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2006年江西省南昌市高中数学竞赛试卷(2006.7)和答案


2006 年江西省南昌市高中数学竞赛试卷
(7 月 2 日上午 8:30-11:30) 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.(i)(高一)设集合 A ? {a2 ? 8 | a ? N}, B ? {b2 ? 29 | b ? N} ,若 A ? B ? P ,则 P 中元素个数 为( ) A .0 B .1 D .至少 3 个 C .2 (ii)(高二)三

个互不重合的平面,能把空间分成 n 部分,则 n 的所有可能的值是( ) A .4,6,8 B .4,6,7 D .4,6,7,8 C .4,5,7,8 2.(i)(高一)若三角形的三条高线长分别为 12,15,20,则此三角形的形状为( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 D .形状不确定 C .钝角三角形 (ii)(高二)抛物线顶点在原点,对称轴为 x 轴,焦点在直线 3x-4y=12 上,则抛物线方程为 ( ) A . y 2 ? ?12 x B . y 2 ? 12 x D . y 2 ? 16 x C . y 2 ? ?16 x 1? x 3.(i)(高一)设 f ( x )= ,记 f1 ? x ? ? f ? x ? ,若 f n?1 ( x) ? f ( f n ( x)), 则 f 2006 ( x)= ( ) 1? x 1 1? x x ?1 A.x B .D. C. x 1? x x ?1 (ii)(高二)四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是单位正方形( A, B, C , D 按反时针方向排列), 侧棱 PB 垂直于底面,且 PB = 3 ,记 ?APD ? ? ,则 sin ? =(
A.

)

2 3 5 6 B. D. C. 2 3 5 6 4.若 a ? sin ? ? tan ? , b ? cos ? ? cot ? ,则以下诸式中错误的是( ) ab ? 1 1 ? ab A . sin ? = B . cos ? ? b ?1 a ?1 2 (a ? b)(a ? b ? 2) (a ? b ? 1) ? 1 ? 2ab D . tan ? ? cot ? = C . tan ? ? cot ? = (a ? 1)(b ? 1) (a ? 1)(b ? 1) 2006 5. 1003 的末位数字是( ) A .1 B .3 D .9 C .7 ab bc ca ? ? 的最小值是( 6.设 a, b, c ? R ? ,且 ab ? bc ? ca ? 108 ,则 ) c a b A .6 B .12 D .36 C .18 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 7.(i)(高一)设 M ={1,2,?,100}, A 是 M 的子集,且 A 中至少含有一个立方数,则这种 子集 A 的个数是________ ____. (ii)(高二)甲、乙两人进行乒乓球单打决赛,采用五局三胜制(即先胜三局者获冠军),对 2 1 于每局比赛,甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 ,则爆出冷门(乙获冠军)的概率为_______ 3 3 8.(i)(高一)等腰直角三角形的直角顶点 A 对应的向量为 A ?1, 0? , 重心 G 对应的向量为

G ? 2,0? ,则三角形另二个顶点 B 、 C 对应的向量为______________.
(ii)(高二)棱长为 1 的正四面体在水平面上的正投影面积为 s ,则 s 的最大值为________ 2 ? 9.(i)(高一)已知 sin ? ? cos ? = ,( <?<? ) ,则 tan ? ? cot ? =____ _____. 2 5

1 2 ? ? , (0 ? x ? ) 的最小值是________. 2 2 2 sin x cos x 2 10.若曲线 y ?| x ? 2 | 与直线 y ? 3x ? k 恰有三个公共点,则 k 的值为__ _____. 1 1 11.数列 ?an ? 的各项为正数,其前 n 项和 S n 满足 S n ? (a n ? ) ,则 an =__ ____. 2 an 12.在一次晚会上,9 位舞星共上演 n 个 “三人舞” 节目,若在这些节目中,任二人都曾合作 过一次,且仅合作一次,则 n =______ ____. 三、解答题: 13.(20 分)(i)(高一)将等差数列{ an }: an ? 4n ?1 (n ? N * ) 中所有能被 3 或 5 整除的数删

(ii)(高二)函数 f ( x ) ?

去后,剩下的数自小到大排成一个数列{ bn },求 b2006 的值.

y
A

(ii)(高二)给定圆 P: x2 ? y 2 ? 2 x 及抛物线 S: y 2 ? 4x ,过圆心 P 作直 线 l ,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为 A, B, C , D ,如果 线段 AB, BC , CD 的长按此顺序构成一个等差数列,求直线 l 的方程.

B

o
D

P

C

x

1 4 . ( 2 0 分 ) 如 图 , 四 边 形 ABCD 内 接 于 圆 , P 是 AB 的 中 点 , PE ? AD , PF ? BC , PG ? CD , M 是 线段 PG 和 EF 的交点 , 求证 : ME ? MF .

15.(20 分 ) 若正整数 m, n, k 满足 : mn ? k 2 ? 1 , 证明 , 存在 a, b, c, d? N, 使以下三式 : m ? a2 ? b2 , n ? c2 ? d 2 , k ? ac ? bd 同时成立.

2006 年江西省南昌市高中数学竞赛试卷答案
(7 月 2 日上午 8:30-11:30) 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.(i)(高一)设集合 A ? {a2 ? 8 | a ? N}, B ? {b2 ? 29 | b ? N} ,若 A ? B ? P ,则 P 中元素个数 为(C) A .0 B .1 D .至少 3 个 C .2 (ii)(高二)三个互不重合的平面,能把空间分成 n 部分,则 n 的所有可能的值是(D) A .4,6,8 B .4,6,7 D .4,6,7,8 C .4,5,7,8 2.(i)(高一)若三角形的三条高线长分别为 12,15,20,则此三角形的形状为(B) A .锐角三角形 B .直角三角形 D .形状不确定 C .钝角三角形 (ii)(高二)抛物线顶点在原点,对称轴为 x 轴,焦点在直线 3x-4y=12 上,则抛物线方程为 (D) A . y 2 ? ?12 x B . y 2 ? 12 x D . y 2 ? 16 x C . y 2 ? ?16 x 1? x 3.(i)(高一)设 f ( x )= ,记 f1 ? x ? ? f ? x ? ,若 f n?1 ( x) ? f ( f n ( x)), 则 f 2006 ( x)= (B) 1? x 1 1? x x ?1 A.x B .D. C. x 1? x x ?1 (ii)(高二)四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是单位正方形( A, B, C , D 按反时针方向排列), 侧棱 PB 垂直于底面,且 PB = 3 ,记 ?APD ? ? ,则 sin ? =(C)
2 3 5 6 B. D. C. 2 3 5 6 4.若 a ? sin ? ? tan ? , b ? cos ? ? cot ? ,则以下诸式中错误的是(B) ab ? 1 1 ? ab A . sin ? = B . cos ? ? b ?1 a ?1 2 (a ? b)(a ? b ? 2) (a ? b ? 1) ? 1 ? 2ab D . tan ? ? cot ? = C . tan ? ? cot ? = (a ? 1)(b ? 1) (a ? 1)(b ? 1) 2006 5. 1003 的末位数字是(D) A .1 B .3 D .9 C .7 ab bc ca ? ? 的最小值是(C) 6.设 a, b, c ? R ? ,且 ab ? bc ? ca ? 108 ,则 c a b A .6 B .12 D .36 C .18 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 7.(i)(高一)设 M ={1,2,?,100}, A 是 M 的子集,且 A 中至少含有一个立方数,则这种 子集 A 的个数是____________. 2100 ? 296 (ii)(高二)甲、乙两人进行乒乓球单打决赛,采用五局三胜制(即先胜三局者获冠军),对 2 1 于每局比赛,甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 ,则爆出冷门(乙获冠军)的概率为_______ 3 3 17 ___. 81 8.(i)(高一)等腰直角三角形的直角顶点 A 对应的向量为 A ?1, 0? , 重心 G 对应的向量为
A.

?5 3? G ? 2,0? ,则三角形另二个顶点 B 、 C 对应的向量为______________. ? , ? ? ?2 2?

(ii)(高二)棱长为 1 的正四面体在水平面上的正投影面积为 s ,则 s 的最大值为________ 1 ____. 2 2 ? 8 6 9.(i)(高一)已知 sin ? ? cos ? = ,( <?<? ) ,则 tan ? ? cot ? =_________. ? 2 5 23 1 2 ? ? (ii)(高二)函数 f ( x ) ? , (0 ? x ? ) 的最小值是________. 3 ? 2 2 2 sin 2 x cos 2 x 2 10.若曲线 y ?| x ? 2 | 与直线 y ? 3x ? k 恰有三个公共点,则 k 的值为_______.无解. 1 1 1 1 . 数 列 ?an ? 的 各 项 为 正 数 , 其 前 n 项 和 S n 满 足 S n ? (a n ? ) , 则 an = _ _ _ _ _ _ . 2 an

n ? n ?1 12.在一次晚会上,9 位舞星共上演 n 个 “三人舞” 节目,若在这些节目中,任二人都曾合作 12 过一次,且仅合作一次,则 n =__________. 三、解答题: 13.(20 分)(i)(高一)将等差数列{ an }: an ? 4n ?1 (n ? N * ) 中所有能被 3 或 5 整除的数删 去后,剩下的数自小到大排成一个数列{ bn },求 b2006 的值.
解:由于 an?15 ? an ? 60 ,故若 an 是 3 或 5 的倍数,当且仅当 an?15 是 3 或 5 的倍数. 现将数轴正向分成一系列长为 60 的区间段:(0,+?)=(0,60]∪(60,120]∪(120,180] ∪?,注意第一个区间段中含有{ an }的项 15 个,即 3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51, 55,59.其中属于{ bn }的项 8 个,为: b1 ? 7 , b2 ? 11, b3 ? 19 , b4 ? 23 , b5 ? 31 , b6 ? 43 , b7 ? 47 ,

b8 ? 59 ,于是每个区间段中恰有 15 个{ an }的项,8 个{ bn }的项,且有 b8k ?r ? br ? 60k ,k∈N,1≤ r≤8. 由于 2006=8×250+6,而 b6 ? 43 ,所以 b2006 ? 60? 250? b6 ? 60? 250? 43 ? 15043.
y
A

(ii)(高二)给定圆 P: x ? y ? 2 x 及抛物线 S: y ? 4x ,过圆心 P 作 直线 l ,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为 A, B, C , D , 如果线段 AB, BC , CD 的长按此顺序构成一个等差数列 ,求直线 l 的方 程.
2 2 2

B

解 : 圆 P 的 方 程 为 ? x ? 1? ? y 2 ? 1 , 则 其 直 径 长 B C ? 2 , 圆 心 为
2

P ?1, 0? , 设 l 的 方 程 为 ky ? x ? 1 , 即 x ? ky ? 1 , 代 入 抛 物 线 方 程 得 :
y 2 ? 4ky ? 4 ,设 A? x1, y1 ? , D ? x2 , y2 ?
? y1 ? y 2 ? 4k 有? ,则 ( y1 ? y2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? y1 y 2 ? ?4 2 y 2 ? y2 ) 故 | AD | 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( 1 4 y ? y2 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 [1 ? ( 1 ) ] ? 16(k 2 ? 1) 2 ,因此 | AD |? 4(k 2 ? 1) 4

o
D

P

C

x

2 据等差 , 2 BC ? AB ? CD ? AD ? BC 所以 AD ? 3 BC ? 6 即 4(k 2 ? 1) ? 6 , k ? ? , 2 , 2 2 则 l 方程为 x ? y ? 1或 x ? ? y ?1 . 2 2 1 4 . ( 2 0 分 ) 如 图 , 四 边 形 ABCD 内 接 于 圆 , P 是 AB 的 中 点 , PE ? AD , PF ? BC , PG ? CD , M 是 线段 PG 和 EF 的交点 , 求证 : ME ? MF .
证:作 AF1 ⊥ BC , BE1 ⊥ AD ( E1 , F1 为垂足)
1 AB ? PF1 ? PE1 ? PF1 . 设 P G ∩ E1F1 = k , 因 2 ABF1E1 共圆, ?CF1E1 ? ?A ? ? ? ?C . 故 E1F1 ∥ CD ? PK ⊥ E1F1 ? K 是 E1F1 的中点 .( 因△

则 PE1 ?

D E1 K E M

G

C

P E1F1 为等腰三角形), ? PEKF 为平行四边形,(因 P、E、K、F

为四边形 ABF1E1 各边中点). ? ME ? MF .(对角线互相平分).
A

F1 F

P

B

15.(20 分 ) 若正整数 m, n, k 满足 : mn ? k 2 ? 1 , 证明 , 存在 a, b, c, d ? N,使以下三式: m ? a2 ? b2 , n ? c2 ? d 2 , k ? ac ? bd 同时成立. 证 : 不 妨 设 m ? n , 对 k 归 纳 , k ? 1 时 , 由 于 mn ? 2 , 则 m ? 1, n ? 2 , 此 时 有 2 2 , m ? 02 ? 12 n ,? 1 ? 1 k ? 0 ?1 ? 1?1 , 结论成立 . 设当 k ? r ? r ? 2? 时结论成立 ; 当 k ? r 时 , 由
mn ? r 2 ? 1?? ○ 1

r2 ?1 r2 ?1 r2 ? r ? ? ? r ,故可令 n ? r ? s, m ? r ? t , (s, t ? N * ) n r ?1 r ?1 1 式成为 ? r ? t ?? r ? s ? ? r 2 ?1 ? ?○ 2 ,即 rs ? ts ? tr ? 1 ,两边同加 t 2 得, ○

则 n ? r ? 1, m ?

3 ,因为 r ? t ? m ? 0, 故 s ? t ? 0, ? r ? t ?? s ? t ? ? t 2 ?1 ? ?○

s ? t ? 0, t ? r ,

由归纳假设知 , 对于 t , 存在 a1 , b1, c1, d 1 ? N , 使 r ? t ? a12 ? b12 , s ? t ? c12 ? d12 , t ? a1c1 ? b1d1 , 即

m ? r ? t ? a12 ? b12 , n ? r ? s ? ? r ? t ? ? ? s ? t ? ? 2t r ? ? r ? t ? ? t ? a1 ? a1 ? c1 ? ? b1 ?b1 ? d1 ?

? a ? c ? ? ? b1 ? c1 ? = 1 1
2

2

有 m ? a2 ? b2 , n ? c2 ? d 2 , k ? r ? ac ? bd , ? a, b, c, d ? N ? ,即 k ? r 时结论成立, 由归纳法 ,证得 结论成立.

1?d 1 , 则在 1 式中 ,若记 a ? a1, b ? b1 , c ? a1 ? c1 , d ? b ○


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