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高中数学必修5新教学案:第三章 不等式 小结与复习


第三章

小结与复习(学案)

【知识归类】 (一)不等式与不等关系 1、应用不等式(组)表示不等关系; 不等式的主要性质: (1)对称性: a ? b ? b ? a . (2)传递性: a ? b, b ? c ? a ? c . (3)加法法则: a ? b ? a ? c ? b ? c ; a ? b, c ? d ? a ? c

? b ? d . (4)乘法法则: a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc .

a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd .
(5)倒数法则: a ? b, ab ? 0 ?

1 1 ? . a b

(6)乘方法则: a ? b ? 0 ? a n ? b n (n ? N * 且n ? 1) . (7)开方法则: a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N * 且n ? 1) . 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小;作差法 3、应用不等式性质证明. (二)一元二次不等式及其解法 一元二次不等式的解法. 一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0或ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的解集:
2 2 2 设 相 应 的 一 元 二 次 方 程 ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的 两 根 为 x1、x2 且 x1 ? x2 ,

? ? b 2 ? 4ac ,则不等式的解的各种情况如下表:(让学生独立完成课本第 86 页的表
格)

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的

1

图象

一元二次方程

?a ? 0?的根

ax2 ? bx ? c ? 0

有两相异实根

有两相等实根

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

ax 2 ? bx ? c ? 0

( a ? 0)的解集 x x ? x1或x ? x2

?

?

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

?

(三)线性规划 1、用二元一次不等式(组)表示平面区域 二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax ? By ? C ? 0 某一 侧所有点组 成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线). 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线 Ax ? By ? C ? 0 同一侧的所有点( x, y ),把它的坐标( x, y )代入

Ax ? By? C, 所得到实数的符号都相同, 所以只需在此直线的某一侧取一特殊点 ? x0 , y0 ? ,
从 Ax0 ? By0 ? C 的正负即可判断 Ax ? By ? C >0 表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地, 当 C≠0 时,常把原点作为此特殊点). 3、线性规划的有关概念 ①线性约束条件: 在上述问题中,不等式组是一组变量 x、y 的约束条件,这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式,故又称线性约束条件. ②线性目标函数: 关于 x、y 的一次式 z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式,叫 线性目标函数. ③线性规划问题: 一般地, 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题, 统称为线性规划
2

问题. ④可行解、可行域和最优解: 满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解. 由所有可行解组成的集合叫做可行域. 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤: (1)寻找线性约束条件,线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3)在可行域内求目标函数的最优解.

a?b 2 a?b ? ab (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 1、如果 a , b 是正数,那么 2 a?b 2、基本不等式 ab ? 几何意义是“半径不小于半弦”. 2
(四)基本不等式 ab ? 【题型归类】 题型一:用不等式表示不等关系 例 1 某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件 和盒装软件,根据需要,软件至少买 3 片,磁盘至少买 2 盒,写出满足上述不等关系的不等 式.

变式练习:咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料用奶粉、咖啡、糖,分别为 9g、4g、3g; 乙种饮料用奶粉、 咖啡、 分别为 4g、 5g.已知买天使用原料为奶粉 3600g,咖啡 2000g, 糖, 5g、 糖 3000g.写出配制两种饮料杯数说所满足的所有不等关系的不等式.

题型二:比较大小 例 2 (1)( 3 + 2 ) (2) 3 - 2 )2 ( (3)
2

6+2 6 ; ( 6 -1)2;

1 5?2

1 . 6? 5
log 1 b ;
2

变式练习: (1)当 a>b>0 时,log 1 a
2

(2) (a+3)(a-5) (3) ( x ? 1)
2 2

(a+2)(a-4) ;

x4 ? x2 ? 1.
3

题型三:利用不等式的性质求取值范围 例 3 如果 30 ? x ? 42 , 16 ? y ? 24 ,则 (1) x ? y 的取值范围是 , (2) x ? 2 y 的取值范围是 ,

(3) xy 的取值范围是

, (4)

x 的取值范围是 y

.

变式练习:已知 ?1 ? a ? b ? 5 , ?1 ? a ? b ? 3 ,求 3a ? 2b 的取值范围. 题型四:解一元二次不等式 例 4 解不等式: (1) 2 x 2 ? 7 x ? 4 ? 0 ; (2) ? x 2 ? 8 x ? 3 ? 0 .

题型五:求线性目标函数在线性约束条件下的最优解

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 例 5 设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , ? x ? 0, y ? 0 ?

w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值为 12,则 (A)

2 3 ? 的最小值为( a b
(D) 4

).

25 6

(B)

8 3

(C)

11 3

?2 x ? y ? 300 ? x ? 2 y ? 250 ? 变式练习: 已知 x、y 满足不等式组 ? ,试求 z=300x+900y 的最大值时的 ?x ? 0 ?y ? 0 ?
整点的坐标,及相应的 z 的最大值.

4

题型六:利用基本不等式证明不等式 例 6 求证 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 .

变式练习:已知 x2 ? a2 ? b2 , y 2 ? c2 ? d 2 ,且所有字母均为正,求证: xy ? ac ? bd .

题型七:利用基本不等式求最值 例 7 若 x>0,y>0,且

2 8 ? ? 1 ,求 xy 的最小值. x y

变式练习: 求 f ( x) ? 4 x ?

9 (x>5)的最小值. x ?5

【思想方法】 1.数学思想:本部分用到的数学思想有:数形结合思想,转化与划归思想,分类讨论 思想,函数与方程思想. 2.数学方法:本部分用到的数学方法有:比较法,图象法,转化法,平移法,放缩法等.

1. ?ABC 的三边分别是 a、b、c (均为正数) ,根据三角形边的性质能得到不等关系 的个数为( ). ( A ) 4 (B) 5 ( C ) 6 ( D ) 7 2.已知 a ? b ? 0 ,那么下列不等式成立的是( ). ( A )

1 1 ? a b

(B) 0?

a ?1 b

( C ) ab ? b .

2

( D )

b a ? a b

3.函数 y ?

x2 ? x ? 12 的定义域是

4. x ? 0, y ? 0, x ? y ? 4 所围成的平面区域的面积是 5.设 x, y 为正数,则 ? x ? y ? ? ( A ) 6

.

?1 4? ? ? 的最小值为( ?x y?
9

). ( D ) 15

(B)

( C ) 12

5

6. (2009 湖南卷文)若 x ? 0 ,则 x ?

2 的最小值为 x
a b

.

7. (2009 天津卷理)设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则 为( ). ( A ) 8 ( B ) 4 ( C )1

1 1 ? 的最小值 a b

( D )

1 4

8. (2009 重庆卷文)已知 a ? 0, b ? 0 ,则 (A) 2 (B)

1 1 ? ? 2 ab 的最小值是( a b
(C) 4

). (D) 5

2 2

9.已知 a , b 是正实数,试比较

2 1 1 ? a b

与 ab 的大小.

2 10.关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 x x ? ? 或 x ? ?

?

? ?? ? ? ? 0 ? ,求不等
4

式 ax ? bx ? c ? 0 的解集.
2

11. (2009 安徽卷理) 若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 分 ? 3
?3 x ? y ? 4 ?

?x ? 0

为面积相等的两部分,则 k 的值是( (A)

). (C)
2

7 3

(B)

3 7

4 3

(D)

3 4

12. (2009 湖北卷文)

围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利

用旧墙(利用旧墙需维修) ,其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的 旧墙的长度为 x(单位:元). (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数: (Ⅱ)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.

6

第三章

小结与复习(教案)

【知识归类】 (一)不等式与不等关系 1、应用不等式(组)表示不等关系; 不等式的主要性质: (1)对称性: a ? b ? b ? a . (2)传递性: a ? b, b ? c ? a ? c . (3)加法法则: a ? b ? a ? c ? b ? c ; a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d . (4)乘法法则: a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc .

a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd .
(5)倒数法则: a ? b, ab ? 0 ?

1 1 ? . a b

(6)乘方法则: a ? b ? 0 ? a n ? b n (n ? N * 且n ? 1) . (7)开方法则: a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N * 且n ? 1) . 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小;作差法 3、应用不等式性质证明. (二)一元二次不等式及其解法 一元二次不等式的解法. 一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0或ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的解集:
2 2 2 设 相 应 的 一 元 二 次 方 程 ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的 两 根 为 x1、x2 且 x1 ? x2 ,

? ? b 2 ? 4ac ,则不等式的解的各种情况如下表:(让学生独立完成课本第 86 页的表
格)

??0

??0

??0

7

二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的 图象

一元二次方程

?a ? 0?的根

ax2 ? bx ? c ? 0

有两相异实根

有两相等实根

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

ax 2 ? bx ? c ? 0

( a ? 0)的解集 x x ? x1或x ? x2

?

?

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

?

(三)线性规划 1、用二元一次不等式(组)表示平面区域 二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax ? By ? C ? 0 某一 侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线). 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线 Ax ? By ? C ? 0 同一侧的所有点( x, y ),把它的坐标( x, y )代入

Ax ? By? C, 所得到实数的符号都相同, 所以只需在此直线的某一侧取一特殊点 ? x0 , y0 ? ,
从 Ax0 ? By0 ? C 的正负即可判断 Ax ? By ? C >0 表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地, 当 C≠0 时,常把原点作为此特殊点). 3、线性规划的有关概念 ①线性约束条件: 在上述问题中,不等式组是一组变量 x、y 的约束条件,这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式,故又称线性约束条件. ②线性目标函数: 关于 x、y 的一次式 z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式,叫 线性目标函数. ③线性规划问题:
8

一般地, 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题, 统称为线性规划 问题. ④可行解、可行域和最优解: 满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解. 由所有可行解组成的集合叫做可行域. 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤: (1)寻找线性约束条件,线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3)在可行域内求目标函数的最优解.

a?b 2 a?b ? ab (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 1、如果 a , b 是正数,那么 2 a?b 2、基本不等式 ab ? 几何意义是“半径不小于半弦”. 2
(四)基本不等式 ab ? 【题型归类】 题型一:用不等式表示不等关系 例 1 某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件 和盒装软件,根据需要,软件至少买 3 片,磁盘至少买 2 盒,写出满足上述不等关系的不等 式. 【审题要津】根据买软件数和磁盘数的资金和不超过 500 元,同时注意题目要求进行列 示. 解:设软件数为 x ,磁盘合数为 y ,依据题意可得:

?60 x ? 70 y ? 500, ? * ? x ? 3且x ? ? , ? y ? 2且y ? ?* . ?
【方法总结】实际问题应有实际意义. 变式练习:咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料用奶粉、咖啡、糖,分别为 9g、4g、3g; 乙种饮料用奶粉、 咖啡、 分别为 4g、 5g.已知买天使用原料为奶粉 3600g,咖啡 2000g, 糖, 5g、 糖 3000g.写出配制两种饮料杯数说所满足的所有不等关系的不等式. 解:设配制甲种饮料 xg ,配制乙种饮料 yg .

?9 x ? 4 y ? 3600, ?4 x ? 5 y ? 2000, ? ? 则 ?3 x ? 5 y ? 3000, ? x ? 0, ? ? y ? 0. ?
题型二:比较大小 例 2 (1)( 3 + 2 ) (2) 3 - 2 )2 (
2

6+2 6 ; ( 6 -1)2;

9

(3)

1 5?2

1 . 6? 5

【审题要津】(1)、 (2)平方后直接作差; (3)需要分母有理化后作差. 解: (1) (2)

?

3? 2
2

?

3?

? ? ?6 ? 2 6 ? ? ?1<0.?? 3 ? 2 ? < ?6 ? 2 6 ?. 2 ? ? ? 6 ? 1? ? ?2<0.?? 3 ? 2 ? < ? 6 ? 1? .
2 2 2 2 2

(3)

1 1 ? ? 5 ?2 6? 5

?

5?2 ?

? ?

6 ? 5 ? 2 ? 6<0.?

?

1 1 < . 5 ?2 6? 5

【方法总结】比较两个数(或代数式)的大小可用作差法,含有无理数或因式的可采用 先平方后在作差,分母含有根式的可先进行分母有理化. 变式练习: (1)当 a>b>0 时,log 1 a
2

<

log 1 b ;
2

(2) (a+3)(a-5) < (3) ( x2 ? 1)2 ≥

(a+2)(a-4) ;

x 4 ? x 2 ? 1.

题型三:利用不等式的性质求取值范围 例 3 如果 30 ? x ? 42 , 16 ? y ? 24 ,则 (1) x ? y 的取值范围是 ? 46,66 ? , (2) x ? 2 y 的取值范围是 ? ?18,10 ? , (3) xy 的取值范围是 ? 480,1008 ? , (4)

x ? 15 21 ? 的取值范围是 ? , ? . y ? 12 8 ?

【审题要津】 (1)用同向不等式相加; (2)先求出-2 y 的范围,再用同向不等式相加; (3)用可乘积性; (4)先求

1 的范围再用可乘积性. y

解:略. 【方法总结】1.同向不等式不能作差;2.同向不等式不能作商. 变式练习:已知 ?1 ? a ? b ? 5 , ?1 ? a ? b ? 3 ,求 3a ? 2b 的取值范围. 解:设 3a ? 2b = x (a ? b) + y ? a ? b ? = ? x ? y ? a ? ? x ? y ? b .

1 ? ?x ? 2 , x ? y ? 3, ? 1 5 ? ? 3a ? 2b ? ? a ? b ? ? ? a ? b ? . ?? 解得: ? 2 2 ? x ? y ? ?2. ?y ? 5. ? ? 2
??3 ? 3a ? 2b ? 10.
题型四:解一元二次不等式
2 2 例 4 解不等式: (1) 2 x ? 7 x ? 4 ? 0 ; (2) ? x ? 8 x ? 3 ? 0 .

10

【审题要津】对于不等式(1) ,可先求出一元二次方程 2 x 2 ? 7 x ? 4 ? 0 的判别式,分 析方程根的情况,然后结合二次函数 f ? x ? ? 2x2 ? 7x ? 4 的图象可求得不等式的解集. 对于(2) ,可先把二次项系数变为正数,然后同(1)解题过程. 解: (1)令 2 x 2 ? 7 x ? 4 ? 0 得 ? ? 72 ? 4 ? 2 ? 4 ? 17 ? 0, 方程有两根 x1 ?

?7 ? 17 ?7 ? 17 , x2 ? . 4 4
? ? ? ? ? ?7 ? 17 ?7 ? 17 ? 或x ? ?. 4 4 ? ?

∴ 2 x 2 ? 7 x ? 4 ? 0 的解集为 ? x x ?
2

2 ( 2 ) 由 ? x ? 8x ? 3 ? 0 得 x ? 8x ? 3 ? 0 , 以 下 同 ( 1 ) 不 等 式 的 解 集 为 ,

?x 4 ?

13 ? x ? 4 ? 13 .

?

【方法总结】解一元二次不等式的一般步骤是: (1)将不等式变形化为一般形式; (2) 计算判别式; (3)根据判别式确定二次方程解得个数; (4)根据一元二次不等式解的结构, 求出其解. 题型五:求线性目标函数在线性约束条件下的最优解 x-y+2=0

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 例 5 设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , ? x ? 0, y ? 0 ?
2 3 ? 的最小值为( a b 25 8 A. B. 6 3


y

w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

z=ax+by 2

若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值为 12, ). C. -2 O 2 3x-y-6=0 D. 4 x

11 3

【审题要津】画出可行域,找出最优解,带入后得到 a、 b 的关系,然后适当变形求最 小值. 解:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by= z(a>0,b>0) 过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点(4,6)时, 目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大 12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而

2 3 2 3 2a ? 3b 13 b a 13 25 ? =( ? ) ? ?( ? )? ?2? ,故选 A. a b a b 6 6 a b 6 6

答案:A 【方法总结】根据约束条件正确作出可行域,明确最优解是解决线性规划问题的关键.

11

?2 x ? y ? 300 ? x ? 2 y ? 250 ? 变式练习: 已知 x、y 满足不等式组 ? ,试求 z =300x+900y 的最大值时的 x?0 ? ?y ? 0 ? 整点的坐标,及相应的 z 的最大值.
解:由可行域和目标函数知:当取整点 ? 0,125? 时, z 有最大值,最大值为 112500. 题型六:利用基本不等式证明不等式 例 6 求证 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 . 【审题要津】根据题目特点,可采用比较法作差证明. 证明: (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 = a c ? a d ? b c ? b d ? a c ? b d
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

- 2abcd = ? ad ? bc ? ? 0.? (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 .
2

【方法总结】两个实数比较大小,通常用作差法来进行,其一般步骤是: 第一步:作差;第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将差化积;第 三步:定号.最后得出结论. 变式练习:已知 x2 ? a2 ? b2 , y 2 ? c2 ? d 2 ,且所有字母均为正,求证: xy ? ac ? bd . 证明:∵ (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 = a c ? a d ? b c ? b d ? a c ? b d
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 - 2abcd = ? ad ? bc ? ? 0.? (a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd ) .
2

∴ a2 ? b2 c2 ? d 2 ? ac ? bd ,即: xy ? ac ? bd . 题型七:利用基本不等式求最值 例 7 若 x>0,y>0,且

2 8 ? ? 1 ,求 xy 的最小值. x y 2 8 ? ? 1 的左边用基本不等式后能够出现 xy 项, x y

【审题要津】 因为 x>0,y>0,且等式 所以可直接把已知等式运用基本不等式. 解:由 1 ?

2 8 2 8 8 ? ?2 ? ? ? xy ? 8,? xy ? 2 2. 所以 xy 的最小值为 2 2 . x y x y xy

【方法总结】运用基本不等式求最值掌握的原则:一正、二定、三相等,有时需要适当 的变形. 变式练习: 求 f ( x) ? 4 x ?

9 (x>5)的最小值. x ?5

12

解: f ( x) ? 4 x ? 且仅当 x ? 5 ?

9 9 = 4 ? x ? 5? ? ? 20 ? 2 x ?5 x ?5

? x ? 5? ?

9 ? 20 ? 26 ,当 x ?5

9 9 , 即 x ? 8 时等号成立,所以 f ( x) ? 4 x ? (x>5)的最小值为 26. x?5 x ?5

【思想方法】 1.数学思想:本部分用到的数学思想有:数形结合思想,转化与划归思想,分类讨论 思想,函数与方程思想. 2.数学方法:本部分用到的数学方法有:比较法,图象法,转化法,平移法,放缩法等.

1. ?ABC 的三边分别是 a、b、c (均为正数) ,根据三角形边的性质能得到不等关系 的个数为( C ). ( A ) 4 (B) 5 ( C ) 6 ( D ) 7 2.已知 a ? b ? 0 ,那么下列不等式成立的是( D ). ( A )

1 1 ? a b

(B) 0?

a ?1 b

( C ) ab ? b

2

( D )

b a ? a b

3.函数 y ?

x2 ? x ? 12 的定义域是 ? x x ? ?4或x ? 3? .
8 .

4. x ? 0, y ? 0, x ? y ? 4 所围成的平面区域的面积是 5.设 x, y 为正数,则 ? x ? y ? ? ( A ) 6

?1 4? ? ? 的最小值为( B ). ?x y?
( C ) 12 ( D ) 15

(B) 9

2 的最小值为 2 2 . x 2 2 解: ? x ? 0 ? x ? ? 2 2 ,当且仅当 x ? ? x ? 2 时取等号. x x
6. (2009 湖南卷文)若 x ? 0 ,则 x ? 7. (2009 天津卷理)设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则
a b

1 1 ? 的最小值 a b 1 4

为( C ). ( A ) 8 ( B ) 4 ( C )1 ( D )

a b 解:因为 3 ? 3 ? 3 ,所以 a ? b ? 1 ,

b a 1 1 1 1 b a b a ? 即 ? ? (a ? b)( ? ) ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ?4 , 当 且 仅 当 a b a b a b a b a b 1 a ? b ? 时“=”成立,故选择 C 2 1 1 8. (2009 重庆卷文)已知 a ? 0, b ? 0 ,则 ? ? 2 ab 的最小值是( C ). a b
13

(A) 2

(B)

2 2

(C) 4

(D) 5

解:因为

1 1 1 1 1 1 当且仅当 ? ,且 ? ? 2 ab ? 2 ? 2 ab ? 2( ? ab ) ? 4 a b a b ab ab

1 ? ab ,即 a ? b 时,取“=”号. ab
9.已知 a , b 是正实数,试比较

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

2 1 1 ? a b

与 ab 的大小.

解:? a ? 0, b ? 0,?

1 1 1 2 2 ? ?2 ,? ? ? ab. a b ab 1 ? 1 1 2 a b ab

2 10.关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 x x ? ? 或x ? ?

?

? ?? ? ? ? 0 ? ,求不等

式 ax ? bx ? c ? 0 的解集.
2

解:由已知得 x1 ? ? , x2 ? ? 为方程 ax ? bx ? c ? 0 的根且 a ? 0 .
2

??

b c ? ? ? ? , ? ?? ,??b ? a ?? ? ? ? , c ? a?? . a a
2

2 代入不等式 ax ? bx ? c ? 0 ,得 ax ? a ?? ? ? ? x ? a?? ? 0 ,

? x2 ? ?? ? ? ? x ? ?? ? 0,?? x ? ? ?? x ? ? ? ? 0 ,又?? ? ? ? 0,??? ? ?? ? 0 ,
??? ? x ? ?? . 所以不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为 ? x ? ? ? x ? ?? ? .
11.(2009 安徽卷理)若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 分 ? 3
?3 x ? y ? 4 ? ?x ? 0

4

为面积相等的两部分,则 k 的值是( A ). (A)

7 3

(B)

3 7

(C)

4 3

(D)

3 4
B y y=kx+ 3 D C O A x

解:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC

?x ? 3y ? 4 4 由? 得 A(1,1) ,又 B(0,4) ,C(0, ) 3 ?3x ? y ? 4
1 4 4 ∴ S △ABC= (4 ? ) ? 1 ? ,设 y ? kx 与 3x ? y ? 4 的 2 3 3 1 2 1 5 交点为 D,则由 S ?BCD ? S ?ABC ? 知 xD ? ,∴ y D ? 2 3 2 2

4

14



5 1 4 7 ? k ? ? , k ? 选 A. 2 2 3 3
12. (2009 湖北卷文) 围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利
2

用旧墙(利用旧墙需维修) ,其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的 旧墙的长度为 x (单位:元). (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数: (Ⅱ)试确定 x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用. 解: 1) ( 设矩形的另一边长为 a m,则 y 2 -45 x -180( x -2)+180· a =225 x +360 a -360 2

由已知 x a =360,得 a =

360 3602 ? 360( x ? 0) ,所以 y =225 x + x x

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

(II)? x ? 0,? 225 x ?

3602 ? 2 225 ? 3602 ? 10800 x

? y ? 225x ?

3602 3602 ? 360 ? 10440.当且仅当 225x= 时,等号成立. x x
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

即当 x =24m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元.

15


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