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2013年长春市高中毕业班第三次调研测试数学(文科)参考答案及评分标准


2013 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试

2013 年长春市高中毕业班第三次调研测试 数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A 7.C 8.B 9.D 10.A 11.B 12.B 简答与提示: 1. 【命题意图】本小题主要考查二元一

次不等式所表示的区域位置问题,是线性规划的一种简单应用,对学生的 数形结合思想提出一定要求. 【试题解析】B 右下方为不等式所表示区域,故选 B. 2. 【命题意图】 本小题主要考查复数的基本运算, 特别是共轭复数的乘法运算以及对共轭复数的基本性质的考查, 对考生的运算求解能力有一定要求. a k 1 【试题解析】C 由 z ? (1 ? 2i) 为实数,且 z ? 0 ,所以可知 z ? k (1 ? 2i) , k ? 0 ,则 ? ? ,故选 C. b 2k 2 3. 【命题意图】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式以及倍角的余弦公式的应用,对学生的化归与转化思 想以及运算求解能力提出一定要求. 【试题解析】A 4. 由 cos ? ?

9 3 ,得 cos 2? ? sin 2 ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? ,故选 A. 25 5

5.

6.

【命题意图】本小题主要考查平面向量的定义与基本性质,特别是对平面向量运算律的全面考查,另外本题也 对考生的分析判断能力进行考查. 【试题解析】A 由平面向量的基础知识可知①②④均不正确,只有③正确, 故选 A. 【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力,同时考查学生对算法思想的理解与剖 析. 【试题解析】B 有程序框图可知: ① S ? 0 , k ? 1 ;② S ? 1 , k ? 2 ;③ S ? 3 , k ? 3 ;④ S ? 7 , k ? 4 ; ⑤ S ? 15 , k ? 5 . 第⑤步后 k 输出,此时 S ? 15 ≥ P ,则 P 的最大值为 15,故选 B. 【命题意图】本题着重考查三角函数基础知识的应用,对于三角函数的对称性也作出较高要求. 本小题同时也 考查考生的运算求解能力与考生的数形结合思想. 【试题解析】A 函 数 f ( x)? s i n ? x

3 cos x?

7.

6 【命题意图】本小题主要考查数列的递推问题,以及等差数列的通项公式,也同时考查学生利用构造思想解决 问题的能力以及学生的推理论证能力.
【试题解析】C 由 an?1 ? an ? 2 an ? 1 ,可知 an?1 ? ( an ? 1)2 ,即 an?1 ? an ? 1 , 故 { an } 是公差为 1 的等差数列, a13 ? a1 ? 12 ? 12 ,则 a13 ? 144 . 故选 C.

a ? k? ?

?

(k ? Z ) ,因此 a 的最小正数值为

? . 故选 A. 6

? ? ? 称 2 sxi? ( 的 对 ) 轴 为 x ? a , 则 a ? ? k? ? , 即 n 3 3 2

8.

【命题意图】本小题主要考查立体几何中球与球的内接几何体中基本量的关系,以及球表面积公式的应用,本 考点是近年来高考中的热点问题,同时此类问题对学生的运算求解能力与空间想象能力也提出较高要求. 【试题解析】B 由题可知该三棱锥为一个棱长 a 的正方体的一角,则该三棱锥与该正方体有相同的外接球, 又正方体的对角线长为 3a ,则球半径为

3 3 a ,则 S ? 4? r 2 ? 4? ( a) 2 ? 3? a 2 . 故选 B. 2 2

9.

【命题意图】本小题主要考查均匀随机数的定义与简单应用,对于不同尺度下点与点的对应方式也做出一定要 求. 本题着重考查考生数据处理的能力,与归一化的数学思想. 【试题解析】D. 由于 a ? [0,

?
2

] , b ? [0,1] , a1 ?[1 而 0 ,]

, 1 ? [0,1] , 所以坐标变换公式为 a ? b

?
2

a1 , ? b1 . b

故选 D. 10. 【命题意图】本小题是定值问题,考查抛物线的定义与基本性质及过焦点的弦的性质. 本题不但对考生的运算 求解能力、推理论证能力有较高要求,而且对考生的化归与转化的数学思想也有较高要求.
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【试题解析】A

设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,由题意可知, | PF |? x1 ? 2 , | QF |? x2 ? 2 ,则

x1 ? x2 ? 4 1 1 1 1 ,联立直线与抛物线方程消去 y 得, ? ? ? ? | FP | | FQ | x1 ? 2 x2 ? 2 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 ? 4 x ?x ?4 1 k 2 x2 ? (4k 2 ? 8) x ? 4k 2 ? 0 ,可知 x1 x2 ? 4 ,故 1 ? 1 ? ? 1 2 ? . 故选 | FP | | FQ | x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 2( x1 ? x2 ) ? 8 2 A. 11. 【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题,并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体 的能力进行考查,同时考查简单几何体的体积公式. 【试题解析】B 由 图 可 知 该 几 何 体 是 由 两 个 相 同 的 半 圆 柱 与 一 个 长 方 体 拼 接 而 成 , 因 此 V ? 1? 2 ? 4 ? ? ?12 ? 2 ? 8 ? 2? . 故选 B. 12. 【命题意图】本小题着重考查函数的周期性问题,以及复合函数的求值问题,对于不同的表达式,函数周期性 的意义也不同,此类问题时高考中常见的重要考点之一,请广大考生务必理解函数的周期与对称问题.本题主 要对考生的推理论证能力与运算求解能力进行考查. 【试题解析】B 由 f ( x ? 3) ? ? f ( x ? 1) 可知函数 f ( x ) 周期 T ? 4 ,当 x ? 0 时可知, 因此 f [ f (2013) ? 2] ? 1 ? f (2015) ? 1 ? f (3) ? 1 ? ?2012 . f (3) ? ? f (1) ? ?2013 ,f (2013) ? f (1) ? 2013 , 故选 B. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13. (??, ?4) ? (1, ??)

? a1 (1 ? q n ) ???q ? 1 ? ??? 14. S n ? ? 1 ? q ? na ??????????????q ? 1 ? 1
16. [

15. 2

2 5 , 2] 5

简答与提示: 13. 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质与其定义域的求取问题,以及一元二次不等式的解法.本小题着 重考查考生的数学结合思想的应用. 【试题解析】 由题意可知 x ? 3x ? 4 ? 0 , 解得 x ? ?4 或 x ? 1 , 所以函数 f ( x ) 的定义域为 (??, ?4) ? (1, ??) . 14. 【命题意图】本小题主要考查等比数列的前 n 项和公式的推导与应用,同时考查了学生的分类讨论思想.
2

? a1 (1 ? q n ) ???q ? 1 ? ??? . 【试题解析】根据等比数列前 n 项和公式: S n ? ? 1 ? q ? na ??????????????q ? 1 ? 1
15. 【命题意图】本小题主要考查双曲线中各基本量间的关系,特别是考查通径长度的应用以及相关的计算,同时 也对等差中项问题作出了一定要求. 同时对考生的推理论证能力与运算求解能力都有较高要求. 【试题解析】 由题可知 | PA |2 ?| PA2 |2 ?2 | A A2 |2 , 则 1 1 故e ?

????

???? ?

?????

b4 b4 ? (c ? a)2 ? 2 ? (c ? a)2 ? 8a 2 ,化简得 4ac ? 8a 2 , a2 a

c ?2. a

16. 【命题意图】本小题主要考查曲线与方程的实际应用问题,对学生数形结合与分类讨论思想的应用作出较高要 求. 【试题解析】 由题可知,集合 A 表示圆 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ?
2 2

示曲线 2 | x ? 3 | ? | y ? 4 |? ? 上点的集合, 此二集合所表示的曲 集合 A 表示圆,集合 B 则表示菱形,可以将圆与菱形的中心同 示,可求得 ? 的取值范围是 [

4 5

y

上点的集合,集合 B 表 线的中心都在 (3, 4) 处, 时平移至原点,如图所
O

2 5 , 2] . 5

x

三、解答题(本大题必做题 5 小题,三选一选 1 小题,共 70 分) 17. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本题针对三角变换公式以及解三角形进行考查,
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主要涉及三角恒等变

换,正、余弦定理等内容,对学生的逻辑思维能力提出较高要求. 【试题解析】(1) 由 sin 2C cos C ? cos 2C sin C ? 3 ? 3 cos C ,化简得

? sin C ? 3 ? 3 cos C ,即 sin C ? 3 cos C ? 3 ,即 2sin(C ? ) ? 3 , (3 分) 3 ? ? 2? ? ? 3 则 sin(C ? ) ? ,故 C ? ? 或 (舍),则 C ? . (6 分) 3 3 3 3 3 2 (2) 因为 sin B cos A ? 2sin A cos A ,又斜三角形内 cos A ? 0 ,所以 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a .
(8 分) 所以由 cos C ? 所以 S?ABC 18.

4 a ?b ?c a ? 4a ? 4 1 2 ? ? ,可知 a ? . 3 2ab 2 ? a ? 2a 2 1 1 3 3 2 2 3 . ? ? b ? a ? sin C ? ? 2a ? a ? ? a ? 2 2 2 2 3
2 2 2 2 2

(10 分) (12 分)

(本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识,其中包括中位数与平均数的求法、对于随机事件出现情 况的分析与统计等知识的初步应用. 本题主要考查学生的数据处理能力. 【试题解析】解:(1) 因为在频率分布直方图上,中位数的两边面积相等,可得中位数为 155. (2 分) 平均数为 120 ? 0.005 ? 20 ? 140 ? 0.075 ? 20 ? 160 ? 0.020 ? 20 ? 180 ? 0.005 ? 20 ?200 ? 0.003 ? 20 ? 220 ? 0.002 ? 20 ? 156.8 . (4 分) (2) 1000 ? 0.8 ? 20 ? 1000 ? 0.2 ? 5 ? 800 ? 20 ? 200 ? 5 ? 17 (元). (7 分) 1000 1000 (3) 由题可知,利用分层抽样取出的 5 户居民中属于第一类的有 4 户,编为 A, B, C , D ,第二类的有 1 户,编 为 a . 现从 5 户中选出 2 户,所有的选法有 aA , aB , aC , aD , AB , AC , AD , BC , BD , CD 共计 10 种,其中属不同类型的有 aA , aB , aC , aD 共计 4 种. (10 分) 因此,两户居民用电资费属不同类型的概率 P ?

4 2 ? . 10 5

(12 分)

19. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到线面、面面的垂直关系、空间几何体体积的求 取. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求. ED ? DF ? ? ?DEF中?????? ? ? ?DEF ? 45? ? ED ? DF ? ? 【试题解析】解:(1) 证明:由题可知, ? ? EF ? BE AE ? AB ? ? ?ABE中??? ? ? ? ?AEB ? 45??? ? AE ? AB ? ? (3 分)

? ? ? ? 平面ABE ? 平面BCDE ? BE ? ? EF ? 平面PBE ? ? ? 平面PBE ? 平面PEF (6 分) ? EF ? BE ? ? ?????????????????????????????????????????????? EF ? 平面PEF ? ? 平面ABE ? 平面BCDE
(2) S BEFC ? S ABCD ? S ABE ? S DEF ? 6 ? 4 ?

1 1 ? 4 ? 4 ? ? 2 ? 2 ? 14 ,则 2 2
(12 分)

1 1 28 2 V ? ? S BEFC ? h ? ?14 ? 2 2 ? . 3 3 3

20.

(本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到直线与圆锥曲线的相关知识以及圆
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锥曲线中极值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求. 【试题解析】解:(1) 联立曲线 M , N 消去 y 可得 ( x ? 4)2 ? 2 x ? m2 ? 0 ,

?? ? 36 ? 4(16 ? m 2 ) ? 0 ? x2 ? 6 x ? 16 ? m2 ? 0 ,根据条件可得 ? x1 ? x2 ? 6 ? 0 ,解得 7 ? m ? 4 . ? 2 ? x1 x2 ? 16 ? m ? 0
(4 分) (2) 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , x2 ? x1 , y1 ? 0 , y2 ? 0 则 S ABCD ? ( y1 ? y2 )( x2 ? x1 ) ? ( x1 ?

x2 )( x2 ? x1 )

? x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 6 ? 2 16 ? m2 ? 36 ? 4 ? (16 ? m2 ) .
(6 分) 令 t ? 16 ? m2 ,则 t ? (0,3) , S ABCD ? (7 分) 设 f (t ) ? ?t 3 ? 3t 2 ? 9t ? 27 , 则令 f ?(t ) ? ?3t 2 ? 6t ? 9 ? ?3(t 2 ? 2t ? 3) ? ?3(t ?1)(t ? 3) ? 0 , 可得当 t ? (0,3) 时, f ( x ) 的最大值为 f (1) ? 32 ,从而 S ABCD 的最大值为 16. 此时 t ? 1 ,即 16 ? m2 ? 1 ,则 m ? 15 . 联立曲线 M , N 的方程消去 y 并整理得
2

6 ? 2t ? 36 ? 4t 2 ? 2 2 ?t 3 ? 3t 2 ? 9t ? 27 ,

(9 分)

x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 ,解得 x1 ? 3 ? 2 2 , x2 ? 3 ? 2 2 ,
所以 A 点坐标为 (3 ? 2 2, 2 ?1) , C 点坐标为 (3 ? 2 2, ? 2 ?1) ,

(? 2 ? 1) ? ( 2 ? 1) 1 ?? , 2 (3 ? 2 2) ? (3 ? 2 2) 1 则直线 AC 的方程为 y ? ( 2 ? 1) ? ? [ x ? (3 ? 2 2)] , 2 当 y ? 0 时, x ? 1 ,由对称性可知 AC 与 BD 的交点在 x 轴上, 即对角线 AC 与 BD 交点坐标为 (1, 0) . k AC ?
21.

(11 分)

(12 分)

(本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来描述函数的单调性、极值以及 函数零点的情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用,对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求. 【试题解析】解:(1) 由于 f ( x) ? e sin x ,
x

所以 f '( x) ? e sin x ? e cos x ? e (sin x ? cos x) ?
x x x

2e x sin( x ? ) . (2 分) 4 ? ? 3? ) 时, f '( x) ? 0 ; 当 x ? ? (2k? , 2k? ? ? ) ,即 x ? (2k? ? , 2k? ? 4 4 4 ? 3? 7? , 2 k? ? ) 时, f '( x) ? 0 . 当 x ? ? (2k? ? ? , 2k? ? 2? ) ,即 x ? (2k? ? 4 4 4 ? 3? ) (k ? Z ) , 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (2k? ? , 2k? ? 4 4 3? 7? , 2 k? ? ) (k ? Z ) . 单调递减区间为 (2k? ? (4 分) 4 4
x (2) 令 g ( x) ? f ( x) ? kx ? e sin x ? kx ,要使 f ( x) ? kx 总成立,只需 x ? [0,

?

?

2

] 时 g ( x)min ? 0 .

对 g ( x) 求导得 g?( x) ? e (sin x ? cos x) ? k ,
x

数学(文科)参考答案及评分标准

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令 h( x) ? e x (sin x ? cos x) ,则 h?( x) ? 2e x cos x ? 0 ,( x ? (0, 所以 h( x) 在 [0,

?
2

))
(6 分)

?
2

] 上为增函数,所以 h( x) ? [1, e 2 ] .

?

对 k 分类讨论: ① 当 k ? 1 时, g ?( x) ? 0 恒成立,所以 g ( x) 在 [0, 成立;
?

?
2

] 上为增函数,所以 g ( x)min ? g (0) ? 0 ,即 g ( x) ? 0 恒

② 当 1 ? k ? e 2 时, g ?( x) ? 0 在上有实根 x0 ,因为 h( x) 在 (0,

?
2

) 上为增函数,所以当 x ? (0, x0 ) 时,

g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x0 ) ? g (0) ? 0 ,不符合题意;
③ 当 k ? e 2 时, g ?( x) ? 0 恒成立,所以 g ( x) 在 (0,
?

?
2

) 上为减函数,则 g ( x) ? g (0) ? 0 ,不符合题意.
(9 分)

综合①②③可得,所求的实数 k 的取值范围是 (??,1] .

1 2 x 恒成立. 2 x2 x2 x 理由如下:令 g ( x) ? e sin x ? 2 x ? ,要使 f ( x) ? 2 x ? 在 (0, m) 上恒成立,只需 g ( x)max ? 0 . 2 2
(3) 存在正实数 m 使得当 x ? (0, m) 时,不等式 f ( x ) ? 2 x ? (10 分) 因为 g?( x) ? ex (sin x ? cos x) ? 2 ? x ,且 g ?(0) ? ?1 ? 0 , g ?( ) ? e 2 ? (2 ?

?

?

?
2

x0 ? (0, ) ,使得 g ?( x0 ) ? 0 , 2 当 x ? (0, x0 ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, x0 ) 上单调递减,即当 x ? (0, x0 ) 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,所以只需 1 m ? (0, x0 ) 均满足:当 x ? (0, m) 时, f ( x) ? 2 x ? x 2 恒成立. 2
(12 分) 注:因为 e ? e ? 2.7 ? 19 , (2 ?
3 3

?

2

) ? 0 ,所以存在正实数

?

?

) ? 4 ? 16 ,所以 e 2 ? (2 ? ) ? 0 2 2
2 2

?

?

22. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明,具体涉及到四点共圆的证明、圆中三角形相似等内容. 本小题 重点考查考生对平面几何推理能力. 【试题解析】解 (1)连结 BN ,则 AN ? BN ,又 CD ? AB , 则 ?BEF ? ?BNF ? 90? ,即 ?BEF ? ?BNF ? 180? , 则 B 、 E 、 F 、 N 四点共圆. (5 分) (2)由直角三角形的射影原理可知 AC ? AE ? AB ,
2

由 Rt ?BEF 与 Rt ?BMA 相似可知:

BF BE ? , BA BM BF ? BM ? BA ? BE ? BA ? ( BA ? EA) ,

BF ? BM ? AB 2 ? AB ? AE , 2 2 则 BF ? BM ? AB ? AC , 2 2 即 AC ? BF ? BM ? AB .

(10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的 互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想,对运算求解能力有 一定要求.
数学(文科)参考答案及评分标准 第 5 页(共 6 页)

【试题解析】解:(1)对于曲线 C1 消去参数 t 得: 当? ?

?

2

时, C1 : y ?1 ? tan ? ( x ? 2) ;当 ? ?

?
2

时, C1 : x ? 2 .
2

(3 分)

对于曲线 C2 : ? 2 ? ? 2 cos2 ? ? 2 , x2 ? y 2 ? x2 ? 2 ,则 C2 : x ? (2) 当 ? ?

时,曲线 C1 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,联立 C1 , C2 的方程消去 y 得 4 2x 2 ?( x ?1)2 ? 2 ? 0 ,即 3x2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,

?

y2 ?1. 2

(5 分)

2 4 16 4 2 , | MN |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 2 ( )2 ? ? 2 ? ? 3 3 9 3 x ? x2 y1 ? y2 1 2 1 2 8 , ) ,即 ( , ? ) ,从而所求圆方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? . 圆心为 ( 1 3 3 2 2 3 3 9
(10 分)

24. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到绝对值不等式及 重点考查考生的化归与转化思想.

不等式证明等内容. 本小题

??2 x ? 4 x ? ?1 ? ?1 ? x ? 5 【试题解析】解:(1) f ( x) ? ?6 ?2 x ? 4 x ? 5 ? 当 x ? ?1 时, ?2 x ? 4 ? x ? 10 , x ? ?2 ,则 ?2 ? x ? ?1 ; 当 ?1 ? x ? 5 时, 6 ? x ? 10 , x ? ?4 ,则 ?1 ? x ? 5 ; 当 x ? 5 时, 2 x ? 4 ? x ? 10 , x ? 14 ,则 5 ? x ? 14 . 综上可得,不等式的解集为 [?2,14] .
(2) 设 g ( x) ? a ? ( x ? 2)2 ,由函数 f ( x ) 的图像与 g ( x) 的图像可知:

(2 分)

(5 分)

f ( x) 在 x ?[?1,5] 时取最小值为 6, f ( x) 在 x ? 2 时取最大值为 a , 若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,则 a ? 6 .

(10 分)

数学(文科)参考答案及评分标准

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