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6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质(一)


6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质(一)
上海曙光中学 陶慰树

一.教学内容分析

本章节内容是在学生学习了三角比及有关三角恒等变形公式后, 从函数的 角度和层面来研究相关三角问题。 对于函数的研究, 学生已经具备了一定的知 识基础和对简单的具体函数的研究经验, 结合三角函数的特殊性, 教材改变了 研究函数由性质到图像的研究

策略, 而是先得出三角函数的图像, 再由图像归 纳性质这一途径。为此通过函数图像作图的一般方法---描点法(五点发)及 正余弦函数在单位圆中正弦线和余弦线所具备的特征构造正弦函数和余弦函 数的图像, 学生容易接受, 而对于通过函数的图像的平移或对称得出余弦函数 和相关其他三角函数的图像可能比较困难,需要在教学时加以指导和突破。 正弦函数和余弦函数的图像在三角函数的研究中是一个基础和前提, 为后 面得出正弦函数和余弦函数的性质、 进一步加深对函数图像的研究将起着至关 重要的作用。

二.教学目标设计

1、

能结合单位圆中的正弦线、余弦线理解正弦函数及余弦函数中函数值的 变化规律;

2、通过五点法能正确作出正弦函数的图像,并能归纳正弦函数图像的特征; 3、通过函数图像的变换,能作出余弦函数及相关函数图像; 4、在渗透数形结合的数学思想过程中,培养学生类比和转化的思维习惯。
三.教学重点难点

正弦函数和余弦函数的图像的形成和应用。
四.教学用具准备 多媒体设备 五.教学流程设计

复习引入 正弦函数、余弦 函数的概念 单位圆中的正弦线 和余弦线 正弦函数和余弦函 数的图像 转化 五点作图法

转化

巩固与深化、应用

课堂总结 六.教学过程设计

一.复习引入
1.复习:学生口述函数的定义。 2.引入:结合我们刚学过的三角比,就以正弦(或余弦)为例,对每一个给定的角 x 和 正弦值 sin x (或 cos x )之间是否也存在一种函数关系?若存在,请对这种函数关系下一 个定义,若不存在请说明理由。 3.讨论:对自变量 x 的取值类型和范围进行讨论,并给出相应的正弦函数和余弦函数的 记号。

以往我们在研究函数时,先探究函数所具备的性 质,再作出函数的图像,今天我们先探究正弦函数 和余弦函数的图像,再得出函数的性质。 y P

二.学习新课
1.正弦函数的图像 (1)介绍单位圆中的正弦线和余弦线 0

x
Q x

?POX 的一个角为 设点 P 为单位圆上任意一点,

x ,Q 为点 P 在 x 轴上的投影,则有向线段 QP 的长是对应 x 的正弦线,有向线
段 OQ 的长是对应 x 的余弦线。 让学生结合三角比的定义及对不同象限的角的正弦值和余弦值加以验证。 (2)演示单位圆的课件,让学生体验、加深理解。 (3)小组讨论在单位圆中正弦线和余弦线在随角 x 变化而变化的规律,并归纳总结。 ( 4 ) 设 计 画 正 弦 函 数 y ? sin x(0 ? x ? 2? ) 的 图 像 的 方 案 。 利 用

sin(x ? 2k? ) ? sin x(k ? Z ) 作 出 x ? [2? ,4? ] , x ? [4? ,6? ] , …… 及

x ? [?2? ,0] , x ? [?4? ,?2? ] ……的正弦函数的图像。
(5)展示学生的作品,演示正弦函数的课件。 (6)归纳作正弦函数时的心得:

? ? ?

先确定五点(0,0) , (2? ,0) , (? ,0) , ( 再用光滑曲线连接,注意曲线弯曲特征; 通过图像平移得到其他范围上的图像。

?
2

,1) , (

3? ,?1) ; 2

2.余弦函数的图像 探究: 我们已经有了正弦函数 y ? sin x 的图像, 那我们如何得到余弦函数 y ? cos x 的 图像?(让学生小组共同探究) 学生可能的方法: (1)受正弦函数的图像的影响,学生采取五点法描点作图; (2)利用图像的平移,sin( x ?

?
2

) ? cos x ,将正弦函数 y ? sin x 的图像向左平移

? 2

个单位即可得到余弦函数 y ? cos x 的图像。

小结:比较这两种方法,第二种方法不仅简单,而且在此方法上我们可以得到许多与 正弦函数有关的函数的图像。 3.问题拓展 例 1、作出下列函数的图像 ( 1 ) y ? sin x ? 1, x ? [0,2? ] , ( 2 ) y ? ? sin x, x ? [0,2? ] , ( 3 )

y ? sin( x ?

?

? 9? ), x ? [ , ] 。 4 4 4

小结:(1)函数图像变换的方式:平移、对称; (2)平移分左右、上下平移,要注意平移的方向和平移的量。 例 2、作出函数 y ?| sin x |, x ? R 的图像。 三.课堂小结 引导学生总结,老师补充 (1)正弦函数和余弦函数的定义 (2)单位圆中的正弦线和余弦线 (3)正弦函数和余弦函数的图像及其作法,简单的图像特征 (4)函数图像平移中的方法及注意点 四.作业布置 1.书上练习 1,2,3 2.书上习题 6。1 中的 2 3.思考题:分别作出函数 y ? 2 sin x 和 y ? sin 2 x 的图像。

七.教学设计说明 1、本节课是三角函数的图像和性质的第一节课,为了让学生从函数的层面体会理解正弦函 数和余弦函数,让学生先回忆函数的定义,再顺应得出正弦函数和余弦函数的定义,这样 处理符合学生的认知规律。通过对照定义改变自变量 (角的值)感受函数值的变化,加深学 生对正弦函数和余弦函数的理解,为后续作正弦函数的图像做好知识的准备。 2、由于正弦函数和余弦函数的特殊性,教材在研究正弦函数和余弦函数时先得出函数的图 像,再由图像归纳得出函数的性质,而对学生来说,作函数的图像是一个难点。为了加深

学生对正弦函数的理解,先通过在单位圆中正弦线的变化规律,提高学生对正弦函数的理 解,结合多媒体课件,将正弦函数在随角 x 的变化而变化的规律更形象地展示给学生面前, 为学生通过描点法或正弦线作出正弦函数在 x ? [0,2? ] 范围上的图像做好了铺垫。而正弦 函数在其他范围上的图像,是通过平移得出的,更加有效地反映了正弦函数的周期性,也 为下面作余弦函数的图像提供了经验准备。 3、函数图像的变换包含了图像的平移、对称、翻折、伸缩等常见的几种形式,结合诱导公 式揭示余弦函数和正弦函数间的关系,通过平移正弦函数的图像得出余弦函数的图像,加 深学生对函数图像变换理解和训练,再配备了其它几种图像变换的学生练习题,不仅进一 步巩固了对正弦函数和余弦函数图像的相关知识的理解,同时有效训练了学生对常见几种 函数图像变换实施方法和策略。结合小结、归纳,比较几种函数图像变换的方法和注意点, 提高学生的感性认识和解题能力。


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