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三角函数专题复习


三 角 函 数 一、三角函数的图像和性质问题
问题 1:图像变换:
例 1. 为了得到函数 y ? sin(2 x ?

?
6

) 的图像,可以将函数 y ? cos 2 x 的图像(

).

? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6
A.向右

平移

? 个单位长度 3 ? D.向左平移 个单位长度 3
B.向右平移 ) D.向左平移

?? 练习:1。要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? ? x ? ? 的图象( ?? ?
A.向右平移

? 个单位 ?

B.向右平移

? 个单位 ?

C.向左平移

? 个单位 ?

? 个单位 ?

2.已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ?

? ?

?? ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象( ??
? ?? ? 对称 C.关于点 ? , 0 ? 对称 ? ?? ?



A.关于点 ? , 0 ? 对称

?? ??

? ?

B.关于直线 x ?

D.关于直线 x ?

? 对称 ?

3.已知简谐运动 f ( x) ? 2sin ? 相 ? 分别为( A. T ? 6 , ? ? )

π? ?π ?? 1) ,则该简谐运动的最小正周期 T 和初 x ? ? ?? ? ? ? 的图象经过点 (0, 2? ?3 ??

π 6

B. T ? 6 , ? ?

π 3

C. T ? 6 π , ? ?

π 6

D. T ? 6 π , ? ?

π 3

?x π? ? π ? ? 2 ? 平移,则平移后所得图象的解析式为( 4.将 y ? 2 cos ? ? ? 的图象按向量 a ? ? ? , ) 3 6 4 ? ? ? ? ?x π? ?x π? ?x π ? ?x π ? A. y ? 2cos ? ? ? ? 2 B. y ? 2cos ? ? ? ? 2 C. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 D. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ?3 4? ?3 4? ? 3 12 ? ? 3 12 ? 5.若函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) 的图象(部分)如图所示,则 ?和? 的取值是( ).

A. ? ? 1, ? ?

?
3

B. ? ? 1,? ? ?

?
3

C. ? ?

1 ? ,? ? 2 6

D. ? ?

1 ? ,? ? ? 2 6


6.函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ? π ? ? 在区间 ? ? ,π ? 的简图是( 3? ? 2 ?

7.下列函数中,图象的一部分如右图所示的是(



?? ? ? 6? ? ?? ? (C) y ? cos ? 4 x ? ? 3? ?
(A) y ? sin ? x ?

(B) y ? sin ? 2 x ?

?? ? ? 6? ? ?? ? (D) y ? cos ? 2 x ? ? 6? ?
)

8.函数 y = A(sin?x+?)(?>0, | ? |? ? ,x?R)的部分图象如图所示,则函数表达式为 ( 2 (A) y ? ?4 sin( (C) y ? ?4 sin(

? ?
8

x? x?

? ?
4

) (B) y ? 4 sin( ) (D) y ? 4 sin(

? ?
8

x? x?

? ?
4

) )

4 -2 o

y

8 4 问题 2:最小正周期:
A.

8

4

6

x

例 2. 函数 y ? sin 4 x ? cos 2 x 的最小正周期为(

). D. 2?

? 4

B.

? 2

C. ?

-4
( ).

练习:1.。函数 y ?| sin | 的最小正周期是 A.

? 2

x 2

B. ?

C. 2?

D. 4? .

2.。已知函数 y ?

1 x ?? sin ( A ? 0) 的最小正周期为 3? ,则 A = 2 A
.。 。. )

3。函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x 的最小正周期是 4.。函数 y ? 2 cos 2 x ? 1 ( x ? R) 的最小正周期为
2 5.若函数 f ( x) ? sin x ?

1 ( x ? R ) ,则 f ( x) 是( 2

A.最小正周期为

π 的奇函数 2

B.最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数 )

C.最小正周期为 2 π 的偶函数

?? ?? ? 6.函数 y ? sin ? ? 2 x ? ? ? cos ? 2 x ? ? 的最小正周期和最大值分别为( 6? 3? ? ?

A. ? , 1

B. ? , 2

C. 2 ? , 1

D. 2 ? , 2

7.函数 f ( x) ? sin 2 ( x ?

( ) ) ? sin 2 ( x ? ) 是 4 4 A.周期为 ? 的奇函数 B.周期为 ? 的偶函数 C.周期为 2? 的奇函数 D.周期为 2? 的偶函数 ? 1 8 . 函数 y ?| sin( 2 x ? ) ? | 的最小正周期是 。 3 3

?

?

问题 3:最小值与最大值:
] 上的最小值为 . 2 cos 2 x ? 例 4 当 0 ? x ? 时,函数 f ( x) ? 的最小值是( 4 cos x sin x ? sin 2 x 1 1 A. B. C. 2 D. 4 4 2 1 练习:1。函数 y ? sin x ? cos x ( x ? R) 的最大值为 . 2
例 3. 2。函数 y ? 2 sin( A. -3 函数 y ? sin x ? 3 cos x 在区间 [0,

?

).

?

3

? x) ? cos(
B. -2

?

6

? x) ( x ? R) 的最小值等于(
C. -1 D. ? 5

).

1 . cos 2x ( x ? R) 的最大值等于 2 sin x cos x 4.函数 f(x)= 的值域为______________。 1 ? sin x ? cos x
3。函数 f ( x) ? cos x ?

问题 4:单调区间: ?
例 5. 函数 y ? 2 sin( A. [0,

?
3

6

? 2x) ( x ?[0, ? ]) 为增函数的区间是(
B. [

). D. [

]

? 7?
,

12 12

]

C. [ ,

? 5?
3 6

]

5? ,? ] 6


练习:1。函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ? ? ?π, 0?) 的单调递增区间是(
5π ? A. ? ? π, ? ? 6 ? ? ?

π? B. ? ? 5π , ? ? ? 6? ? 6

? C. ? ? π , 0? ? ? 3 ?

? D. ? ? π , 0? ? ? 6 ?

2 2 2.函数 f ( x) ? cos x ? 2 cos

x 的一个单调增区间是( 2
C. ? 0, ? )



A. ? , ?

? ? 2? ? ?3 3 ?

B. ? , ?

? ? ?? ?6 2?

? ?

?? 3?

D. ? ? , ?

? ? ?? ? 6 6?

3.函数 y ? 2cos2 x 的一个单调增区间是( A. ? ? , ?

? π π? ? 4 4?

B. ? 0, ?

? ?

π? 2?

C. ? , ? )

? π 3π ? ?4 4 ?

D. ? ,π ?

?π ?2

? ?

4.函数 y ? sin x 的一个单调增区间是(
? ?? A. ? ?? , ? ? ? ?? ? 3? ? B. ? ? , ? ?? ? ?

?? ? C. ? ? ?, ? ? ? ?

3? ? D. ? , 2? ? ? ? ? ?

5.设函数 f ( x) ? sin ? x ?

? ?

?? ? ( x ? R) ,则 f ( x) ( 3?



7? ? 上是增函数 A.在区间 ? 2? , ? ? 3 6 ? ?
? ? 上是增函数 C.在区间 ? ? , ? ?8 4? ?

? ? 上是减函数 B.在区间 ? ??, ? ? ? 2? ?

5? ? 上是减函数 D.在区间 ? ? , ? ?3 6 ? ?

二、三角函数求值问题
1、公式法:
例 1. 设 ? ? (0, ) ,若 sin ? ?

?

2

A.

7 5

? 3 ,则 2 cos(? ? ) =( 4 5 1 7 B. C. ? 5 5

3 3

) D.

?

1 5

练习:1。 tan 690° 的值为( A. ?
3 3

B.

C. 3

D. ? 3

5 ,则 sin ? ? ( ) 12 1 1 5 5 A. B. ? C. D. ? 5 5 13 13 o o o o 3. cos 43 cos 77 ? sin 43 cos167 的值为 。 1 ? 3? 4.已知 sin ? ? cos ? ? ,且 ≤ ? ≤ ,则 cos 2? 的值是 5 2 4
2. ? 是第四象限角, tan ? ? ? 2.化简求值 例 2. 已知 ? 为第二象限角,且 sin ? ? 练习:1。已知 sin ? ? A. ? 1 B. ? 3
5



15 sin(? ? ? / 4) ,求 的值 4 sin 2? ? cos 2? ? 1


5 ,则 sin 4 ? ? cos4 ? 的值为( 5

5

C. 1

5

D. 3
5

2.已知 tan( 3.若

?
4

??) ?

sin 2? ? cos 2 ? 1 . (Ⅰ)求 tan? 的值;(Ⅱ)求 的值. 1 ? cos 2? 2


cos 2? 2 ,则 cos ? ? sin ? 的值为( ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4 ? ?
7 2

1 1 C. D. 7 2 2 2 cos ? ? sin ? 2 2 4.已知 tan? ? 2 ,求(1) ;(2) sin ? ? sin ? . cos? ? 2 cos ? 的值. cos ? ? sin ?
A. ? B. ? 5.不查表求值: 3、配凑求值 例 3.已知 ? , ? ? ? 练习:1
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2 sin130? ? sin100?(1 ? 3 tan 370?) 1 ? cos10?

.

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设 α∈(

3 ? ? 12 ?? ? 3? ? ? ? , ? ? ,sin( ? ? ? )=- , sin ? ? ? ? ? , 则 os ?? ? ? =____ 5 4 ? 13 4? ? 4 ? ? ? ? 3? ? ? 3 3? 5

.

),β∈(0, ),cos(α- )= ,sin( +β)= ,则 sin(α+β)=_________ , 4 13 4 4 4 4 5

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2.已知 sinα=

3 ? 1 ,α∈( ,π),tan(π-β)= ,则 tan(α-2β)=______ 5 2 2

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? ? ? 3.求 sin 7 ? ? cos15? sin 8 ? 的值 cos 7 ? sin 15 sin 8

方法技巧: 1.三角函数恒等变形的基本策略。 (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如 1=cos2θ +sin2θ 。 (2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配凑角:α =(α +β ) -β ,β =

???
2



???
2

等。

(3)降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。 (4)化弦(切)法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切)。 (5)引入辅助角。asinθ +bcosθ = a 2 ? b 2 sin(θ + ? ),这里辅助角 ? 所在象限由 a、b 的符号确定,? 角 的值由 tan ? =

b 确定。 a

4。三角形中的三角变换 例 1 在 △ ABC 中, tan A ?

1 3 , tan B ? .则角 C 的值为 4 5



练习:1。设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A . 则角 B 的值为 。
2

2. A,B,C 是 ? ABC 的三个内角,且 tan A, tan B 是方程 3x ? 5 x ? 1 ? 0 的两个实数根, 则 ? ABC 是( ) A、钝角三角形

B、锐角三角形

C、等腰三角形

D、等边三角形 。

A C A C ? tan ? 3 tan ? tan 的值 2 2 2 2 4 4.在 △ ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ? . 5
2.在?ABC 中,角 A、B、C 成等差数列,则 tan (Ⅰ)求 sin B 的值;
?? (Ⅱ)求 sin ? ? 2 B ? ? 的值. 6? ?

方法技巧:在△ABC 中,A、B、C 为其内角,a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边. (1) 角 的 变 换 : A+B+C= π , 所 以 sin(A+B)=sinC ; cos(A+B)=-cosC ;

tan(A+B)=-tanC. 系可以通过正弦定理、余弦定理相互转化。

(2)边、角关

三、三角函数综合问题:
例 1 求函数 y ? sin 4 x ? 2 3 sin x cos x ? cos 4 x 的最小正周期和最小值;并写出该函数在 [0, ? ] 的单调递 增区间. 练习 : 1、函数 f ( x) ? 3sin ? ?2 x ?

?

π? ? 的图象为 C ,如下结论中正确的是__________ 3?
? ②图象 C 关于点 ? 2π , 0 对称; ? ? 3 ? ?

① 象 C 关于直线 x ? 11 π 对称;
12

π 5π ? ③函数 f ( x ) 在区间 ? ? ? , ? 内是增函数; ? 12 12 ?

④由 y ? 3sin 2 x 的图角向右平移

π 个单位长度可以得到图象 C . 3
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期;

2.已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ,x ? R .

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. 8 4

? π 3π ? ? ?

3.在 △ ABC 中, a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边.若 a ? 2, 的面积 S .

C?

π B 2 5 , cos ? ,求 △ ABC 4 2 5

4.已知 A 、 B 、 C 三点的坐标分别为 A(3,0) 、 B(0,3) 、 C (cos? , sin ? ) , ? ? ( (I)若 AC ? BC ,求角 ? 的值;(II)若 AC ? BC ? ?1,求

? 3?
2 , 2

),

2 sin 2 ? ? sin 2? 的值 1 ? tan?

5 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 8sin2 (I)求角 A 的大小;

B?C ? 2 cos 2 A ? 7. 2
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(II) 若 a= 3 ,b+c=3,求 b 和 c 的值

6.已知△ABC 的面积 S 满足 3 ? S ? 3 , 且 AB ? BC ? 6 , AB 与 BC 的夹角为 ? (I) 求 ? 的取值范围;

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(II)求函数 f (? ) ? sin 2 ? ? 2 sin? ? cos ? ? 3 cos 2 ? 的最小值

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7.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ), ( A ? 0, ? ? 0) 的图象如图所示. (Ⅰ)求函数 f (x)的解析式; (Ⅱ)令 M ? f ( x) ?

1 f (? x), 求M的最大值 . 2

8.设函数 f ( x) ? 3 cos2 ? x ? sin ? x cos ? x ? a(其中 ? ? 0, a ? R ) 且 f ( x ) 的图像在 y 轴右侧的第一
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个最高点的横坐标是

? 6

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(Ⅰ)求 ? 的值;

(Ⅱ)如果 f ( x ) 在区间 [?

? 5?
3 , 6

] 上的最小值为 3 ,求 a 的值;

2 0<?< ), 9、已知函数 f(x)=A sin (? x ? ? )( A>0,?>0, 且 y=f(x)的最大值为 2,其图象相邻两对称轴

?

间的距离为 2,并过点(1,2) (Ⅱ)计算 f(1)+f(2)+?+f(2008)
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2 ? (Ⅰ) 求 ;

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10、已知向量 OA ? (3,?4),OB ? (6,?3),OC ? (5 ? m,?(3 ? m)) . ①若点 A、B、C 不能构成三角形,求实数 m 应满足的条件; ② 若△ABC 为直角三角形,求实数 m 的值.

11、 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , a sin A ? c sin C ? 2a sin C ? b sin B (1)求 B (2) 若 A ? 75? , b ? 2 ,求 a , c

12、在锐角 ?ABC 中, a , b , c 分别为内角 A , B , C 所对的边,且满足 3a ? 2b sin A ? 0 (Ⅰ)求角 B 的大小;(Ⅱ)若 a ? c ? 5 ,且 a ? c , b ?

??? ? ??? ? 7 ,求 AB ? AC 的值.

? x x 3 3 ? sin ),且 x∈[0, ]. x,sin x), b =( ? cos , 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? (1)求 a ? b (2)设函数 f ( x ) ? a ? b + a ? b ,求函数 f ( x) 的最值及相应的 x 的值。
13、已知向量 a =(cos

?

14、已知函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 sin ? x sin(? x ?
2

?
2

)(? ? 0) 的最小正周期为π .

(Ⅰ)求ω 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间[0,

2? ]上的取值范围. 3

15、在⊿ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 tan A ? (1)求 tanC 的值;

1 3 10 , cos B ? 2 10

(2)若⊿ABC 最长的边为 1,求 b。

16、在△ ABC 中,已知 sin( A ? B ) ? sin B ? sin( A ? B) .(Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ)若 | BC | ? 7 , AB ? AC ? 20 ,求 | AB ? AC | .

??? ?

??? ? ????


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