考题目,且几乎每年都有一个解答题出现,所以是高考的热点,是复习的重点.纵观历年来 的高考题,立体几何中没有难度过大的题,所以复习要抓好三基:基础知识,基本方法,基本能力. 2. 要重视和研究数学思想、 数学方法. 在本讲中“化归”思想尤为重要, 不论何种“垂直”都要化归到“线线垂直”, 观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口.

⑤面面垂直的性质:α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β. (3)证明面面垂直的方法 ①利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角; ②判定定理:a?α,a⊥β?α⊥β.

基础梳理
1.直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法. ②利用判定定理:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直. ③推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面. (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一直线的两平面平行. 2.斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫斜线和平面所成的角. 3.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法 ②利用判定定理:如果一个平面过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直. (2)平面与平面垂直的性质 如果两平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

考向一

直线与平面垂直的判定与性质

【例 1】 (2011· 天津改编)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ADC=45° ,AD =AC=1,O 为 AC 的中点,PO⊥平面 ABCD.证明:AD⊥平面 PAC.

考向二

平面与平面垂直的判定与性质

【例 2】如图所示,在四棱锥 PABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角形, 已知 BD=2AD=8,AB=2DC=4 5.M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD.

一个关系 垂直问题的转化关系 判定 判定 线线垂直面面垂直? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 线面垂直? ? ? ? ? ? ? ? 性质 性质 三类证法 (1)证明线线垂直的方法 ①定义:两条直线所成的角为 90° ;②平面几何中证明线线垂直的方法; ③线面垂直的性质:a⊥α,b?α?a⊥b; ④线面垂直的性质:a⊥α,b∥α?a⊥b. (2)证明线面垂直的方法
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考向三

平行与垂直关系的综合应用

3.(2012· 兰州模拟)用 a,b,c 表示三条不同的直线,γ 表示平面,给出下列命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c;②若 a⊥b,b⊥c,则 a⊥c;③若 a∥γ,b∥γ,则 a∥b;④若 a⊥γ,b⊥γ,则 a∥b. 其中真命题的序号是( ).A.①② B.②③ C.①④ D.③④ ).

【例 3】如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,点 E、F 分别是 AB、BD 的中点.求证: (1)直线 EF∥平面 ACD;(2)平面 EFC⊥平面 BCD.

4.(2011· 聊城模拟)设 a、b、c 表示三条不同的直线,α、β 表示两个不同的平面,则下列命题中不正确的是( c⊥α ? ? ??c⊥β A. ? α∥β?
? ? ??b⊥c B. ? c是a在β内的射影?

b?β,a⊥b

b∥c ? C. b?α??c∥α c?α ? ?

?

D.

a∥α? ? ??b⊥α ? b⊥a?

1 5. 如图,已知 BD⊥平面 ABC,MC= BD,AC=BC,N 是棱 AB 的中点.求证:CN⊥AD. 2

考向四

线面角

6. 如图所示,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点. 证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M.

【例 4】?(2012· 无锡模拟)如图,四棱锥 PABCD 的底面是正方形,PD⊥底面 ABCD,点 E 在棱 PB 上. (1)求证:平面 AEC⊥平面 PDB; (2)当 PD= 2AB,且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.

7. 如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB= 2,CE=EF=1. (1)求证:AF∥平面 BDE;(2)求证:CF⊥平面 BDE.

1.(人教 A 版教材习题改编)下列条件中,能判定直线 l⊥平面 α 的是( A.l 与平面 α 内的两条直线垂直 C.l 与平面 α 内的某一条直线垂直 B.l 与平面 α 内无数条直线垂直 D.l 与平面 α 内任意一条直线垂直 ).

). 8. (2012· 丽水质检)如图,已知 DC⊥平面 ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120° ,P,Q 分别为 AE, AB 的中点.(1)证明:PQ∥平面 ACD;(2)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值.

2.(2012· 安庆月考)在空间中,下列命题正确的是( A.平行直线的平行投影重合 C.垂直于同一平面的两个平面平行

B.平行于同一直线的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行
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9.在四棱锥 PABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60° ,E,F 分别是 AP,AD 的中点.求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.

第5讲

立体几何中的向量方法(一)
基础梳理

1.空间向量的坐标表示及运算 (1)数量积的坐标运算 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则①a± b=(a1± 1,a2± 2,a3± 3); b b b ②λa=(λa1,λa2,λa3); ③a· 1b1+a2b2+a3b3. b=a (2)共线与垂直的坐标表示 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则 a∥b?a=λb?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R), a⊥b?a· b=0?a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 10. 如图所示,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,E、F 分别为 PC、BD 的中点,侧面 PAD⊥ 底面 ABCD,且 PA=PD= (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PCD. 2 AD. 2 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则|a|= a· a= a2+a2+a2, 1 2 3 a1b1+a2b2+a3b3 a· b cos〈a,b〉= = 2 2 2 2. |a||b| a1+a2+a3· b2+b2+b3 1 2 设 A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2), → 则 dAB=|AB|= ?a2-a1?2+?b2-b1?2+?c2-c1?2. 2.立体几何中的向量方法 (1)直线的方向向量与平面的法向量的确定 → → ①直线的方向向量:l 是空间一直线,A,B 是直线 l 上任意两点,则称AB为直线 l 的方向向量,与AB平行的任意非 零向量也是直线 l 的方向向量. ②平面的法向量可利用方程组求出:设 a,b 是平面 α 内两不共线向量,n 为平面 α 的法向量,则求法向量的方程组
?n· ? a=0, 为? ? b=0. ?n·

(2)用向量证明空间中的平行关系 ①设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)?v1∥v2. ②设直线 l 的方向向量为 v,与平面 α 共面的两个不共线向量 v1 和 v2,则 l∥α 或 l?α?存在两个实数 x,y,使 v= xv1+yv2. ③设直线 l 的方向向量为 v,平面 α 的法向量为 u,则 l∥α 或 l?α?v⊥u. ④设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1,u2,则 α∥β?u1∥u2. (3)用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1⊥l2?v1⊥v2?v1·2=0. v
9

②设直线 l 的方向向量为 v,平面 α 的法向量为 u,则 l⊥α?v∥u. ③设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1 和 u2,则 α⊥β?u1⊥u2?u1·2=0. u

考向二

利用空间向量证明垂直问题

【训练 2】 如图所示,在四棱锥 PABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60° , PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.证明:

(4)点面距的求法 如图,设 AB 为平面 α 的一条斜线段,n 为平面 α 的法向量,则 B 到平面 α 的距 → |AB· n| 离 d= . |n|

(1)AE⊥CD;(2)PD⊥平面 ABE.

一种思想 向量是既有大小又有方向的量,而用坐标表示向量是对共线向量定理、共面向量定理和空间向量基本定理的进一步 深化和规范,是对向量大小和方向的量化: (1)以原点为起点的向量,其终点坐标即向量坐标; (2)向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标. 得到向量坐标后,可通过向量的坐标运算解决平行、垂直等位置关系,计算空间成角和距离等问题. 三种方法 主要利用直线的方向向量和平面的法向量解决下列问题:

?直线与直线平行 ? (1)平行?直线与平面平行 ?平面与平面平行 ? ?直线与直线垂直 ? (2)垂直?直线与平面垂直 ?平面与平面垂直 ?
(3)点到平面的距离 求点到平面距离是向量数量积运算(求投影)的具体应用,也是求异面直线之间距离, 直线与平面距离和平面与平面距 离的基础. 1.空间的角 (1)异面直线所成的角

立体几何中的向量方法(二)
基础梳理

考向一

利用空间向量证明平行问题

如图,已知两条异面直线 a、b,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b.则把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做 异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角).

【训练 1】 如图所示,平面 PAD⊥平面 ABCD,ABCD 为正方形,△PAD 是直角三角形,且 PA=AD =2,E、F、G 分别是线段 PA、PD、CD 的中点.求证:PB∥平面 EFG.

(2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角. ①直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;②直线和平面平行,或在平面内,则它们所成的角是 0° 的角.

(3)二面角的平面角
10

如图在二面角 α- β 的棱上任取一点 O,以点 O 为垂足,在半平面 α 和 β 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB,则 l∠AOB 叫做二面角的平面角. 2.空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线 l1,l2 的方向向量分别为 m1,m2,则 l1 与 l2 的夹角 θ 满足 cos θ=|cos〈m1,m2〉|. (2)设直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量分别为 m,n,则直线 l 与平面 α 的夹角 θ 满足 sin θ=|cos〈m,n〉|. (3)求二面角的大小 → → (ⅰ)如图①,AB、CD 是二面角 α- β 的两个面内与棱 l 垂直的直线,则二面角的大小 θ=〈AB,CD〉 l.

考向二 利用向量求直线与平面所成的角

【例 2】?如图所示,已知点 P 在正方体 ABCDA′B′C′D′的对角线 BD′上,∠PDA=60° . (1)求 DP 与 CC′所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AA′D′D 所成角的大小.

(ⅱ)如图②③,n1,n2 分别是二面角 α- β 的两个半平面 α,β 的法向量,则二面角的大小 θ 满足 cos θ=cos〈n1,n2〉 l或-cos〈n1,n2〉 .

三种成角 π (1)异面直线所成的角的范围是?0,2?; ? ? π (2)直线与平面所成角的范围是?0,2?; ? ? (3)二面角的范围是[0,π]. 易误警示 利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面 α、β 的法向量 n1,n2 时,要根据向量坐标在图形中观察法向 量的方向,从而确定二面角与向量 n1,n2 的夹角是相等,还是互补,这是利用向量求二面角的难点、易错点. 考向一 求异面直线所成的角 【例 1】?(2011· 上海高考改编)已知 ABCD- 1B1C1D1 是底面边长为 1 的正四棱柱,高 AA1=2,求 A (1)异面直线 BD 与 AB1 所成角的余弦值; (2)四面体 AB1D1C 的体积.

考向三 利用向量求二面角

【例 3】?(2011· 全国新课标)如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠DAB=60° ,AB=2AD,PD⊥ 底面 ABCD. (1)证明:PA⊥BD; (2)若 PD=AD,求二面角 A- C 的余弦值. PB-

1.已知正方体 ABCD- 1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为________. A

11

1 2.已知三棱锥 PABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥AC,PA=AC= AB,N 为 AB 上一点,AB=4AN,M,S 分别为 PB, 2 BC 的中点. (1)证明:CM⊥SN; (2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.

1 5. 如图, 平面 ABCD⊥平面 ABEF, 四边形 ABCD 是正方形, 四边形 ABEF 是矩形, AF= AD=a, 是 EF 的中点. 且 G (1) 2 求证:平面 AGC⊥平面 BGC;(2)求 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值.

3.如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,AP=AB=2,BC=2 2,E,F 分别是 AD, PC 的中点. (1)证明:PC⊥平面 BEF; (2)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小. 6.如图,在五面体 ABCDEF 中,FA ? 平面 ABCD, AD//BC//FE,AB ? AD,M 为 EC 的中点,AF=AB=BC=FE= (I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (II) 证明平面 AMD ? 平面 CDE; (III)求二面角 A-CD-E 的余弦值.

1 AD 2

1 4.如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD. 2 (1)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ; (2)求二面角 Q - C 的余弦值. BP-

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主干考点提升之一 —— 线面平行与垂直
一、典例剖析 例 1:如图,几何体 E-ABCD 是四棱锥,△ABD 为正三角形,CB=CD,EC⊥BD. 求证: (1)BE=DE; (2)若∠BCD=120 ,M 为线段 AE 的中点,求证:DM∥平面 BEC.
0

例 2:在四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90 ,∠BAC=∠CAD=60 ,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点,PA=2,AB=1.(1) 求四棱锥 P-ABCD 的体积 V; (2)若 F 为 PC 的中点,求证:平面 PAC⊥平面 AEF.

0

0

变式训练:如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形,MA⊥平面 ABCD,PD∥MA,E、G、F 分别为 MB、PB、PC 的 中点,且 AD=PD=2MA. 变式训练:如图,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (1)求证:AE⊥平面 BCE; (2)求证:AE∥平面 BFD. (Ⅰ)求证:平面 EFG⊥平面 PDC; (Ⅱ)求三棱锥 P-MAB 与四棱锥 P-ABCD 的体积之比.

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例 3:如图所示,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,CD=2AB=2AD (1)求证:BC⊥BE; (2)在 EC 上找一点 M,使得 BM∥平面 ADEF,请确定 M 点的位置,并给出证明.

1、已知两条直线 m,n,两个平面 ?, ? ,给出下面四个命题: ( ① m / / n, m ? ? ? n ? ? ③ m / / n, m / /? ? n / /? A、①③ B、②④ ②? / /? , m ? ?, n ? ? ? m / /n ④ ? / / ? , m / / n, m ? ? ? n ? ? C、①④ D、②③



2、设 m,n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ( ①若 m ? ? , n / /? , 则m ? n; ③若 m / /? , n / /? , 则m / / n; A、①② B、②③ ②若 ? / / ? , ? / / ? , m ? ?, 则m ? ? ; ④若 ? ? ? , ? ? ? , 则? / / ? . D、①④



C、③④

3、在正四面体 P-ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,下面四个结论中不成立的是( A、BC∥面 PDE B、DF⊥面 PAE C、面 PDF⊥面 ABC D、面 PAE⊥面 ABC



4、已知平面 ? ? ? , ? ? ? ? l ,点A ? ?, A ? l ,直线AB / / l , AC ? l,直线 m / /? , m / /? ,则下列四种位置关系中不 一定成立的是( ) A、 AB / / m B、 AC ? m C、 AB / / ? D、 AC / / ?

5、已知 m , l 是直线, ? , ? 是平面,给出下列命题: 变式训练:如图,A,B,C,D 为空间四点,在△ABC 中,AB=2,AC=BC= 2 .等边三角形 ADB 以 AB 为轴运动. (1)当平面 ADB⊥平面 ABC 时,求 CD; (2)当△ADB 转动时,是否总有 AB⊥CD?证明你的结论. ①若 l 垂直于 ? 内的两条相交直线,则 l ⊥ ? ②若 l 平行于 ? ,则 l 平行于 ? 内的所有直线; ③若 m ? ? , l ? ? , 且l ? m, 则? ? ? ; ④若 l ? ? , 且l ? ?,则? ? ? ; ⑤若 m ? ? , l ? ? , 且? / / ? , 则m / /l. 其中正确命题的序号是___________(把你认为正确的命题的序号填上). 6、如图,已知在三棱锥 A-BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 中点,D 为 PB 中点,且△PMB 为正三角形. (1)求证:DM∥平面 APC; (2)求证:平面 ABC⊥平面 APC; (3)若 BC=4,AB=20,求三棱锥 D-BCM 的体积.

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主干考点提升之二 —— 立体几何中的计算问题
7、如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1 分别是棱 AD,AA1 的中点. (1)设 F 是棱 AB 的中点,证明:直线 EE1∥平面 FCC1; (2)证明:平面 D1AC⊥平面 BB1C1C. 一、典例剖析 例 1:如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,H 是正方形 AA1B1B 的中心,AA1=2 2 ,C1H ? 平面 AA1B1B,且 C1H= 5 . (1)求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值; (2)求二面角 A-A1C1-B1 的正弦值; (3)设 N 为棱 B1C1 的中点,点 M 在平面 AA1B1B 内,且 MN⊥平面 A1B1C1,求线段 BM 的长.

8、如右图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC (1)求证:D1C⊥AC1; (2)设 E 是 DC 上一点,试确定 E 的位置,使 D1E∥平面 A1BD,并说明理由. 变式训练:如图,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长都是 4,E 是 BC 的中点,动点 F 在侧棱 CC1 上,且不与点 C 重合. (1)当 CF=1 时,求证:EF⊥A1C; (2)设二面角 C-AF-E 的大小为θ ,求 tanθ 的最小值.

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例 2:如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 2 倍,P 是侧棱 SD 上的点. (1)求证:AC⊥SD; (2)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P-AC-D 的大小; (3)在(2)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E,使得 BE∥平面 PAC.若存在,求 SE:EC 的值;若不存在,试说 明理由.

例 3:如图,圆柱 OO1 内有一个三棱柱 ABC-A1B1C1,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形,且 AB 是圆 O 的直径. (1)证明:平面 A1ACC1⊥平面 B1BCC1; (2)设 AB=AA1,在圆柱 OO1 内随机选取一点,记该点取自于三棱柱 ABC-A1B1C1 内的概率为 P. ①当点 C 在圆周上运动时,求 P 的最大值; ②记平面 A1ACC1 与平面 B1OC 所成的角为θ (0 <θ ≤90 ).当 P 取最大值时,求 cosθ 的值.
0 0

变式训练: 如图, 在五棱锥 P-ABCDE 中, PA⊥平面 ABCDE, AB∥CD, AC∥ED, AE∥BC, ∠ABC=45 , AB= 2 2 , , BC=2AE=4, 三角形 PAB 是等腰三角形. (1)求证:平面 PCD⊥平面 PAC; 变式训练:如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点. (1)求直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值; (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论. (2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小; (3)求四棱锥 P-ACDE 的体积.

0

16

3、在如图所示的空间几何体中,平面 ACD⊥平面 ABC,AB=BC=CA=DA=DC=BE=2,BE 和平面 ABC 所成的角为 60 ,且点 二、知能提升 1、如图,在三棱锥 P-ABC 中,已知 PC⊥平面 ABC,点 C 在平面 PBA 内的射影 D 在直线 PB 上. (1)求证:AB⊥平面 PBC; (2)设 AB=BC,直线 PA 与平面 ABC 所成的角为 45 ,求异面直线 AP 与 BC 所成的角的大小.
0

0

E 在平面 ABC 上的射影落在∠ABC 的平分线上. (1)求证:DE∥平面 ABC; (2)求多面体 ABCDE 的体积; (3)求二面角 E-BC-A 的余弦值.

2、一个四棱锥的直观图和三视图如图所示. (1)设 PB 的中点为 M,求证:CM∥平 PDA; (2)在 BC 边上是否存在异于 B、C 两点的点 Q,使得二面角 A-PD-Q 为 120 ?若存在,确定点 Q 的位置;若不存在, 请说明理由.
0

4、平面图形 ABB1A1C1C 如图 1 所示,其中 BB1C1C 是矩形,BC=2,BB1=4,AB=AC=

2 ,A1B1=A1C1=

5 .现将该平面图

形分别沿 BC 和 B1C1 折叠,使△ABC 与△A1B1C1 所在平面都与平面 BB1C1C 垂直,再分别连接 A1A,A1B,A1C,得到如图 2 所示的空间图形,对此空间图形解答下列问题. (Ⅰ)证明:AA1⊥BC; (Ⅱ)求 AA1 的长; (Ⅲ)求二面角 A-BC-A1 的余弦值.

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